thermal fonon
DESCRIPTION
thermal fonon, fonon, phonon, thermal, einstein, dulong petit, debyeTRANSCRIPT
Panas Jenis Kristal
Disusun untuk memenuhi tugas makalah mata kuliah pengantar fisika zat padat
Disusun Oleh:
Satria Auffa Dhiya ‘Ulhaque
140310110012
Nyai Mona
140310110007
PROGRAM STUDI FISIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN
2014
Pada struktur kristal di dua bab sebelumnya kita dapat asumsikan bahwa
atom diam pada kisinya. Namun sebenarnya atom tidak benar-benar dalam
keadaan diam tetapi berputar pada titik keseimbangannya sehingga menghasilkan
energi thermal. Sekarang kita akan diskusikan secara detail dinamika kisi dan
pengaruhnya pada panas, akustik dan alat optic pada kristal.
Pada bab ini pertama kita akan mempertimbangkan dinamika kristal pada
batas panjang gelombang elastic, dimana kristal dapat diperlakukan pada medium
tak hingga dan kita akan membandingkan macam-macam model yang digunakan
untuk menjelaskan spesifikasi panas. Pernyataan ini ditemukan dengan
eksperimen yang hanya bisa disampaikan dengan konsep kuantum. Kemudian di
bab ini kita akan diperkenalkan dengan phonon, kuantum unit dari gelombang
bunyi. Disertai dengan dinamika kisi, kisi terpisah dan konduksi panas dari kisi.
Contoh dari gelombang kisi yaitu penyebaran radiasi (seperti sinar x).
Disertai dengan aspek penting pada gelombang kisi di dalam microwave, dan
pada akhirnya kita akan mendiskusikan pantulan dan penyerapan sinar infrared
dengan dinamika kisi pada kristal ion.
Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada
kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan
dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang
pendek dan pendekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang
pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang
lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan
“melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit, sehingga
pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai
gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi
akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang.
Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.
A. Kapasitansi Panas Fonon
Kapasitas panas yang biasa kita kenal kapasitas panas pada volume konstan,
yang lebih mendasar dari kapasitas panas pada tekanan konstan, yang
dimaksudkan pada eksperimen. Kapasitas panas pada volum konstan didefinisikan
CV=(∂ U /∂ T )V dimana U adalah energi dan T adalah temperatur.
Kontribusi dari fonon terhadap kapasitas panas pada kristal disebut kapasitas
panas kisi dan dilambangkan C lat .
Energi total dari fonon pada temperature τ(¿KBT) dalam kristal mungkin ditulis
sebagai penjumlahan dari semua mode energi fonon , disini di kumpulkan dengan
vektor gelombang K dan indeks polarisasi p.
U=∑K∑
P
U K , p=∑K∑
P⟨nK , p ⟩ħωK , P(1)
Dimana ⟨nKp⟩ adalah daerah keseimbangan termal dari panjang vektor fonon K
dan polarisasi P. bentuk ⟨nKp⟩ di turunkan dari fungsi distribiusi plank :
⟨ n ⟩= 1
exp( ħωτ )−1
(2)
Dimana ⟨ n ⟩ menyatakan rata – rata titik keseimbangan termal . grafik A dari ⟨ n ⟩
dijelaskan oleh gambar diatas. Plot dari fungsi distribusi plank . pada temperatur
tinggi keadaannya mendekati linear pada temperatur . fungsi ⟨ n ⟩ + ½ , dimana
tidak di plot . menerima tanda garis sebagai asimtot pada temperatur tinggi .
tanda garis adalah batas dalam tinjauan klasik.
Distribusi Plack
Mengacu pada osilator harmonik identik pada titik keseimbangan termal.
Perbandingan dari bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum eksitasi ke (n +
1) ke bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum ke n adalah
Nn+1/N n=exp (−ħ /τ ) , τ=Kb T (3)
Dengan menggunakan faktor boltzman. Sehingga solusi dari bilangan osilator
total pada keadaan kuantum ke n adalah
Nn
∑s →0
∞
N s
=exp(−nħ ω
τ )∑s=0
∞
( sħ ωτ )
(4)
Kita tahu bahwa rata-rata bilangan kuantum eksitasi dari sebuah osilator adalah
⟨ n ⟩=∑
s
sexp (−s ħɷτ
)
∑s
exp(−sħɷτ
)(5)
Jumlah dipersamaan (5) adalah
∑s
X s= 11−X
;∑s
sXs=xddx ∑s
X s= x
(1−x)2(6)
Dengan x=exp (−ħω /τ ¿)¿kita bisa menuliskan kembali persamaan (5) sebagai
distribusi planck :
⟨ n ⟩= xx−1
= 1
exp (−sħɷ
τ)−1
(7)
Daftar Mode Normal
Energi dari pengumpulan osilator yang berfrekuensi ɷK ,P pada kesetimbangan
termal didapatkan dari persamaan (1) dan (2) :
U=∑K∑
p
ħ ɷK , p
exp( ħ ɷK
τ )−1
(8)
Biasanya untuk menulis penjumlahan dari K bisa digunakan integral .jika kristal
dalam bentuk D p (ɷ )dɷ mengakibatkan polarisasi pdalam rentang frekuensi
sampai + d , energinya adalah
U=∑p∫ dɷ Dp
ħ ɷ
exp( ħ ɷτ )−1
(9)
Kapasitas panas bisa dicari dengan mendeferensiakan terhadap temperatur.
