ALKRIS: PPM 2004 3

BAB II MASALAH MATEMATIKA DAN STRATEGI PEMECAHANNYA

Soal-soal matematika yang muncul dalam IMO dan OMN umumnya merupakan

soal yang memberikan tantangan untuk dikerjakan, tetapi tidak atau belum jelas benar jalan

pemecahannya. Materi soalnya bukan merupakan soal rutin, atau soal yang merupakan

penerapan teorema atau prinsip yang sedang atau baru saja dipelajari. Sering terjadi,

masalah yang dihadapkan kepada siswa juga merupakan masalah bagi guru..

Menurut Polya (1975), ada dua macam masalah yaitu (1) menemukan (bilangan,

lukisan, dan sebagainya) dan (2) membuktikan. Untuk memecahkan kedua masalah tersebut

strategi pemecahan umumnya sama. Namun strategi pemecahan khususnya dapat berbeda,

tergantung pada jenis atau substansi masalahnya. Namun karena masalah ‘menemukan’

kadang-kadang bersifat terbuka atau investigatif, maka yang perlu dimiliki pemecah

masalah adalah kreativitas melalui latihan pengembangan alternatif. A. Penalaran Induktif dan Deduktif

Dalam memecahkan masalah hasil akhir yang benar haruslah diperoleh melalui suatu

proses pengerjaan, langkah-langkah, alur pikir atau menurut penalaran yang benar, induktif

maupun deduktif.

1. Penggunaan Penalaran Induktif

Berikut ini adalah satu contoh kegiatan penalaran induktif yang dapat dilakukan

siswa. Di suatu kelas setiap siswa ditugasi menggambar sebuah segitiga. Mereka diminta

(1) menggunting segitiga sekeliling sisi-sisinya, (2) memotongnya menjadi tiga bagian

daerah segitiga yang memuat setiap pojoknya dan (3) mengimpitkan kaki-kaki segitiga

tersebut. Beberapa kemungkinan hasilnya adalah:

Langkah (1)

Langkah (2)

Langkah (3)

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Gambar 2.3

ALKRIS: PPM 2004 4

Ternyata diperoleh bahwa hasil pengimpitan ketiga sudut segitiga dari berbagai bentuk

segitiga tersebut adalah sudut lurus, sehingga disimpulkan bahwa jumlah besar ketiga sudut

sebarang segitiga adalah 180o.

Pada penalaran induktif perlu disadari bahwa dugaan atau konjektur tidak selamanya

benar; atau, induksi saja tidak selalu menjamin kebenaran dugaan (konjektur). Misalnya

kasus berikut ini:

Ditentukan beberapa titik pada lingkaran. Melalui setiap dua titik dibuat talibusur. Berapa maksimum banyaknya daerah yang terjadi jika ada n buah titik pada lingkaran itu?

Ilustrasi masalah tersebut sebagai berikut.:

Masalah tersebut dapat dipecahkan dengan pola. Dengan pola diperoleh hal-hal

sebagai berikut:

Jika ada 1 titik, maka maksimum terdapat 1 daerah = 21–1 daerah

Jika ada 2 titik, maka maksimum terdapat 2 daerah = 22–1 daerah

Jika ada 3 titik, maka maksimum terdapat 4 daerah = 23–1 daerah

Jika ada 4 titik, maka maksimum terdapat 8 daerah = 24–1 daerah

Jika ada 5 titik, maka maksimum terdapat 16 daerah = 25–1 daerah

Dugaan atau konjekturnya ialah: jika ada n titik maka maksimum terdapat 2n–1 daerah.

Namun ternyata, jika tersedia 6 buah titik, maksimum hanya terdapat 31 dan bukan 26–1 =

32 daerah .

Ini berarti dugaan secara induktif dengan pola pikir seperti itu tidak benar. Selanjutnya jika n = 7 maksimum daerah bukan 27 − 1 = 63, tetapi hanya 57. Ternyata jika dikaji, rumus

umumnya adalah dn = 24

2418236 234 +−+− nnnn ; dn = banyak daerah, n = banyak titik.

1 2

3

4

5

6 7

8 9

10 11 12 13 14 15

16 17 18

19 20

21 22

23 24

25

26 27 28

29 30

31

Gambar 2.4

Gambar 2.5

ALKRIS: PPM 2004 5

2. Penggunaan Penalaran Deduktif

Biasanya dalil atau teorema dalam geometri dibuktikan kebenarannya secara

deduktif. Jika secara deduktif telah dapat dibuktikan kebenarannya, maka kebenaran itu

berlaku secara umum, bukan berlaku hanya beberapa hal khusus saja. .

