bab 4 aplikasi turunan

Ekstrim fungsi dua peubah atau lebih

49

Bab IV

EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH

4.1. Masalah Maksimum dan Minimum

Konsep nilai ekstrim relatif fungsi satu peubah real yang telah dipelajari sebelumnya

akan diperluas ke fungsi dua peubah atau lebih. Jika pada fungsi satu peubah kurvanya

berupa lengkungan (satu dimensi) untuk domain yang berupa interval, maka fungsi dua

peubah kurvanya lebih kepada sebuah luasan permukaan karena domainnya berupa

sebuah bidang. Oleh karena itu peranan selang buka pada fungsi satu peubah diganti oleh

daerah bidang yang dibatasi oleh suatu lengkungan. Bentuk sederhananya adalah cakram

terbuka pada bidang.

Seperti halnya dengan fungsi satu peubah, proses menentukan ekstrim relatif untuk fungsi

dua peubah diawali dengan membandingkan nilai-nilai fungsinya terhadap nilai di

sekitarnya. Untuk itu kita mempunyai definisi berikut:

Definisi 4.1

Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah dan terdefinisi di B yang memuat titik (x0,y0).

i) Jika untuk suatu cakram dengan pusat (x0,y0) yang terletak di B sehingga

f(x0,y0) f(x,y) untuk setiap (x,y) di B, maka titik (x0,y0) disebut titik maksimum

relatif/lokal. Nilai fungsi f(x0,y0) disebut nilai maksimum relatif.

ii) Jika untuk suatu cakram dengan pusat (x0,y0) yang terletak di B sehingga

f(x0,y0) f(x,y) untuk setiap (x,y) di B, maka titik (x0,y0) disebut titik minimum

relatif. Nilai fungsi f(x0,y0) disebut nilai maksimum relatif.


50

Definisi yang sama berlaku dengan kata relatif digantikan dengan kata mutlak/global.

Jika cakramnya justru memuat B. Gambar 1 memberikan tafsiran geometri dari definisi.

Perhatikan bahwa suatu maksimum/minimum mutlak secara otomatis adalah suatu

maksimum/minimum relatif/lokal.

Di mana nilai ekstrim muncul? Situasinya serupa pada kasus satu peubah. Titik-titik di

mana nilai ekstrim muncul disebut titik kritis. Titik-titik kritis dari f di B ada tiga jenis.

1. Titik batas dari Himpunan B. Titik yang jika kita buat persekitaran untuk

bagaimanapun kecilnya, maka persekitaran itu memuat titik-titik yang berada

di B dan titik-titik yang tidak di B.

2. Titik stasioner dari fungsi f. Titik disebut titik stasioner jika f

terdiferensialkan dan . Dalam hal ini kedua turunan parsialnya sama

dengan 0,

3. Titik singular dari fungsi f. Titik disebut titik singular jika f tidak

terdiferensialkan. Dengan kata lain,

atau

tidak ada di titik

Teorema 4.1 (teorema titik kritis)

Misalkan f terdefinisi pada himpunan B yang memuat titik . Jika adalah

suatu nilai ekstrim, maka adalah suatu titik batas dari B atau suatu titik stasioner

dari f, atau suatu titik singular dari f.

Contoh 4.1

Carilah nilai maksimum atau minimum relatif dari .

Penyelesaian:

Maksimum mutlak

Maksimum relatif

Minimum mutlak

Minimum relatif

gambar 4.1. ekstrim relatif dan mutlak


51

Perhatikan bahwa fungsi tersebut dapat didiferensialkan sepanjang bidang xy. Jadi titik

kritis yang mungkin adalah titik stasioner. Sebagaimana telah dijelaskan di atas, titik

stasioner diperoleh dengan cara:

Maka dan . Sehingga diperoleh dan . Sehingga titik

stasionernya adalah .

Kemudian diselidiki apakah titik (1,-1) memberikan suatu maksimum atau suatu minimum atau

bukan keduanya. Untuk keperluan tersebut, kita cukup memeriksa apakah nilai fungsi di sekitar

titik (1,-1) lebih besar atau lebih kecil dari nilai .

Perhatikan bahwa untuk sembarang titik . Jadi

sebenarnya adalah suatu minimum relatif (bahkan suatu minimum mutlak) untuk f.

Tidak semua titik stasioner akan menjadi titik ekstrim. Fakta bahwa bentuk

tidak menjamin adanya suatu ekstrim relatif di . Hal ini dapat dilihat pada

contoh berikut.

Contoh 4.2

Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari .

Penyelesaian:

gambar 4.2. kurva fungsi


52

Pada fungsi tersebut diperoleh dan (notasi ).

