EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB1 dari 67EYS-2001 RANGKAIAN RESISTIF UMUM Analisis Node untuk Rangkaian Resistif Bentuk Persamaan Node untuk Rangkaian Linear Rangkaian Linear Resistif Solusi Persamaan Node Bentuk Persamaan Node untuk Rangkaian Nonlinear Analisis Tableu untuk Rangkaian Resistif Bentuk Persamaan Tableu untuk Rangkaian Linear Bentuk Persamaan Tableu untuk Rangkaian Nonlinear Solusi Persamaan NonLinear Berbantuan Komputer Algoritma Newton-Raphson Rangkaian Ekivalen Diskrit Newton-Raphson Sifat-SifatRangkaian Resistif Linear Teorema Superposisi Teorema Thevenin-Norton Teorema Representasi 2-port Sifat-Sifat Umum Rangkaian Resistif Nonlinear Teorema Substitusi Sifat Eksklusif Loop-Cut-Set Kosekuensi Sifat Pasivitas Penuh Konsekuensi Sifat Monotonitas Penuh EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB2 dari 67EYS-2001 ANALISIS NODE UNTUK RANGKAIAN RESISTIF Carasederhanamenganalisisrangkaianresistifadalah menyelesaikan tegangan-tegangan node terhadap referensinya. Menggunakan KVL (v = ATe) selanjutnya dapat dihitung tegangan-tegangan cabang. Selanjutnyaarus-aruscabangdapatdihitungbilasemuaelemen rangkaian kecuali sumber arus terkontrol tegangan. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB3 dari 67EYS-2001 Bentuk Persamaan Node untuk Rangkaian Linear Untuk rangkaian sederhana, persamaan node dapat diturunkan langsung dari rangkaian. Contoh 1: Resistor 2-terminal Dari rangkaian, diperoleh : GunakanKCLuntuknode1,2dan3untukmemperoleh3 persamaan linear independen: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB4 dari 67EYS-2001 Dalam bentuk matriks: Secara umum bentuk persamaan node: Yne = is(t) dengan :Yn : matrik admitansi node n x n is(t): vektor sumber ekivalen. Denganmengamatirangkaiandanpersamaanmatriksdiatas,maka untuk rangkaian linear dapat diturunkan sifat-sifat berikut:. Tabel: Sifat-Sifat Persamaan Node Untuk rangkaian linear yang tersusun dari resistor-resistor 2-terminal dan sumber-sumber arus independen, maka: (a) Elemen diagonal ke k dari Yn = jumlah semua konduktansi yang terhubung pada node k. (b) Elemen bukan diagonal ke jkdari Yn= jumlah negatif semua konduktansi antara node j dan node k. (c) Matriks Yn adalah simetris: Yn = YnT. (d) Elemen ke k dari is(t) = jumlah aljabar arus-arus dari semua sumber arus independen yang memasuki node k. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB5 dari 67EYS-2001 Contoh 2: Resistor 2-terminal dan VCCS Dari rangkaian, diperoleh: Gunakan KCL pada node 1, 2, 3: Atau: Catatan: o Sifat b dan c tak berlaku untuk persamaan node tsb. o Bila G3 dipertukarkan dengan VCCS, maka persamaan node nya tak memiliki sifat a. o Ketiga sifat persamaan node hanya berlaku untuk rangkaian yang hanya mengandungresistor 2-terminal dan sumber-sumber independen. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB6 dari 67EYS-2001 Formula dengan Reduced Incidence Matris A N: rangkaian resistif linear terhubung yang hanya mengandung 2-terminal,multi-terminaltime-invariantdan/atauresistor-resistor terkontrolteganganlinearmulti-portdansumber-sumberarus independen. N :dapatmengandunggyrator,karenaiadicirikandengan persamaan linear terkontrol tegangan: N: tak boleh mengandung trafo ideal (bukan terkontrol tegangan) N :takbolehmengandungsumber-sumberdependenselain VCCS Sumberteganganindependenjugatakdiperbolehkan(untuk sementara) pada formula ini. Tetapi hal tsb dapat diatasi kemudian dengan transformasi rangkaian ekivalen. Dalam bentuk matriks Ndapat dituliskan: Atau: i = Ybv dengan: Yb = matriks admitansi cabang, b x b, b = jumlah cabang diluar sumber arus independen. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB7 dari 67EYS-2001 Untuk rangkaian pada Contoh 1: Untuk rangkaian pada Contoh 2: MatriksYb diagonal bila Nhanya mengandung resistor linear 2-terminal dan sumber arus independen. Kontribusisumber-sumberaruspadarangkaiandapat dinyatakan dalam vector: dengan:Isk(t) : jumlah aljabar arus dari semua sumber arus independen yang memasuki node ke k, k = 1, 2, , n-1,n = jumlah node pada rangkaian terhubung N. Untuk menghindari pelanggaran KCL, perlu asumsi bahwa tak adacutsetsyangdibuathanyadarisumber-sumberarus independen. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB8 dari 67EYS-2001 Demikian juga digraph dari rangkaian tereduksi yang diperoleh denganmembukasemuasumberarusindependen dihubungkan. AnggapA = matriks reduced incidence dari digraph (lihat bab 1: 6.2). Definisikan juga: Yang menyatakan (n-1) persamaan independen linear. (Bandingkan dengan bentuk umum persamaan KCL: Ai=0). Sustitusipersamaancabangi=YbvkepersamaanKCL, diperoleh: Persamaan node diperoleh dengan substitusi persamaan KVL: v = ATe ke persamaan terakhir: Matriks admitansi node diperoleh dengan substitusi persamaan Yne = is(t) ke persamaan node: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB9 dari 67EYS-2001 Bilarangkaianmengandungsedikitnyasaturesistortime-varying, makasedikitnya1elemenyjkdariYbdaripersamaancabang sebagai fungsi waktu: Secara umum, persamaan node untuk rangkaian resistif linear: Untuksetiaprangkaianterhubungyangmengandungresistor-resistor2-terminal,multiterminaldan/ataumultiportlinear terkontroltegangan(tidakharustimeinvariant),dansumber-sumberarusindependenyangtakmembentukcutsets,maka persamaan node nya : dengan:Yn(t) : matriks admitansi node [(n-1)x(n-1)]; is(t):vektorsumberarusekivalendenganelemenkek isk(t) = jumlah aljabar arus dari semua sumber arus independenyang memasuki node k; A : matriks reduced incidence [(n-1)xb] digraph dari rangkaian tereduksiyangdiperolehdenganmenghilangkansemua sumber arus independen. Yb : matriks admitansi cabang [bxb];n: jumlah node rangkaian; b: jumlah cabang digraph Solusi persamaan node: o Untuk n 3 gunakan aturan Cramer; o Untuk n > 3 gunakan eliminasi Gaussian; o Untuk n > 100 dan Yn(t) banyak mengandung elemen nol, tersedia algoritma khusus komputer; o Bilarangkaiantimeinvariantdanhanyamengandung sumberdc:Yn(t)=matrikskonstanta,is(t):vektor konstanta, maka solusi cukup dihitung sekali. Jumlahpersamaanpadaanalisisnode=jumlahnode,tak tergantungpadajumlahelemen.Bandingkandengananalisis tableu,analisisnodetermidifikasidananalisisloopyangakan dibahas selanjutnya. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB10 dari 67EYS-2001 Rangkaian Linear Resistif Rangkaianresistifnonlinear(RLC)dapatdiselesaikandengan metoda iterasi dengan setiap iterasi mencakup analisis rangkaian resistif time-invariant linear. Jika rangkaian hanya mengandung elemen (nonlinear atau RLC) 2-terminal,makarangkaianterkaityangakandianalisisakan mengandung hanya resistor-resistor 2-terminal time-invariant dan sumber-sumber arus independen. RangkaiansepertiinidicirikanolehmatriksadmitansicabangYb diagonal: Bila Yb = matriks diagonal, maka secara umum: dengan (Yn)jk = elemen ke jk dari Yn; Gk = elemen diagonal ke k dari Yb Bila j=k pada persamaan terakhir, maka: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB11 dari 67EYS-2001 Catatan:Sukuterakhirdiperolehdenganmemperhatikan bahwaakl=1,-1,atau0,danakl0jikadanhanyajika cabang Glterhubung pada node k (sifat a persamaan node dipenuhiuntuksetiaprangkaiandenganmatriksadmitansi cabang diagonal Yb). Bila aj l 0 (G lterhubung pada node j), maka akl= -ajljika G ldihubungkan antara node j dan k, dan akl=0jikaGldihubungkanantaranodejdannode referensi. Dari Persamaan diperolehelemen-elemenbukandiagonal(jk)dariYndapat disederhanakan (bukti sifat b pada persamaan node): Dari persamaan terakhir dapat diturunkan bahwa: (bukti sifat c dari persamaan node). Catatan:Sifatsimetriinitakterkaitdenganapakahrangkaian simetris atau tidak , tetapi terkait dengan sifat reciprocity suatu rangkaian. Sifat d dari persamaan node benar baik untuk Yb diagonal atau tidak. dan pers. terakhir atau EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB12 dari 67EYS-2001 Solusi Persamaan Node Dalam menentukan solusi persamaan node diasumsikanbahwapersamaantsbmemilikisolusiunikuntuk setiap is(t) pada waktu t. Asumsi tsb tak selalu benar, sekalipun untuk rangkaian sederhana EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB13 dari 67EYS-2001 Contoh: Denganmenggunakansifatpersamaannodepadatabel, diperoleh persamaan node secara inspeksi sbb: Mengingatdet(Yn)=0,makapersamaandiatastakmemiliki solusiataumemilikitakterhinggasolusi(bilauntuksemuat, is1(t) = 0.5 is2(t)). Asumsikan is2(t) = 0 untuk setiap t, sehingga rangkaian menjadi: Dengan Req = , maka rangkaian tak punya solusi jika is1(t) 0. Bila is1(t) = 0 untuk semua t, maka ada tak terhingga solusi. Kondisi cukup (tetapi bukan perlu) agar suatu rangkaian resistif yangmegandunghanyakonduktansipositiflinear2-terminal dansumberarusindependenmemilikisolusiunikadalahbila rangkaian tsb tak membentuk cut set. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB14 dari 67EYS-2001 Bentuk Persamaan Node untuk Rangkaian Nonlinear Prosedurmenulispersamaannodedalamvektortegangane padarangkaianlineartetapberlakuuntukrangkaiannonlinear bila semua resistor nonlinear terkontrol tegangan Perhatikan rangkaian dengan) 1 (22TVvse I i dan 35 5v i Langkah 1: Nyatakan aarus cabang dalam tegangan node: Langkah 2: Gunakan KCL pada setiap node: Persamaannodetsbtakdapatdinyatakandalammatriks admitansi node (nonlinear). EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB15 dari 67EYS-2001 Bentukpersamaancabangumumuntukrangkaianyang mengandung2-terminal,multiterminal,dan/atauresistor terkontroltegangannonlinearmulti-portdansumberarus independen: Dalam notasi vektor: Bentukpersamaannodenonlinear:substitusipersamaan diatas dengan Ai = Is(t): Substitusi v = AT e ke persamaan terakhir: Persamaannonlinearumumnyaharusdiselesaikandengan metoda numerik (algoritma Newton-Raphson). EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB16 dari 67EYS-2001 ANALISIS TABLEU UNTUK RANGKAIAN RESISTIF Analisisnodememilikibanyakketerbatasanelemen:sumber tegangan, trafo ideal, Op Amp ideal, CCCS, CCVS, VCVS, resistor nonlinear terkontrol arus (lampu neon). Analisis Tableu menghilangkan semua keterbatasan tsb. AnalisisTableumerupakanmetodaanalisisyangberlakuuntuk semua jenis rangkaian resistif. PersamaanTableuterdiridarisemuapersamaanrangkaian:KCL independenlinear,KVLindependenlinear,danpersamaan cabang. AnalisisTableusecarakonseplebihmudahdaripadaanalisis node. Analisis Tableu memiliki persamaan lebih banyak daripada analisis node: gunakan komputer. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB17 dari 67EYS-2001 Bentuk Persamaan Tableu untuk Rangkaian Linear Algoritma penulisan persamaan Tableu untuk rangkaian resistif linear adalah sbb: Langkah 1:Gambardigraphrangkaiandanpastikanbahwarangkaian digraphterhubung.Ambilsembarangnodereferensidan turunkan matrik reduced-incidence A. Langkah 2:Tulissemua persamaan KCL independen linear: Ai(t) = 0 Langkah 3: Tulissemua persamaan KVL independen linear: v(t) AT e(t) = 0 Langkah 4: Tulissemua persamaan cabang dan nyatakandalam bentuk sbb (untuk rangkaian linear): M(t)v(t) + N(t)i(t) = us(t) Catatan: o Untukdigraphdengannnodedanbcabang,ada(n-1) persamaan Ai(t) = 0 , ada b persamaan v(t) AT e(t) = 0 dan b persamaan M(t)v(t) + N(t)I(t) = us(t). o Ada (n-1) variable padavektor e, ada b variable pada vektor v dan v variable pada vektor i, o Sehinggaada[n-1+2b]persamaanlineardalam[n-1+2b] variable. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB18 dari 67EYS-2001 Contoh: Padaanalisisnode:sumbertegangandantrafoidealtak diperbolehkan.Resistortimevaryingjugatakdiijinkankarena konduktansinya tak terdefinisi untuk semua t: G(t) = 1/Ro sin t = pada t = 0, 2, 4, .. Langkah 1: Gambar digraph dan pastikan terhubung: n = 3; b=4 Langkah 2:Langkah 3:Langkah 4: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB19 dari 67EYS-2001 Matriks Tableu nya : Atau: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB20 dari 67EYS-2001 Teorema Solusi Unik dan Ada untuk Rangkaian Resistif Linear: Rangkaian memiliki solusi unik biladet[T(to)] 0. Bukti:InversmatriksT-1(t0)adapadat=t0jikadanhanyajika det[T(to)] 0. Sehingga solusi unik pada t = t0 hanyalah Catatan: PersamaanTableulinearjugaberlakuuntukrangkaianyang memilikiresistor(n+1)terminalataun-portyangdidefinisikan sbb (resistor affine): A, B: matriks n x n C: vektor n Bila c = 0, resistor affine menjadi resistor linear Resistor affine (tapi tak linear) 2-terminal dicirikan dengan garis lurus pada kurva v-i, tetapi tak melalui titik asal. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB21 dari 67EYS-2001 Bentuk Persamaan Tableu untuk RangkaianNonlinear Prosedure penulisan persamaan nya sama dengan rangkaian linear, tetapi langkah 4 harus disesuaikan untuk rangkaian nonlinear. Contoh Transistor dimodelkan dengan persamaan nonlinear Ebers-Moll: Langkah 1: Gambar digraph: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB22 dari 67EYS-2001 Langkah 2: Langkah 3: Langkah 4: Atau secara umum ditulis: Dalam bentuk vektor: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB23 dari 67EYS-2001 Untukrangkaiandenganbcabang,persamaanterakhir menjadi: Secara umum persamaan Tableu nonlinear: Catatan: Persamaan cabang untuk rangkaian linear merupakan kasus khusus dari persamaan h(v(t), i(t),t) = 0, dengan PersamaanTableunonlineardiselesaikanmenggunakan metodanumerik,sehinggapembedaanketigabentuk persamaantakperlulagi,tetapiditulisdalambentuk standard: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB24 dari 67EYS-2001 SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR BERBANTUAN KOMPUTER Bentuk umum persamaan aljabar nonlinear: Dengan menghilangkan faktor waktu, mengingat solusi untuk waktu yang berbeda tak tergantung satu sama lain, diperoleh: Solusipersamaandiatas:takada,unik,banyaksolusidantak terhingga solusi. Untuk solusi persamaan nonlinear dengan n 2 dapat digunakan metoda grafik pada bab 2. Untuk solusi persamaan nonlinear umum dilakukan menggunakan iterasi numerik menggunakan bantuan komputer. AlgoritmaNewton-Raphsonmerupakansalahsatumetoda numerik yang populer. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB25 dari 67EYS-2001 Algoritma Newton-Raphson Anggap fungsi f(x) pada persamaan nonlinear memiliki ekspansi Taylor disekitar titik x(j)=[x1(j), , xp(j)]T: Atau dalam bentuk matriks: Anggap x = x(j+1)nilai yang akan dihitung pada iterasi berikutnya denganx(j+1)= x(j) , sehingga: Anggap juga bahwa x(j+1)cukup dekat dengan solusi persamaan f(x) = 0: x = x*, sehingga f(xj+1) = f(x*) = 0. Persamaan matriks menjadi: Diperoleh formula Newton-Raphson: Alternatif lain formula Newton-Raphson untuk persamaan linear: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB26 dari 67EYS-2001 Algoritma Newton-Raphson Perkiraan solusi awal penting agar hasil iterasi konvergen. Teganganpadasuatunodetidakakanmelampauitegangansupply nya. Bilaperkiraansolusiawalterlalujauh,ataufungsitidaksmooth,maka iterasi tidak konvergen. Jumlah iterasi dibatasi agar praktis dalam program komputer. Bila tidak konvergen, ganti perkiraan solusi. Algoritmainihanyadapatmencari1solusi,sehinggasolusiganda hanya dapat dicari dengan mencoba banyak perkiraan solusi awal. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB27 dari 67EYS-2001 Rangkaian Ekivalen Diskrit Newton-Raphson Rangkaian dapat dinyatakan dalam: f(i)= 0 Ambil perkiraan awal solusi i(0), sehingga: dengan Dari gambar terlihat solusi diperoleh i = i* setelah beberapa iterasi. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB28 dari 67EYS-2001 Anggap pada iterasi ke j, ganti fungsi nonlinear v= f(i) dengan fungsi affine: Terapkan formula Newton-Raphson untuk iterasi ke j: diperoleh: Terlihatbahwapersamaanterakhir(solusiI(j+1))samadengan solusiyangdiperolehuntukfungsinonlinearsebelumnya: PenerapanformulaNewton_Raphsonpadaiterasikejbaikpada persamaan nonlinear semula maupun pada persamaan linear nya akan memberikan hasil yang sama untuk i(j+1). EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB29 dari 67EYS-2001 Fungsi affine dapat digambarkan dalam rangkaian sbb: Sehingga menyelesaikan rangkaian resistif nonlinear pada gambar sebelumnyadenganformulaNewton-Raphsonadalahsama denganmenyelesaikanrangkaianlinearresistifpadagambar diatas. Rangkaianlinearresistiftsbdisebutrangkaianekivalendiskrit Newton-Raphson nya pada iterasi ke j. Sehingga rangkaian resistif nonlinear dapat diubah menjadi urutan rangkaianresistiflinearberstruktursamadenganparameter-parameternya diperbaharui setiap kali iterasi. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB30 dari 67EYS-2001 Contoh 1: Digraphnya: (n =3; b = 4). Analisis node tak dapat dilakukan, gunakan analisis Tableu: Persamaan Cabang: R1 : dioda tunnel terkontrol tegangan, ) (1 1 1v i i) R2 : lampu neon, terkontrol arus, ) (2 2 2i v v) EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB31 dari 67EYS-2001 Mencari solusi 10 persamaan dengan 10 variabel tsb dengan algoritma Newton-Raphson langsung perlu 100 turunan parsial pada setiap iterasi untuk memperoleh matriks Jacobian. Alternatif lain: gunakan rangkaian ekivalen diskrit nya. Ganti R1 dengan rangkaian 1-port N1 dan R2 dengan rangkaian 1-port N2. dengan: konstanta konduktansi: kemiringan fungsi ) (1 1v i) pada ) (1 1jv v ; konstanta resistansi: kemiringan fungsi ) (2 2i v) pada ) (2 2ji i ; ) (1jI: intersepsi arusdari R1 (konstanta); ) (2jE: intersepsi tegangan dari R2 (konstanta); Variabel-variabel rangkaian: e1, e2, v1, v2, v3, v4, i1, i2, i3, i4. Resistor 1-port N1 dan N2 dapat digambarkan sebagi fungsi affine sbb: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB32 dari 67EYS-2001 x SIFAT-SIFATRANGKAIAN RESISTIF LINEAR Pembahasanbeberapateoremaumumuntukrangkaianresistif lineartimeinvariantdantimevarying:teoremasuperposisi,teorema Thevenin-Norton, teorema representasi 2-port. Penggunaanyangtepatteorematsbakanmenghasilkansolusi yang jauh lebih mudah. Teorematsbberlakujikadanhanyajikarangkaiannyamemiliki solusi unik atau matriks tableu T nya non singular. Teorema Superposisi EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB33 dari 67EYS-2001 Interpretasi Rangkaian Anggap y merupakan tanggapan rangkaian: y = ej, vjatau ij. Setiap suku y(vsk) Hkvsk(t) pada pers. 4.1 adalah tanggapan y bila semua sumber independen dalam N kecuali vsk(t) dibuat nol. Setiap suku y(isk) Kkisk(t) pada pers. 4.1 adalah tanggapan y bila semua sumber independen dalam Nkecualiisk(t) dibuat nol. Persamaan 4.1 menunjukkan bahwa tanggapan yang disebabkan olehbeberapasumbertegangandanarusindependen=jumlah tanggapanolehsetiapsumberindependenyangbekerjasendiri (sumberteganganlaindigantihubungsingkat,sumberaruslain diganti hubung terbuka). Tanggapanrangkaianresistiflinearpadawaktut=t0,tergantung hanya pada nilai sumber-sumber independen pada waktu sama t = t0, tanpa adanya sifat memori. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB34 dari 67EYS-2001 Aplikasi I: Hitung tegangan node e1 dan arus i2. Anggap sumber tegangan saja yang bekerja: Anggap sumber arus saja yang bekerja: Tanggapan total: dengan dengan EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB35 dari 67EYS-2001 Aplikasi 2: Hitung tegangan node e1 dan arus i2. Anggap sumber tegangan saja yang bekerja: KVL: Mengingat e1(vs1)= rm2i1 dan i2(vs1) = i1, diperoleh: Anggap sumber arus saja yang bekerja: KVL: Mengingate1(is1) = -R1i1 dan i2(i1) = i1 + is1(t), diperoleh: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB36 dari 67EYS-2001 Total tanggapan:

