bab 6 filter dan time frequency

Bab 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi∗

Tujuan Pembelajaran

Peserta dapat mengkarakterisasi �lter berdasarkan sifat si-multan waktu-frekuensi

1. Peserta dapat menentukan representasi magnituda-fasadari sistem/�lter

2. Peserta dapat memahami sifat �lter sebagai pengubahfrekuensi secara selektif, serta membedakan �lter idealdan tidak ideal

3. Peserta mengenali �lter (CT dan DT) berorde rendah,serta sifat waktu-frekuensi nya.

1 Pendahuluan

Sistem atau medium menyerap energi dari sinyalberdasarkan frekuensinya. Dalam praktek, baik karak-terisasi frekuensi maupun karakterisasi domain waktudiperlukan secara bersamaan. Dalam memahami perilakusistem, ada dua domain yang dipelajari: waktu danFourier. Pada domain waktu sistem memproses sinyalsecara konvolusi. Pada domain frekuensi, proses dilakukansecara aljabar. Karakteristik waktu-frekuensi dari sebuahsistem menyangkut respons frekuensi (dalam bentuk Bodeplot), respons impuls, serta step respons.Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta den-

gan pengetahuan dan kemampuan untuk menerapkan kon-sep domain frekuensi dan domain waktu secara simultanpada �lter praktis (terutama LCCDE orde rendah ataukaskadenya), serta menyadari ketidak-idealan �lter. Ren-cana belajar diperlihatkan pada Tabel 1.

2 Representasi Respons Magnituda danPhasa, dan Pengaruhnya Pada IntegritasSinyal di Domain Waktu

2.1 Makna Respons Magnituda dan Fasa

Baik sinyal CT maupun sistem DT memiliki transformasiFourier yang berbentuk besaran magnituda |X (ω)| dansudut fasa ∠X(ω), menurut

X (ω) = |X (ω)| ej∠X(ω) (1)

Dalam kasus CT, besaran magnituda terkait langsungdengan energi, karena

E =1

2π

ˆ ∞−∞|X (ω)|2 dω

∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha

Tab. 1: Rencana BelajarSub Sesi Materi Tujuan

4.1 Frekuensi Respons dan Akibatdi Domain Waktu

1 Makna Magnituda dan Fasa 12 Fasa Linier 13 Group Delay 14 Filter Ideal dan Filter Praktis 2

4.2 Sifat Waktu-Frekuensi FilterLCCDE CT Orde Rendah

1 Magnituda CT Orde Satu 2,32 Fasa CT Orde sat 2,33 Magnituda CT Orde Dua 2,34 Fasa CT Orde Dua 2,3

4.3 Filter LCCDE CT Orde Tinggidan DT Orde Rendah

1 CT Orde Tinggi 2,32 Contoh Kasus Orde Tinggi 2,33 DT Orde Satu 2,34 DT Orde Dua 2,3

sehingga besaran |X (ω)|2 adalah energy density spec-trum pada frekuensi ω, yang berdampak baik pada energimaupun amplituda sinyal. Maksudnya besar energi padaselang frekuensi yang sangat sempit [ω, ω +4ω] adalah

E(ω) =1

2π|X (ω)|2 dω

Hal yang serupa terjadi pada kasus DT.Berbeda dengan resposn magnituda, besaran respons fasa

tidak berpengaruh pada energi atau amplituda, tapi mem-berikan informasi relatif terhadap komponen frekuensi yanglain. Fasa mengubah bentuk gelombang di domain wak-tu, dapat mengganggu integritas sinyal, dan dalam kasusekstrim dapat membuat perubahan pada informasi yangdibawa.Untuk sistem CT dan DT LTI, dengan input x(t), re-

pons impuls h(t), dan output y(t), berlaku pengaruh re-spons frekuensi H (ω)

Y (ω) = H (ω)X (ω) (2)

|Y (ω)| = |H (ω)| |X (ω)| (3)

∠ Y (ω) = ∠H (ω) + ∠X (ω) (4)

