SIFAT THERMAL ZAT PADAT

Panas jenis zat padat merupakan salah satu sifat thermal zat padat yang penting.

Kenyataannya seperti yang akan ditunjukkan pada bab ini adalah sangat sulit untuk

memahami hasil eksperimen dari panas jenis padatan kecuali dengan memperkenalkan

mekanika statistik kuantum. Oleh karena itu pada bagian ini akan dibahas beberapa teori

panas jenis didasarkan pada perkembangan mekanika statistik.

1. Getaran Thermal

Atom-atom dalam padatan berada dalam keadaan vibrasi thermal yang mantap.

Frekwensi dan amplitudo dari getaran-getaran thermal atom-atom dalam padatan dapat

ditentukan dengan menggunakan dasar pemikiran bahwa padatan disusun dari atom-atom

diskrit, dan sifat diskrit ini harus diguanakan dalam perhitungan getaran kisi. Akan tetapi bila

panjang gelombang dari gelombang yang dihasilkan oleh getaran thermal sangat panjang

maka padatan dapat dipandang sebagai sebuah medium kontinu. Gelombang yang dihasilkan

oleh getaran yang demikian dikenal dengan gelombang elastik.

Untuk menjelaskan penjalaran gelombang elastik tinjaulah sebuah sampel dari sebuah

batang panjang seperti ditunjukkan gambar 4.1.

Anggaplah pada batang terjadi sebuah gelombang longitudinal dalam arah x, dan menyatakan

perpindahan elastik pada titik x adalah u(x). Strain didefinisikan sebagai;

4.1

stress didefinisikan sebagai gaya per satuan luas yang juga merupakan fungsi dari x, menurut

hukum Hooke, stress bergantung pada strain dalam bentuk;

4.2

1

x x + dx

Gb. 4.1 Gelombang elastik dalam batang

S = Y.e

dimana konstanta elastik Y dikenal sebagai modulus Young. Dengan menggunakan hukum

kedua Newton maka dinamika dari segmen batang dx yang mengalami getaran thermal dapat

diturunkan sebagai berikut;

4.3

di mana ρ adalam kerapatan massa batang dan A adalam penampang yang dilewati

gelombang. Dengan menuliskan dan dengan mengganti S sesuai

persamaan 4.2 dan kemudian menggunakan persamaan 3.1 diperoleh persamaan dinamika

gelombang sebagai;

4.4

yang dikenal dengan persamaan gelombang satu dimensi. Penyelesaian dari persamaan

gelombang 4.4 adalah

4.5

dengan k adalah bilangan gelombang ( ), ω adalah frekwensi gelombang dan A adalah

amplitudo gelombang. Dengan memasukkan persamaan 4.5 ke persamaan 4.4 diperoleh;

4.6

dengan

4.7

Persamaan 4.6 yang menghubungkan frekwensi dan bilangan gelombang disebut persamaan

dispersi. Persamaan 4.7 menyatakan bahwa kecepatan penjalaran gelombang mekanik yang

terjadi pada padatan merupakan sifat-sifat medium padatan yang dipengaruhi oleh sifat

elestisitas medium dan kerapatan massa medium. Gambar 4.2 menunjukkan hubungan

dispersi gelombang elastik, yaitu merupakan sebuah garis lurus yang slope (kemiringannya)

sama dengan kecepatan gelombang bunyi, di mana ω berhubungan linier terhadap k

2

ω

k

ω=v.k

Gb. 4.2 Hubungan dispersi gelombang elastik

Persamaan 4.7 juga dapat digunakan untuk modulus Young. Hasil pengukuran menunjukkan

suatu padatan tertentu memiliki kerapatan massa ρ = 5 gr/cm3 dengan kecepatan 5 x 105 m/s

memiliki Y = 1,25 x 1012 gr/cm.s2.

Persamaan di atas diturunkan untuk sebuah gelombang longitudinal, akan tetapi cara

yang sama juga dapat diterapkan untuk gelombang transversal. Dalam memahami gelombang

elastik seperti diuraikan di atas digunakan pendekatan zat padat sebagai medium kontinu

isotropik, akan tetapi kenyataannya kristal padatan tidak isotropik (anisotropik) dan efek dari

ketidak isotropikan kristal mengarah pada ketidak hoginannya nilai-nilai karakteriktik

( modulus young, konduktivitas) dari kristal tersebut.

