bab 2 landasan teori 2.1 produksi -...
TRANSCRIPT
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Produksi
Semua perusahaan menjalankan bisnisnya dengan memproduksi suatu barang
atau menyediakan jasa. Khusus bagi perusahaan yang bergerak di sektor industri dan
berbentuk pabrik, tentu proses produksi merupakan kegiatan utama dalam menjalani
bisnisnya. Agar operasi bisnis sukses perlu diketahui kuantitas yang tepat, dan sumber
daya manusia dengan substitusi optimal, juga input lainnya, seperti biaya produksi dan
perubahan biaya produksi tersebut (Baye, 2009, p157).
Menurut Baye (2009, p157), fungsi produksi adalah usaha mendapatkan jumlah
output yang maksimum dari sejumlah input tertentu.
Menurut McGuigan, Moyer, & Harris (2005, p296), fungsi produksi adalah
sebuah model matematika, penjadwalan (tabel), atau graf yang berhubungan dengan
kuantitas maksimum output yang dapat dikerjakankan, yang dapat dihasilkan dari
pemberian sejumlah input.
2.2 Pengendalian Produksi
Menurut Baye (2009, p236), faktor paling utama dalam pengendalian produksi
adalah struktur pasar (market structure). Struktur pasar itu sendiri dapat didefinisikan
sebagai faktor yang mempengaruhi keputusan manajerial, termasuk jumlah perusahaan
yang bersaing dalam satu pasar, ukuran perusahaan, teknologi, kesepakatan harga,
permintaan, dan hubungan dengan perusahaan lain.
10
Semua industri sangat tergantung pada permintaan pasar terhadap produk yang
diproduksi oleh industri tersebut. Bila permintaan relatif besar, maka perusahaan perlu
memproduksi produk dengan jumlah yang dapat memenuhi jumlah yang diminta.
2.3 Permintaan (Demand)
Menurut Baye (2009, p42), permintaan adalah ukuran seberapa banyak suatu
produk akan dibeli pada harga tertentu dengan memperhatikan produk yang
berhubungan, tingkat income tertentu, dan nilai dari variabel lain yang mempengaruhi
permintaan itu.
Sedangkan menurut McGuigan, Moyer, & Harris (2005, p76), permintaan adalah
hubungan yang ada dalam periode tertentu antara jumlah barang atau jasa yang ingin
dibeli oleh konsumen dengan kondisi-kondisi yang diberikan yang berpengaruh terhadap
keinginan untuk membeli, seperti harga, pendapatan, pemasaran, dan lain-lain.
Untuk memperkirakan permintaan pasar akan produk tertentu dapat dilihat dari
variabel-variabel tak bebas (dependent variables) yang medukung estimasi permintaan,
seperti data penjualan atau pemasukan yang dihasilkan dari penjualan produk yang
bersangkutan dalam rentang waktu tertentu. Secara tidak langsung, total biaya pokok
produksi suatu produk juga dapat mempengaruhi permintaan pasar akan produk yang
bersangkutan.
11
2.4 Optimalisasi
Menurut Nash & Sofer (1996, p3) optimalisasi adalah sarana untuk
mengekspresikan model matematika yang bertujuan untuk memecahkan masalah dengan
cara yang terbaik. Jika optimalisasi digunakan untuk tujuan bisnis, artinya
memaksimalkan keuntungan dan efisiensi, serta meminimalkan kerugian, biaya, dan
resiko.
Menurut Ponstein (2002, p1) optimalisasi adalah pemecahan masalah, jika paling
tidak ada satu solusi optimal. Optimalisasi merupakan penyelesaian masalah, jika paling
tidak ada satu solusi yang dapat menyelesaikan masalah.
2.5 Model Peramalan (Forecasting Model)
Menurut Santoso (2009, p7), definisi peramalan (forecasting) sendiri sebenarnya
beragam dan dapat dijabarkan sebagai berikut.
1. Perkiraan munculnya sebuah kejadian pada masa depan, berdasarkan data yang
ada pada masa lampau.
2. Proses analisis data historis dan data saat ini untuk menentukan trend di masa
mendatang.
3. Proses estimasi dalam situasi yang tidak diketahui.
4. Pernyataan yang dibuat tentang masa depan.
5. Penggunaan ilmu dan teknologi untuk memperkirakan situasi pada masa depan.
6. Upaya sistematis untuk mengantisipasi kejadian atau kondisi pada masa depan.
12
Secara umum Model Peramalan dapat dibagi menjadi 3 metode untuk peramalan
masa depan dalam variabel yang diinginkan sebagai fungsi dari waktu, yaitu sebagai
berikut (Taha, 2002, p 505).