Jadi magnituda dari respons frekuensi menjadi faktorpengali (ampli�kasi) dari magnituda, sedangkan responsfasa dijumlahkan pada sudut fasa sinyal.Untuk melihat pengaruh respons fasa pada domain wak-

tu, perhatikan bahwa pergeseran fasa oleh respons frekuensi

1

2 Representasi Respons Magnituda dan Phasa, dan Pengaruhnya Pada Integritas Sinyal di Domain Waktu 2

mengakibatkan sinyal sinusoidal terdelay. Sebagai contoh,sinyal

x(t) = cos(ωt)

saat memasuki medium dengan H (ω) = e−jθ akan keluarmenjadi sinyal berenergi tetap namun bergeser fasa

y(t) = cos(ωt− θ)

Berapa besar pergeseran waktunya di domain waktu?Ternyata sinyal terdelay sejauh t0 = − θ

ω karena

y(t) = cos(ωt− θ) = cos(ω(t− θ

ω)) = x(t− θ

ω)

Waktu tunda ini selain bergantung sistem, ternyatabergantung juga dari frekuensi. Semakin rendah frekuensi,semakin lama waktu tundanya. Hal ini menjadi permasala-han besar, karena sinyal yang memiliki lebih dari satu kom-ponen frekuensi akan mengalami penundaan yang tidak ser-agam di domain waktu. Akibatnya sinyal di domain waktumenjadi terurai (disintegritas).

Kasus: Sebuah sinyal memiliki dua komponen frekuensi

x(t) = 0.65 cos(0.75πt) + 0.5 cos(1.5πt)

memasuki medium H (ω) = e−j0.9π . Gambarlah sinyaloutputnya.

t0

t0

t0 x1(t)

x2(t)

x(t)

Jawab:

y(t) = 0.65 cos(0.75πt− 0.9π) + 0.5 cos(1.5πt− 0.9π)

= 0.65 cos(0.75π(t− 6

5)) + 0.5 cos(1.5π(t− 3

5))

yang sudah tidak lagi menyerupai x(t), meskipun kompo-nen penyusun masih berbentuk sama.

t0

t0

t0

y1(t)

y2(t)

y(t)

Jadi meskipun respons fasa tidak mengubah magnitudadan energi, tapi respons fasa merusak integritas sinyal.

2.2 Fasa Linier

Agar respons fasa bisa menjaga integritas sinyal, maka re-spons fasa mesti mengakibatkan waktu tunda yang samauntuk setiap komponen. Ini bisa dicapai bila respons fasabersifat linier, yakni θ = ±ωt0. Sebagai contoh, sinyal

x(t) = cos(ωt)

akan keluar menjadi sinyal

y(t) = cos(ωt− θ) = cos(ω(t± ωt0ω

)) = x(t± t0)

Kasus: Sinyal x(t) yang sama memiliki dua komponenfrekuensi

x(t) = 0.65 cos(0.75πt) + 0.5 cos(1.5πt)

memasuki medium berfasa linier H (ω) = e−j0.9ω.Gambarlah sinyal outputnya.

Jawab:

y(t) = 0.65 cos(0.75πt− 0.9 ∗ 0.75π)+0.5 cos(1.5πt− 0.9 ∗ 1.5π)

= 0.65 cos(0.75π(t− 0.9)) + 0.5 cos(1.5π(t− 0.9))

= x(t− 0.9)

yang tetap menyerupai x(t) namun tertunda sejauh 0.9.


t0

t0

t0

y1(t)

y2(t)

y(t)

Hal yang sama terjadi pada sinyal DT. Bila sistem memi-liki fase linier

H (ω) = e−jωn0 (5)

maka input x[n] akan keluar menjadi y[n] = x[n− n0].Fasa seperti ini disebut fasa linier karena apabila re-

spons fasa di gambar, ia akan berbentuk garis lurus, dengankemiringan (slope) sebesar waktu gesernya. Dalam konteksθ = −ωt0 ini, semua komponen sinyal akan terdelay denganwaktu delay yang sama, yaitu t0.