Dengan memasukan
X = ħ/τ = ħɷ/k B T : dengan ∂ U∂ T
dinyatakan :
C lat=KB∑p∫d ɷ D p (ɷ ) x2exp x
¿¿¿
Masalah utamanya adalah menemukan D() , bilangan mode tiap jangkauan
frekuensi. Funsi ini disebut kerapatan dari r kurang lebih jarang
Gambar 2. Garis elastis of N + 1 atom, dengan N = 10 , untuk kondisi ikatan .
bahwa atom terakhir s = 0 dan s = 10 tidak berubah. Partikel yang bergeser di
keadaan normal dari longitudinal atau tranversal pergeseran berbentuk us ᾱ sin
sKa. Bentuk ini secara otomatis memberikan nilai nol pada saat s = 0dan kita
dapat memilih K untuk tiap pergeseran di akhir s = 10.
Gambar 3. Kondisi di ikatan sin sKa = 0 untuk s = 10 tidak terpenuhi jika
memasukan K = π/10a , 2π/10a,… 9π/10a , dimana 10a adalah panjang garis L.
mengacu gambar di ruang K. titik bukanlah atom melainkan hasil yang memenuhi
K. dari N+1 partikel digaris , hanya N-1 yang diperbolehkan bergerak , dan
pergerakan totalnya dapat dinyatakan dalam suku N-1 yang memenuhi nilai K .
kuantisasi dari K tidak dapat dicari dengan mekanika kuantum tetapi dari
pendekatan klasik kondisi ikatan dapat diselesaikan.
Kerapatan dari keadaan. Cara paling mudah untuk menentukan rapat keadaan
adalah menentukan penyebaran terhadap K pada arah kristal yang dipilih
dengan caara penyebaran neutron yang tidak elastik lalu membuat analisa teorinya
untuk meberikan penyebaran hubungan pada arah yang general dari D()
kemungkinan bisa didapatkan.
Rapat Keadaan dalam Satu Dimensi
Mempertimbangkan masalah nilai batas untuk getaran dari garis satu dimensi
dengan panjang L membawa N+1 partikel dengan pemisahan a. Kita menganggap
bahwa partikel s = 0 dan s = N di akhir baris tetap. Setiap mode getaran normal
dari polarisasi p memiliki bentuk gelombang berdiri. Dimana us adalah
perpindahan oleh partikel s
us=u (0 ) exp (−i ωk , pt ) sin sKa(11)
Dimana ωk , p memiliki hubungan dengan K mendekati dispersi relasi.
Dari gambar 3 vektor gelombang K dibatasi oleh beberapa kondisi
K= πL
,2 πL
,3 πL
, …,( N−1 ) π
L(12)
Solusi dari K=π /L memiliki
us∝ sin (sπ a /L )(13)
Solusi untuk K=Nπ /L=π /a=K max memiliki us∝ sin (sπ a /L ). Ini
memungkinkan tidak ada gerak atom, karena sin ( sπ ) hilang pada setiap atom,
sehingga ada N-1 nilai bebas memungkinkan K pada persamaan 12. Jumlah ini
sama dengan jumlah partikel diperbolehkan untuk bergerak. Setiap nilai
memungkinkan K berhubungan dengan gelombang berdiri. Untuk satu baris
dimensi ada satu modus untuk masing-masing interval, sehingga beberapa mode
per rentang unit K adalah L/ π untuk K ≤ π /a dan 0 untuk K>π /a .
Ada tiga polarisasi p untuk setiap nilai K: pada satu dimensi, dua diantaranya
melintang dan satu yang lainnya membujur. Dalam tiga dimensi, polarisasi yang
sederhana ini hanya untuk vector gelombang arah Kristal tertentu.
Perangkat lain untuk mode operasi perhitungan yang sering digunakan yaitu
sama-sama valid. Kita menganggap medium yang tak terbatas, tetapi memerlukan
solusi periodik yang akan l;ebih besar dari nilai L, sehingga
K=0 ,±2 πL
,±4 πL
,±6 πL
, …,NπL
(14)
Metode perhitungan diberikan dalam jumlah mode yang sama yaitu (per satu atom
di berikan dari persamaan (12), tetapi yang kita miliki sekarang nilai keduanya
plus dan minus K, dengan ∆ k=2 π /L interval antara nilai-nilai berturut-turut k.
