bab 4 - integrasi n-d - updated

Bab 4 Integrasi Numerik Multi Dimensi Integrasi multi dimensi, dalam hal ini 2-D dan 3-D, dalam bidang kebumian dan rekayasa mineral biasanya digunakan untuk menghitung luas dan volume. Selanjutnya luas dan volume tersebut digunakan untuk mengevaluasi sumber daya alam dalam bentuk cadangan deposit atau endapan 4.1. Metoda Suksesi Integral multi dimensi terjadi jika fungsi integran harus dievaluasi terhadap lebih dari satu variabel bebas. Berikut ini integrasi multi dimensi akan direduksi menjadi integral satu dimensi dengan cara suksesi atau iterasi yang dinyatakan sebagai berikut:

∫∫ ∫∫∫ −− −

−==

x

0

1n1

01

021nn dt)t(f)tx(

)!1n(1dt)t(fdtdtdtI

x

02t3tnt

0L (4-1)

Langkah-langkah reduksi integral multi dimensi menjadi integral satu dimensi diberikan sebagai berikut:

Step 1 : tentukan limit batas bawah dan atasnya pada sumbu x, yaitu x1 dan x2. Step 2 : tentukan batas integrasi pada sumbu y, untuk nilai x tertentu, yang

dinyatakan sebagai y1 (x) dan y2 (x). Step 3 : tentukan batas integrasi pada sumbu z, untuk nilai x,y tertentu, yang

dinyatakan sebagai z1(x,y) dan z2(x,y).

• •

•

setelah itu, maka akan didapatkan intgral multi dimensi dengan ekspresi berikut:

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ =≡2x

1x

)x(2y

)x(1y

)y,x(2z

)y,x(1zdz)z,y,x(fdydxdzdydx)z,y,x(fI (4-2)

misalkan

∫∫ ≡≡)x(2y

)x(1y

)y,x(2z

)y,x(1zdy)y,x(G)x(Hdz)z,y,x(f)y,x(G dan (4-3)

maka integral dalam persamaan (4-1) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

∫≡)x(2x

)x(1xdx)x(HI (4-4)

Catatn Kuliah – Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

IV-1

4.2. Metode Quadratur Gauss Multi Dimensi dalam Koordinat Lokal dengan Batas Integrasi dari –1 sampai dengan +1

Formula Gauss dalam dua dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut:

∫ ∑∑∫−= =

−==

1

1

eN

0i

N

0jjijjii

1

1),(f)(w)(wdd),(fI

η

ηεηεηεηε

1)(w0 ii ≤≤ ε 1)(w0 jj ≤≤ η (4-5)

dimana )(w ii ε dan )(w jj η adalah faktor bobot untuk fungsi f pada titik Gauss

),( ji ηηεε == , sedangkan Nε dan Nη adalah jumlah titik Gauss pada interval -1 ≤ 1i ≤ε

dan –1 ≤ 1j ≤η . Dalam tiga dimensi, formula Gauss akan mempunyai ekspresi seperti berikut:

∫ ∫ ∫ ∑∑∑− − − = = =

==1

1

1

1

1

1

N

0i

N

0j

N

0kkjikkjjii ),,(f)(w)(w)(wddd),,(fI

ε η ζ

ζηεζηεζηεζηε

1)(w0 ii ≤≤ ε 1)(w0 jj ≤≤ η 1)(w0 kk ≤≤ ζ (4-6)

dimana )(w ii ε , )(w jj η dan )(w kk ζ masing-masing adalah faktor bobot untuk fungsi f

pada titik Gauss ),,( iji ζζηηεε === dan Nε, Nη serta Nζ masing-masing adalah jumlah

titik Gauss pada interval -1 ≤ 1i ≤ε , –1 ≤ 1j ≤η dan -1 ≤ 1i ≤ζ . Jumlah dan lokasi titik Gauss serta faktor bobot dipilih sedemikian rupa, sehingga diperoleh akurasi yang cukup tinggi. Jika fungsi f merupakan polinomial, maka formula Gauss menghasikan integrasi yang eksak. Sejumlah (n+1)/2 titik Gauss dibutuhkan agar menghasilkan integrasi yang eksak untuk polinomial dengan orde n. Jumlah serta lokasi titik Gauss diberikan dalam Tabel 4.1.


