BAB VII

GELOMBANG GRAVITASI PERMUKAAN DENGAN KEDALAMAN

YANG BERVARIASI DENGAN RUANG

Dalam bab ini kita membatasi pembahasan pada gelombang panjang atau untuk perairan

dangkal (shallow water wave).

Pertama-tama kita formulasikan syarat batas kinematik di dasar perairan.

S.B. Kinematik di dasar.

Kecepatan normal di z = -h(x, y)

Kita misalkan permukaan dasar secara umum dinyatakan oleh F(x,y,z) = 0.

Vektor yang mana dan dapat dinyatakan sebagai

dari F = z + h (x,y),

kita peroleh

,

jadi dari hubungan

ini berarti atau

jadi S. B. Kinematik di dasar perairan adalah

di z = - h (x,y)

persamaan hidrodinamika pada bumi yang berotasi diberikan oleh :

Dengan S. B. sebagai berikut :

a. S.B Kinematik permukaan di z = 0

74

di dasar di z = - h(x,y)

b. S. B. Dinamik : di z = 0

Sekarang kita lakukan pendekatan gelombang panjang dengan mengabaikan , maka

tekanan (perturbasi tekanan) di seluruh kolom air adalah .

Ini berarti bahwa u dan v tidak bergantung pada kedalaman, dengan perkataan lain u dan v

konstan dari permukaan sampai ke dasar.

Integrasikan persamaan kontinuitas dari dasar sampai dengan z = 0.

Dengan menggunakan S. B. Kinematik di permukaan dasar dan mengikat bahwa u dan v

bukan fungsi dari z, maka hasil integrasi di atas menghasilkan :

(7.1)

Dengan mengganti dalam persamaan kekalan momentum, kita peroleh :

(7.2)

(7.3)

Persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3) adalah persamaan gelombang panjang dengan kedalaman

berubah (dalam ruang).

Disini kita anggap dasar perairan berubah secara perlahan. Bukan perubahan kedalaman

yang drastis.

h berubah secara perlahan dibadingkan skala panjang gelombang.

Persamaan gelombang panjang ini diterapkan untuk mempelajari Seiche disuatu basin

tertutup dengan bentuk yang teratur.

Contoh pemakaian :

75

Tinjau suatu basin tertutup yang bentuknya tidak teratur seperti terlihat pada gambar -

gambar berikut :

tampak atas :

76

B2(x)

l x

B1(x)

B1(x) B2(x)y

-h(x,y)

x=x0

z

xl

Penampang meridional

Penampang longitudinal

Z

Anggap kecepatan dalam arah y (v) = 0, dan gradien dalam arah y juga = 0 atau ,

kecuali . Peninjauan ini adalah untuk gelombang yang tidak dipengaruhi oleh rotasi

bumi yaitu f = 0.

Dengan anggapan ini persamaan hidrodinamika gelombang panjang menjadi :

(7.4)

(7.5)

Ada dua persamaan dengan dua parameter yang tidak diketahui ( u & ).

Persamaan (7.4) dan (7.5), pada hakekatnya adalah persamaan gelombang panjang satu

dimensi yang merambat di suatu basin (kanal) tertutup dengan kedalaman yang berubah

dalam ruang dan bentuknya teratur.

Integrasikan persamaan kontinuitas (persamaan 7.5) terhadap arah y,

Perhatikan integral dari suku I ( dari aturan Leibnitz )

Anggap h = 0, di pantai ( dipinggir basin ). Jadi

dan

dengan demikian kita dapat menggantikan

dengan

Dengan demikian integrasi persamaan kontinuitas terhadap y menjadi

77

atau

Misal :

dengan demikian persamaan diferensial kita menjadi :

(7.6)

(7.7)

Eliminasi dari persamaan - persamaan di atas :

(7.8)

atau (7.9)

jika persamaan (7.9) dikurangi persamaan (7.8), maka diperoleh :

(7.10)

(uS) = transpor volume dalam arah x yang melewati suatu penampang melintang.

S = penampang melintang dari basin dalam arah y.

u = kecepatan fluida tegak lurus bidang S.

= perpindahan dalam waktu

Syarat batas u S = 0 di x = 0 dan x = l

Sekarang kita gunakan simbol baru untuk u S yaitu

luas permukaan dari 0 sampai x

78

Dari maka dan , dengan demikian persamaan (7.10)

(percepatan sesaat)

dapat dituliskan sebagai :

atau

(7.11)

= transpor volume dalam arah x

Disini persamaan differensial telah dinyatakan dalam bentuk transpor volume, dengan

syarat batas :

1). di

2). di

dengan luas seluruh permukaan basin

Gunakan notasi baru (normal curvature of the lake/kelengkungan normal

dari danau atau basin).

