PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 3 BAB 2PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) ORDE 1 Bentuk umum PD orde 1 adalah ddt= (t, y)(1) dengan f adalahfungsi dengan dua peubah t dan y. Sebarangfungsi y = (t) yangmemenuhiPers.(1)untuksemuanilaitpadasuatuintervaltertentu dinamakanpenyelesaian.PenyelesaiansuatuPDadaduamacamyaitu, penyelesaianumumdanpenyelesaiankhusus.Penyelesaiankhususmuncul ketikasuatuPDdisertaidengannilaiypadasaatttertentu,missaly(0)=1. Selanjutnya,kitaakanmempelajaribagaimanamenentukanpenyelesaian suatu persamaan diferensial PD orde 1. 2.1PD ORDE 1 LINIER Jika fungsifpada Pers. (1) linier pada variable tak bebas y, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yi+ P(t)y = (t)(2) dan disebut Persamaan Diferensial Linier Orde 1. Diasumsikan bahwa P(t) danQ(t)adalahfungsi kontinu padasuatu selang tertentu < t < . Sebagai contoh, persamaan diferensial ddt+ 2y = 1(3) dengan P(t) = 2 dan Q(t) = 1 adalah fungsi konstan. Contoh 1.SelesaikanPers.(3)dantentukanperilakupenyelesaianuntuknilaityang besar, kemudian tentukan grafik penyelesaian di titik (0, 3). Jawab:ddt= 1 2yd dt (-12)= 2 (4) f(t,y) = - P(t)y + Q(t) PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 4 ruas kiri Pers. (4) adalah derivative dari lny 12, sehingga ddtlny 12 = 2kemudian didapatln y 12 = 2t +cdengan c adalah sebarang konstan hasil integrasi. Kemudian, dengan mengambil eksponen kedua ruas maka diperoleh _y 12_ = ccc-2t atau y 12= ccc-2t

dan akhirnya didapat y = 12+Cc-2t, (5) dengan C = ccsebarang konstan tak nol.Pers. (5) adalah penyelesaian umum dari Pers. (3). Jika t bernilai sangat besar ( t ~) maka y 12. Gambar 2. 1 Penyelesaian dydt+2y = 1 Penyelesaian yang melalui titik (0, 3) ditunjukkan pada kurva yang berwarna hitamtebal.UntukmandapatkannilaiCpadaPers.(5),substitusikant=0 PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 5 dany=3sehinggadidapatC=5/2.Diperolehpenyelesaiankhususyaitu y = 12+52c-2t. 2.2FAKTOR INTEGRASI Misal diberikan dua fungsi masing-masing u(t) dan v(t), maka d(u)dt= :d(u)dt+ ud()dt (6) MengacupadaPers.(1),akanditentukansuatufungsip(t)sedemikian hinggajikap(t)dikalikankePers.(1)makaruaskiridapatdipandang sebagai d()dt. Kalikan p(t) pada Pers. (1) didapat py+ pPy = p(7) perhatikan ruas kiri persamaan (7),py+pPy = d()dt= yd()dt+ yp (8) yJ(p)Jt=pPy J(p)Jp=P Jt Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh p = cPdt(9) adalah faktor integrasi dengan mengambil nilai konstan hasil integrasi sama dengan nol. Pers. (7) menjadi J(py)Jt= p J(py) = pJt J(py) = p Jt py = p Jt y = 1Qdt( penyelesaian umum PD[PUPD] ) Contoh 2.TentukanpenyelesaiandariPD:y +y = ct,gambarkanmedanarahnya kemudian tentukan grafik penyelesaian di titik (0, 1) dan (5,0). PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 6 Jawab: y +y = ct, maka P(t) = 1 dan Q(t) = ct didapatp = cPdt= c1dt= ct+c,denganmengambilc=0makadidapat p = ct+c sehingga y = 1ctctctJt y =12ct+ c jadi penyelesaiannya adalah y = 12ct+ c. Gambar 2. 2 Penyelesianyi+y = et Penyelesaianyangmelaluititik(0,1)dan(5,0)ditunjukkanpadakurvayang berwarna hitam tebal. 2.3PERSAMAAN TERPISAH bentuk: dydx= (x, y) (10) Pers.(3) diubah ke bentukH(x)Jx +N(y)Jy = 0(11)PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 7 di mana variable t dan y sudah terpisah, yaitu H(x)Jx dan N(y)Jy. Sehingga langsung bisa diintegralkan dan didapat H(x) Jx +N(y) Jy = 0( didapat nilai y, yang merupakan PUPD ) Contoh 3.Tentukan penyelesaian dari PD: xJx + yJy = 0 ! Jawab: xJx +yJy = 0 merupakan PD terpisah, langsung bisa diintegralkan, xJx +yJy = 0 _x Jx + _y Jy = 0 12x2+12y2+c = 0 x2+y2= C, dengan C = 2c jadi penyelesaiannya adalah x2+ y2= C. 2.4PD ORDE 1 EKSAK bentuk: M(x, y)dx +N(x, y)dy = (12) ilustrasi : andaikan diberikan suatu fungsi V(x, y) = c dengan t dan y adalah variable tak bebas yang bergantung pada t, maka d((x,))dt= 0. d(+(x,))dt= Vx(x, y)dxdt+ V(x, y)ddt= 0(13) PD Eksak dibentuk dari satu fungsi yang sama yaitu V(x, y), dengan H(x, y) = Vx(x, y), N(x, y) = V(x, y) dan Vx(x, y) = Vx(x, y). Pers.(12) disebut PD Eksak jika hanya jika My(x, y) = Nx(x, y). Penyelesaian dari PD adalah Ty(x, y) = c. cara penyelesaian: ada dua alternative yang bisa digunakan untuk menyelesaikan PD eksak. 1.Vx(x, y) = H(x, y) V(x, y) = H(x, y) Jx +(y)(14) karena V(x, y) = N(x, y) maka d( M(x,)dx)d+(y) = N(x, y). PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 8 kemudian didapat nilai (y), dan disubstitusikan ke Pers. (14) sehingga fungsi V(x, y) dapat ditentukan. 2.V(x, y) = N(x, y) V(x, y) = N(x, y) Jy +(x)(15) karena Vx(x, y) = H(x, y) maka d(N(x,)d)dx+ (x) = H(x, y). kemudian didapat nilai (x), dan disubstitusikan ke Pers. (15) sehingga fungsi V(x, y) dapat ditentukan. Contoh 4.Tentukan penyelesaian dari PD: (4ty y)Jt +(2t2 t)Jy = 0 ! Jawab: PD: (4ty y)Jt +(2t2 t)Jy = 0 H(t, y) = 4ty y dan N(t, y) = 2t2 t H(x, y) = 4x 1Nx(x, y) = 4x 1 _H= Nx