IV-2

Tabel 4.1: Lokasi Titik Gauss dan Faktor Bobot untuk Integrasi Eksak Polinomial Multi Dimensi (Sumber: Dhatt and Touzot, 1984)

Tabel ini identik dengan Tabel 3.1

Orde Polinomial

Jumlah Titik Gauss

zi wi

0 atau 1 1 0 2

2 atau 3 2 + 0.577350269189626 1

- 0.577350269189626 1

4 atau 5 3 0 0.888888888888889 + 0.774596669241483 0.555555555555556 - 0.774596669241483 0.555555555555556

6 atau 7 4 + 0.339981043584856 0.652145154862546 - 0.339981043584856 0.652145154862546 + 0.861136311594053 0.347854845137454 - 0.861136311594053 0.347854845137454

8 atau 9 5 0 0.568888888888889 + 0.53846 93101 05683 0.478628670499366 - 0.53846 93101 05683 0.478628670499366 + 0.90617 98459 38664 0.236926885056189 - 0.90617 98459 38664 0.236926885056189


IV-3

Ilustrasi 1: integrasi dua dimensi: Hitung integral berikut:

∫ ∫− −+=

1

1

1

1

324 dd)(I ηεηεη (4-7)

Dalam persamaan (4-7), orde polinomial tertinggi adalah empat atau (η4). Untuk itu dibutuhkan formula Gauss dengan tiga titik atau n = 2 dalam masing-masing arah yang jumlah totalnya adalah sembilan, yaitu (ε, η):

Tabel 4.2: Lokasi Titik Gauss dan Faktor Bobot untuk Integrasi Persamaan (4-7)

0 0

0.774596669241483 0

-0.774596669241483 0

0 0.774596669241483

0.774596669241483 0.774596669241483

- 0.774596669241483 0.774596669241483

0 - 0.774596669241483

0.774596669241483 - 0.774596669241483

- 0.774596669241483 - 0.774596669241483

Dengan memperhatikan Tabel 4.7, dengan membatasi hanya dengan lima angka di belakang koma dan persamaan (4-5) didapatkan:

∑∑= =

+=2

0i

2

0j

3j

2i

4jjjii )()(w)(wI ηεηηε (4-8)

})0()0()0){(88889.0)(88889.0( 324 += [1,1]

})77460.0()0()77460.0){(55556.0)(88889.0( 324 ++ [1,2]

})77460.0()0()77460.0){(55556.0)(88889.0( 324 −+−+ [1,3]

})0()77460.0()0){(88889.0)(55556.0( 324 ++ [2,1]

})77460.0()77460.0()77460.0){(55556.0)(55556.0( 324 ++ [2,2]

})77460.0()77460.0()77460.0){(55556.0)(55556.0( 324 −+−+ [2,3]

})0()77460.0()0){(88889.0)(55556.0( 324 +−+ [3,1]

})77460.0()77460.0()77460.0){(55556.0)(55556.0( 324 +−+ [3,2]

})77460.0()77460.0()77460.0){(55556.0)(55556.0( 324 −+−−+ [3,3] = 0 + 0.230 - 0.230 + 0 + 0.210 - 0.077 + 0 + 0.210 - 0.077 = 0.266


IV-4

Ilustrasi 2: integrasi tiga dimensi: Hitung integral berikut:

∫ ∫ ∫− − −+=

1

1

1

1

1

1

2232 ddd)(I ζηεηζεζεη (4-9)

Orde tertinggi polinomial adalah tiga, dalam hal ini (ζ3). Untuk itu dibutuhkan titik Gauss sejumlah dua atau n = 1 dalam setiap arah yang totalnya berjumlah delapan, yaitu (ε,η,ζ):

Tabel 4.3: Lokasi Titik Gauss dan Faktor Bobot untuk Integrasi Persamaan (4-9)

