bab 7
TRANSCRIPT
Bab 7
Limit Fungsi
April 15, 2023
Terdiri atas
membahasSifat-Sifat Limit
Limit Fungsi
Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan
Trigonometri
Perkalian Sekawan
x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus
Substitusi, asalkanhasil tidak 0 0
Pemfaktoran
MemerhatikanKoefisien PangkatTertinggi (untukBentuk Pecahan)
Dengan Rumus
April 15, 2023
1. Sederhanakan bentuk .
2. Rasionalkan penyebut bentuk .
3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan
a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5;
–0,05; – 0,001; – 0,0001.
b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5;
0,05; 0,001; 0,0001.
c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?
d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?
April 15, 2023
45
892
2
xx
xx
121
121
xx
xx
xg0;12 xx
0; xx
.Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk
x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di
sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09.
Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.
Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20.
x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09
f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9
April 15, 2023
Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.
Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah
bilangan real.
diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x)
mendekati L.
April 15, 2023
Lxfax
lim
Jika dan
maka
x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri)
x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan)
Lxfax
lim
xf
axlim
xf
axlim
Lxfax
lim Lxfax
lim
April 15, 2023
Contoh:
Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai?
Jawab:
Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2)
Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
x 1,90 1,95 1,96 1,991 1,995 1,999
f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998
32lim2
xx
April 15, 2023
Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2)
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7.
Jadi,
Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7.
Artinya,
x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001
f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002
732lim2
xx
732lim2
xx
April 15, 2023
Karena maka
32lim2
xx
732lim2
xx
732lim2
xx
April 15, 2023
Perhatikan fungsi . Fungsi ini tidak mempunyai
nilai di x = 1 (mengapa?). Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1?
Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi
tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidakmemperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limitfungsi g(x) = x + 1 pada x = 1.
1
12
x
xxf
1
12
x
xxf
1
12
x
xxf
April 15, 2023
Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut.
April 15, 2023
1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a
Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan
mengalikan faktor sekawannya.
April 15, 2023
a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi
Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan
real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya.
Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi
untuk setiap nilai x maka nilai limit dapat
ditentukan dengan substitusi.
72lim2
xx
37)2(272lim2
xx
1. Jika dan maka
2. Jika dan maka
3. Jika dan maka 0lim
xg
cx
0lim
xgcx
xg
xfc1
lim
0lim
axgcx
xg
xfc1
lim
0lim
xfcx
0lim
axgcx
Raaxgcx
,lim 0lim
1
xg
xfc
April 15, 2023
Penting untuk diingat!
b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran
Misalkan fungsi
Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-
an, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut.
1) x2 – y2 = (x – y)(x + y)
2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
ah
ag
xh
xg
xhax
xgaxxf
ax
lim
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
.
4
44lim
4
16lim
4
2
4
x
xx
x
xxx
844
4lim4
xx
April 15, 2023
c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan
Faktor Sekawan
1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.
2) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
3) faktor sekawan dari dan sebaliknya.
4) faktor sekawan dari dan
sebaliknya.
5) sekawan dan dan sebaliknya.
Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.
April 15, 2023
3 233 2 yxyx
Contoh:
Tentukan nilai
Jawab:
1
12lim1
x
xxx
1
12lim1
x
xxx 12
12
1
12lim1
xx
xx
x
xxx
121
12lim1
xxx
xxx
121
1lim1
xxx
xx
12
1lim1
xxx
April 15, 2023
2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan)
Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit
yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh ,
yaitu .
Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x)
adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai
limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.
xg
xfx lim
m
m
xx
x
xxg
xf
xg
xf1
1
limlim
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan nilai-nilai limit fungsi
Jawab:
April 15, 2023
Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.
Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn-1 + … + b0, berlaku
untuk m = n
untuk m > n dan a > 0
untuk m > n dan a < 0
untuk m < n
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan nilai
Jawab:
f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1
Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1.
Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada
bentuk limit lain, yaitu
.
1
12lim
2
2
x
xxx
11
1
1
12lim
2
2
x
xxx
rpxaxcbxaxx
22lim
a
pbrpxaxcbxax
x 2lim 22
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan .
Jawab:
Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5.
Dengan menggunakan rumus, diperoleh
April 15, 2023
1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif
April 15, 2023
cxcx
sinsinlim
cxcx
coscoslim
Perhatikan gambar! Jika sudut x
makin lama makin kecil
(mendekati 0), panjang a juga
makin mengecil (mendekati 0)
sehingga nilai limit sin x, untuk x
mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai
sin x adalah panjang sisi di depan
sudut x dibagi dengan sisi
miringnya). Jadi, diperoleh
dan
2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Substitusi
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
April 15, 2023
xxcx
sincoslim
sincossincoslim xxx
1
01
3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Cara Menguraikan atau Menyederhanakan
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab
Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung,
diperoleh .
Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih
dahulu.
x
x
x sin1
coslim
2
2
0
0
April 15, 2023
x
x
x
x
xx sin1
sin1lim
sin1
coslim
2
2
2
2
x
xx
x sin1
sin1sin1lim
2
xx
sin1lim2
2sin1
2
April 15, 2023
4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan
Rumus
Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.
1sin
lim
1sin
lim
0
0
x
xx
x
x
x
1tan
lim
1tan
lim
0
0
x
xx
x
x
x
April 15, 2023
Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga
berlaku untuk limit fungsi trigonometri.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. April 15, 2023
Contoh:
Tentukan nilai dari .
Jawab:
April 15, 2023
Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang
mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta.
ccax
lim.1
April 15, 2023
)(lim
)(lim
)(
)(lim.6
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di
atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien
garis g adalah m, nilai m adalah
12
12
xx
yym
April 15, 2023
Sekarang perhatikan Gambar (b).
Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak
mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0 dibaca: delta x
mendekati nol).
Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva
y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi
x
xfxxfm
x
11
0lim
April 15, 2023
Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah
konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien
(kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat
ditentukan dengan limit berikut.
Δx biasanya juga dituliskan dengan h.
Materi ini akan dipelajari di Bab 8.
x
xfxxfm
x
0lim
April 15, 2023