Dengan notasi ini persamaan (7.11)

dapat ditulis sebagai

79

B

Persamaan ini disebut persamaan Chrystal.

Persamaan ini digunakan dalam mempelajari seiche suatu basin tertutup.

Seiche adalah fungsi harmonik dari waktu

dari

atau dengan S. B

di dan

Persamaan ini diselesaikan secara numerik

Buku acuan : Chryrtal, 6 (1905 ) on the hydrodynamical Theory of seiche, Trans R. Soc,

Edin burg 41, 594.

Seiche : Gelombang berdiri.

80

BAB VII

ENERGI GELOMBANG DAN KECEPATAN GROUP

Energi kinetik suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan dan massa m adalah

Kita punya banyak partikel didalam volume v, elemen massa didalam v, dm = dv, jadi

energi total adalah :

Energi kinetik total didalam volume v adalah

Energi potensial = dimana = g z (geopotensial)

Volume v meliputi -H z

0 y 1, unit strip/satu satuan lebar.

0 x L

Disini kita tinjau untuk kasus barotropik = o (konstan)

Dengan demikian Energi Kinetik kita adalah :

Sekarang kita tinjau konstribusi integral kedua di ruas kanan terhadap energi kinetik. Kita

lakukan uraian Taylor dari kecepatan di sekitar z = 0

jadi

81

Kita lihat disini bahwa suku pertama di ruas kanan ordenya 3 (tiga, sedangkan suku kedua,

ordenya 4 (empat).

Jika kita hanya meninjau energi gelombang sampai dengan orde kedua saja, maka

konstribusi dari integral kedua di atas dapat kita abaikan.

Dengan demikian energi kinetik dapat kita nyatakan sebagai :

Untuk energi potensial kita dapatkan :

Kita definisikan energi potensial = 0 bila tidak ada gelombang, ini berarti

dengan demikian

catatan : tanda (*) menunjukkan energi gelombang yang terkandung didalam suatu

gelombang dengan panjang "L" (didalam arah x) dan lebar satu satuan "y", dari

permukaan sampai ke dasar perairan.

Kerapatan energi kita definisikan sebagai :

energi persatuan luas ( y = 1), jadi

82

Kita tentukian terlebih dahulu energi gelombang Airy.

Kita tuliskan kembali formula untuk gelombang Airy :

dengan omega () = gk tanh (kH), hubungan dispersi

Substitusikan besarn - besaran ini kedalam persamaan energi kinetik dan potensial dan

integral terhadap "x" dan "z" saja, sebab terhadap "y" adalah satu satuan.

Untuk memudahkan integrasi kita gunakan integral standar berikut :

83

Untuk integral yang kita selesdaikan misal :

jadi

Dengan cara yang sama kita peroleh :

Untuk fungsi hiperbolik kita gunakan integral standar berikut :

jadi :

84

disini kita misalkan s = k ( z + H ), dengan cara yang sama :

Dengan menggunakan hasil integrasi di atas kita peroleh :

Dengan menggunakan hubungan dispersi

Kita lihat disini dan harganya sama, atau

85

Jadi energi gelombang berbanding lurus dengan a2, makin tinggi gelombang, makin besar

energinya, dimensinya adalah :

( gaya x panjang = energi )

Jadi satuan dari energi adalah = joule per meter kuadrat

Rumusan energi yang kita bahas di atas hanya berlaku untuk gelombang gravitasi yang

tidak dipengaruhi oleh rotasi bumi ( f = 0 ) dan untuk dasar perairan yang datar.

Untuk kasus gelombang dengan f 0 ( dipengaruhi oleh rotasi bumi ), maka kita ingat

kembali rumus - rumus untuk gelombang sverdrup dengan = 0.

86

dengan menggunakan besaran - besaran ini kita dapatkan

karena

maka

untuk gelombang w > f

87

atau

akan kita lihat apakah , sehingga dapat diabaikan.

adalah batas bawah dari , misal "" adalah 10 , , kita ambil g = 103 cm/dtk2 , H

= 10 km = 106 cm

dari < 10

Jadi dapat diabaikan terhadap dengan demikian

untuk f = 0, maka

untuk f 0 , artinya Ekin selalu lebih besar dari Epot bila f 0

Dalam hal ini gerak horisontal mendominasi gerak vertikal

88

Energi total

Bila sejumlah energi tersedia dan "" berkurang mendekati f ( f ) tetapi tidak sama

dengan f , maka agar energi gelombang tidak menjadi ( tak hingga ), maka a2 0.