karenaH= NxmakaPDEksak,sehinggaadaV(x, y)yangmemenuhi H(x, y) = Vx(x, y) dan N(x, y) = V(x, y) V(x, y) = _H(x, y)Jx +(y) = _(4xy y)Jx +(y) = 2x2y xy + (y) karena V(x, y) = N(x, y) maka 2x2 x + (y) = 2x2 x, didapat (y) = 0 (y) = k sehinggaV(x, y) = 2x2y xy + k jadi penyelesaian PD adalah2x2y xy = C. 2.5PD ORDE 1 HOMOGEN bentuk: ddx= (x, y) atau H(x, y)Jx + N(x, y)Jy = 0disebut PD Homogen jika memenuhi salah satu dari PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 9 1.(x, y) dapat dinyatakan sebagai (yx) atau(xy) 2.(x, tx) = (1, t)3.H(zx, zy) = zpH(x, y) dan N(zx, zy) = zqN(x, y) dengan p = q. cara penyelesaian: substitusi u = yx y = ux atau u = xy x = uy ke Pers.(9), dengan Jy = xJu +uJx atau Jx = yJu + uJy. Contoh 5.Tentukan penyelesaian dari PD: (x2 y2)Jx +xyJy = 0 ! Jawab: diperiksa apakah PD homogen atau tidak, (x2 y2)Jx + xyJy = 0 ddx= x2-2x ddx= x+ x (PD Homogen) substitusi y = ux dengan Jy = uJx + xJu, PD menjadi (x2 (ux)2)Jx + x(ux)(uJx +xJu) = 0 (x2 u2x2)Jx +ux2(uJx +xJu) = 0 (x2 u2x2)Jx +u2x2Jx +ux3Ju) = 0 x2Jx + ux3Ju = 0 1xJx + uJu = 0 (PD terpisah dapat diintegralkan) ln(x) + 12u2+ c = 0 ln(x) + 12(x)2+c = 0jadi penyelesaian dari PD adalah ln(x) +12(x)2+c = 0. 2.6PD ORDE 1 TAK EKSAK Jika Pers.(12) bukan merupakan PD Eksak, maka Pers.(12) menjadi suatu PD Eksakdenganmengalikansuatufungsitertentu(faktorintegrasi)ke persamaan tersebut.Misalkan faktor integrasinya adalahp(x, y), maka kalikan ke Pers.(12) p(x, y). H(x, y)Jx + p(x, y). N(x, y)Jy = 0 (16) Andaikan Pers.(16) adalah PD Eksak maka memenuhi, PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 10 o(p(x, y). H(x, y))oy= o(p(x, y). N(x, y))ox p.H+p. H= px.N + p. Nx p(H Nx) = px.N p.H(17) Karenafungsipmerupakanfungsiduavariabeltdany,makakita mempunyai tiga kemungkinan untuk fungsi ini. 1).Jika fungsi p hanya bergantung pada t saja, maka p= 0 Pers.(17) menjadi p(H Nx) = px.Npx= [Mj-NxN p (18) Pers.(18)akanterpenuhijikahanyajika[Mj-NxN = (x),karenap hanya bergantung pada t saja. Sehingga Pers.(18) menjadi px= (x). p d= (x)Jx p = c](x)dx

