7

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Simulasi

Simulasi yang juga dapat disebut pengimitasian adalah meniru atau

menggambarkan operasi-operasi yang terjadi pada berbagai macam fasilitas atau

proses yang terjadi pada kehidupan nyata dengan menggunakan bantuan

komputer (Law dan Kelton, 2000, p1). Fasilitas atau proses yang disebutkan di

atas itulah yang dikenal dengan nama sistem.

Dalam simulasi, komputer digunakan sebagai alat bantu untuk

mengevaluasi sebuah model secara numerik, dan data-data dikumpulkan untuk

mengestimasi karakteristik sesungguhnya dari sebuah model. Secara umum,

sistem dapat dipelajari perilakunya dengan menggunakan beberapa metode pada

diagram berikut.

Gambar 2.1 Cara Mempelajari Sistem Sumber: Law, 2000, p4

8

2.2 Metode Lattice Boltzmann (LBM

Metoda Lattice Boltzmann (Thurey, 2003), sesuai dengan namanya,

bekerja dalam area lattice. Ada beragam jenis lattice yang dapat digunakan,

tergantung pada lingkungan pengaplikasiannya. Penamaannya pun disesuaikan

menurut aturan DXQY, di mana X adalah jumlah dimensi, misalnya 3, dan Y

menunjukkan banyaknya arah kecepatan lattice. LBM merupakan salah satu jenis

cellular automata, yang berarti fluida terbentuk dari banyak sel sejenis. Semua

sel diperbaharui di setiap langkah waktu dengan aturan sederhana, dengan ikut

memperhitungkan sel-sel di sekitarnya.

LBM memodelkan fluida yang tak mampu-mampat (incompressible) di

mana partikel fluida hanya dapat bergerak searah dengan vektor kecepatan

lattice. Satu sel model D3Q19 ditunjukkan di Gambar 2.2. Setiap sisi dari sel

tersebut memiliki panjang 1. Dari gambar tersebut juga terlihat vektor kecepatan

lattice dan sudah diberi nomor. Vektor-vektor itu mengarah dari inti atau tengah

sel ke setiap sisi kotak dan juga ke tengah tiap rusuk dari kotak tetapi tidak

menunjuk pada pojok-pojok kotak.

Untuk keperluan simulasi, semua sel harus menyimpan informasi partikel

yang bergerak menurut arah masing-masing vektor kecepatan dengan fungsi

distribusi partikel. Fungsi ini dinotasikan dengan if di mana nilai i menunjukkan

nomor vektor lattice. Vektor dengan nomor 0 mempunyai panjang 0 dan

menyimpan jumlah partikel yang berhenti di sel bersangkutan. Partikel ini tidak

akan bergerak kemana-mana di langkah waktu berikutnya, tetapi beberapa

9

diantaranya mungkin akan dipercepat (bergerak) karena tabrakan dengan partikel

lain, jadi jumlah partikel yang diam bisa saja berubah.

Ada dua nilai penting yang dapat dihasilkan dari fungsi distribusi

partikel. Dengan menjumlahkan semua (19) fungsi distribusi, didapatkan

kepadatan (massa / volume) dari sel, dengan asumsi semua partikel mempunyai

massa yang sama yaitu 1. Informasi penting lain yang didapat untuk setiap sel

adalah kecepatan dan arah kecenderungan kemana partikel dari setiap sel

bergerak. Untuk itu, momentum dari kepadatan perlu dihitung, yaitu jumlah dari

semua fungsi distribusi partikel, tetapi setiap distribusi terlebih dahulu dikalikan

dengan vektor lattice. Sehingga, fungsi distribusi partikel 0 akan dikalikan

dengan vektor ( )T0,0,0 , yang selalu menghasilkan 0, fungsi distribusi 1f

dikalikan dengan ( )T0,0,1 dan ditambahkan dengan fungsi distribusi 2f dikalikan

( )T0,0,1− dan seterusnya. Dari kalkulasi di atas didapatkan hasil dalam vektor

dimensi 3 yang panjangnya ditentukan oleh kepadatan volume. Jadi, cukup

dengan membagi momentum kepadatan dengan kepadatan, didapatkan vektor

kecepatan untuk satu sel. Secara sederhana, kepadatan diberi nilai 1 di awal

simulasi. Karena LBM digunakan untuk mensimulasi fluida yang tidak dapat

dipadatkan, yang artinya nilai kepadatan yang konstan di setiap bagian dari

fluida, keterikatan ini merenggang selama proses simulasi. Dalam simulasi,

biasanya akan dijumpai perbedaan kepadatan, tetapi secara keseluruhan masih

akan membentuk satu fluida tak mampu-mampat.