Dengan menetapkan dan sama dengan nol, ini menghasilkan titik stasioner (0,0),

yang tidak memberikan suatu ekstrim. Jika kita perhatikan nilai-nilai di sekitar (0,0) pada

, maka nilai . Sebaliknya, jika diperoleh nilai

.

Ini disebut titik pelana, lihat gambar 4.2. Fungsi yang diberikan tidak mempunyai ekstrim

relatif.

Berdasarkan dua contoh di atas pengujian titik ekstrim dengan menggunakan definisi 4.1

tampaknya belum memberikan hasil yang memadai. Hal ini dikarenakan keterbatasan

kita untuk mengeksploitasi nilai semua titik di cakram yang memuat titik kritis tersebut

jika fungsinya agak rumit. Untuk mengatasi ini kita menggunakan uji turunan parsial

kedua. Karena uji ini melibatkan turunan parsial, maka uji ini berlaku hanya untuk titik-

titik stasioner. Sedangkan untuk dua titik lainnya penyelidikan apakah fungsinya

mencapai ekstrim dilakukan dengan cara semula, membandingkan semua nilai titik-titik

tersebut dengan nilai fungsi untuk semua titik-titik di sekitar titik tersebut dalam daerah

definisi fungsi.

Teorema 4.2

Misalkan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di cakram atau

persekitaran dari yang merupakan titik stasioner dari f. Misalkan

[ ] , maka

i) Jika dan , maka adalah nilai maksimum relatif.

ii) Jika dan , maka adalah nilai minimum relatif.

iii) Jika , maka bukan suatu nilai ekstrim dengan kata lain titik

disebut titik pelana.

Contoh 4.3

Tentukan ekstrim (jika ada) untuk fungsi (kurvanya diperlihatkan pada gambar 4.3),

yang didefinisikan oleh

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa turunan parsial dari fungsi adalah dan .

Sehingga dengan menyamakan turunan parsialnya dengan nol, diperoleh titik-titik

stasionernya adalah dan . Turunan kedua fungsi adalah:


53

Dengan menggunakan teorema 4.2, diperoleh:

Untuk titik , nilai turunan kedua terhadap adalah dan

. Sehingga nilai adalah nilai minimum relatif/lokal.

Untuk titik , diperoleh , sehingga titik adalah titik

pelana, maka nilai bukanlah nilai ekstrim.

Contoh 4.4

Tentukan jarak minimum antara titik asal O di terhadap permukaan

.

Penyelesaian:

Misalkan adalah sebuah titik di permukaan tersebut. Maka jarak titik P

terhadap titik O dinyatakan dengan persamaan jarak antara dua titik adalah

√ . Karena P terletak pada permukaan, maka jaraknya adalah

√

Kita dapat meminimumkan d dengan cara meminimumkan kuadrat jaraknya (perhatikan

bahwa inilah yang kita ambil sebagai fungsi yang akan dicari nilai minimumnya).

Untuk mencari titik kritisnya, ditetapkan bahwa dan , sehingga

dan .

gambar 4.3 kurva permukaan


54

Kedua persamaan tersebut akan memberikan bentuk .

Jadi, atau √ , atau √ . Substitusi ketiga nilai pada persamaan

, maka diperoleh (untuk ) dan (untuk √ dan

√ ) . Karena itu, titik kritisnya adalah , (√ ), dan ( √ ).

Untuk mengujinya, kita memerlukan , , . Untuk titik

(√ ), dan ( √ ) memberikan nilai , maka kedua titik ini tidak

memberikan suatu nilai ekstrim. Tetapi untuk , dan , yang

menurut teorema 2 merupakan titik dengan nilai minimum terjadi. Jadi jarak minimum

permukaan terhadap titik asal adalah √ , yaitu jarak antara

titik di permukaan fungsi dengan titik .

Uji turunan parsial kedua pada teorema 2 hanya dimungkinkan digunakan jika titik

kritisnya berupa titik stasioner. Jadi uji ini belum menjangkau semua kasus yang

mungkin. Berikut ini adalah contoh di mana uji ini tidak berlaku.

Contoh 4.5

Tentukan nilai minimum fungsi | | | |.

Penyelesaian:

Melihat bentuk persamaan fungsi di atas, jelas kita akan menyimpulkan bahwa nilai

minimumnya terjadi di , karena menurut definisi 1,

| | | |

Uji turunan parsial kedua tidak dapat digunakan karena dan tidak ada,

adalah titik singular.

Contoh 4.6

Jelaskan mengapa fungsi | | | | tidak memunyai titik ekstrim.

Penjelasan

Perhatikan bahwa dan tidak ada, sehingga adalah titik kritis. Tetapi,

jika | | | | maka nilai fungsi | | | | , sebaliknya jika | | | | maka

nilai fungsinya | | | | .