Untuk kondisi batas periodic nomor mode per kisaran unit k adalah L/2π untuk
−π /a≤ K ≤ π /a dan 0 sebaliknya. Situasi dalam kisi dua dimensi digambarkan
dalam gambar 6.
Kita perlu mengetahui D (ω ) adalah jumlah modus per kisaran satuan frekuensi.
Jumlah modus D (ω )dωpada dωdi dalam ω diberikan pada satu dimensi dengan
D (ω )dω= Lπ
dKdω
dω= Lπ
dωdω/dK
(15)
Kita bisa memperoleh kecepatan group dω /dK dari hubungan dispersi ω
terhadap K. Terdapat keanehan di dω setiap kali hubungan dispersi ω (k ) adalah
horizontal yaitu setiap kali kecepatan kelompok adalah nol.
Rapat Keadaan dalam Tiga Dimensi
Kita menerapkan kondisi batas periodic di N3sel primitive dalam sebuah kubus
dengan panjang sisi L sehingga dapat di tentukan oleh kondisi
exp [i (K x x+K y y+K z z ) ]≡exp {i [ K x ( x+L )+K y ( y+L )+K z ( z+L ) ] }(16¿)¿
Dimana
K x , K y ,K z=0 ;±2 πL
;±4 πL
;…. ;NπL
(17)
Karena itu ada sebuah nilai yang diperbolehkan K per volume (2 π /L )3 di dalam
ruang K, atau
( L2 π )
3
= V8 π3 (18)
Gambar 4
Mempertimbangkan N buah partikel dibatasi untuk meluncur pada cincin
melingkar. Partikel dapat berosilasi jika dihubungkan dengan pegas elastic. Dalam
modus normal us untuk perpindahan atom s akan menjadi bentuk sin sKaatau
cos sKa. Ini adalah mode independen. Periodisasi geometris dari cincin tersebut
memiliki syarat batas bahwa uN+s=us untuk semua s, sehingga NKa harus
dikalikan intergral 2. Untuk N= 8 nilai K yang diperbolehkan adalah 0, 2/8a,
4 /8 a, 6 /8 a dan 8 /8 a. Nilai K= 0 tidak berlaku untuk bentuk sin karena sin s0a =
0. Nilai 8 /8 a memiliki arti dalam bentuk cosinus karena sin s8 a /8 a=sin ¿0.
Tiga nilai lain dari K diperbolehkan untuk bentuk keduanya yaitu sin dan cos,
memberikan total delapan mode yang memungkinkan untuk 8 partikel sehingga
kondisi batas periodic mengarah ke salah satu modus yang diperbolehkan per
partikel, persis seperti kondisi batas tetap akhir pada gambar 3. Jika kita
mengambil bentuk kompleks dari exp (isKa ), kondisi batas periodic akan
mengarah pada 8 mode yaitu K=0 ,± 2 π /Na , ± 4 π /Na ,± 6 π /Na, dan ± 8 π /Na,
seperti pada persamaan 14.
−NπL
−6 πL−4 π
L−2 π
L0
2πL
4 πL
6πL
NπL
Gambar 5 Nilai yang memungkinkan untuk gelombang vektor K pada kondisi
batas periodic di terapkan pada kisi linear periodisasi N= 8 atom dengan panjang
L. K= 0 adalah solusi untuk bentuk mode yang seragam. Point special ± Nπ /L
hanya mewakili satu persamaan karena exp ( iπs ) identik dengan exp (−iπs )
.sehingga dipebolehkan 8 mode dengan perpindahan s atom sebanding dengan
1, exp (± iπs )/4, exp (± iπs )/2, exp (± i3 πs) /4, exp (±iπs).
Gambar 6 Nilai yang diperbolehkan dalam ruang Forier dari gelombang fonon
vektor K untuk kisi-kisi persegi adalah konstan, dengan kondisi batas periodic
diterapkan selama persegi memiliki sisi L= 10a. Modus seragam di tandai dengan
cross. Ada satu nilai yang di perbolehkan untuk K per luas (2 π /10 a )2=(2 π /L )2
sehingga dalam luas lingkaran π K2 jumlah titik yang di izinkan adalah
π K2 ( L/2π )2.
Memungkinkan nilai K per satuan volume ruang K. untuk polarisasi masing-
masing dan untuk setiap cabang. Volume specimen adalah V=L3. Jumlah mode
dengan vector gelombang kurang dari K ditemukan dari persamaan (18) menjadi ( L2π )
3
kalinya volume sebuah bola yang berjari-jari K. sehingga
N= (L /2 π )3 (4 π K3/3 )(19)
untuk setiap jenis polarisasi. Rapat keadaan untuk setiap polarisasi adalah
D (ω )=dN /dω=(V K2/2 π 2 ) ( dK /dω )(20)
Rapat Keadaan Model Debye
Dalam pendekatan Debye kecepatan bunyi diambil sebagai konstanta untuk
masing-masing tipe polarisasi, sebagaimana itu mungkin untuk kontinum elastik
klasik. Hubungan dispersinya dapat ditulis seperti
ω=ʋ K (21)
dengan ʋ adalah konstanta kecepatan bunyi.