10

Gambar 2.2 Model D2Q19 (kiri) dan model D2Q9 (kanan)

Proses simulasi LBM terdiri dari 2 tahap yang diulang setiap langkah

waktu. Yang pertama adalah tahap aliran, di mana perpindahan sebenarnya dari

partikel melalui grid dilakukan. Tahap berikutnya menghitung tabrakan yang

terjadi selama pergerakan itu, sehingga dinamakan tahap tabrakan.

Tahap aliran hanya terdiri dari operasi salin, seperti yang ditunjukkan di

Gambar 2.3. Untuk setiap sel, semua fungsi distribusi disalin ke sel tetangga

yang searah dengan vektor lattice. Sedangkan fungsi distribusi sel dengan

koordinat [ ]kji ,, untuk vektor yang menunjuk ke atas disalin ke fungsi distribusi

yang mengarah ke atas dari sel [ ]kji ,1, + . Fungsi distribusi untuk vektor 0 tidak

berubah dalam tahap aliran karena vektor tersebut tidak menunjuk kemana-mana.

Dalam prakteknya, ketika membuat program, cara termudah adalah membuat dua

grid yang berbeda dan menyalin fungsi distribusi dari satu grid ke grid lain. Hal

ini penting untuk mencegah terjadinya fungsi distribusi yang berubah padahal

datanya masih diperlukan untuk tahap aliran sel lain.

11

Gambar 2.3 Fungsi distribusi partikel pada model D2Q9 LBM sebelum dan sesudah tahap aliran.

Tahap tabrakan sedikit lebih rumit. Setelah tahap aliran selesai

dieksekusi, hasilnya adalah fungsi distribusi yang bergerak pada grid. Kecepatan

dan kepadatan dari sel juga akan berubah, tanpa interaksi lebih lanjut. Namun,

pada fluida di alam nyata, partikel-partikel fluida secara konstan saling

bertabrakan, memencarkan partikel lain ke arah yang berlainan, karena

gerakannya kacau mempengaruhi lapisan tetangganya dalam fluida. Tahap

tabrakan tidak mengubah kepadatan ataupun kecepatan dari sel, tetapi hanya

mengubah distribusi partikel untuk semua fungsi distribusi partikel. (Gambar

2.4)

Gambar 2.4 Tahap tabrakan pada sel

12

Ambil satu contoh satu sel [ ]kji ,, di mana fluida bergerak searah sumbu

x positif. Sel tersebut tidak akan kehilangan partikel selama tabrakan, tetapi

gerakannya akan berpencar ke lattice lain yang ditunjuk oleh vektor kecepatan

yang searah sumbu x positif. Pada tahap aliran berikutnya, sel-sel tetangga pada

koordinat x di 1+i akan menerima fungsi distribusi partikel yang sedikit lebih

besar dari sel [ ]kji ,, , dan sel pada 1−i akan menerima fungsi yang lebih lemah.

Waktu relaksasi ω dengan nilai berkisar antara 0 sampai 2, menentukan

viskositas dari fluida. Untuk nilai ω kecil (< 1), fluida akan berperilaku lebih

seperti madu, sementara dengan nilai 2, fluida yang dihasilkan akan sangat kacau

(lebih menyerupai air) (Gambar 2.5).

