8/20/20091Penggunaan TurunanTopik 3Tujuan Instruksional Khusus (1)mendeskripsikan kecenderungan (naik, turun, mencapai maksimum/minimum) dari grafik fungsimencari titik kritis dan menggunakannya untuk menentukan lokasi maksimum dan minimumSetelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan turunan, mahasiswa diharapkan mampu:Copyright 2009.UniversitasIndonesia.

All rights reserved.8/20/20092Tujuan Instruksional Khusus (2)menggunakan titik kritis dan tanda dari turunanpertama dan kedua untuk membuat sketsa dari grafikfungsi menggunakan turunan pertama untuk menentukaninterval dimana fungsi naik dan turun menggunakan turunan kedua untuk menentukankekonkafan dan titik belok menggunakan turunan pertama dan kedua untukmengklasifikasi titik kritismenggunakan turunan untuk menyelesaikan masalah-masalah optimisasi secara manual dan denganbantuan TIKSetelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan turunan, mahasiswa diharapkan mampu:Copyright 2009.UniversitasIndonesia.

All rights reserved.SubtopikMendeskripikan grafik-grafik fungsi-fungsiAturan turunan pertama dan keduaMasalah optimisasiPenggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomiMenggambar grafik dan asimtotTeorema nilai rata-rataAda 6 subtopik dalam modul ini: 8/20/20093Mendeskripsikan Grafik-Grafik Fungsi-FungsiSubtopik 3.1Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization.All rights reserved.Aplikasi turunan: garis singgung, linearisasiPada pembahasan sebelumnya turunan fungsi dipergunakan untuk menentukan garis singgung pada di kurva . f(a) turunan fungsi di x = aadalah gradien garis garis singgung pada kurva y = f(x) di titik x = a.8/20/20094Fungsi naik/ turunx < c x > cgrafik turun grafik naikgaris singgung miring ke kiri garis singgung miring ke kanangradien garis singgung negatif gradien garis singgung positiff (x) < 0 f (x) > 0cTitik-titik ekstrem lokalFungsi mencapai maksimum lokal diab c def g8/20/20095Titik-titik ekstrem global(a, f(a) ) titik maksimum globalf(a) nilai maksimum global(b, f(b)) titik minimum globalf(b) nilai minimum globala bTitik-titik ekstrem lokalTitik ekstrem terjadi pada:Titik kritis Titik stasiuner: titik x dengan f(c) = 0 Titik non-singular: titik dimana dengan f(x) tidak adaTitik batas intervalab c def g8/20/20096Titik stasiunertitik stasiuner adalah titik x dengan f (x) = 0 (garis singgung di titik tersebut horisontal) x = a dan x = b titik ekstrem x = c bukan titik ekstrem a b cTitik non-singularTikungan tajamDiskontinu Garis singgung vektikala bc d8/20/20097Titik-titik kritis: ekstrem dan bukan ekstremTitik kritis yang merupakan titik ekstrem:Titik kritis yang BUKAN merupakan titik ekstrem:Titik kritis: titik maksimum lokalx < c x > cGrafik naik Grafik turunf(c ) > 0 f c ) < 0cc8/20/20098Titik kritis: titik minimum lokalx < c x > cGrafik turun Grafik naikf(c ) < 0 f c ) > 0Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization. All rights reserved.ccTitik kritis: bukan titik ekstremx < c x > cGrafik turun Grafik turunf(c ) < 0 f c ) < 0x < c x > cGrafik naik Grafik naikf(c ) > 0 f c ) > 08/20/20099Titik kritis: ekstrem dan bukan ekstremTitik c adalah titik kritis juga titik ekstrem maksimim jika di sebelah kiri c grafik naik dan grafik turun di sebelah kanan grafik turun Titik c adalah titik kritis juga titik ekstrem maksimim jika di sebelah kiri c grafik turun dan grafik turun di sebelah kanan grafik naikTitik kritis c bukan titik ekstrem jika grafik turun di kiri maupun di kanan c, atau grafik naik di kiri atau di kanan c. Test turunan pertama: titik kritis titik ekstremJika f adalah fungsi kontinu di interval I dan terdeferensial kecuali mungkin di titik c1. Jika f(x) < 0 di kiri c dan f(x) > 0 di kanan c, maka f(c ) adalah nilai maksimum lokal dari f(x) di I2. Jika f(x) > 0 di kiri c dan f(x) < 0 di kanan c, maka f(c ) adalah nilai minimum lokal dari f(x) di I3. Jika f(x) < 0 di kiri c di kanan c, atau f(x) > 0 di kiri dan di kanan c maka f(c bukan titik ekstrem8/20/200910Kurva cembung ke atasGrafik y = f(x) cembung ke atasGaris singgung di atasPerubahan gradien garis singgung mengecilGrafik y = f(x)turunf(x) negatifKurva cembung ke bawahGrafik y = f(x) cembung ke bawahGaris singgung di bawahPerubahan gradien garis singgung