BAB V

INTERPOLASI POLINOMIAL

Dalam menyelesaikan kasus / persoalan tertentu kita sering harus memperkirakan nilai di antara titik - titik data yang mempunyai ketelitian tinggi. Cara yang paling umum digunakan untuk maksud tersebut adalah Interpolasi Polinomial.Bentuk umum suatu polinomial orde-n adalah :

.(5.1)Untuk (n + 1) titik data, ada satu dan hanya satu polinomial orde-n atau kurang yang melalui semua titik data tersebut.

Misalnya :

a. Hanya ada satu garis lurus yang menghubungkan dua titik,

b. Hanya ada satu parabola (polinomial orde-2) yang melaiui tiga titik

c. Hanya ada satu polinomial orde-3 yang melatul 4 titik.

Gambar 5.1. Contoh polinomial interpolasi : a) orde-1; b) orde-2; c) orde-3

Interpolasi Polinomial adalah menentukan sebuah polinomial orde-n yang melalui (n + 1) titik. Polinomial tersebut kemudian digunakan untuk interpolasi data. Walaupun hanya ada satu polinomial orde-n yang melalui (n + 1) titik, ada bermacam-macam formula untuk menyatakan polinomial tersebut. Dalam interpolasi yang akan dibahas saat ini adalah polinomial interpolasi menurut formula Newton, dan Lagrange.5.1 Polinomial Interpolasi Newton

5.1.1 Interpolasi Linier

Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah interpolasi linier yaitu dengan menghubungkan dua titik data menggunakan sebuah garis lurus.

Gambar 5.2. Interpolasi linier secara garis

Berdasarkan prinsip-prinsip segitiga sebangun, maka:

(5.2)dan setelah diselesaikan diperoleh formula interpolasi linier, yaitu :

(5.3)Selain menyatakan koefisien arah garis yang menghubungkan dua titik, suku disebut pembagian beda hingga pertama (first finite divided difference) yang merupakan pendekatan dari derivatif pertama dari . Pada umumnya pendekatan akan makin baik, jika interval antara dua titik data makin kecil.

Contoh :Tentukan ln 2 menggunakan interpolasi linier antara ln 1 dan ln 6 jika diketahui data yang lainnya sebagai berikut :

x

f(x)=ln(x)

1

0

2

?

6

1,7917595

x

f(x)=ln(x)

1

0

2

?

4

1,3862944

Jawab :

Dengan menggunakan formula interpolasi linier antara x0 = 1 dan x1 = 6, maka

Nilai yang benar dari ln 2 = 0,69314178, sehingga kesalahan realatif dari interpolasi ini adalah

Jika interpolasi dilakukan antara x0 = 1 dan x1 = 4, maka diperoleh

dan kesalahan relatif sebesar 33,3%. Jadi, interpolasi yang menggunakan interval lebih kecil akan mengurangi kesalahan relatif.

5.1.2 Interpolasi kwadratis

Untuk mengurangi kesalahan akibat interpolasi linier dapat dilakukan perbaikan dengan interpolasi kwadratis atau menggunakan polinomial interpolasi orde-2.

Polinomial interpolasi orde-2 dapat ditulis dalam bentuk :

(5.4)Koefisien-koefisien b0, b1, dan b2 dapat ditentukan menggunakan formula pembagian beda hingga.

( pembagian beda hingga pertama

( pembagian beda hingga ke-dua

Contoh

Tentukan ln 2 menggunakan interpolasi kwadratis menggunakan tiga titik antara ln 1, ln 4 dan ln 6.

xf(x)=ln(x)

10

2?

41,3862944

61,7917595

Jawab :

dengan menggunakan formula interpolasi kwadratis, maka :

dan untuk x=2 diperoleh dengan kesalahan realtif 18,4 %.5.1.3 Bentuk umum polinomal interpolasi Newton

Polinomial interpolasi orde-n yang dihasilkan dari (n + 1) titik data dapat ditulis dalam bentuk umum, yaitu

(5.5)Koefisien-koefisien b0, b1, dan b2 dapat ditentukan menggunakan formula pembagian beda hingga.

( pembagian beda hingga pertama

( pembagian beda hingga ke-dua

. . . .

( pembagian beda hingga ke-n

Formula pembagian beda hingga ke-n secara umum adalah :

(5.6)

Jika polinomial interpolasi orde-n dinyatakan dalam notasi pembagian beda hingga, maka:

(5.7)

Perlu dicatat bahwa formula polinomial intepolasi Newton dengan pembagian beda hingga, jarak interval variabel bebas tidak harus sama dan urut.

Pembagian beda hingga dapat dihitung dan disajikan dalam tabel seperti pada contoh di bawah ini.

Tabel 5.1. Contoh perhitungan pembagian beda hingga untuk 4 titik

ixif(xi)123

0x0f(x0)

f(x1,x0)

1x1f(x1)f(x2,x1,x0)

f(x2,x1)f(x3,x2,x1,x0)

2x2f(x2)f(x3,x2,x1)

f(x3,x2)

3x3f(x3)

Contoh :Perkirakan ln 2 menggunakan polinomial interpoasi dengan 4 titik data yaituxf(x)=ln(x)

10

2?