1. Metode Rata-rata Bergerak (Moving Average Method), yaitu metode yang
digunakan dengan asumsi deret waktu yang stabil, dan data dibentuk dari proses
yang konstan. Ramalan yang dihasilkan merupakan rata-rata dari data-data
terkahir menurut waktu; semakin banyak data yang diambil, semakin baik hasil
ramalannya.
2. Metode Penghalusan Eksponensial (Exponential Smothing Method), yaitu
metode yang digunakan dalam asumsi proses yang konstan, asumsi yang sama
digunakan dalam pengembangan Metode Rata-rata Bergerak, dan mengurangi
kesalahan dari Metode Rata-rata Bergerak, serta digunakan untuk bobot yang
lebih dalam kebanyakan observasi.
3. Metode Regresi Linier (Linear Regression Method), yaitu metode yang
menyebabkan terjadinya hubungan antara variabel tak bebas (dependent
variable), seperti permintaan terhadap suatu barang, dan variabel bebas
(independent variable), seperti waktu.
2.5.1 Metode Regresi Linier (Linear Regression Method)
Menurut Taha (2005, p512-p516), dalam aplikasi Metode Linier Regresi
ini diasumsikan bahwa terdapat hubungan antara variabel yang ingin diramalkan
(variabel tak bebas) dengan variabel lain (variabel bebas). Selanjutnya,
13
peramalan ini didasarkan pada asumsi bahwa pola pertumbuhan data historis
yang bersifat linier, walaupun sebenarnya tidak 100% linier. Pola pertumbuhan
ini didekati dengan suatu model yang menggambarkan hubungan-hubungan yang
terkait dalam suatu keadaan.
Formula umum regresi antara variabel tak bebas x dan variabel bebas y
dinyatakan dengan :
y = b0 + b1x + b2x2 + . . . + bnxn + �
di mana b0, b1, . . . , bn adalah parameter yang tidak diketahui. Random eror �
memiliki rata-rata nol dan standar deviasi yang konstan.
Dalam formula paling sederhana dari Metode Regresi mengasumsikan
bahwa variabel tak bebas dibedakan secara linier dengan waktu, seperti:
y* = a + bx
konstanta a dan b dihasilkan dari data deret waktu yang diambil dari least square
criterion yang mencari untuk meminimalkan jumlah kuadrat dari perbedaan data
hasil observasi dengan nilai estimasi. Besaran (yi, xi) merepresentasikan nilai ke i
dari kolom data yang merepresentasikan deret waktu, i = 1, 2, 3, ..., n, dan
didefinisikan sebagai:
Sebagai jumlah kuadrat dari deviasi antara data hasil observasi dengan nilai
estimasi. Nilai dari a dan b berasal dari penyelesaian kondisi untuk
meminimalkan S, sebagai berikut.
14
2 0
2 0
Setelah melakukan beberapa manipulasi aljabar, maka didapatkan solusi
berikut.
∑∑
∑
∑
Persamaan di atas menunjukan bahwa perlu dihitung b terlebih dahulu,
sebelum nilai a dapat dihitung.
Estimasi dari a dan b adalah valid untuk distribusi probabilistik yi. Jika yi
didistribusikan secara normal dengan standard deviasi konstan, rentang
kepercayaan dapat muncul di atas nilai rata-rata dari estimator pada x = x0 (y0 = a
+ bx0) sebagai:
,⁄∑
21
∑
(yi – yi*) mereprensentasikan deviasi antara data hasil observasi ke i dan
nilai estimasi dari variabel tak bebas.
15
Dapat dicoba seberapa baik estimator linier y* = a + bx dapat di
masukkan ke dalam kolom data dengan menghitung koefisien korelasi, r, dengan
menggunakan formula:
∑
∑ ∑
di mana -1 ≤ r ≤ 1.
2.6 Linear Programming
Linear Programming merupakan model umum yang dapat digunakan dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber terbatas secara optimal. Masalah
tersebut timbul apabila seseorang diharuskan memilih atau menentukan tingkat setiap
kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan
sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil
contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan
tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-
faktor produksi dan permintaan untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
yang minimal (Subagyo, 2000, p9).