ω0

∠H (ω)

1

−t0

∠H (ω) = −ωt0

2.3 Group Delay

Dalam praktek, kondisi fasa linier itu jarang terjadi. Tapikita bisa mengestimasi delay pada frekuensi tertentu ω1

dengan mengestimasi gars linier yang bersinggungan den-gan kurva respons fasa di frekuensi ω1 tersebut, yakni

∠H (ω)|ω=ω1≈ −φ− αω

dalam daerah sempit sekitar frekuensi ω1 kelompok sinyaldi situ akan mengalami delay bersama sebesar

α = − d

dω∠H (ω)

∣∣∣∣ω=ω1

(6)

Besaran α ini disebut group delay, yaitu delay dalam detikyang terjadi pada sekelompok sinyal berfrekuensi sekitar ω1.

2.4 Filter Ideal dan Filter Praktis

2.4.1 Kasus Ideal

Lowpass �lter ideal CT memiliki spektrum:

H (ω) =

{1, |ω| ≤ ωc0, |ω| > ωc

(7)

ω

H(ω)

−ωc ωc

1

stopband stopbandpassband

Sedangkan untuk sistem DT, lowpass ideal memiliki spek-trum periodik (dengan periode 2π)

H (ω) =

{1, |ω| ≤ ωc0, ωc < |ω| < π

(8)

ω0

H(ω)

π−π 2π−ωc ωc 2π − ωc

1

stopband stopbandpassband

Untuk Fase Linier, lowpass ideal memiliki spektrum

|H (ω)| =

{1, |ω| ≤ ωc0, ωc < |ω| < π

(9)

∠H (ω) =

{−αω, |ω| ≤ ωc0, ωc < |ω| < π

(10)

ω

0

|H (ω)|

π−π −ωc ωc

1

ω

∠H (ω)

π−π −ωc ωc

1

Kasus: cari response impuls untuk Lowpass CT Ideal

Jawab:

h(t) =1

2π

ˆ ωc

−ωcejωtdω =

sinωct

πt


t0

h(t)ωcπ

πωc

2 πωc

Kasus: cari response impuls untuk Lowpass DT Ideal

Jawab:

h[n] =1

2π

ˆ ωc

−ωcejωndω =

sinωcn

πn

t0

h[n]ωcπ

πωc

2 πωc

Kasus: cari response impuls untuk Lowpass CT Ideal faselinier

Jawab:

h(t) =1

2π

ˆ ωc

−ωce−jαωejωtdω =

sinωc(t− α)π (t− α)

t0

h(t)

ωcπ

α

Kasus: Cari step respons dari �lter ideal CT .

Jawab: Step respons

s(t) =

ˆ t

−∞h (τ) dτ

Kasus: Cari step respons dari �lter ideal CT .

Jawab: Step respons

s[n] =

n∑k=−∞

h [k]

2.4.2 Kasus Tidak Ideal

Ada tradeo� antara domain waktu dan domain frekuensi.1+δ1

ω

|H (ω)|

1

1 + δ1

1− δ1

ωp

δ2

ωs

passband transisi stopband

Contoh �lter tidak ideal: Butterworth, Eliptics.

2.4.3 Log Magnitude dan Bode Plots

Skala logaritma membantu kita untk melihat lebih detailbagian-bagian yang sering tersembunyi dalam skala biasa.Selanjutnya, dalam skala logaritma perkalian magnitudadapat diekspresikan sebagai penjumlahan.

log |Y (ω)| = log |H (ω)|+ log |X (ω)| (11)

Dalam kasus CT, kita mengenal Bode plot, yakni plotdari Energi dan plot fasa dari respons frekuensi. Sumbu xdari kedua plot ini adalah log10 ω. Sumbu y dari plot energiadalah dalam satuan desibel, yakni

10 log10 |H (ω)|2 = 20 log10 |H (ω)|

Untuk h(t) real, Bode plot hanya digambarkan pada sum-bu positif. Selain karena |H (ω)| genap, dan ∠H (ω) gan-jil, tetapi juga supaya log10 ω tidak perlu dihitung padafrekuensi negatif.

ω

20 log10 |H (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

0.1 1 10 100 1000

3 Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT 5

ω

∠H (ω)

π2

0

−π2

−π

0.1 1 10 100 1000

Untuk kasus DT, sumbu x tidak perlu diskala log10 ω,karena rentang frekuensi dibatasi [−π, π].

