bab 5

5/12/2018 Bab 5 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/bab-5-55a2386f172fc 1/5

Bab 5

TORSI

Tinjauan Instruksional Khusus:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar torsi serta keterkaitanya

dengan momen inersia, tegangan dan regangan geser.

Definisi torsi

Suatu batang dijepit dengan kuat pada salah satu ujungnya dan ujung yang lainnya

diputar dengan suatu torsi (momen puntir, twisting moment ) T = Fd yang bekerja pada

bidang tegaklurus sumbu batang seperti terlihat pada Gb. 5-1. Batang tersebut dikatakan

dalam kondisi kena torsi. T adalah torsi (Nm), F adalah gaya (N) dan d adalah diameter lengan putar (m). Alternatif lain untuk menyatakan adanya torsi adalah dengan dua tanda

vektor dengan arah sejajar sumbu batang.

Gb. 5-1

Momen kutub inersia

Untuk suatu batang bulat berlobang (pipa) dengan diameter luar Do dan diameter

dalam Di , momen kutub inersia ( polar moment of inertia) penampang melintang luasnya,

biasanya dinotasikan dengan J , diberikan dengan:

)(32

44

io D D J −=

π (5.1)

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat diperolehdengan memberi nilai Di = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat matematis dari geometri

penampang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat

yang dikenai torsi.

Sering untuk tujuan praktis, persamaan diatas ditulis kembali dalam bentuk:

))((32

2222

ioio D D D D J −−=

π

))()((32

22

ioioio D D D D D D −−−=

π

Bentuk terakhir dari persamaan diatas sangat berguna khususnya pada evaluasi numeris

J dimana perbedaan antara )( io D D − adalah kecil.

26

d

T

F

F



Torsi tegangan geser

Baik untuk poros pejal maupun poros berlubang yang dikenai momen puntir T torsi

tegangan geser (torsional shearing stress) τ pada jarak p dari titik pusat poros dinyatakan

dengan:

J

Tp=τ (5.2)

Penjabarannya diberikan dalam contoh 1. Distribusi

tegangan bervariasi dari nol pada pusat poros

sampai dengan maksimum pada sisi luar poros

seperti diilustrasikan pada Gb. 5-2.

Gb. 5-2

Regangan geser

Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa beban.

Setelah suatu momen puntir T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak menjadi a-b’

seperti ditunjukkan pada Gb. 5-3. Sudut γ , yang diukur dalam radian, diantara posisi garis

akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai regangan geser pada permukaan poros.

Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut.

Gb. 5-3

Modulus elastisitas geser

Rasio tegangan geser τ terhadap regangan geser γ disebut modulus elastisitasgeser dan, seperti pada bab 4, diformulasikan dengan:

γ

τ =G (5.3)

Lagi, dimensi untuk G adalah sama dengan dimensi tegangan geser, karena regangan

geser tak berdimensi.

Sudut puntir

Jika suatu poros dengan panjang L dikenai momen puntir T secara konstan

dikeseluruhan panjang poros, maka sudut puntir (angle of twist ) θ yang terbentuk pada

ujung poros dapat dinyatakan dengan

27

Do

p

τ

T T

ba

b’

γ



GJ

TL=θ

(5.4)dimana J menunjukkan momen inersia pada penampang melintang poros. Lihat Gb. 5-4.

Persamaan ini hanya berlaku untuk poros dalam kondisi elastis.

Gb. 5-4

Torsi plastis

Apabila momen puntir yang bekerja baik pada poros pejal maupun poros berlubangdinaikkan terus, nilai momen puntir mungkin akan mencapai titik lelah geser dari bahan

bagian luar. Ini adalah batas maksimum untuk momen puntir elastis dan dinyatakan

dengan T e. Kenaikan selanjutnya dari momen puntir menyebabkan tercapainya titik-titik

lelah pada bahan untuk posisi lapis yang semakin kedalam, sampai keseluruhan lapisan

bahan mencapai titik lelahnya; dan ini menunjukkan terjadinya momen puntir plastis

penuh (fully plastic twisting moment ) T p. Kita tidak bicarakan tegangan yang lebih besar

dari batas titik lelah, karena ini adalah batas momen puntir yang dapat diberikan oleh

poros. Dari hasil beberapa pengujian diperoleh bahwa T p = 4/3(T e).

Contoh 1.Jabarkan hubungan antara momen puntir yang bekerja pada poros pejal dan regangan geser

yang terjadi pada sembarang titik pada poros tersebut.

Pada gambar (a) disamping, poros dibebanidengan dua torsi T sedemikian sehingga porosdalam kondisi kesetimbangan statis. Untukmenentukan distribusi regangan geser pada poros,poros kita potong dengan suatu bidang yang

tegaklurus sumbu poros.Diagram gaya yang bekerja pada potongansebelah kiri bidang potong ditunjukkan padagambar (b). Tentu saja agar batang tetap dalamkondisi kesetimbangan maka torsi T harusdipasangkan pada bidang potong potonganmelintang. Torsi T pada bagian terpotong inimenunjukkan efek porsi poros sebelah kanan padaporos sebelah kiri. Torsi ini tentu saja merupakanresultan gaya-gaya geser yang terdistribusi padapenampang melintang. Sekarang perlu membuatasumsi untuk menentukan sifat intensitas berbagai

tegangan geser pada potongan melintang ini.Satu asumsi dasar adalah bahwa bagian bidang pada poros yang mempunyai posisinormal terhadap sumbu poros sebelum pembebanan, tetap normal setelah pembebanan.