membesarGrafik y = f(x)naikF (x) positif8/20/200911Kecembungan kurva dan tanda turunan ke duaKurva cekung ke bawah jikakurva terletak di bawah garissinggungKurva cekung ke atas jika kurvaterletak di atas garis singgungF turun F naikF negatif F positifF > 0Test turunan ke-dua untuk ektrema lokalJika f dapat diturunkan dua kali pada interval I yang memuat titik kritis yang merupakan titik stasiuner c (f = 0, makaJika f(x) > 0 di I maka (c, f(c ))adalah titik minimum dari f (x) di IJika f(x) < 0 di I maka (c, f(c ))adalah titik maksimumdari f (x) di I8/20/200912Turunan ke-dua nol: f(c) = 0Jika f(c ) = 0 di titik stasiuner k, maka f( k) dapat merupakan nilai maksimum (contoh a), minimum (contoh b) atau bukan keduanya (contoh c )y = x4y = - x4y = - x3f(0) = 0Minimum lokalf(0) = 0Maksimum lokalf(0) = 0Bukan nilai ekstremTitik belokTitik belok x = c adalah titik di mana kecekungan kurva berubah. Titik x = c adalah titik belok jika f cekung ke atas di satu sisi dari x = c dan f cekung ke bawah di sisi yang lain dari x = c.Titik x = c adalah titik belok jika f(x) > 0 di satu sisi dari x = c dan f(x) < 0 di sisi yang lain dari x = c.8/20/200913Contoh: Titik sudutF (a) tidak adaF(b) < 0F(b) =0F(c) = 0F(c) =0F(d) tidak adaGaris singgung vertikalAturan Turunan Pertama dan KeduaSubtopik 3.2Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization.All rights reserved.8/20/200914Masalah OptimisasiSubtopik 3.3Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization.All rights reserved.Contoh:dua bilangan hasil kali terkecil Tentukan dua bilangan nyata yang selisihnya 20 dan hasil kalinya sekecil mungkin.Jawab:Misalkan bilangan pertama x dan bilangan kedua adalah x + 20.Hasil kali dua bilangan tersebut adalah f(x) = x (x - 20) = x2- 20xF(x) = 2x - 20. f(x) = 0 untuk x = 10. jadi bilangan tersebut adalah 10 dan -10. f(x) = 2 positif untuk setiap x, jadi x = 10 adalah titik minimum.8/20/200915Contoh: titik terdekat pada garisTentukan titik (x, y) pada garis 2x +y-3=0 yang terdekatdengan titik (3, 2)Jawab:Karena titik (x, y) pada garis maka (x, y) = (x, -2x+3).Jarak titik (3, 2) ke (x, -2x+3). AdalahD(x) = 0 untuk x = 1. Jadi titk yang terdekat ke (3, 2) pada gras adalah (1, 1) (tunjukkan ini titik ekstremmin)( ) ( )( ) ( )( )2 22 2 52 2 5 10 10 51 2 32 3 2 322 22 22 2+ =+ = + =+ + = + + =x xx' Dx x x xx xx x DContoh: sudut pantulCahaya dipancarkan dari titik A dipantulkan dari titik P pada cermin horizontal ke titik B. ABPPrinsip Fermat: cahaya berjalan sedemikian hingga waktu yang ditempuh minimal jarak yang ditempuh minimal8/20/200916Contoh: sudut pantul (lanj)Jarak yang ditempuh cahaya adalah ABPxl( )2 222 22 11x l h x hd d D + + + =+ =|AP| = d1|BP| = d2d1d2Sudut pantul (lanj)Untuk menentukan D yang minimum, D diturunkanterhadap x kemudian dicari x sedemikian hingga D(x) = 0( )( )( )( )( )( )2 222 212 22212 21211 2 2x l hx lx hxx lx l hxx hx ' D ++= +++=D(x) = 0 jika( )( )2 222 21x l hx lx hx +=+2 1dx ldx =8/20/200917Sudut pantul (lanj)ABPxld1d22 1dx ldx =1 22 12 1 in sin ==ssudut datang =sudut pantul.Penggunaan Turunan untuk Bisnis dan EkonomiSubtopik 3.4Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization.All rights reserved.8/20/200918Istilah-istilahBiaya produksi Biaya produksi marginalBiaya marginalKeuntungan marginalPajak marginalTeorema Nilai Rata-RataSubtopik 3.5Copyright 2004-2005 NameOfTheOrganization.All rights reserved.8/20/200919Diketahui fungsi turunan; bagaimana fungsinyaDiketahui pengaruh grafitasi pada benda jatuh. Dapatkan diketahui kecepatan sesaat dan fungsi posisinya?Jika diketahui laju perubahan fungsi, dapatkah diketahui rata-rata laju perubahan fungsi?Teorema RolleTeorema Rolle mengatakan bahwa grafik fungsi yang terdeferensial mempunyaiminimal satu garis singgung horisontal diantara dua titik potongnya terhadap sumbu-xGambarTeorema8/20/200920Teorema Nilai Rata-rata Teorema merupakan perluasan dari Teorema Rolle. Fungsi yang terdeferensial diantara dua titik A dan B, maka memiliki garis singgung yang sejajar dengan garis AB.TeoremaPertanyaan mengarah akibatTeorema Nilai Rata-rata: akibat 1Fungsi dengan turunan nol adalah fungsi konstan8/20/200921Teorema Nilai Rata-rata: akibat 2Selisih dua fungsi yang mempunyai turunan sama pada interval I adalah konstanta.