Kerapatan keadaan (20) menjadi
D (ω )= V ω2
2 π2ʋ3 (22)
Jika terdapat N sel primitif dalam contoh, total nomor ragam phonon akustiknya
adalah N. Sebuah frekuensi pancung ωD ditentukan oleh (19) seperti
ωD3 =6 π2 ʋ3 N
V(23)
Untuk frekuensi ini terdapat koresponden sebuah arus listrik gelombang vektor
dalam K ruang:
¿¿
Dalam ragam Debye kita tidak diperbolehkan ragam vektor gelombangnya lebih
besar dari KD. Nomor ragam dengan K ≤ K D membuang nomor derajat kebebasan
dari kisi monoatomik.
Energi termalnya (9) diberikan oleh
U=∫ dω D (ω) (n (ω ) )ħω=¿∫0
ωD
dω( Vω2
2 π2 ϑ3 )( ħω
eħω /r−1 )(25)¿
Untuk masing-masing tipe polarisasi. Untuk singkatnya kita mengasumsikan
bahwa kecepatan phonon adalah kebebasan polarisasi, sehingga kita mengalikan
dengan faktor 3 untuk memperoleh
U= 3Vħ
2 π2ϑ 3∫0
ωD
dωω3
eħω/r−1=¿
3 VkB4 T 4
2π2 ϑ3 ħ3∫0
xD
dxx3
e x−1(26)¿
Dimana x=ħω /r=ħω/k BT and
xD=ħωD
KbT= θ
T(27)
Ketentuan Debye pada suhu θ dalam kondisi ωD ditentukan oleh (23). Kita dapat
mengungkapkan θ seperti
θ=ħϑkB
.( 6 π2 NV )
13 (28)
Sehingga total energi phononnya adalah
U=9 NkB(Tθ )
3
∫0
xD
dxx3
ex−1(29)
Dimana N adalah nomor atom dalam sampel dan xD=θ/T .
Kapasitas panas ditemukan paling sering dengan mudah dengan membedakan
pertengahan persamaan (26) dengan ketidakpastian suhu. Kemudian
C v=3Vħ2
2π2 ϑ3 k BT 2∫0
ωD
dωω4 eħω /r
(eħω/ r−1 )2=9 NkB (Tθ )
3
∫0
xD
dxx4 e x
(e x−1 )2(30)
Kapasitas panas Debye digambarkan pada gambar 7. Pada T ≫θ kapasitas
panasnya mendekati nilai klasik 3 NkB. Pengukuran nilai silikon dan germanium
digambarkan pada gambar 8.
Hukum T3 Debye
Pada suhu sangat rendah kita dapat mendekati (29) dengan membiarkan limit
teratas sampai tidak terbatas. Kita mempunyai
∫0
∞
dxx3
ex−1=∫
0
∞
dx x3∑0
∞
exp (−sx )=6∑0
∞184=
π4
15(31)
Dimana jumlah melebihi s−4 ditemukan dalam tabel standar. Jadi
U=3 π 4 NkB T 4/5θ3 untuk T ≪θ , dan
C v=12 π4
5NkB(T
θ )3
=234 NkB(Tθ )
3
(32)
Yang mana adalah pendekatan Debye T3. Hasil penelitian untuk Argon
digambarkan pada gambar 9.
Pada suhu yang cukup rendah pendekatan T3 cukup baik: bahwa ketika hanya
panjang gelombang ragam akustik dimunculkan secara termal. Hanya ada ragam
yang mungkin dihilangkan seperti kontinum elastik dengan konstanta elastik
makroskopik. Energi ragam panjang gelombang pendek (untuk yang pendekatan
pasti ini) adalah terlalu tinggi bagi mereka untuk dipopulasikan secara penting
pada suhu rendah.
Kita mengetahui T3 dihasilkan oleh uraian sederhana (gambar 10). Hanya ragam
kisi memiliki ħω < kBT akan dikeluarkan menjadi beberapa sampai bernilai pada
suhu rendah T. Eksitasi dari ragam ini akan menggunakan pendekatan klasik,
masing-masing dengan sebuah energi sampai kBT, berdasarkan gambar 1.
Dengan diikuti volum dalam ruang K, pecahannya ditempati oleh ragam eksitasi
yaitu dari (ωT/ωD)3 atau (KT/KD)3 , dimana KT adalah vektor gelombang termal
seperti ħʋKT = kBT dan KD adalah vektor gelombang arus listrik Debye. Jadi
pecahan ditempati (T/ θ)3 dari total volum dalam ruang K. Terdapat 3N(T/θ)3
ragam eksitasi, masing-masing memiliki energi kBT. Energinya ~3N kBT (T/θ)3
dan kapasitas panasnya adalah ~12N kB (T/θ)3.