Jadi faktor integrasinya adalah p = c ](x)dx. Contoh 6.TentukanpenyelesaiandariPD(4xy + 3y2 x)Jx + x(x +2y)Jy =0 ! Jawab: PD di atas merupakan PD tak Eksak. (Anda periksa sendiri) H = 4xy +3y2 x dan N = x(x +2y) _H NxN] = _(4x +6y) (2x +2y)x(x + 2y)_ =2(x + 2y)x(x + 2y)=2x= (y) Karena menghasilkan fungsi dalam t saja, maka bergantung pada t saja. Sehingga p = c](x)dx= c2xdx= x2 . Kalikan p ke PD didapat (4x3y + 3x2y2 x3)Jx +(x4+2x3y)Jy = 0 MerupakanPDEksak(Andaperiksasendiri)denganH = 4x3y + 3x2y2 x3 dan N = x4+2x2y, sehingga memenuhi PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 11 Vx(x, y) = H(x, y)V(x, y) = H(x, y) Jx +(y) V(x, y) = _(4x3y + 3x2y2 x3) Jx +(y) V(x, y) = x4y + x3y2 14x4+ (y) dan V(x, y) = N(x, y) x4+2x3y +i(y) = x4+2x3y i(y) = 0 (y) = c Diperoleh V(x, y) = x4y +x3y2 14x4+c. Jadi penyelesaiannya adalahx4y +x3y2 14x4= C 2).Jika fungsi p hanya bergantung pada y saja, maka px= 0 Pers.(17) menjadi p(H Nx) = p.Hp= [Mj-NxM p (19) Pers.(18)akanterpenuhijikahanyajika[Mj-NxM = f(y),karena hanya bergantung pada y saja. Sehingga Pers.(19) menjadi p= (y). p d= (y)Jy p = c]()d

Jadi faktor integrasinya adalah p = c ]()d. Contoh 7.Tentukan penyelesaian dari PD xy3Jx +(x2y2 1)Jy = 0 ! Jawab: PD di atas merupakan PD tak Eksak. (Anda periksa sendiri) H = xy3 dan N = x2y2 1 PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 12 _My NtN] = _(3xy2) (2xy2)xy3_ = _xy2xy3_ = 1y= (y) Karenamenghasilkanfungsidalamysaja,makabergantungpaday saja. Sehingga = e I(y)dy= e -1ydy= 1y . Kalikan ke PD didapat xy2Jx + _x2y 1y]Jy = 0 MerupakanPDEksak(Andaperiksasendiri)denganH = xy2 dan N = x2y 1y, sehingga memenuhi Vx(x, y) = H(x, y)V(x, y) = H(x, y) Jx +(y) V(x, y) = _xy2Jx +(y) V(x, y) =12x2y2+(y) dan V(x, y) = N(x, y) x2y +i(y) = x2y 1y i(y) = 1y (y) = ln (y) Diperoleh V(x, y) = 12x2y2+ln (y). Jadi penyelesaiannya adalah12x2y2 ln(y) = C 3).Fungsi p bergantung pada variabel t dan y. Misalp = g(w(x, y)),maka x= ddw.wxdan = ddw.w,sehingga Pers.(17) menjadi PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 13 p(H Nx) = JpJw_owox N owoy H] ddw=Mj-NxwxN-wjMp (20) Pers.(20)akanterpenuhijikahanyajika Mj-NxwxN-wjM= (w),karena p = g(w(x, y)). Sehingga Pers.(20) menjadi JpJw= (w) p Jpp= (w) Jw p = e ](w) dw Jadi faktor integrasinya adalah p = c ](w)dw. Contoh 8.TentukanpenyelesaiandariPD(x2y +2xy2+ 2x +3y)Jx +(x3+2x2y +3x)Jy = 0 jika faktor integrasinya bergantung pada ty! Jawab: H = x2y +2xy2+2x + 3y dan N = x3+ 2x2y + 3x. pbergantungpadaty,makap = g(w(x, y)) = g(xy)sehinggawx= y dan w= x. Mj-NxwxN-wjM=(x2+4x+3)-(3x2+4x+3)(x3+2x2+3x)-x(x2+2x2+2x+3)