Sebagai contoh, untuk membuktikan kebenaran bahwa jumlah besar susut-sudut

sebuah segitiga adalah 180o, dapat digunakan dalil yang sebelumnya telah dibuktikan

kebenarannya. Dalil itu adalah: Jika ada dua garis sejajar dipotong garis ketiga, maka:

sudut sehadap sama besar, sudut dalam bersebarangan sama besar, dan sudut luar

berseberangan sama besar.

Diketahui: ∆ABC

Buktikan: besar ∠A + ∠B + ∠C = 180o

Bukti:

Tarik garis AB

Tarik melalui B tarik garis g || AC

Garis g || AC dipotong oleh AB

Akibat: besar ∠A = ∠B3 (sudut sehadap)

besar ∠C = ∠B2 (sudut dalam bersebarangan)

Jadi besar ∠A + ∠B + ∠C = besar ∠B3 + ∠B1 +∠B2

= 180o (karena ketiganya membentuk sudut lurus).

(terbukti)

B. Strategi dalam Memecahkan Masalah

Kompleksitas masalah yang muncul dalam matematika sangat bervariasi, namun bagi

pemula, seyogyanya dihadapkan kepada masalah-masalah yang tidak tiba-tiba kompleks.

1. Memulai memecahkan masalah

Masalah “sederhana” sering merupakan pengalaman belajar yang baik untuk

memecahkan masalah yang lebih kompleks. Dalam “masalah sederhana” tersebut sering

terjadi bahwa setelah memahami masalahnya, perlu mengubahnya ke dalam model

matematika, baru memecahkannya. Arya dan Lardner (1981:63), dan Auvil dan Poluga

(1984:115), menyarankan langkah-langkah dasar menyelesaikan masalah verbal sebagai

berikut:

a. Pilihlah (sebuah) variabel.

A B

C

1 2 3

Gambar 2.6

g

ALKRIS: PPM 2004 6

Variabel ini biasanya adalah lambang bilangan yang menyatakan sesuatu yang

ditanyakan, atau dapat juga yang terkait langsung atau tidak langsung dengan yang

ditanyakan. Contoh: yang ditanyakan kecepatan maka yang dimisalkan dapat dipilih

kecepatannya (misal variabelnya v), jarak yang ditempuh (misal: d), dapat pula waktu

yang diperlukan (misal: t).

Jika permasalahannya menyangkut lebih dari satu hal yang masing-masing

memerlukan adanya variabel, maka dipilih variabel lainnya. Jika perlu, pada awal

penentuan variabel didahului dengan menggambar suatu diagram situasi.

b. Susunlah bentuk-bentuk aljabar.

Nyatakan setiap bilangan yang ada dalam masalah verbal itu dengan variabel terpilih.

Atau jika tidak, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta kaitannya dengan variabel.

Susunlah dalam suatu bentuk aljabar.

c. Susunlah model matematika dari relasinya.

Nyatakan relasi antara bilangan-bilangan dan variabel dalam bentuk aljabarnya yang

telah diperoleh sehingga tersusun model matematika dari keseluruhan masalahnya.

Jika relasinya merupakan suatu kalimat terbuka, maka mungkin kalimat terbuka itu

berupa persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, atau sistem pertidaksamaan.

Relasinya yang terbentuk dapat juga merupakan relasi fungsional (sebuah fungsi).

d. Carilah penyelesaian kalimat terbuka atau model matematikanya.

Prosedur penyelesaiannya sesuai prosedur atau algoritma jenis kalimat terbuka atau

fungsinya.

e. Nyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu.

f. Periksa kebenaran jawabannya dengan “mengembalikannya” ke persoalan awal.

Pemeriksaan juga menyangkut validitas jawaban sesuai konteks dan menyingkirkan

kemungkinan adanya “penyelesaian palsu”.

Contoh:

Sebuah persegipanjang panjangnya 4 cm kurang dari tiga kali lebarnya. Keliling

persegipanjang tersebut sama dengan keliling sebuah persegi yang luasnya 3.136 cm2.

Tentukanlah ukuran persegipanjang tersebut.

Jawab:

a. Memilih/menentukan variabel

Misalkan umur lebar persegipanjang x cm.