Catatan: Bilarm1=rm2=R2,makatanggapanrangkaianakansama dengan tanggapan rangkaian pada Aplikasi 1. Dua sumber tegangan dependen dapat digabung menjadi satu CCVS: Sehingga rangkaian tsb menjadi rangkaian pada Aplikasi 1. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB37 dari 67EYS-2001 Aplikasi 3: (Soal pada Bab 4) Hitung tegangan outputvo. Anggap sumber tegangan pertama saja yang bekerja: Dari sifat virtual short circuitdan v4 = 0 diperoleh: 1 1 sv v dan 112) (Rt vis Sehingga dari rangkaian diperoleh: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB38 dari 67EYS-2001 Anggap sumber tegangan kedua saja yang bekerja: KVL: Substitusi persamaan v1 ke persamaan terakhir: Tanggapan total: (Solusi sama diperoleh pada bab 4)EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB39 dari 67EYS-2001 Aplikasi 4: N rangkaian resistif linear yang terdiri dari tak terhingga grid resistor bujur sangkar 1 ohm. Anggap sumber arus 1A diberikan pada node1 dan2 , dan anggap semua node di tak terhingga dihubungkan keground. Hitung tegangan antar aterminal 1 dan 2 tsb. Ganti sumber arus dengan satu sumber arus 1Ayang terhubung pada GND dan node 1 (dengan arah memasuki node 1), dan satu sumberarus1AlainantaraGNDdannode2(denganarah meninggalkan node 2). Catatan:perubahantsbtakmengubahKCLpadanode1dan2, sehingga solusinya tetap sama. Dengan asumsi kondisi perbatasan (semua node di tak terhingga di grounded, maka rangkaian ini memiliki solusi unik. Dengansifatsimetri,makasetiapsumberarus1Ayangbekerja sendiriakanmenyebabkanarus0.25Amengalirmelaluiresistor dari node 1 ke node 2. Dengan teorema superposisi, diperoleh arus 0.5 A mengalir pada resistor tsb bila kedua sumber arus bekerja, sehingga tegangan v = 0.5 V. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB40 dari 67EYS-2001 Teorema Thevenin-Norton Setiap rangkaian resistif 1-port linear time-invariant yang terdefinisi denganbaikNyangmemilikisolusiunik,dapatdigantidengan rangkaianekivalen1-portNeqThevenindanNortonnyatanpa mempengaruhisolusidarirangkaianluar(takperlulineardan resistif) yang terhubung pada N. Rangkaian Ekivalen 1-port Thevenin Neq Syaratmemilikisolusiunik:RangkaianNyangdiperolehdengan menghubungkan sumber arus I pada N memiliki solusi unik untuk semua i. Req : resistansi ekivalen Thevenin [ohm] TitikdrivingatauresistansiinputNsetelahsemuasumber independen didalamN di nolkan. Voc(t): tegangan open-circuit Teganganvantaraterminal1dan1ketikaport1,1 dibiarkan terbuka. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB41 dari 67EYS-2001 Rangkaian Ekivalen 1-port Norton Neq Syaratmemilikisolusiunik:RangkaianNyangdiperolehdengan menghubungkansumberteganganvpadaNmemilikisolusiunik untuk semua v. Geq : konduktansi ekivalen Norton [siemens] Titik driving atau konduktansi inputN setelah semua sumber independen didalamN di nolkan. Isc(t):arushubung singkat Arus i yang masuk melalui terminal 1 ketika terminal 1 dan 1 terhubung singkat dari luar. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB42 dari 67EYS-2001 Beberapa Interpretasi dan Aplikasi dari Teorema 1.Setiapbagianrangkaianyangmembentuk1-portresistif lineardapatdigantidenganhanyaduaelemenrangkaian tanpa mempengaruhi solusi dari sisa rangkaian. 2.AmbilReq 0.BilarangkaianekivalenTheveninNeq dihubung singkatkan, maka arusnya adalah: Bila Isc 0, maka resistansi ekivalen Theveninnya adalah: 3.Bila Req 0 dan Geq 0, maka 1-port N nya ekivalen dengan rangkaianekivalenThevenindanNorton1-portnya. Karakteristik titik drivingnya: atau: 4.UntukReq=0,RangkaianekivalenThevenin1-portnya hanyalah battery voc volt. Rangkaian ekivalen Norton nya tak ada karena Geq = EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB43 dari 67EYS-2001 5.Kondisi dual nya: Geq = 0, rangkaian ekivalen Norton 1-port nyahanyalahsumberarusIscampere,sedangrangkaian ekivalen Nortonnya tak ada. 6.Rangkaian 1-port yang tak memiliki baik Rangkaian ekivalen Thevenin maupun Norton nya berciri sbb: v = 0;i = 0 RangkaianhubungsingkatpadaportinputOpAmpideal beroperasi didaerah linear, bersifat demikian: nullator. NullatortakmemilikirangkaianekivalenTheveninmaupun Norton nya. 7.Kesimpulan:BilaNtakterkontrolarus,makarangkaiantsb takmemilikirangkaianTheveninnya.Dualnya:bilaNtak terkontroltegangan,makarangkaiantsbtakmemilikirangkaian Norton nya. 8.Padaprakteknya,untukmendapatkanrangkaianekivalen TheveninatauNortonnya,takperlumemastikansyarat bahwarangkaianmemilikisolusiunik(sulit),tetapicukup tentukan Req atau Geq nya. Bila nilai unik berhingga Req [Geq] takdiperoleh,makarangkaianekivalenThevenin[Norton] nya tak ada. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB44 dari 67EYS-2001 Contoh 1: Hitung Req dan Geq: Hitung voc menggunakan rangkaian sbb: Hitung Isc: Tentukan rangkaian ekivalen 1-port Thevenin dan Norton nya. Dari rangkaian: Rvi 1 sehingga: vRi i441 Diperoleh: KCL: 4i atau0 51 1 1ssII i i + sehingga: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB45 dari 67EYS-2001 Alternatif lain mencari Isc: Dari rangkaian: REi 1 Dari KCL: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB46 dari 67EYS-2001 Contoh 2: Hitung Req dan Geq: Hitung voc(t): Hitung Isc: Tentukan rangkaian ekivalen 1-port Thevenin dan Norton nya. Dari sifat Trafo ideal: ni ni i 2 1 Sehingga:ni R v1 1 Dengan mengingat: i n R nv v21 1 2 Diperoleh: i R n v v122 Sehingga: 121 21R nGR n Reqeq i = 0, diperoleh: i1 = -n i2 = 0dan v1 = vs(t) Sehingga: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB47 dari 67EYS-2001 Aplikasi 1: Transfer Daya Maksimum Rangkaian ekivalen Thevenin amplifier (rangkaian resistif linear time-invariant) Terapkan teorema Thevenin lagi pada terminal 2 dan 2: Teorema transfer daya maksimum (bab 9): RL = Req, sehingga 1RRnL Tentukan n agar terjadi transfer daya maksimum dari amplifier ke speaker RL R1 : resistansi Thevenin, Vs : voc pada terminal 1 dan 1 EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB48 dari 67EYS-2001 Aplikasi 2: Analisis Node untuk rangkaian dengan sumbertegangan Rangkaiandengansumbertegangan(takterkontrol tegangan) tak dapat dianalisis dengan node. Ubah rangkaian menjadi rangkaian ekivalen Norton nya: R1= 1/G1 dan 111) () (Rt vt iss Selanjutnya selesaikan dengan analisis node. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB49 dari 67EYS-2001 Teorema Representasi 2-port AnggapN =rangkaianresistifN2-portlineartime-invariantyang terdefinisi baik yang kedua portnya terhubung pada 2 buah 1-port N1 dan N2 yang tak harus bersifat linear atau resistif. Representasi Terkontrol Tegangan: NekivalendenganNvdengangjkkonstantayangtergantung hanyapadaresistor-resistordiNdantidakpadasumber-sumber independen jika dan hanya jika: rangkaianyangdiperolehmelaluipenggantianN1danN2oleh sumber-sumbertegangan independen sembarang memiliki solusi unik. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB50 dari 67EYS-2001 Representasi Terkontrol Arus: N ekivalen dengan Ni dengan rjk konstanta yang tergantung hanya padaresistor-resistorpadaNdantaktergantungpadasumber-sumber independen, jika dan hanya jika: rangkaianyangdiperolehdaripenggantianN1danN2dengan sumber-sumber arus independen memiliki solusi unik. Representasi Hibrid: NekivalendenganNhdenganhjkkonstantayangtergantung hanyapadaresistor-resistorpadaNdantaktergantungpada sumber-sumber independen, jika dan hanya jika: rangkaianyangdiperolehdaripenggantianN1danN2masing-masingdengansumberteganganindependendansumberarus independen keduanya memiliki solusi unik. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB51 dari 67EYS-2001 Disamping itu, untuk setiap 2-port ekivalen Nv, Ni, atau Nh yang ada, parameter-parameterterkaitdanbentukgelombangsumber-sumber independenadalahunik,danNdapatdinyatakandenganfungsi affine unik sbb: Representasi Terkontrol Tegangan: Representasi Terkontrol Arus: Representasi Hibrid: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB52 dari 67EYS-2001 Contoh 1: Representasi Terkontrol Tegangan Untukmemperolehrangkaianekivalenrepresentasiterkontrol tegangan,hubungkanv1padaport1danv2padaport2, selanjutnya hitung arus i1 dan i2. Bila solusi i1 dan i2 unik, maka rangkaian N memiliki Nv. Anggap Op Amp idela dan beroperasi didaerah linear. KCL: Dalam bentuk matriks Bentuk umum representasi terkontrol tegangan: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB53 dari 67EYS-2001 Dari kedua persamaan, diperoleh: Catatan: Bila R1, R2 atau R3 diganti dengan hubung singkat, maka gjk = , sehingga N tak memiliki Nv. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB54 dari 67EYS-2001 Contoh 2: Representasi Hibrid 2 Gunakan KCL port 1 dan KVL port 1, port 2, vs(t) dan R, dan i3=i2: Dalam bentuk matriks: Bentuk umum nya: Diperoleh: Hubungkan v1 pada port 1 dan i2 pada port 2. Anggap rangkaian tsb memiliki solusi unik, maka N memiliki Nh. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB55 dari 67EYS-2001 Representasi terkontrol tegangan: Representasi terkontrol arus nya tak ada. Catatan: Agar representasi terkontrolarus nya ada, maka kedua port N harus dikendalikan oleh 2 sumber arus independen: i1 =I1 dan i2 = I2. Karena i3 = I2, maka arus yang mengalir melalui sumber dependen kebawah selalu = I1 + I2. Mengingat v3 = vs(t) 5I2, maka arus yang mengalir kebawah pada VCCS juga tetap pada 2v3 = -2 vs(t)+ 10I2. Sehingga KCL pada node 1 tak terpenuhi untuk nilai sembarang I1 dan I2. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB56 dari 67EYS-2001 Aplikasi 1: Analisis Hibrid Suaturangkaian500nodemengandung1000resistor 2-terminal linear, 1000 sumber tegangan dc, 1000 sumber arus dc, resistor nonlinear Ra: ) (a a av i i)