Untuk kristal sesungguhnya suhu pada pendekatan T3 cukup rendah. Itu dapat
diperlukan dibawah T = θ/50 untuk mendapatkan kemurnian sifat T3.
Pemilihan nilai θ diberikan pada tabel 1. Catatan, sebagai contohnya dalam alkali
logam bahwa atom yang lebih berat memiliki θ terendah, karena kecepatan suara
menurun sebagai peningkatan rapat massa.
Rapat Keadaan Model Einstein
Dengan menganggap bahwa pergerakan sejumlah N yang memiliki frekuensi
sama (0)dan dalam 1 dimensi. Kerapatan keadaan model Einsten adalah
D (ω )=Nδ (ω−ω0), dimana fungsi deltanya berpusat pada 0. Energi termal sistem
adalah
U=N ⟨n ⟩ ћω= Nћω
eћωτ −1
(33)
gambar 9. Temperatur rendah kapasitas panas argon padatan terhadap
Temperatur3. Dalam grafik tersebut menggambarkan bahwa hasil eksperimen
tersebut dapat dikatakan dengan Hukum Debye3 dengan θ= 92 K
gambar 10. Untuk mendapatkan sebuah penjelasan dari hukum debye3, kita dapat
menganggap bahwa semua model ponon dari gelombang vektor yang kurang dari
Kr memiliki energi termal klasik KbT dan jarak antara Kr dan debye tidak ada.
Dari 3N kemungkinan mode, memiliki sejumlah ( K T
K D)
3
=(Tθ )3
karena ini adalah
perbandingan dari volume dalam bola dan volume luar bola. Energinya adalah
U ≈ k BT .3 N (T /θ)3dan kapasitas panas adalah C v=∂ U∂ T
≈ 12 N kB(T /θ)3
gambar11. Bandingkan hasil dari percobaan kapasitas panas dari intan dengan
hasil perhitungan model kuantum awal Einsten, menggunakan karakteristik
temperatur θE=ћω/k B=1320 K . Untuk mengubahnya ke satuan J/mol0, dikalikan
dengan 4,186
Jadi kapasitas panas dari pergerakan tersebut adalah
C v=( ∂U∂ T )
V
=N k B( ћωτ )
2 eћω/ τ
(eћω/ τ−1 )2(34 )
yang digambar pada gambar 11. Ini menunjukan hasil dari einsten untuk
konstribusi dari pergerakan N identik menjadi kapasitas panas zat padat.
Jika dalam 3 dimensi, maka kita sebut dengan 3N. Batas ketinggian suhu Cv
menjadi 3N Kb, dan disebut juga hasil dulog dan petit.
Pada tempertur rendah, kapasitas panas berkurang sebanyak exp ¿ yang pada
percobaan dari kontribusi ponon disebut juga T3, pada mode Debay diatas. Model
Einsten ini biasanya digunakan untuk menghitung bagian optik ponon dari
spektrum ponon.
Hasil Umum Untuk D ()
Kita mau mencari persamaan umum untuk D(). Jumlahnya bagian dari tiap unit
bagian jarak frekuensi, diberikan dispersi relasi ponon ()K. Jumlah yang
diijinkan dari K untuk setiap frekuensi ponon antara + d adalah
D (ω )dω=( L2 π )
3
∫shell
d3 K (35)
Dimana integral tersebut sampai dengan volume kulit K yang dibatasi oleh 2
frekuensi ponon yang besarnya konstan, 1 permukaan dan 1 nya + d.
gambar12. Elemen dari daerah dS di ruang frekuensi yang konstan pada kulit K.
Jadi volume antara 2 permukaan dari frekuensi yang tetap pada dan +d sama
dengan ∫ d Sω dω /|∇k ω|. Elemen dari volume antara permukaan frekuensi tetap
w dan +d pada penggambaran sebuah silinder dengan alas dS dan ketinggian
d K⊥ maka
∫shell
d3 K=∫d Sω d K⊥ (36)
dan besar
|∇K ω|d K⊥=dω
Sehingga
d Sω d K⊥=d Sωdω
|∇K ω|=d Sω
dωvg
dimana vg=|∇K ω| adalah besar dari kecepatan grup ponon. Sekarang kita
mempunyai
D (ω )dω=( L2 π )
3
∫ d Sω
v g
dω
dan L3 adalah Volume kristal. Sehingga kerapatan D() adalah
D (ω )= V(2 π )3∫
d Sω
vg
(37)
gambar13. Besar d K⊥ yang antara permukaan dan +d
gambar14. kerapatan menurut fungsi frekuensi dari (a) Debye padatan dan (b)
Struktur kristal
Persamaan sebelumnya tersebut dapat menghitung besar ruang K. Hasilnya akan
sama dengan teori ikat elektron. Ini sangat membantu untuk menghitung D()
dari suatu titik dimana kecepatan grup ponon adalah nol.