ω

20 log10 |H (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π

ω

∠H (ω)

π2

0

−π2

−π

0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π

Bode plot ini digunakan untuk mempelajari dan men-dasain berbagai �lter. Filter yang termasuk paling mudahuntuk diwujudkan adalah �lter LCCDE. Sebagaimana dike-tahui �lter LCCDE dibedakan menurut orde nya. Namunkarena sifat linearitasnya, maka �lter berorde tinggi dapatdibangun melalui kasakade orde yang lebih rendah. Untukitu berikut ini kita mempelajari �lter LCCDE orde satu danorde dua. Filter orde lebih tinggi dapat dibangun dengankasakade orde satu dan orde dua.

3 Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT

3.1 Magnituda CT Orde Satu

Kasus: Perhatikan sebuah sistem LCCDE CT orde satu

τd

dty (t) + y (t) = x (t) (12)

Bagaimana sifat T-F �lter nya? Bagaimana gambarBode plotnya ?

Jawab: Dari persamaan ini diperoleh respons frekuensi

H (ω) =1

jωτ + 1=

1τ

1τ + jω

(13)

|H (ω)| = 1√(ωτ)

2+ 1

(14)

∠H (ω) = − arctan (ωτ) (15)

Maka kita bisa melihat kemampuan �lter ini menem-buskan impuls dan unit step dengan mendapatkan re-spons impuls dan respons step, masing-masing sebagai

h (t) =1

τe−

tτ u (t) (16)

t

h(t)

1τ

1eτ

τ

s(t) = h(t)⊗ u (t) =[1− e tτ

]u (t) (17)

t

s(t)

11− e−1

τ

Bode plot dari magnituda dapat diestimasi denganmelihat bahwa

20 log10 |H (ω)| = −10 log10((ωτ)

2+ 1)

(18)

Untuk kasus ω � 1τ maka (ωτ)

2 ≈ 0, dan (dalam dB)

20 log10 |H (ω)| ≈ 0

Dalam Bode-plot persamaan ini adalah garis lurusmendatar yang memotong sumbu y pada 0dB.

Untuk kasus ω � 1τ , maka term (ωτ)

2menjadi lebih

dominan dari 1, dan (dalam dB)

20 log10 |H (ω)| ≈ −20 log10 (ωτ)= −20 log10 (ω)− 20 log10 (τ)

Dalam Bode plot persamaan ini adalah sebuah garislurus yang menurun dengan kemiringan -20dB tiapdekade (garis log10 (ω)).

Kedua garis Bode Plot ini bertemu pada titik ω = 1τ .

Di titik cuto� ini


|H (ω)| = 1√2

sehingga

20 log10 |H (ω)| ' 3dB

Titik cut-o� ini disebut juga titik 3dB. Berbekal ketigainformasi ini, maka kita dapat mengsketsa Bode plotini dengan akurasi cukup memadai.

Maka kurva magnituda Bode plot memiliki garis asim-totik

20 log10 |H (ω)| ≈

0, ω < 1

τ

−3 ω = 1τ

−20 log10 (ω)− 20 log10 (τ) , ω > 1τ

ω

20 log10 |H1 (ω)|

20 dB

0 dB

−20 dB

−40 dB

10−1

τ100

τ101

τ102

τ103

τ104

τ

3.2 Fasa CT Orde Satu

Fasa �lter ini juga dapat diestimasi menurut

∠H (ω) = − arctan (ωτ)

Untuk kasus ω � 1τ , kita peroleh

∠H (ω) ≈ − arctan (0) = 0

Untuk kasus ω � 1τ , kita peroleh

∠H (ω) ≈ − arctan (∞) = −π2

Khusus untuk titik cutof ω = 1τ , kita peroleh

∠H (ω) = − arctan (1) = −π4

Perhatikan bahwa untuk rentang sekitar titik cuto� ini[0.1 1

τ , 101τ ], kita bisa mengestimasi respons fasa dengan se-

buah garis lurus yang melalui titik cutof ini, serta bernilai 0dan −π2 pada masing-masing tepi dengan persamaan garis

∠H (ω) = −π4[ωτ + 1]

Maka kurva fasa Bode plot adalah

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 0.1 1

τ

−π4 [ωτ + 1] 0.1 1τ < ω < 10 1

τ

−π2 , ω ≥ 10 1τ

ω

∠H1 (ω)

π4

0

−π4

−π2

10−1

τ100

τ101

τ102

τ103

τ104

τ

Di sini kita melihat hubungan waktu dengan frekuensi.Semakin kecil τ , semakin cepat h(t) mencapai nilai nol,semakin cepat s(t) mencapai titik steady state, tapi titikcuto� di domain frekuensi menjadi semakin jauh.