+ 0.577350269189626 + 0.577350269189626 + 0.577350269189626

- 0.577350269189626 - 0.577350269189626 - 0.577350269189626

+ 0.577350269189626 + 0.577350269189626 - 0.577350269189626

- 0.577350269189626 - 0.577350269189626 + 0.577350269189626

+ 0.577350269189626 - 0.577350269189626 + 0.577350269189626

- 0.577350269189626 + 0.577350269189626 - 0.577350269189626

+ 0.577350269189626 - 0.577350269189626 - 0.577350269189626

- 0.577350269189626 + 0.577350269189626 + 0.577350269189626

Dengan memperhatikan Tabel 4.7, dengan membatasi hanya dengan tiga angka di belakang koma dan persamaan (4-6) didapatkan:

[∑∑∑= = =

+=1

0i

1

0j

1

0k

2kj

2i

3k

2jikkjjii )(w)(w)(wI ζηεζηεζηε ] (4-10)

Perhitungan integral persamaan (4-10) dilakukan berikut ini, dengan catatan, bahwa semua titik Gauss mempunyai faktor bobot yang sama, yaitu satu, sehingga di dalam perhitungan berikut ini tidak dituliskan, karena faktor bobot satu tidak akan merubah besar integral.


IV-5

2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( += [1,1] 2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −−−+−−−+ [1,2]

2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −+−+ [2,1] 2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −−+−−+ [2,2]

2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −+−−+ [3,1] 2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −−+−+ [3,2]

2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −−+−−+ [4,1] 2232 )577.0)(577.0()577.0()577.0()577.0)(577.0( −+−+ [4,2]

= 0.1012 − 0.0272 + 0.0272 − 01012 − 0.1012 + 0.0272 − 0.1012 + 0.0272 = − 0.148

Baik persamaan (4-8) maupun persamaan (4-10) tidak dikalikan dengan (b - a) / 2 , karena nilai b = 1 dan a = 1, sehingga besarnya (b - a) / 2 = 1.


IV-6

4.3. Metode Elemen Hingga Dua Dimensi Domain atau wilayah integrasi 2-D dapat berupa bidang (datar) dan permukaan (tidak datar). Hal ini penting untuk ilmu-ilmu kebumian. Luas daerah pada peta topografi yang dihitung menggunakan planimeter akan tidak sama dengan luas aktualnya, karena planimeter menghitung luas daerah dengan asumsi bidang (datar), sedangkan aktualnya daerah tersebut mungkin berupa lembah dan bukit. Menghitung luas menggunakan metode elemen hingga (MEH) dilakukan dengan cara membagi domain integrasi menjadi elemen-elemen 2-D, yang berupa elemen segitiga, elemen empat persegi panjang atau elemen yang lain atau kombinasi antar beberapa elemen menjadi Grid (Gambar 4.1 dan 4.2). Proses ini disebut dengan diskritisasi domain integrasi.

y

x

Gambar 4.1: Diskritisasi Domain Integrasi dengan Elemen Segitiga

Selanjutnya luas domain integrasi dihitung merupakan jumlah seluruh elemen di dalam domain tersebut.


IV-7

Gambar 4.1: Diskritisasi Global Domain Integrasi dengan Elemen Segitiga dan Segiempat Metode quadratur Gauss dengan koordinat dari –1 sampai dengan +1 di atas kemudian diterapkan pada fungsi permukaan atau z = f(x,y) atau fungsi volume v = f(x,y,z) dengan batas-batas sembarang, sehingga untuk integral dua dimensi atau 2-D, persamaan integrasi quadratur Gauss mempunyai bentuk atau ekspresi secara umum sebagai berikut:


IV-8

( )

2

2

22 0 0

dc)cd(z

ba)ab(z

,Fjwiw)cd()ab(dxdy)y,x(fI

jj

ii

n

iji

n

j

b

a

d

c

++−=

++−=

−−≈= ∑∑∫ ∫

= =

η

ε

ηε

(4-11)

Sedangkan integral tiga dimensi atau 3-D, persamaan integrasi quadratur Gauss dinyatakan sebagai berikut:

2

2

2

222 0 0 0

fe)ef(z

dc)cd(z

ba)ab(z

),,(Fwwwx)ef()cd()ab(dzdxdy)z,y,x(fI

kk

jj

ii

n

i

n

j

n

kkjikji

b

a

d

c

f

e

++−=

++−=

++−=

−−−≈= ∑∑∑∫ ∫ ∫

= = =

ζ

η

ε

ζηε

(4-12)


IV-9

bab 4 - integrasi n-d - updated

Documents