Gambar 2.5 Relaksasi waktu tunggal dengan waktu relaksasi yang berbeda

13

Kepadatan dari sel akan dinotasikan dengan ρ sedangkan vektor

kecepatan dinotasikan dengan Tuuuu ),,( 321=r . Vektor kecepatan dari lattice pada

Gambar 2.2 adalah 18..0er , masing-masing mempunyai bobot ωi. Untuk tahap

tabrakan, nilai kesetimbangan fungsi distribusi perlu dihitung dari kepadatan dan

kecepatan :

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅+−= 22

293

23 ueueuf iii

eqi

rrrrrρω (2.1)

Dengan ωi = 1/3 untuk i = 0, ωi = 1/18 untuk i = 1..6 dan ωi = 1/36 untuk i =

7..18. Ketiga produk skalar dari vektor kecepatan dan vektor lattice dapat

dihitung dengan mudah. Ketiganya perlu diskala dengan sesuai dan kemudian

dijumlahkan menurut bobot dan kepadatan. Nilai waktu relaksasi ω akan

menentukan fluida dapat mencapai titik kesetimbangan lebih cepat atau lebih

lambat. Fungsi distribusi partikel yang baru if ′ dihitung menurut persamaan:

( ) eqiii fff ωω +−=′ 1 (2.2)

Dan kemudian if ′ akan disimpan dalam sel yang sesuai. Ketika semua sel sudah

bertabrakan, maka tahap aliran berikut dapat dilaksanakan.

Secara numerik LBM bisa diselesaikan dengan 2 tahap yaitu tahap aliran

(2.3) dan tahap tabrakan (2.4) yang dapat digabungkan dalam satu rumus (2.5):

( ) ( )1,, −−′= texftxf iiirrr (2.3)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ieq

iiii Ftxftxftxftxf +−−=′ ,,1,, rrrr

τ (2.4)

( ) ( ) ( ) ieq

iiiii Ffftxftttexf +−−=−Δ+Δ+τ1,, rrr (2.5)

di mana Fi adalah gaya luar, misalnya gravitasi.

14

2.3 Persamaan Boltzmann

Persamaan Boltzmann telah dikenal sejak tahun 1872 dan dinamai sesuai

dengan nama ilmuwan asal Austria, Ludwig Boltzmann. Persamaan ini

merupakan bagian dari fisika statistik klasik dan menggambarkan perilaku gas

pada skala mikroskopis.

Teori gas kinetis menangani hal yang berhubungan dengan

penggambaran status gas pada tingkat molekul (Thurey, 2003). Teori ini

memperkenalkan suatu fungsi untuk menggambarkan status gas dengan

memperhitungkan posisi dan kecepatan setiap molekul gas. Sebuah ruang 3D

membutuhkan tiga nilai, oleh karena itu sebuah molekul dapat dideskripsikan

dengan enam nilai ),,,,,( 321 zyxxxx ξξξ di mana xxxx r=),,( 321 merupakan

posisi, dan ξξξξr

=),,( zyx adalah kecepatan molekul. Suatu gas dengan N

molekul dapat dideskripsikan pula dengan N titik dalam dimensi enam (biasanya

disebut dengan μ-space).

Untuk menangani deskripsi molekul, teori gas kinetis menyebutkan suatu

fungsi untuk sebuah volume ξrrdxd pada ),,,,,( 321 zyxxxx ξξξ dalam μ-space

yang menggambarkan kepadatan gas. Dengan dN menjadi angka titik dari

volume ini (semua molekul dengan posisi dan kecepatan pada jarak yang telah

ditentukan), maka

ξξ rrrr

dxddNxf =),( (2.10)

adalah fungsi distribusi kecepatan molekul. Mengintegrasikan fungsi ini pada

semua nilai-nilai yang mungkin akan menghasilkan N, yakni jumlah molekul

15

total. f sekarang hanya terdiri atas semua partikel dalam satu interval di sekitar

x yang bergerak dengan arah yang sama.

Penurunan persamaan Boltzmann dapat dilakukan dengan taksiran

tabrakan yang terjadi hanya antara dua partikel. Tabrakan antara dua partikel ini

dianggap berlangsung sekejap dan tidak dipengaruhi oleh gaya luar. Jika

memasukkan gaya luar g maka persamaan Boltzmann dapat ditulis sebagai

berikut :

)( ffgxf

tf

Ω=∂∂

+∂∂

+∂∂

ξξ r

rr

r (2.11)

Pada persamaan di atas, ruas kiri menggambarkan gerakan keseluruhan

dari molekul dengan kecepatan mikroskopik ξr

melalui medan gaya gr pada xr ,

sedangkan ruas kanan menunjukkan interaksi molekul dengan operator tabrakan.

