KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK ℝ2

CONVERGENCE AND COMPLETENESS

ON ℝ2 QUASI METRIC SPACE

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

2013

Fikri Firdaus Nrp. 1209100086

Dosen Pembimbing : Sunarsini, S.Si, M.Si dan Drs. Sadjidon, M.Si.

Pendahuluan

Latar Belakang

Banyak sekali topik dalam analisis

fungsional yang mengalami

perkembangan seiring kemajuan zaman

sehingga menghasilkan konsep-konsep baru.

Pada tahun 1914 Hausdorff mengenalkan

jarak asimetri.

Pada tahun 1973 William Lawveer

mengungkapkan bahwa ketidaksimetrian yang

berkaitan dengan metrik lebih sering

terjadi dalam kejadian alam.

Penelitian untuk mendapatkan quasi

metrik khususnya pada belum banyak

dilakukan.

Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam Tugas Akhir ini antara lain : 1. Bagaimana bentuk quasi metrik tertentu pada ruang ℝ𝟐. 2. Bagaimana sifat konvergensi dan kelengkapan dari ruang quasi

metrik di ℝ𝟐, terhadap metrik kuasi yang telah didapatkan.

Pendahuluan

Batasan Masalah

Batasan masalah dalam Tugas Akhir ini adalah. 1. Sifat-sifat yang dikaji adalah sifat konvergensi dan kelengkapan. 2. Ruang yang diteliti quasi metriknya adalah ℝ𝟐.

Pendahuluan

Tujuan

Tujuan dalam penyusunan Tugas Akhir ini adalah. 1. Mendapatkan bentuk quasi metrik tertentu pada ruang ℝ𝟐. 2. Mendapatkan sifat konvergensi dan kelengkapan dari ruang quasi

metrik di ℝ𝟐, terhadap metrik kuasi yang telah didapatkan.

Pendahuluan

Manfaat

Manfaat yang didapatkan dalam Tugas Akhir ini adalah. 1. Menambah pengetahuan mengenai sifat-sifat ruang quasi metrik,

khususnya pada ℝ𝟐. 2. Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang

ruang quasi metrik maupun dibidang lainnya yang terkait.

Pendahuluan

Metode Penelitian

Studi literatur

Mengkaji konsep ruang quasi metrik

Mengonstruksi quasi metrik pada ruang ℝ2

Penarikan kesimpulan Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

Ruang Metrik Definisi 2.1[1]. Diberikan X suatu himpunan tak kosong. Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real 𝜌 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, berlaku : (𝑀1) 𝜌 𝑥, 𝑦 ≥ 0.

(𝑀2) 𝜌 𝑥, 𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦. (𝑀3) 𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝜌 𝑦, 𝑥 . (𝑀4) 𝜌 𝑥, 𝑧 ≤ 𝜌 𝑥, 𝑦 + 𝜌 𝑦, 𝑧 . Jika 𝜌 metrik di 𝑋, maka pasangan (𝑋, 𝜌) disebut ruang metrik.

Tinjauan Pustaka

Ruang Metrik

Tinjauan Pustaka

Ruang Metrik

Contoh 2.2. Himpunan bilangan real ℝ merupakan ruang metrik terhadap 𝜌, dengan 𝜌:ℝ × ℝ → ℝ adalah

𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

Contoh 2.3. Himpunan bilangan real ℝ2 merupakan ruang metrik terhadap 𝜌, dengan 𝜌:ℝ2 × ℝ2 → ℝ adalah

𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥1 − 𝑦12 + 𝑥2 − 𝑦2

2

untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2∈ ℝ2 dan 𝑦 = 𝑦1

𝑦2∈ ℝ2.

Definisi 2.4.[1] Suatu barisan 𝑥𝑛 dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan konvergen ke x ∈ X jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥, 𝑥𝑛 < 𝜖 , untuk semua 𝑛 ≥ 𝑁 . Dapat ditulis 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 atau

𝑥𝑛 → 𝑥, 𝑛 → ∞. Definisi 2.5.[1] Suatu barisan 𝑥𝑛 di dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜖 > 0 , terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑚, 𝑥𝑛 < 𝜖, untuk semua 𝑛,𝑚 ≥ 𝑁. Definisi 2.6.[1] Ruang Metrik 𝑋, 𝑑 dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy pada (𝑋, 𝑑) konvergen. Contoh 2.7. Ruang Metrik ℝ2 adalah lengkap atas metrik bakunya.

Tinjauan Pustaka

Ruang Metrik

Tinjauan Pustaka

Ruang Quasi metrik

Ruang Quasi Metrik

Definisi 2.8[2]. Diberikan 𝑋 suatu himpunan tak kosong. Didefinisikan quasi metrik sebagai fungsi bernilai real 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, berlaku : (𝑄𝑀1) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0. (𝑄𝑀2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦. (𝑄𝑀3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦). Jika 𝑑 Quasi metrik di X, maka pasangan (𝑋, 𝑑) disebut ruang quasi metrik.