3.3 Magnituda Orde Dua CT

Kasus: Carilah sifat domain frekuensi dan waktu dari se-buah sistem orde dua

d2

dt2y (t) + 2ςωn

d

dty (t) + ω2

ny (t) = ω2nx (t) (19)

Jawab: Dari transformasi Fourier, diketahui sistem inimemiliki respons frekuensi

H (ω) =ω2n

(jω)2+ 2ζωn (jω) + ω2

n

Sekarang kita cari respons impulsnya melalui inversetransform

H (ω) =ω2n

(jω − c1) (jω − c2)

dimana dengan memecahkan persamaan kuadrat diper-oleh

c1 = −ζωn + ωn√ζ2 − 1

c2 = −ζωn − ωn√ζ2 − 1

Bila ζ 6= 1, maka kita peroleh

H (ω) =M

(jω − c1)− M

(jω − c2)


M =ωn

2√ζ2 − 1

Sehingga respons impuls adalah

h(t) =M[ec1t − ec2t

]u(t)

Bila ζ 6= 1, maka impuls respons menjadi lebih seder-hana

h(t) = ω2nte−ωntu(t)

Bode plot dari magnituda diperoleh dari

H (ω) =1

1−(ωωn

)2+ j2ζ

(ωωn

)dengan kuadrat magnituda

|H (ω)|2 =1[

1−(ωωn

)2]2+ 4ζ2

(ωωn

)2Sehingga kita dapatkan

20 log |H (ω)| = −10 log

[1− ( ω

ωn

)2]2

+ 4ζ2(ω

ωn

)2

Dalam kasus ω � ωn, semua term(ωωn

)2→ 0, sehing-

ga

20 log |H (ω)| = −10 log (1) = 0

Sebaliknya dalam kasus ω � ωn, term(ωωn

)4menjadi

paling dominan sehingga

20 log |H (ω)| = −10 log

(1− 2

(ω

ωn

)2

+

(ω

ωn

)4

+ 4ζ2(ω

ωn

)2)

≈ −10 log(ω

ωn

)4

= −40 logω + 40 logωn

Jadi dalam kasus ini, magnituda sistem turun 40 dBper dekade.

Pada titik cuto�, ω = ωn,

20 log |H (ω)| = −20 log (2ζ)

Sehingga magnituda dari Bode plot adalah

20 log |H (ω)| ≈

0, ω � ωn

−20 log (2ζ) , ω = ωn

−40 logω + 40 logωn, ω � ωn

ω

20 log10 |H (ω)|

40 dB

0 dB

−40 dB

−80 dB

10−1ωn

100ωn

101ωn

102ωn

103ωn

104ωn

Pengaruh ζ muncul secara maksimal saat

ωmax = ωn√

1− 2ς2

pada saat itu magnituda memiliki nilai

|H (ωmax)| =1

2ς√1− 2ς2

Puncak ini terkait dengan kualitas �lter, yang sebutquality Q, yang untuk sistem orde dua dide�nisikansebagai

Q =1

2ς

3.4 Fasa CT Orde Dua

Sedangkan fasanya diperoleh

∠H (ω) = − arctan2ζ(ωωn

)1−

(ωωn

)2 (20)

Dalam kasus ω � ωn, kita peroleh

∠H (ω) ≈ − arctan 0 = 0

Sebaliknya bila ω � ωn, kita lihat bahwa penyebut cen-derung dominan menuju −∞, sehingga seluruh pecahancenderung −0, dan

∠H (ω) ≈ − arctan−0 = −π

Untuk daerah cuto�, ω = ωn

∠H (ω) = − arctan−∞ = −π2

Dengan cara estimasi garis mirip dengan kasus orde satu,kita dapatkan kurva fasa Bode plot

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 0.1ωn

−π2[log10

ωωn

+ 1], 0.1ωn < ω < 10ωn

−π, ω ≥ 10ωn

4 LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orde rendah 8

ω

∠H (ω)