Persamaan integral yang memuat differential collision cross section σ pada dua

partikel, yang bisa dihitung secara geometris dengan pendekatan bola tegar untuk

molekul. Kecepatan partikel yang masuk diubah menjadi kecepatan keluaran

sehingga persamaan tersebut menunjukkan hubungan dengan dinamika molekul

yang dasar. Ω untuk dua partikel dengan kode 1 dan 2 dapat ditulis sebagai

berikut :

2212121 ),()()( xdduufffff rrrrr ωωσ −−′′=Ω ∫ (2.12)

di mana ωr

menunjukkan sudut pada tabrakan yang terjadi. Seperti terlihat di

persamaan di atas, cross section σ dihitung dengan tabrakan solid dan kecepatan

relatif dari kedua partikel yang bertabrakan 21 uu rr− .

16

Dikarenakan rumitnya sifat operator tabrakan, maka operator tabrakan

sering digantikan dengan persamaan yang lebih sederhana, tetapi tetap

mempertahankan faktor-faktor tabrakan. Model standar untuk masalah tabrakan

ini adalah taksiran BGK (Bhatnagar-Gross-Krook) . Bunyinya :

ωfff

eq

BGK−

=Ω )( (2.16)

Disini eqf adalah distribusi Maxwellian yang merepresentasikan

kesetimbangan lokal dan dipengaruhi oleh kepadatan yang tetap ρ, kecepatan

ξr

dan suhu T. Tiap tabrakan mengubah fungsi distribusi 1f proposional terhadap

nilai awal dari kesetimbangan lokal eqf , di mana jumlah dari koreksinya diubah

seturut relaksasi waktu ω .

Untuk 3D, fungsi distribusi Maxwell (terkadang disebut juga distribusi

Maxwell-Boltzmann) dapat dituliskan:

RTmu

M eRT

mf 2)(2/32 22

2

rr−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ξ

πρ (2.20)

di mana aξ adalah kecepatan alitan makroskopik, ρ adalah kepadatan fluida, T

adalah suhu fluida, R adalah konstanta Boltzmann (1,38066x10-23 J/K), dan m

adalah massa partikel.

2.4 Turunan Persamaan Boltzmann

Penurunan persamaan Boltzmann berikut menurut penjelasan dari

Thurey. Metoda yang dijelaskan disini memungkinkan penurunan persamaan

Boltzmann dari persamaan kinetis acak. Untuk selanjutnya, notasi berikut akan

17

digunakan )(),,( tftxf =ξrr dan )(),,( atfataxf +=++ ξξ

rrr . Notasi yang sama

juga berlaku untuk g.

Sebagai langkah awal, persamaan Boltzmann dengan taksiran tabrakan

BGK akan digunakan sebagai berikut:

( ))()(1)()( tgtftfttf

−−=∇+∂

∂λ

ξr

(2.21)

di mana f adalah fungsi distribusi partikel pada waktu t, posisi xr untuk

kecepatan mikroskopik ξr

, dan nA ⋅=λ1 adalah waktu relaksasi untuk tabrakan

yang dihitung dari jumlah partikel n dan koefisien proporsional A. g adalah

distribusi Maxwell Mf dari persamaan 2.20.

Properti hydrodinamik dari fluida, yakni kepadatan ρ, kecepatan ur dan

suhu T dapat dihitung dengan momen dari fungsi f. Di bawah ini, energi ε dari

kepadatan energi ρε dapat digunakan untuk menghitung temperatur dari fluida.

( )∫= ξξρrrr dtxf ,, (2.22)

( )∫ ⋅= ξξξρrrrr dtxfu ,, (2.23)

( ) ( )∫ ⋅−= ξξξρεrrrrr

dtxfu ,,21 (2.24)

2.3.1 Diskritasi waktu

Persamaan 2.21 dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial

normal atau Ordinary Differential Equation (ODE):

gfdtdf

λλ11

=+ (2.25)

di mana

∇+∂∂

= ξr

tDtD (2.26)

18

adalah turunan waktu sepanjang kecepatan mikroskopis. Persamaan 2.25

adalah ODE linier urutan pertama, oleh karena itu, digunakan rumus

standar untuk menyelesaikan persamaan seperti ini, solusi

penyelesaiannya didapat dengan:

