11

Bab 3

Gelanggang Polinom Miring

Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai

dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih

kompleks (banyak variabel) berikut pembentukannya dari aljabar dan

turunan nilpoten pada aljabar tersebut.

3.1 Gelanggang Polinom Miring dengan Satu Variabel

Sebelum uraian mengenai gelanggang polinom miring, berikut akan dijelaskan

terlebih dahulu definisi tentang modul, aljabar, serta homomorfisma modul

yang akan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya.

Definisi 3.1.1 Misalkan R suatu gelanggang. Modul kiri M atas gelanggang

R atau ditulis R-modul kiri, adalah sistem matematika yang dilengkapi

dengan operasi kali skalar yang memenuhi sifat dan hubungan

berikut.

(i) membentuk grup komutatif.

(ii) Untuk setiap dan hasil kali skalarnya ditulis

Untuk semua dan di , serta dan di M berlaku:

a.

b.

c.

d.

12

Jika pengali skalar berada di sebelah kanan, maka kita punya modul kanan.

Dalam hal gelanggang R komutatif, mudul kiri adalah juga modul kanan dan

hanya disebut R-modul.

Contoh 3.1.2 Misalkan R suatu gelanggang komutatif, dan

berturut-turut menyatakan himpunan matriks dengan entri-entri di

berukuran dan Maka merupakan suatu -

modul kiri, -modul kanan, juga merupakan -modul.

Definisi 3.1.3 Misalkan R suatu gelanggang. Suatu R-Modul M disebut R-

aljabar jika M merupakan suatu gelanggang dan memenuhi sifat

untuk setiap dan .

Contoh 3.1.4

a. Setiap gelanggang merupakan -aljabar,

b. Jika R gelanggang komutatif maka gelanggang polinom merupakan

suatu -aljabar,

Definisi 3.1.5 Misalkan R suatu gelanggang. Misalkan pula M dan N adalah

dua buah R-modul kiri. Homomorfisma modul atau R-homomorfisma

(disebut juga morfisma modul atau R-morfisma) adalah suatu

pemetaan yang memenuhi:

(i) , untuk semua dan di M, dan

(ii) , untuk semua dan

Contoh 3.1.6 Misalkan R suatu gelanggang dan menyatakan himpunan

matriks dengan entri-entri di berukuran Pemetaan

dengan untuk semua merupakan suatu homomor-

fisma modul karena dan untuk

setiap dan .

13

Selain itu, berikut dijelaskan pula definisi turunan yang akan digunakan pada

pembentukan gelanggang polinom miring.

Definisi 3.1.7 Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar. Suatu

homomorfisma grup disebut turunan (derivasi) jika untuk setiap

berlaku .

Contoh 3.1.8 Misalkan suatu lapangan dan adalah gelanggang polinom

atas . Dalam hal ini merupakan suatu -aljabar. Turunan

yaitu untuk semua . Dengan

didefinisikan (dalam hal ini ).

14

Dengan demikian pada Contoh 3.1.8 di atas memenuhi

untuk setiap . Jika lapangan

bilangan riil, maka hal ini sesuai dengan aturan hasilkali turunan yang

dipelajari pada kalkulus.

Definisi 3.1.9 Misalkan K suatu lapangan. Misalkan S suatu K-aljabar dan D

turunan (derivasi) pada S. D disebut nilpoten secara lokal (locally nilpotent)

jika untuk setiap terdapat sehingga .

Contoh 3.1.10 Turunan pada gelanggang polinom seperti pada Contoh

3.1.8 merupakan turunan yang nilpoten secara lokal karena untuk setiap

dengan derajat polinom terdapat sehingga

. Perhatikan bahwa nilai bergantung pada polinom . Untuk

berbeda nilai pun berbeda. Hal inilah yang mendasari munculnya

konsep nilpoten secara lokal.

Definisi turunan yang nilpoten secara lokal tersebut khususnya akan

digunakan pada pembentukan gelanggang polinom miring dari aljabar yang

akan dibahas pada Subbab 3.3.

Misalkan suatu gelanggang dan adalah gelanggang polinom atas .

Misalkan pula adalah turunan di

Konstruksi suatu himpunan

yaitu himpunan polinom yang berbentuk

dengan polinom di .

15

Misalkan yaitu

Untuk membentuk menjadi suatu gelanggang, didefinisikan operasi

penjumlahan dan perkalian pada A sebagai berikut.

dengan jika dan jika serta

Pada definisi perkalian unsur-unsur di atas terdapat suku-suku yang

mengandung . Dalam hal ini variabel berada di sebelah kiri

koefisian . Selanjutnya, pada uraian berikut kita akan mencoba untuk

mengubah bentuk ini menjadi bentuk dimana suku-suku pada hasilkali di atas

dapat ditulis dalam bentuk polinom dengan variabel .

Definisikan . Definisi ini didasarkan atas uraian

berikut. Ambil dan

16

Dapat dilihat bahwa, .