Untuk memahami lebih jauh dari efek ketidak isotropikan kristal digunakan

pendekatan matematika Tensor. Untuk kesederhanaan pembahasan selanjutnya pada

pembahasan zat padat digunakan pendekatan zat padat isotropik.

2. Mode Mode Keadaan Kerapatan

Tinjaulah gelombang elastik yang dihasilkan sebuah batang gambar 4.1, dalam mana

gelombang hanya menjalar dalam arah satu dimensi. Penyelesaian yang dihasilkan seperti

persamaan 4.5 dapat dinyatakan dengan;

4.8

dalam hal ini faktor temporal dari persamaan 3.5 ditiadakan, karena tidak diperlukan dalam

pembahasan. Selanjutnya dibahas efek dari syarat batas (boundary condition) dari persamaan

4.8. Syarat batas tersebut dihasilkan dari penerapan efek luar dari ujung-ujung batang. Jenis

dari syarat batas yang sering diterapkan adalah syarat batas periodik, yaitu ujung kanan

batang dibatasi sedemikian sehingga memiliki keadaan ossilasi yang sama dengan ujung kiri

batang. Misalkan panjang batang atadalah L dengan mengambil titik awan pada titik ujung

kiri batang maka syarat periodik menyatakan;

3

u(x = 0) = u(x = L) 4.9

di mana adalah penyelesaian dari persamaan 4.8. Jika dimasukkan ke persamaan 4.9

diperoleh;

4.10

persamaan ini menentukan sebuah keadaan dari nilai k yang bisa diterima dan hanya nilai k

dari persamaan 4.10 tersebutlah yang diijinkan. Karena untuk setiap bilangan bulat

n, dengan demikian nilai k yang dijinkan adalah;

4.11

dengan n = 0, ±1, ±2, ±3, …. Bila harga-harga tersebut dilukiskan sepanjang sumbu k, maka

terbentuk sebuah ruang titik-titik beraturan satu dimensi, seperti ditunjukkan gambar 4.3

Masing-masing harga k persamaan 4.11 atau masing-masing titik gambar 4.3 menyatakan

sebuah mode getar. Misalkan dipilih sebuah interval tertentu dk dalam ruang k dan

selanjutnya dapat ditentukan jumlah dari mode-mode getar yang terjadi dalam interval k.

Dengan mengambil L cukup besar maka titik-titik dapat dipandang sebagai kuasi kontinu.

Karena jarak antara titik-titik adalah 2π/L maka jumlah mode-mode getar dalam interval dk

adalah

4.12

tetapi k dengan ω adalah saling berhubungan melalui persamaan dispersi, dengan demikian

dapat ditentukan jumlah mode-mode getar dalam interval frekwensi d ω yang terletak antara

ω sampai ω + dω. Rapat keadaan g(ω) didefinisikan sedemikian sehingga g(ω) dω

emnyatakan jumlah mode getar yang terjadi interval frekwensi antara ω sampai ω + d ω.

Dari definisi tersebut dapat dituiskan

g(ω) d ω = 4.13

4

02π/L

k

Gb. 4.3 Harga-harga k yang diijinkan

atau dapat dinyatakan rapat keadaan mode-mode getar adalah

4.14

persamaan 4.14 merupakan persamaan umum untuk kasus satu dimensi, yang menunjukkan

bahwa rapat keadaan g(ω) ditentukan oleh persamaan dispersi. Untuk hubungan linier

persamaan 4.6 dω/dk = v sehingga persamaan 4.14 dapat dinyatakan;

4.15

yang merupakan harga konstan tidak bergantung pada ω.

