bab 4 penyelesaian persamaan linier simultan

He

A

B.

ri Rustamaji Teknik Kimia Unila 41

PERSAMAAN LINIERSIMULTAN

. PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas tentang persamaan linier simulatan, sehingga

diharapakan mahaiswa akan mampu menyelesaikan persamaan linier simultan

yang muncul dari permasalahan teknik kimia. Mahasiswa juga diharapkan

mampu menyusun suatu persamaan linier simultan dari peristiwa fisis atau kimia

dalam teknik kimia dan menyelesaikan persamaan tersebut dengan MATLAB.

Topik ini sangat penting untuk dipelajari karena dalam permasalahan

penyusunan neraca massa dan energi sering ditemukan persamaan yang

mencerminkan perilaku dari sistem berupa seperangkat persamaan linier

simultan yang kompleks.

Untuk memperdalam pemahaman mahasiswa tentang topik ini disarankan

untuk membaca kembali buku rujukan yang digunakan dalam kuliah ini.

PENYAJIAN MATERI

Analisis matematis dari sistem fisika-kimia linier sering menghasilkan model

yang terdiri dari seperangkat persamaan aljabar linier. Selain itu, metode

penyelesaian dari sistem persamaan nonlinier dan persamaan diferensial

menggunakan teknik dari model linierisasi, sehingga membutuhkan penyelesaian

berulang dari seperangkat persamaan aljabar linier. Masalah-masalah ini dapat

berupa persamaan dengan kompleksitas yang tinggi yaitu dari seperangkat yang

terdiri dari dua persamaan linear aljabar simultan sampai seperangkat yang

melibatkan 1.000 atau bahkan 10.000 persamaan. Penyelesaian dari seperangkat

dua sampai tiga persamaan aljabar linear dapat diperoleh dengan mudah dengan

metode eliminasi aljabar atau dengan penerapan aturan Cramer.

Namun, untuk sistem yang melibatkan lima atau lebih persamaan, metode

eliminasi aljabar menjadi terlalu kompleks, dan aturan Cramer membutuhkan

sejumlah operasi aritmatika tinggi, terlalu besar bahkan untuk saat ini

BAB 4

Heri Rustamaji

dibutuhkan kecepatan komputer digital yang tinggi. Dalam bagian ini, kami

memberikan beberapa contoh dari sistem yang menggambarkan aplikasi dari

teknik kimia yang menghasilkan seperangkat persamaan aljabar linier simultan.

Neraca massa dan energi adalah tools utama badi insinyur kimia. Neraca

tersebut misalnya diterapkan pada proses distilasi bertingkat atau

multikomponen yang menghasilkan seperangkat persamaan yang dapat berupa

persaman diferensial atau aljabar. Seringkali sistem yang dianalisis adalah

persamaan nonlinier, sehingga menghasilkan seperangkat persamaan nonlinier.

Namun, banyak prosedur telah dikembangkan dengan linearisasi persamaan dan

menerapkan teknik iteratif konvergensi untuk sampai pada penyelesaian dari

sistem persamaan nonlinier. Sebuah contoh klasik dari penggunaan teknik ini

adalah dalam analisis kolom distilasi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Neraca massa steady state diterapkan pada bagian rektifikasi kolom menghasilkan

persamaan berikut:

Gambar 4.1

vji

vj+1,i

vf-1,1

vji

vj+1,i

lj-1,i

lji

lf-1,i

lj-1,i

lji

lFivFiFzi

F

Rep

vji

loi

Totalkondensor

j =1

j di

D

j = 0

j +1

j = f-1

j = f

j

j +1

a

T

Kolom distilasi

j =N-1

boilerrsial

j =N

Reflux drum

eknik Kimia Unila 42

bi

B

Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 43

Neraca massa sekitar kondensor:

V1y1i = Lo1xoi + D xDi (4.1)

Neraca massa di atas tahap j:

Vj yji = Lj-1xj-1 + D xDi (4.2)

Asumsi bahwa tahap bearada dalam kesetimbangan dan kolom meggunakan

kondensor total sehingga hubungan kesetimbangan berikut berlaku:

yji = Kji xji (4.3)

persamaan (4.3) disubtitusikan ke persamaan (4.1) dan (4.2) dan semuanya dibagi

dengan D xDi maka dihasilkan persamaan :

11

1

0

1

11 i

i

jF

i

i xxD

FzL

xD

yV(4.3)

11

,11

,1

1

1

i

ijj

ij

j

i

jj

xD

yV

K

L

xD

yV(4.3)