ALKRIS: PPM 2004 7

b. Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar

lebar persegipanjang x cm..

Panjangnya 444 3444 21

4

dari kurang cm4−

444 3444 21

3

lebarnyakalitigax×

.

Panjangnya adalah – 4 + 3x atau 3x – 4 Panjang sisi persegi = s, keliling = 4s

c. Menyusun model matematika dari relasinya

Luas persegi = 3.136 cm2 ⇒ s2 = 3136

Keliling persegi = 4s

Keliling persegipanjang adalah = x + 3x – 4 + x + 3x – 4 = 8x – 8

Keliling persegipanjang = keliling persegi ⇒ 8x – 8 = 4s

d. Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)-nya

s2 = 3136 ⇒ s = 136.3 = 56, sehingga 4s = 4 × 56 = 224

8x – 8 = 4s ⇒ 8x – 8 = 224 ⇔ 8x = 232

⇔ x = 29 ⇒ 3x – 4 = 3 × 29 – 4

= 83

e. Menyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu.

Jadi ukuran panjang dan lebar persegipanjang berturut-turut 83 cm dan 29 cm.

f. Pemeriksaan:

1) Panjangnya 4 cm kurang dari 3 × lebarnya benar, sebab 83 = 3 × 29 – 4 (benar)

2) Keliling persegipanjang = 2 ×( 29 + 83) × 1 cm = 224 cm

Keliling persegi = keliling persegipanjang = 224 cm, sehingga panjang sisi persegi

= 224 cm : 4 = 56 cm. Jadi luas persegi = 56 × 56 cm2 = 3.136 cm2, (benar sesuai

yang diketahui).

2. Strategi Polya

x x

(i)

Gambar 2.7

x x

3x – 4

3x – 4 (ii)

Luas persegi = 3.136 cm2 s

s

s

s

(iii)

ALKRIS: PPM 2004 8

Untuk memecahkan masalah, ada beberapa cara, langkah, tata kerja, pemikiran, penalaran, bahkan “akal” yang perlu digunakan dalam merencanakan tindakan pemecahan masalah. Cara yang sering digunakan dan sering berhasil pada proses pemecahan masalah inilah yang disebut dengan strategi pemecahan masalah.

Dalam memecahkan masalah, Polya menyarankan 4 langkah utama sebagai berikut: a. Memahami masalahnya

1) Apa yang tidak diketahui (yang ditanyakan)? Apa datanya (yang dikatahui)? Apa syarat-syaratnya?

2) Apakah datanya cukup untuk mememecahkan masalah itu? Atau tidak cukup sehingga perlu ‘pertolongan’? Atau bahkan berlebih sehingga harus ada yang diabaikan? Atau bertentangan?

3) Jika perlu dibuat diagram yang menggambarkan situasinya. 4) Pisah-pisahkan syarat-syaratnya jika ada. Dapatkah masalahnya ditulis kembali

dengan lebih sederhana sesuai yang diperoleh di atas? b. Menyusun rencana memecahkan masalah

1) Pernahkah Anda menghadapi masalah tersebut? Atau yang serupa dengan masalah

tersebut?

2) Tahukah Anda masalah (lain) yang terkait dengan masalah itu? Adakah teorema

yang bermanfaat untuk digunakan?

3) Jika Anda pernah menghadapi masalah serupa, dapatkah strategi atau bagian cara

memecahkannya digunakan di sini? Atau, dapatkah hasilnya digunakan di sini?

Dapatkah metodenya yang digunakan? Perlukah Anda mengintrodusir elemen baru

terkait yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya? (Dalam geometri, misalnya,

adakah garis atau titik yang tak pernah muncul kemudian dimunculkan untuk

membuat pertolongan?)

4) Dapatkah masalahnya dinyatakan kembali dengan lebih sederhana dan jelas?

Dapatkah dinyatakan dengan cara berbeda? Perlukah kembali ke beberapa definisi?