Pada masa modern sekarang ini, Linear Programming masih menjadi pilihan
dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Dalam memecahkan masalah di atas, Linear Programming menggunakan model
matematis. Sebutan “linear” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan
dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Linear Programming dikenal dua
16
macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan
(constraint functions). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau
sasaran di dalam permasalahan Linear Programming yang berkaitan dengan pengaturan
secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan yang
maksimal atau biaya yang minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan
dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis
batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke
berbagai kegiatan.
Pada dasarnya, persoalan Linear Programming dapat dirumuskan sebagai
berikut.
Cari x1, x2, x3, ..., xn
Sedemikian rupa sehingga
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn = Optimum (Maksimum atau Minimum)
dengan kendala:
a11x1 + a21x2 + ... + am1xm ≤ h1
a12x1 + a22x2 + ... + am2xm ≤ h2
a13x1 + a23x2 + ... + am3xm ≤ h3
.
.
am1x1 + am1x2 + ... + amnxn ≤ hn
x1, x2, x3, ..., xn ≥ 0
Keterangan :
17
Ada n macam barang yang akan diproduksi masing-masing sebesar x1, x2, x3, ..., xn.
x1, x2, ... = jumlah produksi barang tipe 1, 2, dan seterusnya.
c1, c2, ... = harga persatuan masing-masing jenis barang.
h1, h2, ... = nilai fungsi kendala 1, 2, dan seterusnya.
a11, ... = koefisien fungsi kendala.
2.6.1 Asumsi-Asumsi Linear Programming
Menurut Mulyono (1999, p22-23), asumsi-asumsi Linear Programming dapat
dirinci sebagai berikut.
1. Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proporsional) dengan
perubahan tingkat kegiatan.
Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn
Setiap penambahan 1 unit x1 akan menaikkan Z dengan c1. Setiap
penambahan 1 unit x2 akan menaikkan Z dengan c2, dan seterusnya.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + amnxn ≤ b1
Setiap penambahan 1 unit x1 akan menaikkan penggunaan sumber atau
fasilitas 1 dengan a11. Setiap penambahan 1 unit x2 akan menaikkan
penggunaan fasilitas atau penggunaan 1 dengan a12, dan seterusnya.
Asumsinya adalah setiap ada kenaikan kapasitas riil, tidak perlu ada biaya
persiapan (set up cost).
18
2. Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling
mempengaruhi, atau dalam Linear Programming dianggap bahwa kenaikan
dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat
ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari
kegiatan lain.
Z = 3x1 + 5x2 di mana x1 = 10 dan x2 = 2;
Sehingga Z = 30 + 10 = 40
Jika x1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi, maka nilai Z menjadi
33 + 10 = 43. Jadi, nilai 3 karena kenaikan x1 dapat langsung ditambahkan
pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang di peroleh dari x2.
Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara x1 dan x2.
3. Divisibility
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan
dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang
dihasilkan.
4. Deterministic (certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model
Linear Programming (aij, bi, cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun
jarang dengan tepat.
19
2.6.2 Metode Simpleks
Metode simpleks dirancang oleh George Dantzig pada tahun 1947 untuk
menyelesaikan formulasi linear programming masalah pengiriman pasukan dan logistik
pada Angkatan Udara Amerika Serikat. Aplikasi untuk menyelesaikan masalah skala
besar yang nyata, seperti yang ditemukan dalam operasi militer, memungkinkan
optimalisasi untuk berkembang pada tahun 1950an dengan penantian dari dynamic
programming oleh Bellman, network flow oleh Ford dan Fulkerson, nonlinear
programming oleh Kuhn dan Tacker, integer programming oleh Gomory, decomposition
oleh Dantzig dan Wolfe, dan kode komersial linear programming yang pertama oleh
Orchard-Hays (Ravindran, 2009, p6-3).
Menurut Maros (2003, p19), metode simpleks adalah prosedur komputasi yang
dibutuhkan yang membutuhkan penggunaan komputer. Hal ini sangat disetujui oleh
Dantzig pada tahun 1988, di mana pertumbuhan kebutuhan akan solusi dari masalah
sehari-hari linear programming telah menginspirasi perkembangan komputer secara
signifikan pada tahun 1950an sampai awal 1960an.