Hasil yang diperoleh dalam pembahasan getaran satu dimensi dapat dikembangkan

untuk kasus getaran tiga dimensi. Penyelesaian gelombang untuk kasus tiga dimensi

dinyatakan dengan;

4.16

di mana penjalaran gelombang digambarkan oleh vektor k yang arahnya menunjukkan arah

penjalaran gelombang dan besarnya berbanding terbalik dengan panjang gelombang. Dalam

pembahasan gelombang dalam medium tiga dimensi sekali lagi diperlukan efek dari syarat

batas untuk tiga dimensi. Untuk penyederhanaan pembahasan tinjaulah batang sebagai

medium tiga dimensi dalam bentuk kubus yang sisi-sisinya adalah L. Dengan menerapkan

syarat batas periodik maka diperoleh harga-harag k yang diijinkan yaitu yang memenuhi

persyaratan;

4.17

yaitu harga-harga yang dihasilkan

4.18

dimana adalah pasangan tiga buah bilangan bulat. Harga-harga k yang diijinkan

untuk gelombang tiga dimensi. Dalam ruang k seperti yang ditunjukkan gambar 4.4 tiap-tiap

pasangan tiga harga menyatakan sebuah titik dalam ruang k yang menyatakan

sebuah mode getar yang diijinkan.

5

kz

Volume dari masing-masing titik dalam ruang k adalah (2π/L)3. Jumlah mode-mode getar

adalah sama dengan jumlah titik-titik pasangan harga k yang diijinkan dalam ruang bola.

Volume bola yang jari-jarinya k yaitu (4π/3).k3, karena volume tiap titik adalah (2π/L)3 maka

jumlah mode-mode getar yang diijinkan dalam ruang k adalah

4.19

dengan V = L3 adalah volume sampel padatan. Persamaan 4.19 menyatakan jumlah semua

gelombang yang diijinkan yang memiliki harga k lebih kecil dari harga tertentu dan menjalar

keseluruh arah. Dengan menurunkan persamaan 4.19 terhadap k diperoleh

4.20

yang menyatakan jumlah mode getar dalam elemen kulit bola yang jari-jarinya antara k

sampai (k + dk)

Kembali pada pengertian rapat keadaan g(ω) sedemikian sehingga g(ω)dω adalah

jumlah mode-mode getar yang frekwensinya terletak dalam interval ω sampai ω + d ω.

Jumlah ini dapat ditentukan dari persamaan 4.20 dengan mengubah variabel k menjadi ω

dengan menggunakan persamaan dispersi ω = v.k, sehingga diperoleh

4.21

6

kx

ky

k k + dk

Gb. 4.4 Ruang k dalam gelombang tiga dimensi

Berdasarkan persamaan 4.21 maka rapat keadaan dari mode-mode getar gelombang yang

diijinkan yang frekwensinya ω adalah

4.22

Grafik g(ω) terhadap ω dari persamaan 4.22 dilukiskan oleh gambar 4.5 berikut

Dari persamaan 4.22 ditunjukkan bahwa g(ω) meningkat dengan ω2, tidak seperti pada kasus

satu dimensi dimana g(ω) berharga konstan tidak bergantung pada ω. Kenaikan ini

merupakan fakta bahwa volume dari elemen bola dalam gambar 4.4 bertambah terhadap k2.

3. Energi Getaran Thermal

Untuk menentukan amplitudo dari getaran thermal dapat ditentukan dari energi rata-

rata dari sebuah getaran satu dimensi yang dalam keadaan kesetimbangan thermal terhadap

lingkungannya. Probabilitas relatif getaran demikian memiliki energi E pada suhu T diberikan

oleh faktor Boltzmann , dengan demikian energi rata-rata getaran dalam

kesetimbangan thermal dinyatakan

4.23

Jumlah energi getaran pada setiap saat dinyatakan dengan

4.24

dengan v menyatakan kecepatan partikel, K konstanta elastisitas dan x perpindahan dari posisi

kesetimbangan.

7

g(ω)

ω0

Gb. 4.5 Grafik g(ω) terhadap ω

Dengan memasukkan persamaan 4.24 kepersamaan 4.23 diperoleh energi rata-rata

adalah

4.25

dengan memasukkan E yang dinyatakan oleh persamaan 4.24 ke persamaan 4.25 diperoleh

4.26

dengan memisalkan

dan

diperoleh

4.27

dan

4.28

dengan memasukkan persamaan 4.27 dan 4.28 ke persamaan 4.26 dihasilkan persamaan;

4.29

Persamaan 4.29 merupakan sebuah bentuk fungsi khusus yang dikenal sebagai bentuk fungsi

Gama. Untuk menyelesaikan persamaan 4.29 digunakan formula sebagai berikut;

8

dan 4.30

dengan demikian hasil dari persamaan 4.29 adalah

4.31

Rata-rata energi kenietik sama dengan rata-rata energi potensial yaitu sebesar , sehingga

rata-rata energi getaran partikel adalah sebesar kT.