5) Jika Anda tidak segera dapat menyelesaikan masalah tersebut, cobalah memecahkan

masalah serupa yang lebih sederhana. Dapatkah kemudian dipikirkan masalah lain

yang lebih dekat dengan masalah yang sedang dipecahkan? Masalah yang lebih

spesifik? Masalah yang analog? Masalah yang lebih umum? Dapatkah Anda

memecahkan sebagian dari masalahnya? Misal, pilihlah hanya sebagian syaratnya

(jika ada), abaikan sementara syarat lainnya; seberapa jauh yang akan dicari itu

ALKRIS: PPM 2004 9

dapat ditentukan, seberapa bervariasinya? Dapatkah Anda menarik sesuatu gagasan

dari data yang tersedia? Dapatkah Anda pikirkan data lain yang bertalian dengan

yang dicari pemecahannya? Dapatkah Anda mengubah yang ditanyakan atau yang

diketahui, atau kedua-duanya, sedemikian sehingga data baru dengan “yang tak

diketahui” semakin dekat?

6) Apakah semua data telah Anda gunakan? Apakah semua syarat telah Anda

gunakan? Apakah Anda telah memasukkan sesuatu hal lain yang penting dalam

memecahkan masalah itu?

c. Melaksanakan rencana

Melaksanakan rencana pemecahan masalah dengan setiap kali mengecek kebenaran di

setiap langkah. Dapatkah Anda peroleh bahwa setiap langkah telah benar? Dapatkah

Anda buktikan bahwa setiap langkah sungguh benar?

d. Menguji kembali atau verifikasi

1) Cek atau ujilah hasilnya. Periksa juga argumennya.

2) Apakah hasilnya berbeda? Apakah secara sepintas dapat dilihat?

3) Dapatkah Anda gunakan hasil atau metodenya untuk menyelesaikan masalah lain?

3. Menyusun Pertanyaan, Prosedur dan Mengembangkan Keterampilan

Selain saran-saran di atas, Burton (1984) menyarankan 4 tahap kegiatan dalam proses

memecahkan masalah: (1) Memulai (Masuk, Entry), (2) Melaksanakan/Memecahkan

(Attack), (3) Mereview, dan (4) Mengembangkan (Extension). Tahap pertama sesuai

dengan yang disarankan Polya dalam memahami masalah. Tahap kedua memuat langkah

kedua dan ketiga dalam saran Polya, yaitu menyusun rencana dan melaksanakannya. Tahap

ketiga sama dengan langkah keempat Polya, menguji kembali. Tahap keempat,

mengembangkan masalah itu perlu, karena menurut Burton, sering terjadi bahwa

penyelesaian masalah dapat menuntun pada masalah baru atau penyelesaian masalah lain

yang perlu dimiliki pemecah masalah. Hal ini terutama dalam masalah yang bersifat

investigatif.

Pada setiap tahap Burton menyarankan pemecah masalah menyusun pertanyaan-

pertanyaan tuntunan, mengikuti proses atau prosedur tertentu sesuai masalahnya dan

menerapkan serta mengembangkan keterampilan-keterampilan yang menunjang proses

pemecahan masalah hingga masalahnya terselesaikan. Perhatikan yang berikut ini.

a. Mengorganisasi Pertanyaan

ALKRIS: PPM 2004 10

1) Memulai (Entry) a) Informasi apa yang ada dalam masalah itu? b) Apa yang ditanyakan atau diminta? c) Apa yang harus saya lakukan untuk memulai? (Misal: perlukah

mengintrodusir variabel? Perlukah menggunakan ‘pertolongan’?) 2) Memecahkan (Attack)

a) Dapatkah saya membuat suatu hubungan atau relasi? b) Adakah sesuatu hasil yang diperoleh tanpa mencari bantuan? c) Adakah di situ pola tertentu? d) Dapatkah saya menemukan bagaimana atau mengapa terjadi sesuatu? e) Dapatkah saya mememecah atau memerinci masalah? f) Dapatkah saya mengubah pandangan saya tentang masalah itu?

3) Review-Ekstensi

a) Apakah solusinya dapat diterima? b) Apa yang dapat saya pelajari dari solusi itu? c) Dapatkah saya mengembangkan solusinya?

b. Prosedur

Prosedur berikut ini terlepas dari kandungan atau jenis materi/substansinya. Hal-hal

yang disampaikan dapat dilalui pemecah masalah tidak dalam urutan penomoran,

melainkan disesuaikan dengan masalahnya, dan juga dapat berupa gabungan antar saran

yang ditawarkan sesuai keperluan.