41,3862944

61,7917595

51,6094379

Tabel pembagian beda hingga:ixif(xi)123

110

0,46209813

......

241,3862944- 0,051873116

?0,0078655415

361,7917595?

?

451,6094379

Jadi persamaan interpolasi polinomial interpolasi orde - 3 menjadi : dan untuk diperoleh dengan kesalahan relatif .5.2 Polinomial Interpolasi yang Mempunyai Interval Sama5.2.1 Formula Newton-Gregory Forward (NGF)Jika data yang diinterpolasi mempunyai variabel bebas yang terurut (dari kecil sampai besar) dan berjarak sama (interval sama), maka variabel bebas dapat ditulis menjadi:

(5.8)

Dalam hal ini pembagian beda hingga dapat dinyatakan dalam bentuk beda hingga maju, misalnya :

a. Pembagian beda pertama :

(= beda hingga maju pertama

b. Pembagian beda hingga ke-dua :

dengan : = beda hingga maju ke-dua

Secara umum :

Formula Interpolasi Newton persamaan (5.7) menjadi :

(5.9)

Dengan mengeliminasi dengan persamaan (5.8) maka persamaan (5.9) menjadi :

(5.10)Formula di atas disebut juga Formula Maju atau Newton-Gregory Forward.Jika didefinisikan suatu variabel ; maka persamaan (5.10) akan menjadi simple seperti dibawah ini :

(5.11)

Beda hingga maju dapat dihitung menggunakan tabel sebagai berikut :

xf(x)(f(x)(2f(x)(3f(x)(4f(x)

x0f(x0)

(f(x0)

x0 + hf(x0 + h)(2f(x0)

(f(x0 + h)(3f(x0)

x0 + 2hf(x0 + 2h)(2f(x0 + h)(4f(x0)

(f(x0 + 2h)(3f(x0 + h)

x0 + 3hf(x0 + 3h)(2f(x0 + 2h)

(f(x0 + 3h)

x0 + 4hf(x0 + 4h)

Contoh :Hasil ujian dari sejumlah peserta dikelompokkan sebagai berikut:

NilaiJml Peserta

0-1941

20-3962

40-5965

60-7950

80-9917

Perkirakan jumlah peserta yang memperoleh nilai kurang dari 70! Jawab :

Untuk dapat menggunakan formula interpolasi maju dari Newton Gregory, maka dibuat tabel sebagai berikut:xf(x)(f(x)(2f(x)(3f(x)(4f(x)

x0< 1941

62

x0+h< 391033

65-18

x0+2h< 59168-15. . . . . .

50. . . . . .

x0+3h< 79218. . . . . .

17

x0+4h< 99235

Untuk x = 70, x0 = 19 dan h = 20, maka :

Jadi peserta yang memperoleh nhlai < 70 ada 199 orang.

5.2.2 Formula Newton-Gregory Backward (NGB)

Dalam formula interpolasi maju menggunakan titik-titik data dengan variabel bebas urut dan x0 yang terkecil sampai xn yang terbesar, dan tabel beda hingga dimulai dari harga fungsi pada awal titik data kemudian maju berturut-turut hingga akhir data. Oleh karena itu formula maju lebih tepat jika digunakan untuk interpolasi berdasarkan variabel bebas yang dekat dengan awal data.

Jika interpolasi dilakukan berdasarkan variabel bebas yang dekat dengan akhir data, maka lebih tepat jika menggunakan formula interpolasi mundur yang tabel beda hingga dimulai dari harga fungsi pada akhir titik data kemudian maju berturut-turut hingga awal data diformulasikan seperti dibawah ini :

(5.12)

Formula di atas disebut juga Formula Mundur atau Newton-Gregory Backward.Beda hingga mundur dapat dihitung menggunakan tabel sebagai berikut :

xf(x)(f(x)(2f(x)(3f(x)(4f(x)

x0f(x0)

(f(x0)

x0 + hf(x0 + h)(2f(x0)

(f(x0 + h)(3f(x0)

x0 + 2hf(x0 + 2h)(2f(x0 + h)(4f(x0)

(f(x0 + 2h)(3f(x0 + h)

x0 + 3hf(x0 + 3h)(2f(x0 + 2h)

(f(x0 + 3h)

x0 + 4hf(x0 + 4h)

Contoh

Hasil sensus penduduk suatu wilayah setiap 10 tahun ditabelkan sebagal berikut:

Tahun19511961197119811991

Jml Penduduk46668193101

Berapa perkiraan jumlah penduduk pada tahun 1985?Jawab : xf(x)(f(x)(2f(x)(3f(x)(4f(x)

195146

20

196166.....

15......

197181-3-3

12-1

198193-4

8

1991101

Untuk x = 1985, x0 = 1991 dan h = 10, maka :

Jadi, jumlah penduduk pada tahun 1985 diperkirakan 96.837 orang.5.3 Polinomial interpolasi LagrangeInterpolasi polinomial menurut formula Lagrange adalah formula lain dari formula Newton yang tujuannya untuk menghindarkan perhitungan pembagian beda hingga.