dan Rb: ) (b bbi v v) Tentukan va dan ib. Jumlah persamaan Tableu nonlinearnya= (n-1)+2b = 6503 : tak praktis diselesaikan dengan algoritma Newton-Raphson. Pendekatan praktis: Keluarkan Ra dan Rb dari N dan anggap sisa rangkaian sebagai N 2-port. Anggap N memiliki representasi hibrid 2: Tentukan masing-masing parameter sbb: EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB57 dari 67EYS-2001 1. Mengingat: maka berikan batery 1 V pada port 1 (v1=1), buka port 2 (i2=0),buat semuasumberindependendidalamNnol(is1=0),danhitungi1.Dalam hal ini : h11 = i1. 2. Mengingat: 0 , 021'121 1 si viih makahubungsingkatkanport1(v1=0),berisumberarus1Apada port 2 (i2=1),buat semua sumber independen didalam N nol (is1 = 0), dan hitung i1.Dalam hal ini : h12 = i1. 3. Mengingat: 0 , 012'212 2 sv ivvh maka berikan batery 1V pada port 1 (v1=1), buka port 2 (i2=0),buat semuasumberindependendidalamNnol(vs2=0),danhitungv2.Dalam hal ini : h21 = v2. 4. Mengingat: 0 , 022'222 1 sv vivh makahubungsingkatkanport1(v1=0),berisumberarus1Apada port 2 (i2=1),buat semua sumber independen didalam N nol (vs2 = 0), dan hitung v2.Dalam hal ini : h22 = v2. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB58 dari 67EYS-2001 5. Mengingathubung singkatkanport 1, buka port 2 dan selesaikan rangkaian untuk i1 = is1 dan v2 = vs2. [6 parameter dapat dihitung dengan menyelesaikan 3 rangkaian resistif linear]. 6.Selanjutnyasubstitusi ) (1 a av i i) dan ) (22i v vb) ke persamaan hibrid 2 semula: Denganmenggantiv1=vadani2=Ib,makakeduapersamaan diatasselanjutnyadapatdiselesaikandenganalgoritmaNewton-Raphson. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB59 dari 67EYS-2001 SIFAT-SIFAT UMUM RANGKAIAN RESISTIF NONLINEAR Sifat-sifat rangkaian resistif linear yang telah dibahas di depan, tak satupun dimiliki oleh rangkaian resistif nonlinear. Sifat-sifat rangkaian resistif nonlinear jauh lebih kompleks : sering memiliki banyak solusi. Menggambarkan perilaku suatu resistor nonlinear 2-terminal saja sudah rumit: perlu fungsi dengan banyak parameter. Misal perilaku dioda pn-junction, resistor konkaf dan konveks digambarkan dengan fungsi 2 parameter. Dioda pn-j unct ion:( ) 0 1Vvexp I i i , v fTs1]1

,_

Resist or konkaf: ( ) ( ) E v E v G v i i + 21) ( Resist or konveks:( ) ) (21) ( I i I i R i v v + Meskipun demikian, pada beberapa kelompok dari rangkaian resistif nonlinear dapat dibuktikan beberapa sifat penting. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB60 dari 67EYS-2001 Teorema Substitusi Rangkaian N tersusun dari 1-port resistif terdefinisi baik NR (boleh nonlinear dan time varying) yang dibebani oleh 1-port NL yang tidak harus resistif maupun linear. 1. Bila N memiliki solusi unik ) (t v v)untuk semua t, maka NL dapat diganti dengan suatu sumber tegangan ) (t v)tanpa mempengaruhi solusi tegangan cabang dan arus cabang didalam NR, dengan syarat rangkaian pengganti Nv memiliki solusi unik untuk semua t. 2. Bila N memiliki solusi unik ) (t i i)untuk semua t, maka NL dapat diganti dengan suatu sumber arus ) (t i)tanpa mempengaruhi solusi tegangan cabang dan arus cabang didalam NR, dengan syarat rangkaian pengganti Ni memiliki solusi unik untuk semua t. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB61 dari 67EYS-2001 Interpretasi Rangkaian o BilaNtakterselesaikansecaraunik,makakesimpulandari teorema substitusi menjadi tak jelas karena keunikan solusi dari Nv atauNisebaik-baiknyaadalahidentikdenganhanyasatudari banyaksolusi dari N. o Untuk menunjukkan bahwa teorema substitusi adalah salah jika Nv atau Ni tak bersolusi secara unik: Anggap NR adalah resistor terkontrol arus dan NL merupakan kombinasiresistordanbatterydengangarisbebannya memotong kurva v-I hanya pada satu titik saja (E, I). Rangkaian Nv akan memberikan 3 solusi arus yang berbeda, dimana rangkaian N semula hanya memiliki satu. AkibatnyasetiaprangkaianpenggantiNvatauNiharus dianggap bersolusi unik untuk menghindari kelebihan solusi tsb. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB62 dari 67EYS-2001 Sifat Eksklusif Loop-Cut-Set Sifat ini dinyatakan dalam digraph, sehingga berlaku untuk rangkaian sembarang, termasuk nonlinear dan nonresistif. Suatu loop dalam suatu digraph disebut berarah sama, jika dan hanya jika semua cabang pada loop tsb memiliki orientasi arah sama. Loop [1, 2, 3, 4, 5} berarah sama, sedang loop {1, 2, 11, 10, 7, 5} tak berarah sama. Suatu Cut setdalam suatu digraph disebut berarah sama jika dan hanya jika semua cabang pada cut set tsb memiliki orientasi arah sama: semuanya masuk ke atau semuanya keluar dari bidang Gaussiannya. Cut set {7, 8, 9 , 11} = berarah sama, cut set {4, 6, 2, 11} = tak berarah sama. Bila * = suatu cabang dalam suatu digraph G., maka akan ada hanya 2 kemungkinan: 1. *dimiliki oleh loop berarah sama, atau 2. *dimiliki oleh cut set berarah sama, tetapi tidak keduanya. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB63 dari 67EYS-2001 Contoh 1: Ambil cabang 4 pada digraph sebagai *. Mengingat cabang 4 dimiliki oleh loop berarah sama {1, 2, 3, 4, 5}, maka sifat eksklusif loop-cut-set menjamin bahwa cabang 4 tak dimiliki lagi oleh sembarang cut set berarah sama (buktikan!) Contoh 2: Ambil cabang 7 pada digraph sebagai *. Terlihat bahwa cabang 7 tak dimiliki oleh sembarang loop berarah sama. Sehingga dari sifat eksklusif loop-cut-set akan didapat bahwa cabang 7 dimiliki oleh sedikit-dikitnya satu cut set berarah sama, misalnya cut set {7, 8, 9, 11}. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB64 dari 67EYS-2001 Konsekuensi Sifat Pasivitas Penuh Suatu resistor 2-terminal disebut pasif penuh jika dan hanya jika vi >0 untuk semua titik (v, i) pada karakteristiknya kecuali dititik asal. Resistor 2-terminal pasif penuh berciri kurva v-inya berada pada kuadaran 1 dan 3 dan tidak pada sumbu v dan i, kecuali pada titik asal. Diodaideal,diodazener,resistorkonkafdanresistorkonveks adalahresistor 2-terminal pasif, tetapi bukan pasif penuh. Ada4sifatuntukresistor2-terminalpasifpenuh:sifatpasivitas penuh, sifat tegangan node maksimum, daerah batas karakteristik transfer, dan sifat tak ada penguatan arus. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB65 dari 67EYS-2001 Sifat Pasivitas Penuh Suatu1-portyangtersusundariresistor-resistor2-terminalpasif penuh, maka dia akan bersifat pasif penuh pula. Sifat Tegangan Node Maksimum BilaNadalahrangkaianterhubungyangtersusundariresistor-resistor2-terminalpasifpenuhdandikendalikanolehsatusumber tegangandcEvolt,denganE>0danterminalnegatifsumber tegangan dipilih sebagai titik referensi, maka tegangan node terhadap titik referensi tidak akan melampaui E volt. Daerah Batas Karakteristik Transfer Karakteristiktransferv0terhadapvindarisuaturangkaianterhubung yangtersusundariresistor-resistor2-terminalpasifpenuhharus terletak didalam daerah yang diarsiratau |vo vin|. Sifat Tak Ada Penguatan Arus Bila N hanya mengandung resistor-resistor 2-terminal pasif penuh dan sumber-sumber dc, maka magnitude arus pada setiap resistor tak dapatmelampaui jumlah magnitude arus-arus pada semua sumber arus. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB66 dari 67EYS-2001 Konsekuensi Sifat Monotonitas Penuh Pasif penuh tak membatasi kemiringan kurva karakteristik resistor, tetapi perkalian vi >0 kecuali pada titik asal. Diodatunneldanglowtubetermasukresistor2-terminalpasif penuh. Kemiringankurvav-inyadapatbernilaipositifataunegatif, tergantung pada titik operasinya : nonmonoton. Rangkaian resistif yang tersusun dari resistor-resistor nonmonoton secaraumumtitikdrivingdankarakteristiktransfernyaakan bersifat nonmonoton juga. Perlupembatasankarakteristikresistor-resistorpenyusunnyabila inginmembuatrangkaianresistifdengantitikdrivingdan karakteristik transfer yang bersifat naik monoton. Suaturesistor2-terminaldisebutnaikpenuhjikadanhanyajika untuksemuapasangantitikyangberbedapadakurva karakteristiknya (v, i) dan (v, i), diperoleh: (v-v)(i-i) > 0. Secant p p harus berkemiringan positif. Sifatnaikpenuhtidakmenyaratkanbahwakurvav-inyahanya terletak pada kuadran I dan III. Resistor naik penuh tak harus resistor pasif penuh dan sebaliknya, resistor pasif penuh tak harus naik penuh. EL202 Teori Rangkaian Bab 5: Rangkaian Resistif Umum Teknik Elektro ITB67 dari 67EYS-2001 Sifat Unik Suaturangkaianyangtersusundariresistor-resistor2-terminal dengankarakteristikv-inaikterusdansumber-sumberindependen hanya memiliki sebanyak banyaknya satu solusi. Catatan: Hipotesadiatastidakcukupmenjaminbahwarangkaian memiliki solusi. Diodapn-junctionbersifatnaikpenuh,tetapirangkaiantak memiliki solusi untuk I > Is. Kondisi lain yang diperlukan agar rangkaian selelau memiliki solusi unik adalah: Karakteristik cenderung menuju t bila v t Tak ada loop yang tersusun dari sumber-sumber tegangan dan tak ada cut set yang mencakup sumber-sumber arus. Sifat Naik Penuh: Suatu1-portyanghanyatersusundariresistor-resistor2-terminal bercirinaikpenuhpadakurvav-Inya,makarangkaian1-porttsb bersifatnaik penuh pula. Sifat Keterbatasan Kemiringan KurvaMagnitudekemiringan kurva karakteristik transfer vo terhadap vin dari suaturangkaianyangtersusundariresistor-resistor2-terminalyang kemiringan positif kurva v-i nya terdefinisi baik tidak dapat melampaui 1.