Tinjauan Pustaka

Ruang Quasi metrik

Definisi 2.9[2]. Diberikan 𝑑 adalah quasi metrik pada 𝑋, pemetaan 𝑑−1 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝ

disebut konjugat dari d jika 𝑑−1 merupakan quasi metrik pada X dan 𝑑−1(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).

Konjugat dari Quasi metrik

Tinjauan Pustaka

Ruang Quasi metrik

Definisi 2.10[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) konvergen atas jika terdapat titik 𝑎 ∈ 𝑋 sehingga 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑑( 𝑥𝑛 , 𝑎) = 0 , dengan kata lain ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁 ∈ ℕ sedemikian hingga

∀𝑛 ≥ 𝑁 berakibat 𝑑 𝑥𝑛 , 𝑎 < 𝜀 . Titik a disebut limit barisan atas,

dinotasikan dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑎.

ii. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) konvergen bawah jika terdapat titik 𝑏 ∈ 𝑋 sehingga 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞ 𝑑( 𝑏 , 𝑥𝑛) = 0, dengan kata lain ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁 ∈ ℕ sedemikian

hingga ∀𝑛 ≥ 𝑁 berakibat 𝑑 𝑏 , 𝑥𝑛 < 𝜀. Titik 𝑏 disebut limit barisan bawah, dinotasikan dengan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑏.

Konvergensi dan kelengkapan dalam ruang Quasi metrik

Tinjauan Pustaka

Ruang Quasi metrik

Definisi 2.11[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) disebut barisan Cauchy atas jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑛, 𝑥𝑚 < 𝜖 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁.

ii. Barisan *𝑥𝑛+ pada (𝑋, 𝑑 ) disebut barisan Cauchy bawah jika untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝑑 𝑥𝑚, 𝑥𝑛 < 𝜖 untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁.

Definisi 2.12[4]. Diberikan (𝑋, 𝑑 ) adalah ruang quasi metrik. i. Ruang quasi metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan lengkap atas jika setiap barisan

Cauchy atas pada 𝑋 konvergen atas. ii. Ruang quasi metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan lengkap bawah jika setiap barisan

Cauchy bawah pada 𝑋 konvergen bawah.

Pembahasan

Tinjauan Pustaka

Ruang Quasi metrik ℝ

Teorema 4.1 Untuk himpunan ℝ dapat didefinisikan quasi metrik 𝑑 ∶ ℝ × ℝ → ℝ dengan

𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 , 𝑥 ≥ 𝑦

𝑘 𝑥 − 𝑦 , 𝑥 < 𝑦

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dan 𝑘 < −1 suatu konstanta.

Quasi Metrik ℝ

Pembahasan

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

𝑑 𝑥, 𝑦 =

𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1≥ 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1< 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2

Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.2. Untuk himpunan ℝ2 dapat didefinisikan quasi metrik 𝑑 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ dengan

𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

2

𝑖=1

untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2

, 𝑦 = 𝑦1𝑦2∈ ℝ2, 𝑘𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga

𝑘𝑖 = 1 untuk 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 , i=1,2 𝑘𝑖 = 𝛼 untuk 𝑥𝑖 < 𝑦𝑖 , i=1,2, dimana 𝛼 < −1.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Lemma 4.3. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan *𝑥𝑛+ dan *𝑦𝑛+ adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2, serta diberikan

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 , maka barisan bilangan real

*𝑑 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 + konvergen ke 𝑑 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.

Konvergensi dan kelengkapan dalam ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.4. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan *𝑥𝑛+ dan *𝑦𝑛+ adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2, serta diberikan 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, maka berlaku:

i. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 maka 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞(𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = 𝑥 + 𝑦.

ii. Jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑦𝑛 = 𝑦 maka 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑥 + 𝑦.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Contoh 4.5. Barisan 𝑥𝑛 =1

𝑛

2+1

𝑛

adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2

yang konvergen ke 𝑥 = 02∈ ℝ2.

Contoh 4.6. Barisan 𝑦𝑛 =1

2𝑛

1+1

2𝑛

adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2

yang konvergen ke 𝑥 = 01∈ ℝ2.

Contoh 4.7. Dari contoh 4.5 dan 4.6 serta berdasarkan Teorema 4.4 maka barisan

*𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+ = 3

2𝑛

3+3

2𝑛

konvergen ke

𝑥 + 𝑦 = 03∈ ℝ2.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.8. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik. Misalkan (𝑥𝑛) adalah barisan dalam ruang quasi metrik ℝ2 dan (𝑡𝑛) adalah barisan bilangan real, maka berlaku:

i. Jika ∃𝑥 ∈ ℝ2 dan 𝑡 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑡𝑛 = 𝑡,

maka 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑡𝑛𝑥𝑛 = 𝑡𝑥 .

ii. Jika ∃𝑥 ∈ ℝ2 dan 𝑡 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞𝑥𝑛 = 𝑥 dan 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑡𝑛 = 𝑡,

maka 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑡𝑛𝑥𝑛 = 𝑡𝑥.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.9. Ruang quasi metrik ℝ2 adalah lengkap atas dan bawah.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Konjugat Quasi Metrik pada ℝ𝟐

𝑑 𝑥, 𝑦 =

𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 ≥ 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 ≥ 𝑦2𝛼 𝑥1 − 𝑦1 + 𝛼 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑥1 < 𝑦1 , 𝑥2 < 𝑦2

Quasi metrik pada ℝ𝟐

Telah diketahui bahwa konjugat dari 𝑑 adalah 𝑑−1 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 .