1) Memulai (Entry) a) Eksplorasi atau ungkap tuntas masalahnya. b) Lakukan ‘perkiraan’ jawab dan ujilah c) Definisikan atau tentukan variabel, ungkapan, dan relasi antar variabel. d) ‘Murnikan’ masalahnya. e) Organisasikan informasinya. f) Introdusir sebuah atau lebih representasi; lambang. g) Introdusir sebuah bentuk pencatatan

2) Memecahkan (Attack)

a) Mengerjakan secara sistematik b) Menyelidiki relasi-relasi yang ada. c) Menganalisis relasinya yang ada d) Menyederhanakan asumsinya. e) Mencoba beberapa kasus khusus f) Mengubah taksirannya. g) Memformulasikan, dan menguji hipotesisnya h) Mencoba masalah yang terkait. i) Mengontrol variabel-variabelnya secara sistematik. j) Menggunakan salah satu penyelesaian bagiannya untuk menyelesaikan bagian

lainnya. k) Bekerja dari belakang jika perlu.

ALKRIS: PPM 2004 11

l) Memfokuskan perhatian pada hanya satu aspek dari masalahnya (lebih dahulu). m) Mengeliminasi jalur (yang tak relevan) n) Mempartisi masalahnya ke dalam kasus-kasus o) Mereformulasikan masalahnya p) Membalik susunan q) Mengembangkan sistem pengkodean r) Mengubah representasi s) Membuat generalisasi

3) Review-Ekstensi

a) Mengecek; memeriksa kembali b) Melihat ke belakang c) Mengomunikasikan d) Menemukan masalah serupa e) Mengembangkan ke masalah yang lebih luas f) Menciptakan masalah baru

c. Keterampilan

Beberapa keterampilan diperlukan untuk memecahkan masalah, yaitu:

1) Keterampilan mengelola atau mengolah informasi

a) Mengidentifikasi informasi b) Mengumpulkan informasi c) Mencatat informasi d) Menata dan mengurutkan e) Menyampaikan informasi atau mengomunikasikannya.

2) Keterampilan merepresentasikan sebuah masalah

a) Memilih model b) Menggunakan representasi c) Menerjemahkan representasi satu ke bentuk lainnya

3) Keterampilan menyebutkan rincian (satu demi satu)

a) Meninjau semua kemungkinan b) Menghilangkan pengulangan yang tak perlu

4) Keterampilan menemukan pola

a) Mengenali pola-pola b) Memprediksi sesuatu dari pola yang ada c) Menggeneralisasi pola

5) Keterampilan menguji

a) Menguji hasil b) Menguji hipotesis c) Menguji argumen

d. Strategi dan Contohnya

ALKRIS: PPM 2004 12

Strategi atau taktik dalam pemecahan masalah sering disebut heuristik. Dari beberapa

saran di atas, Larson (1983:1), Ewen (1996:1-2) dan banyak penulis lain menyatakan

bahwa strategi dalam mengeksplorasi masalah yang kesemuanya menggunakan penalaran

logis dan sering digunakan adalah:

a. Membuat diagram atau representasi visual

b. Mencobakan pada soal analog yang lebih sederhana.

c. Mempertimbangkan adanya kasus ekstrem

d. Menentukan syarat yang perlu dan cukup.

e. Memecah tujuan

f. Membuat tabel.

g. Mengurutkan

h. Secara sistematik memperhitungkan setiap kemungkinan.

i. Menemukan pola.

j. Menggunakan penalaran deduktif.

k. Bergerak dari belakang.

l. Mengabaikan hal yang tidak mungkin.

m. Mempartisi masalah menjadi beberapa kasus

n. Mencoba-coba dan menguji secara cerdas. Berikut ini sedikit uraian tentang hal-hal tersebut. Masalah yang harus dipecahkan belum

tentu memerlukan semua tak-tik atau bagian strategi di atas.

a. Membuat diagram atau representasi visual

Strategi ini berkait dengan pembuatan sketsa atau gambar corat-coret untuk

mempermudah dalam memahami masalahnya dan mempermudah mendapatkan

gambaran umum penyelesaiannya. Pada butir B.1, perhitungan umur menggunakan

diagram yang menggambarkan situasi permasalahan. Berikut ini satu contoh lain.

Contoh:

Pengubinan di sekeliling sebuah titik T dapat dilakukan dengan mempersekutukan masing-masing sebuah titik sudut dari dua persegi kongruen dan tiga segitiga sama sisi kongruen bersisi sama panjang dengan panjang sisi persegi. Pengubinan sekeliling T juga dapat dilakukan dengan menempatkan sebuah segi sepuluh dan dua segi lima beraturan. Dapat juga dilakukan dengan menempatkan dua segienam beraturan kongruen dan dua segitiga samasisi. Berapa banyaknya variasi poligon beraturan yang dapat mengubin di sekeliling titik T?