Dalam mekanika statistik telah dibahas bahwa getaran sebuah partikel dalam satu

dimensi memiliki dua derajat kebebasan, satu derajat kebebasan berkaitan dengan masing-

masing dari dua mode energi yang dimiliki yaitu dengan . Dengan demikian untuk getran

dalam tiga dimensi masing-masing partikel akan memiliki tiga derajat kebebasan, pada tiap

derajat kebebasan akan menyumbangkan rata-rata energi getaran sebesar kT. Sehingga tiap

getaran sebuah partikel dalam tiga dimensi akan memberikan sumbangan energi rata-rata

sebesar 3 kT.

Amplitudo dari sebuah getaran harmonik adalah perpindahan maksimum pada sisi-sisi

posisi kesetimbangan. Bila x = A maka semua energi berupa energi potensial .

Dengan pendekatan ini diperoleh rata-rata amplitudo getaran yang dihasilkan adalah

4.32

Persamaan 4.32 menyatakan rata-rata ampitudo getaran partikel dalam kesetimbangan

thermal pada suhu T. Persamaan 4.32 menunjukkan bahwa rata-rata amplitudo bergantung

pada K dan T dan bukan bergantung pada massa partikel.

4. Panas Jenis Padatan

Bila temperatur suatu padatan dinaikkan, maka energi dalam dari padatan tersebut

akan bertambah. Jika energi dalam dari suatu padatan dihasilkan oleh energi vibrasi dari

atom-atom penyusun padatan maka panas jenis padatan akan dapat ditentukan secara

langsung dari hasil pembahasan tentang energi getaran sebelumnya.

Tinjaulah panas jenis molar padatan pada volume konstan cv, yang didefinisikan

sebagai energi yang harus ditambahkan pada 1 kmole suatu zat padatan yang volumenya di

9

atur konstan untuk menaikkan suhunya 1oC. Panas jenis suatu zat padat pada tekanan konstan

cp adalah 3% sampai 5% lebih tinggi dari cv, karena pada proses tekanan tetap menghasilkan

usaha untuk mengubah volume selain meningkatkan energi dalam padatan.

Vibrasi dari masing-masing atom dalam padatan dapat diuraikan menjadi tiga

komponen sepanjang sumbu yang saling tegak lurus. Dengan demikian vibrasi masing-

masing atom penyusun padatan dapat dipandang sebagai tiga buah osilator harmonik,

sehingga energi rata-rata ossilator yang dihasilkan oleh tiap atom adalah 3 kT, karena

untuk tiap ossilator harmonik. Tiap Kmole padatan mengandung sebanyak No = 6,02 x 1026

atom. Dengan demikian jumlah energi tiap kmole padatan adalah;

4.33

dengan R = No.k = 8,31 x 103 Joule/kmole.K = 1,99 kkal/kmole.K merupakan konstanta

universal dari gas. Panas jenis padatan pada volume konstan dinyatakan oleh

4.34

dengan demikian panas jenis padatan diperoleh

cV = = 5,97 kkal/kmole.K 4.45

Dulong dan Petit kemudian menunjukkan hasil secara eksperimen bahwa panas jenis padatan

pada suhu kamar dan suhu yang lebih besar adalah cV ≈ 3R, yang dikenal dengan hukum

Dulong-Petit. Akan tetapi hukum Dulong-Petit gagal menjelaskan panas jenis untuk unsur-

unsur ringan seperti Boron, Beryllium dan Carbon seperti diamond yang masing-masing

memiliki panas jenis secara berurutan 3,34; 3,85 dan 1,46 kkal/kmole.K pasa suhu kamar.

Bahkan hukum Dulong-Petit juga gagal menjelaskan panas jenis semua zat padat yang turun

secara tajam sebagai fungsi T3 pada suhu rendah mendekati nol pada suhu mendekati 0 K.

Gambar 4.4 menunjukkan bagimana panas jenis berubah terhadap T untuk beberapa jenis

padatan. Kedua kegagalan dari hukum Dulong-Petit merupakan kegagalan yang sangat serius

terhadap hasil eksperimen.