Jadi diperoleh .

Selanjutnya, dilakukan proses rekursif sebagai berikut

dan seterusnya, sehingga diperoleh

Hasil rekursif ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika pada pangkat

sebagai berikut.

17

Ambil Perhatikan bahwa

maka persamaan benar untuk dan untuk

Misalkan persamaan benar untuk pangkat bernilai yaitu,

Akan dibuktikan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk pangkat

bernilai

18

Perhatikan bahwa pada uraian tersebut terdapat penjumlahan:

.

Ambil

19

Diperoleh

Dengan demikian, operasi penjumlahan bersifat komutatif di A. Selanjutnya,

operasi penjumlahan pun bersifat assosiatif di A.

20

dengan sehingga berlaku,

Dengan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa membentuk grup

komutatif. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di A

memenuhi sifat assosiatif.

21

Diperoleh

Selain itu, operasi penjumlahan dan perkalian di A memenuhi sifat distributif.

22

juga,

Jadi, dengan definisi penjumlahan dan perkalian seperti di atas maka

merupakan suatu gelanggang dan membentuk gelanggang polinom

miring.

Keunikan gelanggang polinom miring ini telah lebih dahulu dinyatakan dalam

pendefinisian . Dalam hal ini . Dengan

demikian, gelanggang polinom miring merupakan suatu gelanggang yang

tidak komutatif.

23

Contoh khususnya, jika dipilih , maka akan diperoleh

atau yang merupakan salah satu contoh dari

Aljabar Weyl seperti dibahas pada rujukan Coutinho (1995) bagian

Introduction dan Chapter 1.

3.2 Gelanggang Polinom Miring dengan Banyak Variabel

Pada subbab ini akan dijelaskan perumuman bentuk dari polinom miring

dengan satu variabel menjadi polinom miring dengan banyak variabel.

Definisikan

Konstruksi suatu himpunan

Dengan langkah yang sama seperti pada kasus satu variabel, untuk

membentuk menjadi suatu gelanggang didefinisikan operasi penjumlahan

dan perkalian pada B sebagai berikut.

24

Ambil yaitu

Operasi penjumlahan didefinisikan dengan

dengan .

Sedangkan, operasi perkalian didefinisikan dengan

Dalam operasi perkalian di atas didefinisikan bahwa turunan-turunan

saling komutatif, yaitu

Juga didefinisikan

dan .

Atau secara umum dan

dengan . Definisi ini sesuai

dengan kasus polinom miring dengan satu variabel.

25

3.3 Turunan Nilpoten pada Aljabar

Keberadaan suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada suatu aljabar

memegang peran yang cukup penting. Hal ini memungkinkan kita untuk

memandang aljabar tersebut sebagai gelanggang polinom. Lebih lanjut, kita

bisa mengkonstruksi suatu gelanggang polinom miring atas aljabar.

Lema 3.3.1 (Wright, 1981) Misalkan K suatu lapangan dan S suatu K-aljabar.

Misalkan pula D suatu turunan yang nilpoten secara lokal pada S dan terdapat

sehingga , maka

(1) , dengan R gelanggang konstanta dari S

(2) .

Pembuktian Lema 3.3.1 ini diawali dengan pendefinisian dua buah homo-

morfisma gelanggang dan dengan didahului definisi berikut.

Definisi 3.3.2 Misalkan R dan S dua buah gelanggang. Pemetaan

disebut homomorfisma gelanggang jika setiap memenuhi

(i)

(ii)

Misalkan S suatu gelanggang dan D derivasi yang nilpoten secara lokal di S.

Definisikan suatu pemetaan dengan

Ambil , karena D nilpoten secara lokal maka terdapat sehingga

untuk . Dengan demikian,

26

Perhatikan bahwa untuk setiap atau

untuk setiap sehingga diperoleh .

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa memenuhi

27

Perhatikan bahwa untuk setiap berlaku,

Dalam hal ini dan untuk

.

Berlaku pula,

28

Dalam hal ini . Dengan uraian di atas diperoleh

bahwa suatu homomorfisma gelanggang.

S suatu K-Aljabar dan , maka St ideal dari S. Pandang ruang kuosien

.

Selanjutnya, konstruksi juga pemetaan yang memetakan

setiap ke . Ambil , maka berlaku

29

dan

Maka juga merupakan suatu homomorfisma gelanggang.

Bukti Lema 3.3.1

Definisikan suatu pemetaan dengan

Perhatikan bahwa . Lema di atas akan dibuktikan dengan terlebih

dahulu menunnjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma. Pertama,

karena dan merupakan homomorfisma maka juga merupakan

suatu homomorfisma.

Selanjutnya, untuk membuktikan pada (surjektif), cukup dibuktikan bahwa

karena jika untuk setiap terdapat sehingga

maka untuk setiap .

Tulis

Dengan demikian akan terdapat sehingga

.

Misalkan dan misalkan peta dinyatakan deng