= 1 = (w) p = c](w)dw= c1dw= cw= cx.Dengan mengalaikan p = cx ke PD, didapat cx(x2y + 2xy2+2x +3y)Jx +cx(x3+ 2x2y + 3x)Jy = 0 merupakan PD Eksak. Selanjutnya, coba Anda temukan penyelesaiannya sebagai latihan. PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 14 2.7PD ORDE 1 KHUSUS PD BERNOULLI bentuk: yi+ P(x)y = (x)yn (21) Untukmenyelesaikan Pers.(21), kita harusmengubahnyamenjadi PD Linier orde 1. Kalikan y-n pada Pers.(21), sehingga didapat y-nyi+ P(x)y1-n= (x) (22) misal : = y1-n maka ddx= (1 n)y-n.ddx y-n.ddx=1(1-n)ddx sehingga Pers.(22) menjadi 1(1-n) ddx+ P(x): = (x) ddx+(1 n)P(x): = (1 n)(x) (23) merupakanPDLinierordesatudalamv,denganmenggunakanfaktor integrasi bisa ditentukan penyelesaiannya. Contoh 9.Tentukan penyelesaian PD yi+y = xy3, y(0) = 2 ! Jawab: PD merupakan PD Bernoulli orde 3. yi+ y = xy3

y-3yi+y-2= x (24) misal : = y-2, maka y-3yi= 13:Pers.(24) menjadi 13:i+ : = x :i 3: = 3x (25) merupakan PD Linier orde 1 dalam v. FaktorintegrasidariPers.(25)adalahp = c-3dx= c-3x,sehingga penyelesaian dari Pers.(25) adalah : =1c-3xc-3xxJx : = c3xc-3xxJx : = c3x. (19(1 + 3x)c-3x+c) : = 19(1 +3x) +cc3x

PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 15 Karena : = y-2 makay =1_-19(1+3x)+cc3x. Nilai awal y(0) = 2 1_-19+c= 2 c = 14+ 19= 1336 . Jadi penyelesaiannya adalah y =1_-19(1+3x)+1336c3x . PD RICATTI bentuk: yi= P(x)y2+ (x)y +R(x) (26) PD Ricatti dapat diselesaikan jika diketahui salah satu penyelesaiannya, misal y1.Karena y1 merupakan penyelesaian dari Pers.(26), maka memenuhi y1i= P(x)y12+(x)y1+ R(x) ,(27) kurangi Pers.(27) dengan (26), didapat yi y1i= P(x)(y2 y12) +(x)(y y1) .(28) Misal y y1= z, maka Pers. (28) menjadi zi= P(x)(z2+ 2zy1) + (x)z ,(29) merupakan PD Bernoulli dengan n = 2. Selanjutnya, ubah menjadi PD Linear seperti pembahasan pada PD Bernoulli di atas. Contoh 10.Tentukan penyelesaian PD yi= xy2+(1 2x)y +x 1, y1= 1 ! Jawab: P(x) = x, (x) = (1 2x), R(x) = x 1 Misal z = y 1, maka didapat zi= x(z2+2z) +(1 2x)z zi= xz2+z z-2zi= x +z-1 (30) misal : = z-1, maka z-2zi= :Pers.(30) menjadi :i= x +: :i+: = x (31) merupakan PD Linier orde 1 dalam v. PD Linear Orde 1|Budi P. Prawoto 16 FaktorintegrasidariPers.(25)adalahp = c1dx= cx,sehingga penyelesaian dari Pers.(31) adalah : = 1cxcxxJx : = c-x cxxJx : = c-x. ((1 +x)cx+c) : = (1 +x) cc-x

Karena : = z-1 makaz =1-(1+x)-cc-x. Jadi penyelesaiannya adalah y = 1 +1-(1+x)-cc-x . Latihan 1. Selesaikan permasalahan berikut 1.Selesaikan PD berikut a.yi= 3x-x+2 b.yi= x3+3x2 c.(x2y 2x)Jx +[y2+ 13x3 Jy = 0 2.Selesaikan PD berikut a.yi+ 3y = x +1 b.yi 2y = cos 3x c.yi y = 2cx