B. Interaksi Kristal Anharmonik
Teori getaran Lattice hanya membahas Energi potensial pada bentuk kuadrat
dalam interaksi perpindahan atom, diantara konsekuensinya adalah:
2 gelombang Lattice tidak berinteraksi
Tidak ada expansi thermal
Konstanta elastic adiabatic dan isothermal sama
Konstanta elastisitas nya adalah tekanan bebas dan temperature
Kapasitas panas menjadi konstan ketika berada pada temperature yang
tinggi
Tidak ada dari pernyataan di atas yang tepat dalam menjelaskan Kristal.
Penyimpangan yang terjadi disandarkan pada neglect of anharmonic. Demonstrasi
effect anharmonic adalah percobaan interaksi dua phonon untuk memproduksi
phonon ketiga pada frekuensi ω3 = ω1 + ω2. Shiren mendeskripsikan sebuah
experiment antara sebuah beam of longitudinal phonon pada frekuensi 9.20 GHz
yang berinteraksi dengan Kristal MgO dengan sebuah parallel beam of
longitudinal phonons dengan nilai 9.18 GHz. Interaksi kedua beam ini
memproduksi beam of longitudinal phonon ketiga dengan nilai 18.38 GHz.
Proses tiga phonon ini disebabkan oleh bentuk ketiga energy potensial Lattice.
Bentuk khas nya mungkin saja berupa U 3=A exx eyy ezz, dimana e adalah
komponen tegangan dan A merupakan konstanta. Gambaran mudah tentang
wujud interaksi phonon yaitu: kehadiran sebuah phonon yang disebabkan sebuah
periodic elastisitas tegangan yang memodulasi konstanta elastisitas Kristal dalam
ruang dan waktu. Phonon kedua merasakan konstanta elastisitas dan menyebar
untuk memproduksi phonon ketiga.
1. Ekspansi Termal
Energi potensial atom dengan perpindahan x dari posisi kesetimbangannya dapat
dipresentasikan:
U ( x )=c x2−g x3−f x4(38)
Dengan c,g,dan f bernilai positif. Bentuk x3 dipresentasikan sebagai asimetri
mutual repulsion atom dan bentuk x4 sebagai pelembut getaran dengan amplitude
yang besar.
Dengan merata – ratakan perpindahan menggunakan fungsi distribusi Boltzmann,
akan memungkinkan kita untuk menemukan nilai x menurut probabilitas
thermodinamika:
( x )=∫−∞
∞
dx x exp[−βU ( x )]
∫−∞
∞
dx exp[−βU ( x )]
Dengan β = 1
KbT . Untuk perpindahan demikian, bahwa bentuk anharmonik
dalam energy itu kecil dalam perbandingan dengan KbT . Mungkin kita dapat
memperluasnya dengan integral berikut
∫ dx x eksp (−βU )≅∫ dx [eksp (−β cx2 ) ] ¿¿¿
∫ dxeksp (−βU )≅ 1+βg x2=( πβc
)1/2
(39)
Maka expansi thermalnya adalah
⟨ x ⟩= 3 g
4 c2K bT (40)
C. Konduktivitas Termal
Koefisien K konductivitas termal padat didefinisikan dengan hubungan aliran
keadaan mantap dari panas sebuah batang panjang dengan gradient suhu dT/dx;
Jv=−kdTdx
(41) ,
Dimana jv adalah flux energy thermal. Implikasi dari persamaan ini adalah proses
transfer energy thermal secara acak. Dari teori kinetic gas kita mendapatkan
sebuah pendekatan bentuk dari konduktivitas thermal:
k=13
Cvl (42)
Dimana C adalah kapasitas panas per satuan volume, v adalah rata-rata kecepatan
partikel, dan l adalah “mean free path” tabrakan diantara partikel.
Jika c adalah kapasitas panas sebuah partikel, kemudian bergerak dari temperature
T + ΔT ke temperature T, sebuah partikel tersebut akan melepaskan energy c ΔT,
dengan
∆ T=dTdx
l x=dTdx
vx t
Dimana t adalah waktu rata – rata diantara tumbukan
Energi net flux
Jv=−n (vx2 )ct
dTdx
=−13
n (v2 )ctdTdx
(43)
untuk phonon dengan v konstan :
j v=−13
cv ldTdx
(44)
dengan l = vt dan C = nc. Maka K = 13
Cvl
1. Resistivitas Termal untuk Gas Fonon
Phonon yang berarti “free path l” itu secara prinsip, ditentukan dengan 2 proses,
yaitu penghamburan geometri dan penghamburan oleh phonon lain. Jika gaya –
gaya antar atom harmonic,maka tidak ada tumbukan mekanik diantara ponon –
ponon dan “the mean free path” akan dibatasi oleh tumbukan sebuah ponon
dengan ikatan Kristal dan lattice imperfections.
