bab 2 fungsi real
TRANSCRIPT
Bab 2. Fungsi
Bab 2. Fungsi Real
Bab II
Fungsi Real
2.1 Fungsi Real dan GrafikBayangkan suatu fungsi sebagai suatu mesin hitung. Ia mengambil bilangan (masukan) dan memproduksi hasil (keluaran). Setiap bilangan yang dimasukkan dicocokkan dengan satu bilangan tunggal sebagai keluaran, tetapi dapat terjadi bahwa beberapa nilai masukan yang berlainan memberikan nilai keluaran yang sama.
Definisi
Misalkan
yang tidak kosong, sebuah fungsi adalah suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur dengan tepat satu nilai . Himpunan A disebut domain (daerah asal), dan himpunan B disebut ko-domain, sedangkan himpunan semua nilai yang diperoleh di dalam , disebut range (image) dari f .Unsur yang berkaitan dengan unsur ini diberi lambang yang dinamakan aturan fungsi. Disini dinamakan peubah bebas (variabel independen), danyang nilainya bergantung dari dinamakan peubah terikat (variabel dependen).
Jika persamaan fungsi , , maka domain fungsi f adalah himpunan , dinotasikan dan range (daerah nilai) fungsi f adalah himpunan . Unsur dinamakan nilai fungsi di . Jika diketahui persamaan fungsi dan daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah daerah asal alamiah (natural domain) dari fungsi f., sehingga daerah asal dan daerah nilai fungsi f adalah :
dan
Dalam hal ini daerah asal dan daerah nilai fungsi semuanya himpunan bagian dari R. Fungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah reel dan bernilai real, disingkat fungsi real.Fungsi real dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah pada Gb.2.1
Notasi fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti (atau atau .Maka , yang dibaca dari atau pada , menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada .
Contoh 1, jika , maka
Contoh 2. Misalkan , cari dan sederhanakan
Penyelesaian
2.1.1. Daerah asal dan daerah hasil
Misalkan fungsi f dengan persamaan , makaDaerah asal fungsi f adalah suatu himpunan dan
Daerah hasil fungsi f adalah suatu himpunan
Contoh 3. Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari fungsi berikut :
a. b.
Penyelesaian :
a. .
( Agar terdefinisi , yaitu , syaratnya adalah yang dipenuhi oleh , sehingga domain fungsi f adalah .
( Karena untuk setiap berlaku , maka , sehingga range fungsi f adalah .
b.
( Agar terdefinisi , yaitu , syaratnya adalah , sehingga domain fungsi g adalah :
( Untuk menentukan daerah nlai fungsi g, tuliskan kemudian nyatakan x dalam y dan perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y sebagai brikut :
,
Jadi range fungsi g adalah :
Grafik fungsi g dengan domain = dan range = ditunjukan pada Gb 2.4Grafik Fungsi
Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi adalah grafik dari persamaan
Contoh 4 . Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi , , serta gambarkan grafiknya.Solusi. Dari aturan fungsinya, maka daerah asalfungsi f adalah .Untuk menentukan daerah nilainya,
Tuliskan aturan fungsinya dalam bentuk
, kemudiantentukan rentang nilai untuk ,
Berdasarkan hasil ini, maka daerah nilai fungsi f adalah : . Grafik fungsinya ditunjukkan pada Gb.2.5Contoh 5. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi
Penyelesaian : :
Agar , syaratnya adalah . Dengan menyelesaikan pertaksamaan ini diperoleh :
Jadi daerah asal fungsi f adalah
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f dapat dilakukan dengan beberapa cara :
Cara 1
Tuliskan ,
Unsur di bawah tanda akar dibuat bentuk kuadrat sejati, diperoleh.
Kuadratkan kedua ruas diperoleh
Bentuk ini merupakan persamaan bagian atas lingkaran yang berpusat dititik dan berjari-jari . Akibatnya rentang nilai harus memenuhi
dan sehingga. Jadi daerah nilai f adalah .
Cara 2 (menentukan daerah nilai)Tulis , dengan menguadratkan kedua ruas diperoleh
Karena fungsi f bernilai real, maka persamaan kuadrat dalam x ini harus mempunyai akar-akar real, syaratnya adalah deskriminan , yaitu:
Jadi range fungsi f adalah . 2.1.2. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f dikatakan fungsi genap jika untuk setiap berlaku dan dikatakan fungsi ganjil jika , untuk setiap . Berdasarkan pengertian ini, maka grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y dan grafik fungsi ganjil simetri terhadap
Dari pengertian tersebut, sebuah fungsi bukan fungsi genap jika terdapat suatu x ( Df sehingga dan bukan fungsi ganjil jika terdapat suatu x ( Df sehingga .