28

T T

θ

L

T T

(a)

(b)

T

T



Ini dapat dibuktikan melalui percobaan untuk poros bulat, tetapi asumsi ini tidak tepatuntuk poros yang tidak bulat.

Generator (garis sejajar sumbu pada sisi luar poros) yang ditunjukkan dengan garisO1A pada gambar (c) berubah menjadi O1B setelah terjadi torsi. Sudut antara kedua garisini ditunjukkan dengan α . Berdasarkan definisi, unit regangan geser γ pada permukaanporos adalah

α α γ ≈= tan

dimana sudut α diukur dalam radian. Berdasarkangeometri pada gambar diperoleh

L

r

L

AB θ α ==

atau L

r θ γ =

Tetapi karena diameter poros oleh pengaruh pembebanan adalah tetap setelah torsi,

unit regangan geser pada jarak ρ dari pusat poros dapat dinyatakan dengan L p / ρ θ γ = .

Konsekuensinya regangan geser pada titik titik arah longitudinal bervariasi secara linier sebagai fungsi jarak dari pusat poros.

Jika hanya kita perhatikan pada rentang linier dimana tegangan geser proporsionaldengan regangan geser, maka terbukti bahwa tegangan geser pada arah longitudinalbervariasi linier terhadap jarak dari pusat poros. Distribusinya adalah simetris padasekeliling sumbu poros, seperti ditunjukkan pada gambar (d). Untuk kesetimbangan, jumlah momen distribusi gaya geser pada potongan melintang ini sama dengan besarnyamomen puntir. Juga jumlah momen gaya-gaya adalah sama dengan besarnya torsi T .

Dengan demikian

∫ =r

pdaT 0

τ

dimana da menyatakan luasan elemen bidang cincinyang diarsir pada gambar (d). Namun demikian,

tegangan geser bervariasi terhadap jarak dari sumbuporos; maka

C r

r p==

τ

ρ

τ

dimana subskrip pada tegangan geser menunjukkan jarak elemen dari sumbu poros.Konsekuensinya kita dapat menulis

∫ ∫ ==r r

dadaT 0 0

22 )( ρ ρ

τ ρ

ρ

τ ρ ρ

karena rasio τ ρ /ρ adalah konstanta. Namun, pernyataan ∫ r

da0

2 ρ berdasarkan definisi

adalah momen inersia luasan penampang melintang. Dengan demikian diperoleh:

ρ

τ ρ J T = atau

J

T ρ τ ρ =

Contoh 2.Jabarkan penyataan untuk sudut puntir suatu poros sebagai fungsi momen puntir. Asumsikanbahwa poros bekerja pada rentang elastis.

Misalkan L adalah panjang poros, dan J adalah momen inersia penampang melintang,T adalah momen puntir (diasumsikan konstan

sepanjang poros), dan G adalah moduluselastisitas geser. Sudut puntir pada panjang L

29

(d)

r ρ

dρ

τ

r

(c)

θ

L

α

A

B

O1

T T

θ

L



adalah θ seperti ditunjukkan gambar disamping.Dari contoh 1, kita dapatkan bahwa untuk posisi dimana ρ = r :

L

r r

θ γ = dan

J

Tr r =τ

Berdasarkan definisi, modulus geser diberikan denganθ θ γ

τ

J

TL

Lr

J Tr G ===

/

/, dimana

selanjutnya kita perolehGJ

TL=θ . Disini θ dinyatakan dalam radian.

Kadang-kadang sudut puntir juga dinyatakan dalam unit panjang; sering dinyatakandengan , dan dinyatakan dengan GJ T L // ==θ φ

Contoh 3.Suatu poros dijepit di salah satu ujungnya, ujung lainnya bebas, dan dibebani dengan momen putir secara seragam disepanjang poros dengan besar t per satuan panjang (Gb (a)). Kekakuan porosadalah GJ . Tentukan besarnya sudut puntir pada ujung bebas poros.

Momen puntir per unit panjang dinyatakan dengan t , dan koordinat x mempunyai origindisebelah kiri. Diagram porsi batang ujung sebelah kiri dan bagian x ditunjukkan padagambar (b). Suatu elemen dengan panjang dx tampak pada gambar dan kita akanmenentukan sudut putar pada elemen silinder dengan panjang dx ini. Untukkesetimbangan momen terhadap sumbu batang, suatu momen puntir tx bekerja padabagian sebelah kanan bagian. Momen puntir tx ini menyebabkan elemen sepanjang dx terpuntir dengan sudut putar:

GJ

dxtxd

)(=θ

Total putaran pada ujung sebelah kiri diperoleh dengan integrasi keseluruhan elemensedemikian sehingga sudut puntir dapat dinyatakan dengan

∫ =

===

L x

x GJ

tL

GJ

dxtx

0

2

2

)(θ

30

(a)

L

t

(b)

x

t

dx

tx

bab 5

Documents