Dengan interaksi anharmonik Lattice, pasangan antara 2 phonon yang berbeda
yang memiliki harga mean free path yang terbatas. Keadaan exact system
anharmonik tidak terlalu lama seperti phonon.
Teori pasangan efek anharmonik thermal resistivity memprediksi bahwa l
proposional dengan 1/T pada temperature tinggi. Untuk mendefinisikan sebuah
konduktivitas thermal, harus ada mekanisme dalam Kristal dimana distribusi
phonon memungkinkan mencapai titik kesetimbangan thermal. Tanpa mekanika
kita mungkin tidak dapat berbicara ponon di “one end of crystal” di titik
keseimbangan termal di sebuah temperature T2 dan berakhir di temperature T1.
TIdak cukup hanya dengan membatasi the mean free path, tetapi harus ada
pembangunan sebuah lokasi kesetimbangan thermal dari distribusi phonon.
Tabrakan phonon dengan ikatan Kristal tidak akan membuat kesetimbangan
thermal, karena tumbukan tidak merubah energy phonon secara individual. Ini
dapat ditandai ulang dengan proses tabrakan 3 phonon.
K1+K2=K3(45)
Tidak akan menuju kesetimbangan,tapi untuk reaksi halus total momentum gas
phonon tidak akan berubah oleh tumbukan.
Ket gambar 16.a : aliran molekul gas dalam dalam keadaan menuju
kesetimbangan di dalam tabung panjang terbuka dengan dinding tanpa gesekan.
Diantara proses tumbukan elastistas molekul gas tidak merubah momentum atau
energy flux gas karena setiap tumbukan kecepatan pusat massa dan energy yang
menumbuk partikel – partikel tidak berubah.
Ket gambar 16.b : definisi konduktivtas termal di dalm sebuah gas dapat
disamakan dengan sebuah situasi dimana aliran tak bermassa diizinkan. Dengan
sebuah pasangan – pasangan tumbukan gradient suhu dengan “above-average”
kecepatan pusat massa akan mengarah ke kanan. Sedangkan untuk “below-
average” kecepatannya mengarah ke kiri.
Sebuah kesetimbangan distribusi phonon pada temperature T bias menggerakkan
Kristal dengan kecepatan yang tidak terdistribusi oleh persamaan di atas. Untuk
setiap tabrakan phonon
J=∑K
nk ηK (46)
Dikoservasikan. Karena tumbukan J berubah dengan K1 – K2 – K3 = 0. Nk adalah
banyaknya ponon yang memiliki gelombang vektor K.
Ket gambar 16.c: dalam sebuah Kristal kita mungkin dapat mengatur phonon –
phonon memimpin di one end. Di sini akan menjadi sebuah net flux phonon
mengarah right end Kristal. Jika hanya proses N terjadi, momentum tumbukan
flux phonon tidak berubah.
Ket gambar 16.d: dalam proses U, sebuah net besar merubah momentum dalam
setiap tumbukan. Inisial net flux phonon akan cepat sekali rusak. The ends akan
beraksi sebagai sumber dan sinks. Perpindahan net energi di bawah sebuah
gradient temperature terjadi.
Untuk sebuah distribusi dengan J tidak sama dengan 0 , tumbukan seperti (45)
“incapable” menuju kesetimbangan thermal sempurna karena J tidak berubah. Jika
memulai phonon panas sebuah “rod” turun dengan J tdaksama dengan 0 distribusi
akan “propagate” kebawah rod dengan J tidak berubah. Hal ini bukanlah
merupakan resistansi thermal.
Proses Umpklapp
Tiga phonon penting diproses menyebabkan resitivitas panas tidak dalam bentuk
K1 + K2 = K3 dengan K yang konsevatif , tetapi dalam bentuk :
K1+K2 = K3 + G (47)
Dimana G adalah vektor reciprocal lattice . proses ini ditemukan oleh pierls , yang
dikenal dengan umklapp proses. Kita bisa menyebutnya G untuk semua
momentum konservatif dalam kristal.
Kita ambil contoh dari proses interaksi gelombang dalam kristal yang total vektor
gelombangnya berubah sampai mendekati nol .
Gambar 17 (a) normal K1 + K2 = K3 dan (b) umklapp K1+K2=K3+G proses
tumbukan fonon pada kisi persegi dua dimesi . kisi persegi pada tiap gambar
mengacu pada daerah blillouin di ruang fonon K , daerah ini memuat semua
kemungkinan nilai tidak tetap dari vektor gelombang fonon. Vektor K dengan
arah tepat di tengah daerah yang direpresentasikan menyerap fonon pada proses
tumbukan. Seperti kita tau di (b) bahwa arah proses umklapp dari komponen – x
fluks fonon cadangan. Vektor kisi balik G dinyatakan dengan panjang 2π/a ,
dimana a adalah konstanta kisi dari kisi kristal , dan sejajar dengan sumbu Kx.