𝑑−1 𝑥, 𝑦 =

−𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝛼 𝑥2 − 𝑦2

−𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑦2

− 𝑥1 − 𝑦1 − 𝛼 𝑥2 − 𝑦2

− 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑦2

, 𝑥1 > 𝑦1 , 𝑥2 > 𝑦2

, 𝑥1 > 𝑦1 , 𝑥2 ≤ 𝑦2

, 𝑥1 ≤ 𝑦1 , 𝑥2 > 𝑦2

, 𝑥1 ≤ 𝑦1 , 𝑥2 ≤ 𝑦2

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.10. Untuk quasi metrik pada ℝ2 dapat didefinisikan konjugat quasi metrik 𝑑−1 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ dengan

𝑑−1 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

2

𝑖=1

untuk setiap 𝑥 = 𝑥1𝑥2

, 𝑦 = 𝑦1𝑦2∈ ℝ2, 𝑙𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga

𝑙𝑖 = −𝛼 untuk 𝑥𝑖 > 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2 dimana 𝛼 < −1 𝑙𝑖 = −1 untuk 𝑥𝑖 ≤ 𝑦𝑖, 𝑖 = 1,2 .

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.11. Diberikan (ℝ2, 𝑑) adalah ruang quasi metrik dan 𝑑−1 adalah konjugat dari quasi metrik 𝑑 , maka fungsi 𝜑 ∶ ℝ2 × ℝ2 → ℝ yang didefinisikan dengan

𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥 *𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑−1 (𝑥, 𝑦)+ adalah metrik pada ℝ2.

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Pembahasan

Teorema 4.12. Diberikan barisan 𝑥𝑛 dalam ℝ2 dan 𝑥 ∈ ℝ2. Barisan 𝑥𝑛 konvergen atas dan bawah ke 𝑥 dalam ruang quasi metrik ℝ2 jika dan hanya jika barisan 𝑥𝑛 konvergen ke 𝑥 dalam ruang Metrik ℝ2.

Keterkaitan Konvergensi Ruang Quasi Metrik ℝ𝟐 dengan Ruang Metrik ℝ𝟐

Ruang Quasi metrik ℝ𝟐

Kesimpulan

KESIMPULAN Pada pembahasan sebelumnya dilakukan konstruksi untuk mendapatkan quasi metrik pada ℝ2 beserta sifat-sifatnya, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa, ℝ2 merupakan ruang quasi metrik lengkap atas dan bawah terhadap

𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

2

𝑖=1

untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑘𝑖 suatu konstanta sedemikian hingga 𝑘𝑖 = 1 untuk 𝑥𝑖 ≥ 𝑦𝑖 , i=1,2 𝑘𝑖 = 𝛼 untuk 𝑥𝑖 < 𝑦𝑖 , i=1,2, dimana 𝛼 < −1, dan ℝ2 merupakan ruang metrik terhadap

𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥 *𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑−1 (𝑥, 𝑦)+ dengan 𝑑−1 adalah konjugat dari 𝑑.

Kesimpulan

SARAN Terdapat beberapa saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya. Pada penelitian selanjutnya, pembahasan mengenai ruang quasi metrik dapat dilakukan pada ruang yang lainnya, tidak hanya pada ℝ2 . Pada penelitian selanjutnya, penjelasan mengenai quasi metrik dapat disertai dengan ilustrasi grafik atau gambar agar pengertian quasi metrik menjadi lebih jelas. Masih banyak sifat-sifat yang dapat diteliti pada penelitian selanjutnya seperti kekompakan, keterbatasan, atau sifat yang lainnya.

Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA

Bryan P.Rynne and Martin A Youngson . 2008. Linear Functional Analysis. Springer,SUMS. J. Gutiérrez García, S. Romaguera, J.M. Sánchez-Álvarez. 2011. Quasi-metrics and monotone normality. J. Topology and its Applications, Hal.2049-2055. Lawvere, F.W. 1973. Metric Space, Generalized logic, And Closed Categories. Conferenza tenuta il 30 marzo. Shao-ai chen, Wen li, Du zou, Shao-bai chen. 2007. Fixed Point Theorems in Quasi Metric Spaces. Proceedings of the Sixth International Conference on Machine Learning and Cybernetics. Hongkong.

[1]

[2]

[3]

[4]