Laju alir molal komponeen tunggal didefinisikan sebagai:

vji = V1y1i (4.6)

di = D xDi (4.7)

untuk beberapa tahap j, rasio adsorpsi didefinisikan sebagai:

jj

j

iVK

LA 1 (4.8)

dan untuk kondenser total

D

LA i

00 (4.9)

Subtitusi persamaan (4.6)-( 4.8) ke persamaan (4.4) dan (4.5) dihasilkan:

101

i

i

i Ad

v(4.10)


1,1

,11

i

ij

ij

i

i

d

yA

d

v(4.11)

Untuk setiap perhitungan percobaan yang diberikan A dianggap sebagai

konstanta. Yang tidak diketahui dalam persamaan di atas adalah kelompok vji/di.

Jika hal ini diganti dengan xji dan subskrip i, komponen menunjukkan komponen

i yang dijatuhkan, seperangkat persamaan berikut dapat ditulis untuk kolom

yang berisi lima tahap kesetimbangan di atas tahap/plat umpan.

x1 = Ao + 1

-A1x1 + x2 = 1

-A2x2 + x3 = 1

-A3x3 + x4 + = 1

-A4x4 + x5 + = 1

Ini adalah seperangkat persamaan aljabar linier simultan. Ini sebenarnya adalah

seperangkat khusus yang hanya memiliki persyaratan bukan nol pada diagonal

dan satu elemen yang berdekatan. Ini adalah satu set matrik bidiagonal.

Bentuk umum persamaan linier simultan adalah:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. + a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2nxn = c2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + …. + a3nxn = c3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

an1x1 + an2x2 + an3x3 + …. + annxn = cn

di mana semua koefisien aij, dapat gerupa nilai yang bukan nol. Seperangkat

persamaan ini biasanya sering dinyatakan dalam vektor matrix dengan notasi

sebagai berikut:

A x = c

dimana A adalah koefisien matriks


ܣ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

ଵଵ ଵଶ . . . ଵ

ଶଵ ଶଶ . . . ଶ

. . . . . . .

ଵ ଶ . . . ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

x adalah vektor dari variable yang tidak diketahui nilainya

=ݔ

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ଵݔ

ଶݔ.

.

.

ݔ ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

dan c adalah vektor konstanta

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡

ଵ

ଶ

.

.

.

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Ketika vektor c adalah vektor nol, maka seperangkat persamaan di atas disebut

homogen.

Di dalam MATLAB, jenis persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan

dengan menggunakan fasilitas yang sudah tersedia yaitu operasi matrix.

Contoh 4.1 Mencari beberapa variabel persamaan linier simultan

Diketahui sebuah sistem persamaan linier sbb. :

02

5653

132

535

431

432

4321

321

xxx

xxx

xxxx

xxx


Sistem persamaan linier ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks :

0

5

1

5

1201

6530

1321

0135

4

3

2

1

x

x

x

x

Penyelesaian pada Matlab :

» A = [5 -3 1 0; 1 2 -3 1; 0 3 -5 6; -1 0 2 -1]

A =

5 -3 1 0

1 2 -3 1

0 3 -5 6

-1 0 2 -1

» b = [5 1 -5 0]

b =

5 1 -5 0

» x = A\b'

x =

1.3165

0.5823

0.1646

-0.9873

» A*x

ans =

5.0000

1.0000

-5.0000

0


Contoh 4.2 : Neraca Massa Linier Rangkaian Proses.

Suatu bahan A akan dikonversikan menjadi B dalam sebuah reaktor. Produk B

keluar bersama reaktan A yang tidak bereaksi menuju pemisah sehingga reaktan

A dapat dikembalikan ke reaktor. Gambar skema proses tesebut ditunjukkan

pada gambar di bawah.

Produk berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam. Kendala proses

adalah :

1. 80 % dari A dan 40 % dari B di dalam alur 2 di daur-ulang.

2. Perbandingan mol A terhadap B di dalam alur 1 adalah 5 : 1.

Neraca massa Pencampur :

NA1 – NA3 = 100

NB1 – NB3 = 0

Neraca massa reaktor :

- NA1 + NA2 + r = 0

- NB1 – NB2 – r = 0

(r = laju reaksi)

Neraca massa pemisah :

- NA2 + NA3 + NA4 = 0


- NB2 + NB3 + NB4 = 0

Kendala-kendala :

Porsi cabang : 0.8 NA2 + NA3 = 0

-0.4 NB2 + NB3 = 0

Hubungan komposisi alur : NA1 – 5 NB1 = 0

Ada 9 persamaan linier dengan 9 variabel yang tak diketahui :

NA1, NB1, NA2, NB2, NA3, NB3, NA4, NB4 dan r.

Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks

sbb. :

0

0

0

0

0

0

0

0

100

000000051

000104.0000

0000108.000

010101000

001010100

100001010

100000101

000100010

000010001

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A

A

A

A

A

A

A

A

A

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Script Matlab untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah :

% Penyelesaian persamaan neraca massa : neraca.m

A = [1 0 0 0 -1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 -1 0 0 0;

-1 0 1 0 0 0 0 0 1;

0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1;

1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0;

2 0 0 0 -1 0 1 0 1 0;

3 0 0 -0.8 0 1 0 0 0 0;

4 0 0 0 -0.4 0 1 0 0 0;

5 1 -5 0 0 0 0 0 0 0]


b = [100 0 0 0 0 0 0 0 ]'

x = A\b

» neraca

A =

Columns 1 through 7

1.0000 0 0 0 -1.0000 0

0

0 1.0000 0 0 0 -1.0000

0

-1.0000 0 1.0000 0 0 0

0

0 -1.0000 0 1.0000 0 0

0

0 0 -1.0000 0 1.0000 0

1.0000

0 0 0 -1.0000 0 1.0000

0

0 0 -0.8000 0 1.0000 0

0

0 0 0 -0.4000 0 1.0000

0

1.0000 -5.0000 0 0 0 0

0

Columns 8 through 9

0 0

0 0

0 1.0000

0 -1.0000

0 0

1.0000 0

0 0

0 0

0 0

b =


100

0

0

0

0

0

0

0

0

x =

227.2727

45.4545

159.0909

113.6364

127.2727

45.4545

31.8182

68.1818

68.1818

C. RANGKUMAN

Persamaan aljabar linier simultan dapat dinyatakan dalam vektor matrik

Untuk dapat dinyatakan dalam bentuk vector/matrik jumlah variable yang

tidak diketahui harus sama dengan jumlah persamaan

Matriks yang terbentuk dari persamaan linier simultan adalah matrik nbujur

sangkar

Persaman aljabar linier simultan dapat diselesaiakan dengan MATLAB

menggunakan operasi matriks

D.LATIHAN

Latihan 4.

Xylene (1), styrene (2), toluene (3) dan benzene (4) akan dipisahkan menggunakan

3 buah menara distilasi sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di bawah. Masing-

masing yaitu : F, D, B, D1, B1, D2, dan B2 adalah laju alir molar dalam mol/menit.


Diketahui : F = 70 mol/menit

xf,1 = 0.15 ; xf,2 = 0.25 ; xf,3 = 0.40 ; xf,4 = 0.20

xd1,1 = 0.07 ; xd1,2 = 0.04 ; xd1,3 = 0.54 ; xd1,4 = 0.35

xb1,1 = 0.18 ; xb1,2 = 0.24 ; xb1,3 = 0.42 ; xb1,4 = 0.16

xd2,1 = 0.15 ; xd2,2 = 0.10 ; xd2,3 = 0.54 ; xd2,4 = 0.21

xb2,1 = 0.24 ; xb2,2 = 0.65 ; xb2,3 = 0.10 ; xb2,4 = 0.01


(a) Hitung laju alir molar untuk aliran D1, D2, B1 dan B2 ?

(b) Hitung laju alir molar dan komposisi aliran D dan B ?

Petunjuk Penyelesaian :

Neraca massa komponen untuk keseluruhan rangkaian MD

FxBxDxBxDx fbdbd 1,21,221,211,111,1




Neraca massa overall dan komponen untuk MD-02

11 BDD

11,111,11, BxDxDx bdd




Neraca massa overall dan komponen untuk MD-03

22 BDB

21,221,21, BxDxBx bdb




E. RUJUKAN

1) Constantinidis dan Mustoufi,1999, Numerical Methodes for Chemical Engineers

with MATLAB Application, hal 63-69. Prentice-Hall: Englewood Cfiffs, NJ

2) Dan Hanselman dan Bruce Littlefield, 1997. MATLAB: Bahasa Komputasi dan

Teknis. hal 71-76. Andi. Yokyakarta

3) Cutlip, M. B., Shacham, M., 1999, Problem Solving in Chemical Engineering with

Numerical Methods. Hal 15-16. Prentice-Hall: Englewood Cfiffs, NJ.

bab 4 penyelesaian persamaan linier simultan

Documents