Penggunaan Turunan

Topik 3

Tujuan Instruksional Khusus (1)

mendeskripsikan kecenderungan (naik, turun, mencapai

maksimum/minimum) dari grafik fungsi

mencari titik kritis dan menggunakannya untuk

menentukan lokasi maksimum dan minimum

Setelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan

turunan, mahasiswa diharapkan mampu:

Tujuan Instruksional Khusus (2)

menggunakan titik kritis dan tanda dari turunan pertama

dan kedua untuk membuat sketsa dari grafik fungsi

menggunakan turunan pertama untuk menentukan

interval dimana fungsi naik dan turun

menggunakan turunan kedua untuk menentukan

kekonkafan dan titik belok

menggunakan turunan pertama dan kedua untuk

mengklasifikasi titik kritis

menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalah-

masalah optimisasi secara manual dan dengan bantuan

TIK

Setelah mengikuti pemelajaran tentang penggunaan

turunan, mahasiswa diharapkan mampu:

Subtopik

Mendeskripikan grafik-grafik fungsi-fungsi

Aturan turunan pertama dan kedua

Masalah optimisasi

Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi

Menggambar grafik dan asimtot

Teorema nilai rata-rata

Ada 6 subtopik dalam modul ini:

Mendeskripsikan Grafik-

Grafik Fungsi-Fungsi

Subtopik 3.1

Aplikasi turunan: garis singgung,

linearisasi

Pada pembahasan sebelumnya turunan fungsi

dipergunakan untuk menentukan garis singgung pada di

kurva . f’(a) turunan fungsi di x = a adalah gradien garis

garis singgung pada kurva y = f(x) di titik x = a.

Fungsi naik/ turun

x < c x > c

grafik turun grafik naik

garis singgung miring ke kiri garis singgung miring ke kanan

gradien garis singgung negatif gradien garis singgung positif

f ’(x) < 0 f ’(x) > 0

c

Titik-titik ekstrem lokal

Fungsi mencapai maksimum lokal di a, c, f

Fungsi mencapai nilai minimum lokal di ……..

a b c d

e

f g

Titik-titik ekstrem global

(a, f(a) ) titik maksimum global

f(a) nilai maksimum global

(b, f(b)) titik minimum global

f(b) nilai minimum global

a b

Titik-titik ekstrem lokal

Titik ekstrem terjadi pada:

Titik kritis

Titik stasiuner: titik x dengan f ’(c) = 0

Titik singular: titik dimana dengan f ’(x) tidak ada

Titik batas interval

a b c d

e

f g

Titik stasiuner

titik stasiuner adalah titik x dengan f ’(x) = 0 (garis

singgung di titik tersebut horisontal)

x = a dan x = b titik ekstrem

x = c bukan titik ekstrem

a b c

Titik non-singular

tikungan tajam

diskontinu

garis singgung vektikal

a b c d

Titik-titik kritis: ekstrem dan

bukan ekstrem Titik kritis yang merupakan titik ekstrem:

Titik kritis yang BUKAN merupakan titik ekstrem:

Titik kritis: titik maksimum lokal

x < c x > c

Grafik naik Grafik turun

f ’(x) > 0 f ‘(x) < 0

c

c

(a)

(b)

Titik kritis: titik minimum lokal

x < c x > c

Grafik turun Grafik naik

f ’(x ) < 0 f ‘(x ) > 0

c

c

(a)

(b)

Titik kritis: bukan titik ekstrem

x < c x > c

Grafik turun Grafik turun

f ’(x) < 0 f ‘(x) < 0

x < c x > c

Grafik naik Grafik naik

f ’(x) > 0 f ‘(x) > 0

(c)

(a)

(d)

(b)

c c

c c

Titik kritis: ekstrem dan bukan

ekstrem

Titik c adalah titik kritis juga titik ekstrem maksimum jika

di sebelah kiri c grafik naik dan grafik turun di sebelah

kanan c

Titik c adalah titik kritis juga titik ekstrem minimum jika di

sebelah kiri c grafik turun dan grafik turun di sebelah

kanan c grafik naik

Titik kritis c bukan titik ekstrem jika grafik turun di kiri

maupun di kanan c, atau grafik naik di kiri atau di kanan

c.