Dari cara pandang secara teori, metode simpleks tidak membutuhkan algoritma
untuk menangani kasus terburuk yang merupakan bentuk eksponensial. Hal ini berarti
jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sebuah masalah terikat oleh sebuah
fungsi eksponensial dari m dan n. Seperti contoh yang dikemukakan Klee dan Minty
pada tahun 1972, untuk perhitungan interasi dari algoritma akan mencapai maksimum
secara teori. Dalam praktisnya, metode simpleks menunjukkan sebuah performa rata-rata
20
dengan sebuah fungsi linier dari m, dan ini sangat efisien dalam menyelesaikan masalah
sehari-hari.
Di antara tahun 1951 dan pertengahan tahun 1970an, tujuan utama para peneliti
adalah untuk menambah kapabilitas komputasi dari metode simpleks. Pada akhir periode
tersebut metode simpleks sudah dipercaya kematangannya. Pada pertengahan tahun
1980an perkenalan interior point method (IPM) untuk menyelesaikan masalah linear
programming telah membuat ketertarikan pada metode simpleks kembali. Selama
persaingan dengan IPM, metode simpleks sudah mengalami perkembangan yang luar
biasa besar.
Menurut Siringoringo (2005,p17-24), salah satu teknik penentuan solusi optimal
yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi
optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan.
Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan
cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan
tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi
sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks
sebagai berikut.
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung
dari nilai tabel sebelumnya.
21
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada
sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu
sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang
iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi
kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala
menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis
selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih
tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber
daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala
untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan
variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan
berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus
tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala
dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai
22
0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya
ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan
baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang
memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel
simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada
iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada
setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari
antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan
bernilai nol.
A. Bentuk Baku
Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimal,
pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih
dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala
23
ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu
variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi
sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya
masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum
pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus
tetap diubah.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku sebagai
berikut.
1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, diubah menjadi
persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, diubah menjadi
persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum, ditambahkan satu
artificial variabel (variabel buatan).
Contoh kasus :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 dengan kendala-kendala:
10 x1 + 5 x2 ≤ 600
6 x1 + 20 x2 ≤ 600
8 x1 + 15 x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku
hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk
24
pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai
berikut.
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 dengan kendala-kendala:
10 x1 + 5 x2 + s1 = 600
6 x1 + 20 x2 + s2 = 600
8 x1 + 15 x2 + s3 = 600
x1, x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
s1 , s2 , s3 merupakan variabel slack.
B. Pembentukan Tabel Simpleks
Dalam perhitungan iteratif, akan dikerjakan menggunakan tabel. Bentuk baku
yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel. Semua variabel yang bukan
variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel
basis pada baris tujuan harus sama dengan nol. Oleh karena itu, harus dibedakan
pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Dalam sub-bab ini hanya akan
diperhatikan fungsi kendala yang menggunakan variabel slack dalam bentuk bakunya,
sedangkan yang menggunakan variabel buatan akan dibahas pada sub-bab lainnya.
Digunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah sebagai berikut.
25
Tabel 2.1 Tabel Awal Simpleks Sumber: Siringoringo, 2005, p20
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi
Z -2 -3 0 0 0 0
S1 10 5 1 0 0 600
S2 6 20 0 1 0 600
S3 8 15 0 0 1 600
C. Langkah-langkah Penyelesaian
Langkah-langkah penyelesaian masalah dengan metode simpleks adalah sebagai
berikut.
1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi
(nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel
yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan
(nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan
maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif.
Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif
terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka akan didapatkan
variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif
terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara
sembarang.
26
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan
nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam
hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut
menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika
baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka akan didapatkan variabel keluar. Jika
rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada
perpotongan kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali
menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi
dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom
pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap
baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.
6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien
fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan
maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau
0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah
negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2, jika sudah optimal solusi
optimalnya dapat dibaca.
Penyelesaian kasus berikut ini menggunakan metode simpleks.
Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 dengan kendala-kendala:
27
x1 + x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
D. Penyelesaian :
Bentuk bakunya adalah sebagai berikut.
Maksimum z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau
z - 8 x1 - 9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0 dengan kendala-kendala:
x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2
2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3
7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8
x1,x2,x3 ,s1 , s2 , s3 ≥ 0
Solusi/tabel awal simpleks adalah sebagai berikut..