Jika ada garis yang melalui titik dan maka gradien dari garis tersebut adalah dan garis yang melalui kedua titik tersebut dapat dinyatakan oleh persamaan :

(5.13)

Seorang Perancis, J. L. Lagrange, menemukan suatu cara lain untuk menulis persamaan (5.13) sebagai :

(5.14)

Perhatikan bahwa setiap suku pada ruas kanan persamaan (5.14) merupakan fungsi linear, sehingga jumlahnya adalah suatu polinomial berderajat ( 1. Dengan mendefinisikan

dan

Maka persamaan (5.14) dapat dituliskan sebagai :

(5.15)

Bentuk persamaan (5.15) ini dapat dijadikan dalam bentuk umum untuk persamaan polinomial dengan menggunakan tiga, empat titik dan seterusnya. Hasilnya adalah Polinomial-polinomial Lagrange.

Formula polinomial interpolasi Lagrange adalah :

(5.16)

dengan :

Misalnya

a. Interpolasi linier( n = 1)

b. Interpolasi kwadratis ( n = 2 )

Contoh :Gunakan formula interpolasi Lagrange orde-1 dan orde-2 untuk mengevaluasi nilai ln 2 jika diketahui data seperti di bawab ini :

xf(x)=ln(x)

10

2?

41,3862944

61,7917595

Penyelesaian:

a. Untuk interpolasi linier

Untuk x = 2, maka:

b. Interpolasi kwadratis ( n = 2)

Untuk x = 2, maka :

Contoh Aplikasinya :

Contoh 1:

Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui persentase regangan suatu materi sebagai fungsi temperatur. Data hasil percobaan adalah sebagai berikut :

Temperatur (0F)40050060070080090010001100

Regangan (%)1113131517192023

Gunakan interpolasi beda hingga newton orde 7 untuk menghitung persentase regangan pada temperatur 780 0F.

Contoh 2 :

Viskositas suatu cairan X dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut :

T (0C)020406080100

( (10-3 Ns/m2)1,81,41,20,90,750,5

Perkirakan nilai viskositas cairan X tersebut pada temperatur kamar 250C. Gunakan interpolasi lagrange orde kelima.

Contoh 3:

Profil dinding batas cadangan air di dalam tanah berdasarkan hasil pengeboran dapat dinyatakan dalam kurva H = f(L) berikut ini :

Tabel hubungan kedalam, H dengan jarak, L :

H (cm)01000200030004000500060007000800090001000

L (cm)400005000055000590006100060000570005000040000250000

Tentukan Panjang L, untuk kedalaman 5500 cm, dengan menggunakan metode interpolasi beda hingga newton.

Contoh 4 :

Suatu perusahan real estate menawarkan harga rumah untuk berbagai macam tipe rumah berdasarkan luas bangunan. Daftar harga ditabelkan sebagai berikut :

Luas

Bangunan (m2)Harga bangunan

(dlm jutaan rupiah)

2148

4575

6090

80120

100145

120160

150195

Perkirakan harga bangunan untuk rumah dengan luas sebesar 75 m2, dengan menggunakan interpolasi beda hingga newton orde keenam.(1,3862944-0)/(4-1)

(?-0,46209813)/(6-1)

Created by Supiyanto, Jurusan Matematika FMIPA UNCEN

_1251972481.unknown

_1251985774.unknown

_1256870256.unknown

_1256891508.unknown

_1287902470.unknown

_1288504727.unknown

_1288506015.unknown

_1257448598.unknown

_1257494581.unknown

_1257448481.unknown

_1256871430.unknown

_1251986255.unknown

_1251992436.unknown

_1251992648.unknown

_1251986302.unknown

_1251986117.unknown

_1251986054.unknown

_1251983821.unknown

_1251984661.unknown

_1251985303.unknown

_1251985438.unknown

_1251984730.unknown

_1251984916.unknown

_1251984590.unknown

_1251984653.unknown

_1251984173.unknown

_1251983623.unknown

_1251983647.unknown

_1251980494.unknown

_1251967683.unknown

_1251970647.unknown

_1251971086.unknown

_1251971665.unknown

_1251970904.unknown

_1251970363.unknown

_1251970559.unknown

_1251968799.unknown

_1251969592.unknown

_1251968343.unknown

_1251833479.unknown

_1251966411.unknown

_1251966862.unknown

_1251967582.unknown

_1251966416.unknown

_1251966420.unknown

_1251966325.unknown

_1251966393.unknown

_1251965754.unknown

_1251966144.unknown

_1251919242.unknown

_1251830242.unknown

_1251832974.unknown

_1251833015.unknown

_1251833037.unknown

_1251832435.unknown

_1251831009.unknown

_1251831297.unknown

_1251746366.unknown

_1251828639.unknown

_1251828805.unknown

_1251746406.unknown

_1251746353.unknown