55

4.2. Masalah Ekstrim Bersyarat

Kita awali pembahasan ini dengan contoh yang telah diberikan sebelumnya ketika

mencari jarak minimum dari permukaan ke titik asal. Ketika kita

melakukan substitusi pada persamaan kuadrat jarak, bentuk itu kita anggap sebagai

sebuah fungsi baru yang kita nyatakan . Persamaan itulah

yang kemudian dicari nilai minimumnya. Kita mencari nilai-nilai yang mampu

meminimumkan bentuk terhadap kendala .

Misalnya kita ingin menemukan nilai minimum dari . Mudah diperoleh

bahwa dengan memandang ini sebagai masalah nilai ekstrim sebagaimana dibahas

sebelumnya, kita akan menemukan bahwa nilai minimumnya adalah 4. Tetapi jika kita

ingin menemukan nilai minimum dari terhadap kondisi bahwa ,

tentu nilai minimumnya bukan lagi 4.

Permasalahan-permasalahan seperti itu kita sebut dengan masalah nilai ekstrim bersyarat.

Pada pembahasan ini akan digunakan metode pengali Lagrange, sebagaimana telah

diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813).

Teorema 4.3 (Teorema Lagrange)

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan terhadap kendala ,

selesaikan sistem persamaan

dan

Untuk dan . Setiap titik yang memenuhi persamaan di atas adalah suatu titik kritis

untuk masalah ekstrim bersyarat dan yang bersesuaian disebut pengali Lagrange.

(perhatikan bahwa dapat berupa satu peubah, dua peubah, atau lebih yang sesuai

permasalahan yang ada.)

Contoh 4.7

Tentukan nilai minimum fungsi terhadap kendala .

Penyelesaian:

Misalkan persamaan fungsinya adalah dan persamaan kendala

ditulis sebagai . Maka persamaan Lagrangenya adalah

Jadi diperoleh:


56

Dengan melakukan substitusi

, ke persamaan diperoleh

bahwa nilai pengali Lagrangenya adalah . Maka diperoleh dan

. Jadi nilai minimum fungsi adalah (

)

.

Contoh 4.8

Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari

pada ellips

.

Penyelesaian:

Misalkan persamaan kendala ditulis , maka persamaan-persamaan

Lagrangenya adalah

Perhatikan dari persamaan 3) bahwa dan keduanya tidak boleh nol.

Misal , maka persamaan 1) memberikan maka diperoleh dari 2) .

Akibatnya dari persamaan 3) diperoleh . Jadi titik-titik kritisnya adalah dan

.

Misal , maka persamaan 2) memberikan sehingga dari 1) diperoleh .

Akibatnya dari persamaan 3) . Jadi titik-titik kritis yang lain adalah dan

.

Dari empat titik kritis itu diperoleh:

Hasil ini menunjukkan bahwa nilai minimum adalah -9 dan nilai maksimum fungsi

adalah 1 untuk kendala .

Jika fungsi yang ingin diminimumkan atau dimaksimumkan mempunyai lebih dari satu

fungsi kendala, dapat digunakan pengali-pengali Lagrange sebanyak kendala yang ada


57

(satu untuk setiap kendala). Misalnya akan dicari nilai ekstrim fungsi tiga peubah

terhadap dua kendala, dan , maka bentuk

persamaan Lagrangenya yang harus dipecahkan adalah:

dengan dan adalah pengali-pengali Lagrange. Ini setara dengan menemukan solusi

lima persamaan turunan parsial terhadap peubah-peubah ,

1)

2)

3)

4)

5)

Titik-titik kritis fungsi akan diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan di

atas.

Contoh 4.9

Temukan nilai maksimum dari fungsi pada kurva perpotongan

antara bidang dan (lihat gambar 4).

Penyelesaian:

gambar 4.4 kurva perpotongan silinder dan bidang x-y+z=1


58

Kita maksimumkan fungsi terhadap kendala

dan . Persamaan Lagrange adalah

, sehingga kita selesaikan sistem persamaan:

1)

2)

3)

4)

5)

Dengan memasukkan nilai dari 3) ke persamaan 1) diperoleh , sehingga

. Secara serupa, dari 2) diperoleh , sehingga

. Substitusi ke 5)

memberikan

sehingga atau √ /2. Maka √ , √ , dan dari 4)

diperoleh √ atau √ . Nilai maksimum fungsi

terhadap kedua kendala adalah √ .

Latihan

Pada soal 1 – 10, tentukan semua titik kritis. Tunjukkan apakah masing-masing

memberikan suatu maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Pada soal 11 – 15, tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum global dari pada

dan tunjukkan di mana mereka terjadi.

bab 4 aplikasi turunan

Documents