10

5. Teori Enstein

Dalam tahun 1907 Enstein menunjukkan kesalahan mendasar dari persamaan 4.45

yang terletak pada gambaran kT dari energi rata-rata per ossilator dalam sebuah padatan.

Kesalahan ini sama sama seperti kesalahan yang ada pada formula Rayleigh-Jeans yang

menganggap sepetrum adalah kontinu, tetapi sebenarnya energi adalah terkuantisasi dalam

kelipatan hυ. Enstein memperlakukan atom-atom dalam padatan sebagai ossilator-ossilator

yang tidak saling bergantung satu dengan yang lainnya, dengan energi masing-masing

ossilator dinyatakan dalam mekanika kuantum berbeda dengan teori kalsik. Menurut teori

mekanika kuantum energi dari sebuah ossilator terisoalsi adalah

En = n hυ = n 4.46

11

CV (

kkal

/km

ole.

K)

Suhu Absolut ( K )

TimahAluminium Silikon

Karbon (diamond)

0 200 400 600 800 1000 1200

1

2

3

4

5

6

7

Gb. 4.6 Perubahan panas jenis terhadap suhu dari beberapa padatan

dengan n adalah bilangan bulat posistip (n = 0, 1, 2, 3 ……..) . Persamaan 4.46 menyatakan

energi sebuah ossilator terisolasi, akan tetapi ossilasi atom-atom padatan adalah tidak

terisoalsi, atom-atom secara kontinu melakukan pertukaran-pertukaran energi dengan energi

thermal lingkungannya padatan. Oleh karena itu energi padatan secara kontinu berubah-ubah,

tetapi harga energi rata-rata pada kesetimbangan thermal dinyatakan

4.47

faktor dikenal dengan faktor Boltamann yang menyatakan probabilitas ossilator

memiliki keadaan energi En. Dengan memasukkan persamaan 4.46 ke persamaan 4.47 dan

menyatakan persamaan 4.47 dalam bentuk;

sehingga sumasi di dalam logaritma akan menjadi deret geometri tak hingga. Dengan

menjumlahkan deret tersebut dan mendiferensial maka diperoleh energi rata-rata per

ossilator menurut Enstein adalah

4.48

dengan demikian jumlah keseluruhan energi ossilator adalah

4.49

Dari persamaan 4.49 dapat ditentukan panas jenis molar dari padatan yaitu

4.50

Untuk memberi intepretasi dari persamaan 4.50, untuk suhu tinggi pada mana berlaku

keadaan hυ << kT sehingga

4.51

karena , sehingga pada suhu tinggi 4.50 menjadi . Dengan

demikian panas jenis molar diperoleh , yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit.

12

Untuk suhu rendah >> kT maka >> 1 sehingga persamaan 4.50 menjadi

4.52

yang menunjukkan bahwa rata-rata energi turun secara eksponesial terhadap turunnya suhu

padatan. Dari persamaan 4.52 dapat diturunkan panas jenis molar padatan yang menghasilkan

4.53

yang menunjukkan bahwa panas jenis molar padatan turun secara eksponensial terhadap

turunnya suhu padatan. Formulasi Enstein untuk cv turun mendekati nol pada temperatur

yang sangat rendah, yang bertentangan dengan hukum Dulong-Petit.

Enstein juga mengemukakan bahwa kemungkinan energi dari sebuah ossilator

harmonik adalah

n = 0, 1 , 2, …… 4.54

persamaan 4.54 menyatakan bahwa ossilator pada keadaan dasar memiliki energi sebesar ½

artinya energi pada keadaan dasar tidak sama dengan nol seperti yang diperoleh dari

pembahasan klasik di atas. Energi keadaan dasar ½ tersebut dikenal dengan energi titik

nol. Keberadaan energi titik nol tidak mempengaruhi analisis terhadap panas jenis padatan

karena energi titik nol tidak bergantung suhu padatan.

6. Teori Debye

Walaupun teori Enstein dapat dengan sukses menunjukkan keadaan panas jenis

padatan pada suhu tinggi yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit dan mampu menjelaskan

turunnya panas jenis molar padatan pada suhu rendah, akan tetapi teori Enstein gagal

menjelaskan hasil eksperimen yang menunjukkan bahwa turunnya panas jenis molar padatan

sebagai fungsi T3.