Tabel 2.2 Tahap Awal Simpleks Sumber: Siringoringo, 2005, p21
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio
Z -8 -9 -4 0 0 0 0
S1 1 1 2 1 0 0 2
S2 2 3 4 0 1 0 3
S3 7 6 2 0 0 1 8
28
Karena nilai negatif terbesar ada pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom
pivot dan X2 adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom pivot
terkecil adalah 1 bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2 adalah baris pivot dan s2
adalah variabel keluar. Elemen pivot adalah 3.
Tabel 2.3 Penentuan Baris dan Kolom Pivot pada Iterasi Pertama Sumber: Siringoringo, 2005, p21
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio
Z -8 -9 -4 0 0 0 0
S1 1 1 2 1 0 0 2 2
S2 2 3 4 0 1 0 3 1
S3 7 6 2 0 0 1 8 8/6
Nilai pertama yang dimiliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai
pada baris s2 pada tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).
Tabel 2.4 Baris Pivot Baru Sumber: Siringoringo, 2005, p22
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio
Z
S1
x2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1
S3
Perhitungan nilai barisnya adalah sebagai berikut.
29
Baris z:
-8 -9 -4 0 0 0 0
-9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -
-2 0 8 0 3 0 9
Baris s1:
1 1 2 1 0 0 2
1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -
1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1
Baris s3:
7 6 2 0 0 1 8
6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -
3 0 -6 0 -2 1 2
Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya, diperiksa apakah
tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1 masih negatif,
maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini.
Tabel 2.5 Penentuan Baris dan Kolom Pivot pada Iterasi Kedua Sumber: Siringoringo, 2005, p22
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio
Z -2 0 8 0 3 0 9 -
S1 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1 3
X2 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 3/2
S3 3 0 -6 0 -2 1 2 2/3
30
Variabel masuk dengan demikian adalah X1 dan variabel keluar adalah S3 . Hasil
perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut.
Tabel 2.6 Hasil Iterasi Kedua Sumber: Siringoringo, 2005, p22
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK Rasio
Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3
S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9
X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9
X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan.
Perhitungan dalam simpleks menuntut ketelitian tinggi, khususnya jika angka
yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik.
Disarankan jangan menggunakan bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika
menggunakan bilangan pecahan. Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang
atau bahkan tidak selesai karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.
Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan satu
per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan dimulai dari
kondisi nol (di mana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai nol). Jika titik ekstrim
berjumlah n, kemungkinan terburuknya akan dilakukan perhitungan iteratif sebanyak n
kali.
31
E. Membaca Tabel Optimal
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada
beberapa hal yang dapat dibaca dari table optimal:
1. Solusi optimal variabel keputusan,
2. status sumber daya,
3. harga bayangan (dual/shadow prices).
Dari hasil iterasi kedua maka diketahui bahwa hasil sudah optimal, maka
digunakan tabel optimal sebagai berikut.
Tabel 2.7 Hasil Solusi Optimal Sumber: Siringoringo, 2005, p23
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3
S1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9
X2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9
X1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3
Solusi optimal X1 = 2/3, X2 = 5/9 , X3 = 0 dan Z = 31/3, artinya untuk
mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $ 31/3 , maka perusahaan sebaiknya
menghasilkan produk 1 sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar 5/9 unit.
F. Status Sumber Daya
Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variabel basis awal dari setiap fungsi
kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama,
32
diperiksa keberadaan S1 pada variable basis table optimal. Periksa keberadaan S2 pada
variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan S3 pada
variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.
S1 = 7/9. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
S2 = S3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
G. Harga Bayangan
Harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack atau surplus pada baris fungsi
tujuan.
- Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan table optimal = 0, dengan demikian harga
bayangan sumber daya pertama adalah 0
- Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan table optimal = 5/3, dengan demikian
harga bayangan sumber daya kedua adalah 5/3
- Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan table optimal = 2/3, dengan demikian
harga bayangan sumber daya kedua adalah 2/3.
2.7 Pengenalan Bahasa Pemrograman C#
C# (baca : See-Sharp) adalah bahasa pemrograman terbaru yang diciptakan
Microsoft yang digunakan oleh banyak developer .NET untuk mengembangkan aplikasi
dengan platform .NET (Arsyad, 2008, p2).