( ) ( ) ( ) tdttgeeetftfttt t

t ′′+⋅+⋅=+ ∫′

−−δ

λλδ

λδ

λδ

0

1 (2.27)

Dengan menganggap bahwa tδ sangatlah kecil dan g merupakan

fungsi halus, ( )ttg ′+ dapat ditaksirkan dengan interpolasi linier untuk

tt δ<′<0 :

( ) ( ) ( )2)(1 tttt

Otgttgtttg δδδδ

+++′

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−=′+ (2.28)

Persamaan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan integral persamaan

2.27.

( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ]tgttgetgtfetftftt

tt −′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−+

−−11)()(1 λ

δλδ

δλδ

(2.30)

Lebih lanjut, λδ t

e−

dapat diperluas menurut Taylor terhadap tδ

berikut ini:

( )λδ

δλ

δλδ

λδ

ttt Oeee

tt

−≈+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+==

+−−

111 200

(2.31)

Jadi persamaan 2.30 dapat disederhanakan menjadi:

( ) ( ) ( ))()( tgtftftf tt −−=−+

λδ

δ (2.32)

19

Disini, waktu relaksasi λδ t ¸ biasanya ditulis dengan

τ1 . Rumus ini mirip

dengan persamaan 2.3 di penjelasan sebelumnya.

2.3.2 Taksiran Kesetimbangan

Distribusi Maxwell yang digunakan sebagai fungsi distribusi

kesetimbangan g telah dijelaskan pada bagian sebelumnya (lihat

persamaan 2.20). Untuk massa partikel sebesar 1 dan dimensi D maka

dibaca:

( )

( )RTu

D eRT

ug 22

2

2)(

rr

r−

−=

ξ

πρ (2.33)

Dengan memperluas bentuk quadratic pada eksponen e dan dilanjutkan

dengan perluasan Taylor maka akan menghasilkan persamaan-persamaan

berikut (disini ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −RT

D eRT

22

2

2

ξ

πρ

r

akan disingkat menjadi β ):

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⋅+

⋅+⋅=

+′′+′+=

=+−

RTu

RTu

RTu

uOgugug

eug RTu

RTu

221

02

00

0

2

2

2

32

2

2

rrrrr

rr

r

rrrr

ξξβ

βε

Rumus berikut ini akan digunakan sebagai distribusi kesetimbangan

untuk turunan berikut:

( )( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⋅+

⋅+=

−

RTu

RTu

RTue

RTf RT

Deq

221

2

2

2

2

22

2 rrrrrr

ξξπρ ξ

(2.34)

20

2.3.3 Diskritasi kecepatan

Agar lebih sederhana, model D2Q9 akan diturunkan pada bagian

ini. Seperti yang dapat dilihat pada persamaan 2.22, momen integral di

seluruh ruang kecepatan diperlukan.

Momen pada persamaan 2.34 pada 2D dapat secara umum ditulis

sebagai berikut:

( )( )

( ) ( )∫∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⋅+

⋅+==

−ξξξξψ

π

ρξξψξ rrrrrr

rrrr

dRTu

RTu

RTue

RTdfI RT

Deq

221

2

22

2

2

2

(2.35) di mana ψ adalah fungsi momen, yang terdiri dari kekuatan komponen-

komponen kecepatan

( ) ny

mx ξξξψ =

r (2.36)

Untuk selanjutnya persamaan 2.35 dapat ditulis dengan cara sebagai

berikut:

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) )

2

22

22

2

1(2

4

22222

2

222

22

2

22

2

22

2

22

2

22

∫

∫

∫

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−⋅=

+−

+−

+−

+−

−

ξξξξξ

ξξ

ξξξ

ξξ

ξξξ

ξξξπρ

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

r

r

r

r

dRT

uuuue

dRT

uue

dRT

uue

deRTI

yyyyxxxxRTny

mx

yyxxRTny

mx

yxRTny

mx

RTny

mx

yx

yx

yx

yx

(2.37)

Langkah-langkah berikutnya perlu untuk setiap empat batasan integral

dari persamaan 2.37, tetapi kesemuanya diproses sesuai dengan yang

ditunjukkan pada batasan pertama yaitu:

21

( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

∫ ∫

∫

−−−

+−

−

yxny

RTmx

RT

RTny

mx

ddeeRT

deRT

yx

yx

ξξξξπρ

ξξξπρ

ξξ

ξξ

2

2

2

2

2

22

222

22

2

2r

( ) ( )( ) n

xmx

nm

ymyx

mx

nm

IIRT

dedeRT xx

2

2

2

222

−+

−−−+

=

⋅⋅= ∫ ∫

πρ

ζζζζπρ ζζ

(2.38)

Dapat dilihat bahwa miI adalah momen ke-m dari fungsi

2ς−e . Persamaan

2.37 dapat ditulis ulang menggunakan momen-momen berikut:

( ) ( )( )

( )]

22

2

21[2

221122

11

22

RTIIuIIuuIIu

RTIIuIIu

IIRTuRTI

ny

mxy

ny

mxyx

ny

mxx

ny

mxy

ny

mxx

ny

mx

nm

++++

++

−+

++

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

r

πρ

(2.39)

Langkah krusial pada turunan LBM adalah pada penggunaan rumus

quadrature yang tepat untuk mengintegrasikan momen-momen tersebut

secara numerik. Cara kerja quadrature adalah sebagai berikut:

)()()(1

j

N

jj xfwdxxWxf ∑∫

=

= (2.40)

di mana W(x) adalah fungsi pembobot, 2xe− di kasus ini, dan f(x) adalah

sebuah polinomial pada x, contohnya ( ) mxxf ςς = . Integral dari perkalian

kedua fungsi ini ditaksirkan dengan pemjumlahan atas evaluasi-evaluasi

22

fungsi pada nilai x = xj dengan bobot wj . Pada kasus ini, quadrature

Gauss-Hermite dari orde ketiga (N = 3):

mj

jj

mi wI )(

3

1

ς∑=

= (2.41)

dengan bobot dan abscissas sebagai berikut:

23,0,23 321 +==−= ςςς (2.42)

6,

32,

6 321πππ

=== www (2.43)

Setelah menggunakan quadrature Gauss-Hermite, fungsi momen dapat

disingkat menjadi bentuk berikut:

( ) ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⋅+

⋅+= ∑∑

= = RTu

RTu

RTuwwI ji

i jji 22

12

2

23

1

3

1

rrrrrξξςψ

πρ (2.44)

di mana ji ,ς adalah vektor yang diberikan oleh abscissas quadrature

( )( )Tjiji RT ςςς ,2, = . Karena adanya penggunaan model isothermal,

suhu T tidak memiliki relevansi secara fisik, dan dapat digantikan dengan

konstanta RTc 3= . Kecepatan suara 3/ccs = pada model

menghasilkan RTccs == 322 . Bobotnya kemudian dibagi dengan π dan

menjadi:

361,,,

91,,,94

331113318..5

322312214..1

220

==

====

wwwwwwwww

wwwwwwwwwwww

(2.45)

Tiap komponen dari vektor bernilai 0 atau cRTRT =±=± 3232 :

23

( )( ) ( )( ) ce

cce

e

T

TT

T

1,1,,,

,0,0,1,,,

0,0

3,31,11,33,18..5

3,22,31,22,14..1

1,10

±±==

±±==

==

ςςςς

ςςςς

ς

r

r

r

(2.46)

Dengan kecepatan-kecepatan diskrit ini, persamaan 2.44 akan membaca:

( )∑= egfewI αααψr (2.47)

di mana wα dapat diidentifikasikan sebagai RTeRT 2

2

2ξ

π

r

dan menghasilkan

bentuk fungsi distribusi kesetimbangan untuk setiap kecepatan:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+

⋅+= 24

2

2 23

2931

cu

cue

cuewf qe

rrrrr

ραα (2.48)

2.5 Kajian/Hasil Penelitian Terdahulu

Beberapa pendekatan telah dieksplorasi demi mensimulasi dinamika

fluida dengan parangkat komputer. Permodelan berbasiskan fisika pertama kali

diajukan oleh Wejchert dan Haumann pada tahun 1991 dan menghasilkan solusi

analitik. Sayangnya, waktu komputasi dan keperluan memori yang besar masih

menjadi kendala. Metode finite differences dalam 3D dikenalkan oleh Foster dan

Metaxas pada tahun 1997, akan tetapi finite dfferences tidak stabil untuk langkah

waktu yang besar dan membatasi kecepatan simulasi (Thurey, 2003).