π2

0

−π2

−π

10−1ωn

100ωn

101ωn

102ωn

103ωn

104ωn

4 LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orderendah

4.1 CT Orde Tinggi

LCCDE orde tinggi memiliki bentuk respons frekuensi yangrasional. Oleh sebab itu Respons frekeunsi tersebut dap-at direpresentasikan pecahan, di mana pembilang maupunpenyebut adalah sebagai kaskade dari bentuk standar ordesatu dan orde dua, masing-masing

H1 (ω) = 1 + jωτ

dan

H2 (ω) = 1 + 2ς

(jω

ωn

)+

(jω

ωn

)2

Kasus: Gambarkan Bode-plot dari sistem dengan responsfrekuensi

H (ω) =2× 104

(jω)2+ 100jω + 104

Jawab: Dari observasi langsung di amati bahwaH (ω) = 2

H2(ω), dimana ωn = 100 dan ς = 0.5. Maka

disimpulkan bahwa

20 log |H (ω)| = 20 log10 2− 20 log |H2 (ω)|

20 log |H (ω)| ≈

{6, ω � 100

−40 logω + 86, ω � 100

ω

20 log10 |H (ω)|

40 dB

0 dB

−40 dB

−80 dB

101 102 103 104 105 106

Kemudian fasa nya adalah sama dengan ∠H2 (ω), yakni

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 10

−π2[log10

ωωn

+ 1], 10 < ω < 1000

−π, ω ≥ 1000

ω

∠H (ω)

π2

0

−π2

−π

101 102 103 104 105 106

4.2 Contoh Kasus

Kasus: Estimasikan bode plot bila respons frekuensi

H (ω) =100(1 + jω)

(10 + jω)(100 + jω)

Jawab: Kita dapat melihat kasus ini sebagai kaskadedari empat system orde satu

H (ω) =1

10

1

(1 + 110jω)

1

(1 + 1100jω)

(1 + jω)

= H1 (ω)×H2 (ω)×H3 (ω)×H4 (ω)

di mana H1 (ω) = 110 , H2 (ω) = 1

(1+ 110 jω)

, H3 (ω) =1

(1+ 1100 jω)

, dan H4 (ω) = (1 + jω).

Maka untuk H1 (ω) = 110 kita peroleh

20 log10 |H (ω)| = 20 log10 10−1 = −20

dan

∠H (ω) = 0

ω

20 log10 |H1 (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

0.1 1 10 100 1000 10000


Fasa:

ω

∠H1 (ω)

π4

0

−π4

−π2

0.1 1 10 100 1000 10000

Untuk H2 (ω) = 1(1+ 1

10 jω)kita peroleh 1

τ = 10

20 log10 |H (ω)| ≈

0, ω < 10

−3 ω = 10

−20 log10 (ω) + 20, ω > 10

dan

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 1

−π4[ω 1

10 + 1], 1 < ω < 100

−π2 , ω ≥ 100

ω

20 log10 |H2 (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

0.1 1 10 100 1000 10000

Fasa:

ω

∠H2 (ω)

π4

0

−π4

−π2

0.1 1 10 100 1000 10000

Untuk H3 (ω) = 1(1+ 1

100 jω)kita peroleh 1

τ = 100

20 log10 |H (ω)| ≈

0, ω < 100

−3 ω = 100

−20 log10 (ω) + 40, ω > 100

dan

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 1

−π4[ω 1

100 + 1], 1 < ω < 100

−π2 , ω ≥ 100

ω

20 log10 |H3 (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

0.1 1 10 100 1000 10000

Fasa:

ω

∠H3 (ω)

π4

0

−π4

−π2

0.1 1 10 100 1000 10000

Untuk H4 (ω) = (1 + jω) kita peroleh 1τ = 1

20 log10 |H (ω)| ≈

0, ω < 1

+3 ω = 1

+20 log10 (ω)− 20, ω > 1

dan

∠H (ω) ≈

0, ω ≤ 1π4 [ω1 + 1] , 1 < ω < 100π2 , ω ≥ 100


ω

20 log10 |H4 (ω)|

30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

0.1 1 10 100 1000 10000

Fasa:

ω

∠H4 (ω)

3π4

π2

π4

0

0.1 1 10 100 1000 10000

Maka Bode plot magnituda adalah:

ω

20 log10 |H (ω)|

10 dB

0 dB

−10 dB

−20 dB

−30 dB

0.1 1 10 100 1000 10000

Sedangkan sudutnya:

ω

∠H (ω)

π4

0

−π4

−π2

0.1 1 10 100 1000 10000

4.3 DT Orde Satu

Mirip dengan kasus CT, sistem DT juga datang dari LC-CDE, sehingga bentuk respons frekuensi adalah pecahandari polinomial. Kemudian karakteristik waktu-frekuensidapat diperoleh dari kaskade orde satu dan orde dua.

Kasus Cari karakteristik waktu-frekuensi dari sistem ordesatu untuk |a| < 1:

y [n]− ay [n− 1] = x [n]

Jawab: Dari persamaan LCCDE kita langsung perolehrespons frekuensi

H (ω) =1

1− ae−jω

Maka respons impuls dan step respons nya masing-masing adalah

h [n] = anu [n]

s[n] = h[n]⊗ u[n] = 1− an+1

1− au[n]

Dalam kasus ini |a| menentukan laju respons impulsuntuk menjadi 0. Bila |a| → 1 maka respons impulsakan bertahan lama sebelum mencapai 0. Bila a < 0,maka respons impuls akan berosilasi antara nilai positifdan negatif.

Untuk memplot respons magnituda nya, maka kita da-patkan

H (ω) =1

1− a cosω + ja sinω

maka

|H (ω)|2 =1

1 + a2 − 2a cos2 ω

20 log |H (ω)| = − log10(1 + a2 − 2a cos2 ω

)sedangkan sudut fasanya

∠H (ω) = − arctana sinω

1− a cosω

5 Soal Tambahan 11

4.4 DT Orde Dua

Kasus: Sebuah sistem DT orde dua berbentuk

y [n]− 2r cos θy [n− 1] + r2y [n− 2] = x [n]

di mana 0 < r < 1 dan 0 ≤ θ ≤ π. Cari responsfrekuensi serta respons impuls.

Jawab: respons frekuensi bisa diperoleh langsung daritransfromasi Fourier:

H (ω) =1

1− 2r cos θe−jω + r2e−j2ω

Untuk mencari respons impuls, kita analisa

H (ω) =1

[1− (rejθ)e−jω][1− (re−jθ)e−jω]

=A

1− (rejθ)e−jω+

B

1− (re−jθ)e−jω

di mana

A =ejθ

2j sin θ; B =

e−jθ

2j sin θ

h[n] = rnsin [(n+ 1) θ]

sin θu [n]

Jadi respons impuls adalah sebuah osilator denganperedaman rn. Selanjutnya bila θ = 0, maka diper-oleh kasus khusus

H (ω) =1

(1− rejω)2

maka respons impulsnya

h [n] = (n+ 1) rnu[n]

Bila θ = π,

h [n] = (n+ 1) (−r)n u[n]

Pada kedua kasus ini terdapat bilangan real d1 dan d2di mana |d1| , |d2| < 1, sehingga

H (ω) =1

[1− d1e−jω][1− d2e−jω]

=A

1− d1e−jω+

B

1− d2e−jω

maka

h[n] = [Adn1 +Bdn2 ]u[n]

dimana

A =d1

d1 − d2; B =

d2d2 − d1

5 Soal Tambahan

1. Cari frekuensi respons (H (jω)) dari sebuah sistem CTLTI yang memiliki Bode plot sebagai berikut

ω

20 log10 |H (ω)|

0.1 1 10 100 1000

-40

-20

0

ω

∠H (ω)

0.1 1 10 100 1000

−π2

−π4

0

π4

π2

Pustaka

[OCW] MIT Opencourseware, http://ocw.mit.edu/courses/ electrical-engineering-and-computer-science/ 6-003-signals-and-systems-spring-2010/

[OpWi97] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with SHamid Nawab), Signals & Systems (Second Edi-tion), Prentice-Hall International, 1997. ISBN0-13-651175-9

bab 6 filter dan time frequency

Documents