C# dikembangkan oleh Microsoft oleh tim yang dipimpin oleh Anders Hejlsberg
dan Scott Wiltamuth. C# memiliki kesamaan bahasa dengan C, C++, dan Java,
33
sehingga memudahkan developer yang sudah terbiasa dengan bahasa C untuk
menggunakannya, C# mengambil fitur-fitur terbaik dari ketiga bahasa tersebut dan juga
menambahkan fitur-fitur baru. C# adalah bahasa pemrograman Object Oriented dan
memiliki class library yang sangat lengkap yang berisi prebuilt component sehingga
memudahkan programer untuk membangun program lebih cepat. C# juga distandarkan
oleh Ecma International pada bulan desember 2002.
Pada akhir tahun 2005 Microsoft merilis .NET Framework 2.0 bersamaan dengan
paket Visual Studio. Otomatis versi dari C# juga diperbaharui menjadi C# 2.0 yang
berjalan diatas .NET Framework 2.0. Pada versi baru ini banyak sekali fitur-fitur yang
ditambahkan terutama pada pengembangan aplikasi berbasis web dengan ASP.NET
seperti master page, site map control, user login, dan lain-lain. Penambahan generic
collection yang sangat membantu programer bekerja dengan object-object collection dan
list.
Dengan C# dapat dibuat bermacam aplikasi seperti aplikasi console, aplikasi
windows form, aplikasi Web, aplikasi Web services, dan aplikasi untuk mobile device.
Jadi cukup belajar satu bahasa tapi sudah dapat digunakan untuk mengembangkan
berbagai macam aplikasi (Kurniawan, 2008, p2-3).
2.8 Perancangan Perangkat Lunak
Perangkat lunak adalah (1) perintah (program komputer) yang bila dieksekusi
memberikan fungsi dan unjuk kerja seperti yang diinginkan, (2) struktur data yang
34
memungkinkan program memanipulasi informasi secara proporsional, dan (3) dokumen
yang menggambarkan operasi dan kegunaan program (Pressman, 2005, p36).
Menurut Sommerville (2001, p6), perancangan perangkat lunak adalah disiplin
perancangan yang berhubungan dengan semua aspek dari produksi perangkat lunak dari
tahap awal spesifikasi sistem sampai dengan pemeliharaan setelah sistem dalam tahap
berjalan.
2.8.1 Daur Hidup Perangkat Lunak
Salah satu model perancangan perangkat lunak adalah dengan
menggunakan model air terjun (waterfall model). Menurut Sommerville (2001,
p45), tahap-tahap utama dalam model air terjun, seperti dalam Gambar 2.1, yang
menggambarkan aktifitas dasar pengembangan perangkat lunak adalah sebagai
berikut.
1. Analisis dan penentuan kebutuhan (Requirement)
Tugas, kendala, dan tujuan sistem ditentukan melalui konsultasi dengan
pemakai sistem. Kemudian ditentukan cara yang dapat dipahami, baik oleh
pengguna maupun pengembang.
2. Desain sistem dan perangkat lunak (Design)
Proses desain sistem terbagi dalam kebutuhan perangkat keras dan perangkat
lunak. Hal ini menentukan arsitektur perangkat lunak secara keseluruhan.
Desain perangkat lunak mewakili fungsi sistem perangkat lunak dalam suatu
35
bentuk yang dapat ditransformasikan ke dalam satu atau lebih program yang
dapat dieksekusi.
3. Implementasi dan pengujian unit (Implementation)
Dalam tahap ini, desain perangkat lunak direalisasikan dalam suatu himpunan
program atau unit-unit program. Pengujian unit mencakup kegiatan verifikasi
terhadap suatu unit sehingga memenuhi syarat spesifikasinya.
4. Integrasi dan pengujian sistem (Verification)
Unit program secara individual diintegrasikan dan diuji sebagai suatu sistem
yang lengkap untuk memastikan bahwa kebutuhan perangkat lunak telah
terpenuhi. Setelah pengujian, sistem perangkat lunak disampaikan kepada
pengguna.
5. Pengoperasian dan pemeliharaan (Maintenance)
Secara normal, walaupun tidak selalu diperlukan, tahap ini merupakan bagian
siklus hidup terpanjang. Sistem telah terpasang dan sedang dalam
penggunaan. Pemeliharan mencakup perbaikan kesalahan yang tidak
ditemukan dalam tahap-tahap sebelumnya, meningktakan implementasi unit-
unit sistem dan mempertinggi pelayanan sistem yang disebabkan oleh
ditemukannya kebutuhan baru.
Ga(sumb
ambar 2.1 Wber : Somme
Waterfall Moerville, 2001
odel 1, p45)
36