Pada tahun 1999, Jos Stam menunjukkan metoda yang stabil dengan

menggunakan semi-Langrangian advection dan implicit Navier-Stokes solver.

Metode ini mampu mensimulasikan aliran yang tidak stabil atau bergoncang dan

dapat dieksekusi secara real-time pada sebuah grid resolusi rendah.

24

Aplikasi Cellular automata untuk dinamika fluida pertama kali

dikemukakan dalam bentuk model LGCA HPP oleh Hardy, de Pazzis dan

Pomeau pada tahun 1973. Model HPP ini menggunakan distribusi ”ubin

persegi”. Model HPP gagal dalam mensimulasikan persamaan Navier-Stokes

karena simetri ubin-ubin persegi yang hanya ada 4 tersebut tidak mencukupi

sehingga memberikankan hasil yang tidak isotropis (tidak konsisten pada

orientasi koordinat sumbu/poros). Kemudian, Frisch, Hasslacher dan Pomeau

menghasilkan sebuah FHP lattice heksagonal dan menunjukkan bahwa suatu

bentuk segi 6 cukup untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes pada batasan

makroskopis. Jika HPP dan FHP digunakan secara bersamaan dengan teknik-

teknik pemrograman seperti multi-spin coding dapat dengan efisien diprogram

kembali untuk komputasi paralel pada banyak desktop PC.

Masalah yang ada pada LGCA adalah kondisi binernya yang alamiah,

yakni adanya usaha untuk mensimulasikan partikel secara individu dan akhirnya

menghasilkan distribusi butiran hitam dan putih.

LBM bila dibandingkan dengan metode-metode pemodelan fluida yang

digunakan dalam industri perfilman memiliki beberapa kelebihan dan

kekurangan (Thurey, 2007).

Gambar 2.6 Perbandingan Beberapa Metoda Simulasi

25

2.6 Rekayasa Piranti Lunak

Rekayasa Piranti Lunak menurut Fritz Bauer (Pressman, 2005) adalah

penetapan dan pemakaian prinsip-prinsip rekayasa dalam rangka mendapatkan

piranti lunak yang ekonomis yaitu terpecaya dan bekerja efisien pada mesin.

Menurut Pressman (2005, p24), rekayasa piranti lunak mencakup 4

lapisan teknologi, yaitu:

1. Fokus kualitas (a quality focus)

Semua proses rekayasa harus berpusat pada kualitas. Pengaturan kualitas

yang menyeluruh mendasari perkembangan piranti lunak yang lebih

matang dan baik.

2. Model Proses (software engineering process)

Merupakan dasar dari rekayasa piranti lunak. Lapisan ini membentuk

dasar untuk manajemen projek piranti lunak dan membangun suatu

konteks metoda teknis yang digunakan, produk yang dihasilkan,

milestone yang dibuat, pengawasan kualitas, dan perubahan supaya

semuanya diatur secara benar.

3. Metode-metode (software engineering methods)

Bagian ini informasi bagaimana membangun suatu piranti lunak secara

teknis. Lapisan ini mencakup analisis kebutuhan, rancangan, konstruksi

program, pengujian, dan support.

4. Alat-alat bantu (software engineering tools)

Alat-alat bantu ini mendukung lapisan metode dan lapisan proses baik

secara otomatis ataupun semi-otomatis.

26

Dalam rekayasa software dikenal istilah daur hidup piranti lunak

(software life cycle) yaitu serangkaian kegiatan yang dilakukan selama masa

rekayasa software. Model waterfall merupakan model yang paling umum pada

rekayasa piranti lunak. Model waterfall terdiri dari tahap-tahap:

1. Analysis

Pada tahap ini, informasi kebutuhan terhadap piranti lunak dikumpulkan

termasuk domain informasi, fungsi yang dibutuhkan, performa, dan antar-

muka.