Enstein dalam menganalisis panas jenis padatan memandang bahwa padatan disusun

oleh atom-atom yang berfungsi sebagai sumber-sumber ossilator yang terisolasi tidak saling

bergantung satu sama lainnya dan masing-masing ossilator memiliki energi sebesar .

Debye pada tahun 1912 mengembangkan teori panas jenis dengan mempertimbangkan efek

koupling antara ossilator dari atom-atom tetangga terdekatnya. Debye memandang padatan

sebagai sebuah zat kontinum elastik. Energi dalam dari padatan dihasilkan oleh energi

13

gelombang elastik berdiri, seperti sistem gelombang elektromagnet dalam sebuah kotak hitam

yang mengandung energi terkuantisasi. Kauntum energi dalam padatan disebut dengan fonon

yang menjalar dengan kecepatan cahaya

Jumlah gelombang elastik berdiri yang frekwensinya antara ω sampai ω + dω sesuai

dengan persamaan 4.22 yaitu . Dengan demikian jumlah mode-

mode gelombang elastik berdiri persatuan volume yang frekwensinya antara υ sampai υ + dυ

adalah

4.55

dengan v adalah kecepatan gelombang. Dalam padatan terdapat dua jenis gelombang yang

dapat terjadi yaitu gelombang longitudinal dan gelombang transversal yang masing-masing

memiliki harga kecepatan berbeda yaitu vl dan vt, lebih jauh juga terdapat dua arah polarisasi

dari gelombang transversal, sehingga pernyataan pesamaan 4.55 menjadi

4.56

Energi rata-rata dari gelombang elastik yang terjadi dapat diperoleh dari persamaan 4.46 yang

dikembangkan oleh Enstein. Dalam perhitungan energi total oleh Debye frekwensi

gelombang elastik dibatasi dari 0 samai υD yang dikenal dengan frekwensi maksimum atau

frekwensi Debye. Dengan demikian energi dalam padatan adalah;

4.57

Batas atas frekwensi adalah frekwensi maksimum tertentu υD yang mengintepretasikan fakta

bahwa tidak dapat terjadi sampai tak hingga gelombang berdiri dalam padatan atau padatan

akan memiliki energi dalam tertentu. Debye berasumsi bahwa jumlah keseluruhan

gelombang-gelombang berdiri dalam padatan adalah 3No. Sehingga dari persamaan 4.56

diperoleh

14

4.58

dengan menggunakan formulasi 4.58 persamaan dapat ditulis kembali menjadi

4.59

untuk lebih menyederhanakan bentuk integral persamaan 4.59 adalah lebih tepat mengubah

variabel υ ke sebuah besaran tanpa dimensi x di mana yang menghasilkan ,

di samping itu didefinisikan suhu karakteristik Debye . Dalam x dan θ persamaan

4.59 menjadi

= 4.60

dengan demikian panas jenis molar pada volume konstan adalah

4.61

persamaan 4.61 menunjukkan bahwa panas jenis merupakan fungsi T/θ. Selanjutnya untuk

dua keadaan suhu yang ekstrem yaitu suhu tinggi dan suhu rendah dapat dijelaskan sebagai

berikut.

Untuk suhu tinggi maka θ/T. adalah sangat kecil sehingga selanjutnya

diperoleh

dan

15

dengan demikian untuk suhu tinggi persamaan 5.61 menhasilkan , yang sesuai

dengan hasil eksperimen.

Untuk suhu rendah θ/T maka suku kedua dalam kurung siku persamaan 4.61

menjadi kecil sekali dapat diabaikan dan batas atas integral suku pertama menjadi ∞. Karena

maka pada suhu rendah persamaan 4.61 menhasilkan

4.62

hasil yang ditunjukkan persamaan 4.62 menunjukan bahwa hasil perhitungan sesuai dengan

hasil eksperimen yang menyatakan bahwa panas jenis padatan sebagai fungsi T3. Pada suhu

sedang panas jenis padatan sesuai dengan formula Debye harus dihitung secara numerik.

Prubahan panas jenis padatan terhadap T/θ sesuai dengan teori Debye ditunjukkan oleh

gambar 4.7

16

Gb. 4.7 Perubahan panas jenis terhadap T/θ menurut teori debye

CV (

kkal

/km

ole.

K)

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

1

2

3

4

5

6

T/θ

17