ALKRIS: PPM 2004 13

Untuk memahami masalahnya, informasi di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

b. Mencobakan pada soal analog yang lebih sederhana.

Strategi ini berkait dengan penggunaan contoh khusus tertentu pada masalah tersebut

dengan maksud agar lebih mudah dipelajari, sehingga gambaran umum penyelesaian

c. Mempertimbangkan adanya kasus ekstrem

d. Menentukan syarat yang perlu dan cukup

Pada soal di atas syarat perlunya adalah: poligonnya harus beraturan. Syarat cukupnya

adalah jumlah sudut poligon yang titik sudutnya bersekutu dengan T adalah 360o.

e. Memecah tujuan

Strategi ini berkait dengan pemecahan tujuan umum yang hendak dicapai menjadi satu

atau beberapa tujuan bagian. Tujuan bagian ini dapat digunakan sebagai batu loncatan

untuk mencapai tujuan yang sesungguhnya.

f. Membuat tabel

Strategi ini digunakan untuk membantu menganalisis permasalahan atau jalan pikiran

kita, sehingga segala sesuatunya tidak dibayangkan hanya oleh otak yang

kemampuannya sangat terbatas.

g. Mengurutkan

Pengurutan sangat menonjol dalam hal yang terkait pola, lebih khusus pola bilangan.

h. Secara sistematik memperhitungkan setiap kemungkinan.

Strategi ini berkait dengan penggunaan aturan-aturan yang dibuat sendiri oleh si

pelaku selama proses pemecahan masalah sehingga tidak akan ada satupun alternatif

yang terabaikan.Menemukan pola.

Strategi ini berkait dengan pencarian keteraturan-keteraturan. Keteraturan tersebut

akan memudahkan pemecah masalah menemukan penyelesaian masalah. Pengunaan

penalaran induktif melalui penemuan pola untuk menyelesikan masalah merupakan

bagian penting

i. Menggunakan penalaran deduktif.

T T T

Gambar 2.8

ALKRIS: PPM 2004 14

Strategi ini berkaitan dengan penggunaan penalaran maupun penarikan kesimpulan

yang sah atau valid dari berbagai informasi atau data yang ada. Untuk membuktikan

kebenaran suatu pernyataan secara deduktif, bukti itu dimulai dari pernyataan

sebelumnya yang telah diketahui atau dibuktikan kebenarannya.

j. Bergerak dari belakang.

Dengan strategi ini, kita mulai dengan menganalisis bagaimana cara mendapatkan

tujuan yang hendak dicapai. Dengan strategi ini, kita bergerak dari yang diinginkan

lalu menyesuaikannya dengan yang diketahui.

k. Mengabaikan hal yang tidak mungkin.

Dari berbagai alternatif yang ada, alternatif yang sudah jelas-jelas tidak mungkin agar

dicoret/diabaikan sehingga perhatian dapat tercurah sepenuhnya untuk hal-hal yang

tersisa dan masih mungkin saja.

l. Mempartisi masalah menjadi beberapa kasus

n. Mencoba-coba dan menguji secara cerdas.

Strategi ini biasanya digunakan untuk mendapatkan gambaran umum pemecahan

masalahnya dengan mencoba-coba dari yang diketahui.

Dari uraian di atas, tampak bahwa tidak semua butir yang disarankan oleh para pakar dalam pemecahan masalah pasti muncul sebagai strategi. Beberapa yang pasti harus dilakukan adalah memahami masalahnya secara teliti, membedakan mana yang merupakan hal yang diketahui dan mana yang merupakan masalah yang harus dipecahkan. Dari kedua hal tersebut dicari jembatan yang menghubungkan antara yang ditanyakan dan yang diketahui. Jembatan itu antara lain berupa prinsip yang terkait. Di sinilah pengembangan strategi itu muncul, sejalan dengan kompleksitas masalahnya. Seseorang akan dengan lebih mudah memecahkan masalah hanya jika sering menghadapi masalah yang beragam dasar strategi permasalahannya. Karena itu bekal utama yang diperlukan dalam memecahkan masalah adalah keuletan yang dilandasi pengetahuan dasar yang luas.