2. Design

Tahap ini meliputi empat bagian utama dari piranti lunak yaitu

struktur data, arsitektur piranti lunak, representasi antar-muka, dan

prosedur atau detail algoritma

3. Construction / Coding

Tahap ini adalah tahap menterjemahkan rancangan pada tahap

sebelumnya menjadi bentuk yang dimengerti mesin.

4. Testing

Tahap ini terfokus pada logical piranti lunak, dan memastikan

semua perintah telah diuji dan berjalan dengan semestinya. Tahap ini

mencoba mencari semua kesalahan yang mungkin terjadi selama

pengoperasian piranti lunak.

5. Operation and Maintanence

Tahap ini mengakomodasi operasi piranti lunak dan perubahan

yang mungkin dilakukan karena kesalahan yang ditemukan.

27

2.7 Alat Bantu Perancangan

Alat bantu yang digunakan dalam perancangan program simulasi fluida

akan dibahas pada bagian ini.

2.6.1 Diagram Alir (Flow Chart)

Diagram alir adalah sebuah skema yang merepresentasikan

sebuah algoritma atau sebuah proses. Adapun simbol-simbol dari diagram

alir yang digunakan dalam ilmu komputer :

Gambar 2.7 Simbol-simbol Diagram Alir

2.6.2 Use Case Diagram

Use Case menunjukkan hubungan interaksi antara aktor dengan

use case di dalam suatu sistem (Mathiassen, 2000, p343) yang bertujuan

untuk menentukan bagaimana aktor berinteraksi dengan sebuah sistem.

Aktor adalah orang atau sistem lain yang berhubungan dengan sistem.

Tiga simbol yang mewakili komponen sistem seperti terlihat dibawah ini:

Simbol untuk mulai dan selesai

Simbol untuk menentukan aliran data yang dilakukan

Simbol untuk langkah proses

Simbol untuk merepresentasikan sebuah kondisi atau keputusan. Biasanya berisi pertanyaan ya/tidak atau test benar/salah

28

Gambar 2.8 Simbol-simbol Use Case Diagram

2.6.3 Class Diagram

Class Diagram menggambarkan struktur statis dari suatu sistem

yaitu struktur class, atribut class, dan hubungan antar class. Dalam class

diagram, atribut maupun operasi dari suatu class biasanya ditandai

dengan + untuk akses public, - untuk akses private, dan # untuk akses

protected. Berikut ini adalah simbol umum dalam class diagram:

Gambar 2.9 Simbol-simbol Class Diagram

2.6.4 Pseudocode

Pseudocode adalah suatu deskripsi algoritma pemrograman

komputer yang ringkas dan informal yang menggunakan konvensi

struktural dari beberapa bahasa pemrograman, tetapi ditujukan untuk

dibaca orang manusia dan bukan mesin. Pseudocode umumnya tidak

menghiraukan detil-detil penrograman yang tidak penting untuk mengerti

29

sebuah algoritma, seperti deklarasi variabel atau subroutine. Selain

digunakan untuk menjelaskan sebuah algoritma, pseudocode juga

digunakan untuk merencanakan struktur program secara kasar.

Pseudocode dapat merupakan alternatif lain dalam perancangan

perangkat lunak disamping alat-alat bantu berupa diagram. Tidak ada

standarisasi dalam hal penulisan pseudocode.

2.8 OpenGL

OpenGL adalah spesifikasi standar untuk membangun aplikasi 2D dan

3D yang interaktif dan tidak dibatasi platform. Sejak dikenalkan pada tahun

1992. OpenGL menjadi antarmuka pemrograman aplikasi (API) untuk gambar

2D dan 3D yang paling banyak digunakan dalam industry dan digunakan dalam

ribuan aplikasi yang berbeda pada platform komputer yang beragam. OpenGL

mempercepat rekayasa aplikasi dengan menyediakan fungsi-fungsi beragam

untuk rendering, texture mapping, efek visual, dan fungsi visualisasi lainnya.

Operasi dasar OpenGL adalah menerima informasi primitif seperti titik,

garis, atau polygon kemudian mengubahnya menjadi pixel untuk ditampilkan.

OpenGL bekerja pada data gambar maupun data geometri.

Gambar 2.10 Alur kerja OpenGL