Bila a = 0, berarti kita hanya mempunyai gerakan horisontal saja.

Gelombang berdiri ( f = 0 )

A = 2 a, dimana a amplitudo dari dua gelombang progresip yang membentuk

gelombang berdiri.

89

Bila sin2 t mencapai maximum, maka cos2 t = 0 dan sebaliknya. Atau bila Epot

maximum, maka Ekin minimum, artinya di puncak atau di lembah tidak ada gerakan.

untuk gelombang progresif Etot = g o a2

dimana A = - 2 a, maka A2 = 4 a2,

Etot (standing wave) = g o a2 = 2 Etot (progresif wave)

90

KECEPATAN GROUP

pada hakekatnya gelombang di laut, merupakan superposisi dari gelombang - gelombang

dengan frekuensi dan panjang gelombang yang berbeda.

Untuk memudahkan permasalahan, kita tinjau dua gelombang progresif yang bergerak

dalam arah yang sama.

Amplitudo gelombang pertama = amplitudo gelombang kedua.

gelombang 1 dan 2 merupakan deretan gelombang yang "tak berhingga".

Catatan : Pada hakekatnya di alam tak ada deretan gelombang yang tak berhingga,

meskipin ia mengililingi bumi.

Superposisi dari dua gelombang progresif tersebut diberikan oleh :

(1)

Disini kita lihat superposisi gelombang mempunyai dua frekuensi dan dua bilangan

gelombang.

2 frerkuensi dan

2 bilangan gelombang dan

bil. gel. besar bil. gel. kecil

atau pendek atau panjang

91

Superposisi dari dua deretan gelombang progresif yang tak berhingga, menghasilkan suatu

gelombang yang amplitudonya termodulasi ( Amplitudo - modulated wave ).

= frekuensi carier wave

= bilangan gelombang carier wave

= frekuensi modulated wave

= bilangan gelombang modulated wave.

Lc < Lm dimana : Lc = panjang gelombang carier wave

Lm = panjang gelombang modulated wave.

Catatan : Superposisi dari dua deretan gelombang yang tak berhingga menghasilkan

suatu deretan gelombang berhingga.

Carier wave bergerak dengan kecepatan fase = ( bergerak dalam arah "x"

positif ).

Modulated wave bergerak dengan kecepatan fase =

Sekarang kita tinjau gelombang perairan dalam ( deep water wave ) / Gelombang pendek.

Gelombang pertama dan kedua memenuhi hubungan dispersi

maka (2)

92

Agar memenuhi hubungan gelombang perairan dalam, maka untuk carier wave harus

berlaku :

dari 2 = g k

Hasil di atas tidak sama dengan persamaan (2) ( carier wave tidak memenuhi hubungan

dispersif gelombang perairan dalam ).

Demikian juga halnya dengan modulated wave.

Sekarang misalkan untuk gelombang kedua, kita mempunyai frekuensi dan bilangan

gelombang yang tetap ( fixed ) yaitu o dan ko. Jadi gelombang kedua kita nyatakan :

dan gelombang pertama frekuensi dan bilangan gelombangnya adalah variabel yaitu

dan k.

Kedua gelombang ini adalah gelombang gravitasi yang dicirikan oleh hubungan berikut:

, dan kecepatan cariernya adalah :

carier

93

kecepatan fase modulated wave

modulated

Apa yang terjadi bila o dan k ko, jika k sangan berbeda dari ko.

DAFTAR PUSTAKA

1. Dean, R.G., Dalrymple, R.A. (1984), Water Waves Mechanics for Engineers and

Scientist, Prentice-Hall, Inc., New Jersey

2. Hadi, S., (1998), Arus Laut, Departemen Geofisika dan Meteorologi, ITB, Bandung

3. von Schwind, (1980), Geophysical Fluid Dynamics for Oceanographers, Prentice-

Hall, Inc, USA

4. Komar, P.,D. (1976), Beach Processes and Sedimentation, Prentice-Hall, Inc, USA

5. Horikawa, K. (1988), Nearshore Dynamics and Coastal Processes, University of

Tokyo Press, Japan

6. McLelan, H.,J. (1965), Elements of Physical Oceanography, Pergamon Press, New

York

94