Untuk semua proses , N atau U , energi harus kembali , jadi ɷ1 + ɷ2 = ɷ3.
Vektor. Proses serupa selalu mungkin dalam kisi priodik. Pendapat paling kuat
untuk fonon : hanya berarti fonon palsu K pada daerah brillouin pertama , jadi
tidak ada K yang dihasilkan pada tumbukan harus kembali ke daerah pertama
dengan tambahan G . A tumbukkan dari dua fonon dengan hasil yang negatif dari
Kx dapat dilakukan dengan proses umklapp (G tidak sama dengan 0) membuat
ponon positif Kv . proses umklapp juga disebut U proses.
Proses tumbukkan dengan G = 0 disebut normal proses atau N proses . pada
temperatur tinggi T > θ semua fonon sedang tereksitasi karena Kb T > ħɷmaks ,
semua tumbukan lenting sempurna akan mengalami proses U dengan bantuan
momentum tinggi yang terjadi dalam tumbukan. Dalam keadaan ini kita dapat
memperkirakan resistivitas termal tanpa perbedaan secara tinjauan partikel antara
proses N dan U , dengan anggapan awal tentang efect non linear kita dapat
memperkirakannya untuk mendapatkan hambatan termal kisi sebanding dengan T
pada temperatur tinggi.
Energi dari fonon K1 , K2 cocok untuk terjadinya umklapp jika saat ½ Kb θ ,
karena baik fonon 1 ataupun 2 harus mempunyai gelombang vektor kisaran 1/2G
sehingga tumbukkan (47) bisa mungkin terjadi. Jika kedua fonon mempunyai K
rendah , sehingga energinyapun rendah , tidak mungkin tumbukan antara mereka
gelombang vektornya keluar dari daerah pertama. Proses umklapp yang energinya
konservatif , hanya cukup untuk proses normal. Pada temperature rendah
bilangan fonon yang memenuhi dari energi tinggi 1/2Kbθ memerlukan harga
expetasi extrem sebagai exp(-θ/2T) , menurut faktor boltzman. bentuk
eksponensial cocok dengan hasil eksperimen. Kesimpulannya , fonon bebas pada
saat memasuki (42) itu adalah saat bebas untuk tumbukkan umklapp diantara
fonon dan tidak untuk semua fonon
Gambar 18 : konduktivitas termal pada bahan kristal murni dari sodium flurida .
setelah H. E jackton , C walker , dan T . F McNelly.
Ketidaksempurnaan
Efek geometri sangat penting untuk free path. Kita menganggap bahwa bagian
kecil dari kristal dibatasi oleh massa isotopic terdapat dalam elemen kimia alami,
kima pemurnian, ketidaksempurnaan pola-pola geometris dari molekul-molekul,
dan struktur benda tak berbentuk.
Pada temperatur rendah, rata-rata dari free path l menjadi sebanding dengan lebar
spesimen uji, sehingga nilai dari l tersebut dibatasi oleh lebar spesimen uji, dan
konduktivitas termalnya menjadi fungsi dari dimensi spesimen. Efek ini
ditemukan oleh De Haaz dan Biermasz. Penurunan yang tajam pada konduktivitas
termal dari kristal pada temperatur rendah dikarenakan oleh efek ukuran.
Di temperatur rendah, proses umklapp menjadi tidak efektif dalam membatasi
konduktifitas termal, dan efek ukurannya menjadi dominan seperti yang
ditunjukkan pada gambar18. Dapat kita perkirakan free path ponon akan menjadi
konstan, dengan diameter D spesimen, dapat kita lihat
K ≈ CV D(48)
C merupakan konduktivitas panas dimana T nya harus temperatur rendah. Efek
ukuran akan mempengaruhi jika rata-rata free path dari ponon menjadi sebanding
dengan diameter dari spesimen.
gambar19.
kristal dielektrik memiliki konduktivitas termal yang sama dengan logam. Al2O3
adalah salah satu kristal dielektrik yang mempunyai konduktivitas termal yang
sama tingginya dengan metal (tergantung pada suhunya) yang nantinya akan
dijelaskan pada chapter 6.
Pada kasus yang lain, misalnya kristal sempurna, distribusi dari isotop pada
elemen kimia sering menjadi mekanisme dalam proses bagian-bagian terkecil
pada ponon. Distribusi acak dari massa isotopik akan mengganggu kerapatan
seperti yang terlihat pada gelombang elastis. Bagian-bagian kecil pada substansi-
substansi ponon saling terkait. Hasil Germanium dapat dilihat dari gambar19.
Tingginya konduktivitas termal juga pernah didapatkan untuk Silikon dan Intan.