Test turunan pertama: titik kritis

titik ekstrem Jika f adalah fungsi kontinu di interval I dan terdeferensial

kecuali mungkin di titik c

1. Jika f’(x) < 0 di kiri c dan f’(x) > 0 di kanan c, maka

(c, f(c ) adalah nilai maksimum lokal dari f(x) di I

2. Jika f’(x) > 0 di kiri c dan f’(x) < 0 di kanan c, maka

f(c ) adalah nilai minimum lokal dari f(x) di I

3. Jika f’(x) < 0 di kiri c di kanan c, atau f’(x) > 0 di kiri

dan di kanan c maka f(c) bukan nilai ekstrem

Kurva konkaf ke bawah

Grafik y = f(x) cembung ke atas

Garis singgung di atas

Perubahan gradien garis singgung mengecil

Grafik y = f’(x) turun

f’’(x) negatif

Kurva konkaf ke atas

Grafik y = f(x) konkaf ke atas

Garis singgung di bawah kurva

Perubahan gradien garis singgung membesar

Grafik y = f’(x) naik

f’’(x) positif

Gambarkan grafik konkaf ke atas

Kecembungan kurva dan tanda

turunan ke dua

Kurva konkaf ke bawah jika kurva

terletak di bawah garis singgung

Kurva konkaf ke atas jika kurva

terletak di atas garis singgung

F’ turun F ‘ naik

F’’ negatif F’’ positif

F’ > 0

Test turunan ke-dua untuk

ektrema lokal

Jika f dapat diturunkan dua kali pada interval I yang memuat

titik kritis yang merupakan titik stasiuner c, (f’c) = 0, maka

Jika f ”(x) > 0 di I maka (c, f(c )) adalah titik minimum dari

f (x) di I

Jika f ”(x) < 0 di I maka (c, f(c )) adalah titik maksimum

dari f (x) di I

Bagaimana jika f”(x) = 0?

Turunan ke-dua nol: f’’(c) = 0

Jika f”(k ) = 0 di titik stasiuner k, maka f( k) dapat

merupakan nilai maksimum (contoh a), minimum (contoh

b) atau bukan keduanya (contoh c )

y = x4

y = - x4 y = - x3

f’(0) = 0

Minimum lokal

f’(0) = 0

Maksimum lokal

f’(0) = 0

Bukan nilai ekstrem

Titik belok (inflection points)

Titik belok x = c adalah titik di mana

kecembungan/kecekungan kurva berubah.

Titik x = c adalah titik belok jika f konkaf ke atas di satu

sisi dari x = c dan f konkaf ke bawah di sisi yang lain dari

x = c.

Titik x = c adalah titik belok jika f’’(x) > 0 di satu sisi dari x

= c dan f’’(x) < 0 di sisi yang lain dari x = c.

Contoh: titik-titik belok

Titik sudut

F” (a) tidak ada

F’(b) < 0

F”(b) =0

F’(c) = 0

F”(c) =0

F’(d) tidak ada

Garis singgung vertikal

Gambarkan titik-titik berikut

Titik belok yang merupakan titik ekstrem

Titik belok yang merupakan titik stasiuner

Titik stasiuner yang bukan titik ekstrem

Titik non-singular yang merupakan titik belok

Titik kritis yang bukan titik ekstrem

Titik ekstrem yang bukan titik kritis

Contoh 1: Maks-Min

Tentukan titik kritis dan jenisnya untuk fungsi berikut ini:

21

1)(

xxf

Jawab: contoh 1

Penyebut selalu positif, tidak pernah nol

Fungsi terdefinisi dimana-mana (tidak ada batas interval)

Turunan fungsi:

Satu-satunya titik kritis adalah titik stasioner di x = 0

Karena 1+x2 ≥ 1, maka f(x) ≤ 1/1 = 1 = f(0), titik (0, 1)

merupakan maksimum global

221

2)(

x

xxf

Contoh 2: Maks-Min

Tentukan titi-titk ekstrem fungsi berikut ini:

yang didefinisikan pada [-4, 2]

12)( 24 xxxf

Jawab: Contoh 2

Turunan fungsi :

Titik-titik stasioner di x = -1, 0, 1

Titik singular: tidak ada

Titik batas interval x = -4, 2 ; f(-4) = ….; f(2) = ….

Turunan ke-dua fungsi

Maks lokal: x = -1, x = 1; f(-1) =….; f(1) = ….

Min lokal : x = 0; f(0) = …….

Maks global:…

Min global:….

)1(4)( 2 xxxf

412)( 2 xxf

Jawab contoh 2

Gambar grafik