Contoh 6(1) a. Fungsi adalah fungsi genap, karena
Dengan demikian grafiknya simetri terhadap sumbu y.
b. Fungsi adalah fungsi ganjil, karena
, grafiknya simetri terhadap titik asal.
(2). a. Fungsi f(x) = x4 + x3 2x2 + 3 adalah bukan fungsi genap dan bukan fungsi
ganjil,karena
b. Fungsi adalah fungsi genap dan sekaligus fungsi ganjil karena
dan untuk setiap
2.1.3 Operasi Aljabar pada FungsiDefinisiMisalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D, maka jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari f dan g di tulis , didefinisikan sebagai fungsi yang aurannya di setiap ditentukan oleh :
Jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya maka
a). Df + g = Df ( Dg
b). Df g = Df ( Dg c). Df . g = Df ( Dg
d). = Df ( Dg { x ( R : g(x) = 0 }
Tampak bahwa Df + g = Df g = Df . g ; tetapi tidak sama dengan .Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan , kita maksudkan fungsi yang memberikan nilai pada
Contoh 7Diberikan dan ;
Tentukan aturan fungsi dan serta tentukan domainnyaPenyelesaian :
a). Jumlah dari f dan g adalah
= = , dengan domain
Jadi daerah asal dari f + g adalah semua bilangan real kecuali dan .
Dengan cara yang sama di peroleh hasil dalam tabel berikut :
OprasiAturan fungsiDomain
Jumlah
Selisih
Perkalian
Pembagian
*)
Pembagian
**)
Perpangkatan
Catatan *)
daerah asalnya
**)
,
daerah asalnya
2.1.4 Fungsi Komposisi (Fungsi Bersusun)
Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :
f : A ( B dan g : B ( C,
Jika Rf ( Dg ( ( , maka terdapat fungsi h : A ( C yang
merupakan fungsi komposisi dari f dan g ( f dilanjutkan g)
yang ditulis dan aturannya ditentukan oleh :
Daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi gof masing-masing adalah :
dan
Dalam hal ini Dgof adalah himpunan bagian dari Df. Selanjutnya, fungsi komposisi fog dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.
Misalnya Rg ( Df ( (, maka fungsi komposisi dari f dan g (g dilanjutkan f) ditulis fog dan aturannya ditentukan oleh
Daerah asal dan derah hasil fungsi komposisi fog masing-masing adalah
Dfog = { x ( Dg | g(x) ( Df } dan
R fog = { y ( Rf | y = f(t), t ( Rg }
Dalam hal ini Dfog adalah himpunan bagian dari Dg.
Catatan :
Contoh 8 Tentukan fungsi komposisi , dan tentukan pula daerah definisi fungsi komposisi dari fungsi-fungsi berikut:
a.
b. f(x) = ; g(x) =
Penyelesaian : :a.
(i).
fungsi komposisinya dijamin oleh :
=
=
(ii).
= = ,
fungsi komposisinya dijamin oleh :
=
b. ;
(lakukan penyelidikan seperti soal (a) dan kemudian diskusikan)
(i) menentukan (f( g)(x)
==
dan daerah definisinya: Df(g = {x( x > 2} = (2,+().
(ii) menentukan == dan daerah definisinya: Dg(f = (0,2) ( (2,+().(ii) menentukan g( f:
Rf ( Dg = [0, +() ( (-(, +() = [0, +() ( (, ini berarti menjamin adanya fungsi komposisi g( f dengan persamaan :
(g( f)(x) = g(f(x)) =
dan daerah definisinya Dg(f = {x( x( 4} = [4, +().
Contoh 9
Nyatakan fungsi berikut sebagai komposisi dari dua atau tiga fungsi.
a. F(x) =
b.
Penyelesaian : :
a. F(x) = , dapat ditulis dalam dua komposisi fungsi dengan f(x) = dan g(x) = x2 + x 2, sehingga
b. , dapat dituliskan dalam tiga komposisi fungsi dengan ,
dan , sehingga
Contoh 10Tentukan aturan fungsi jika diketahui dan
Penyelesaian : :
dan
..(1)
Tetapi g(f(x ..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
Contoh 11Jika dan . Tentukan fungsi komposisi Penyelesaian :
, dengan 9 t2 > 0
Soal-soal1. Untuk hitunglah masing-masing nilai
a.
b.
c.
2.Untuk , hitunglah masing-masing nilai
a.
b.
c.
d.
c.
e.
3.Mana dari yang berikut menentukan suatu fungsi dengan rumus
a.
b.
c.
d.
4.Untuk , cari dan sederhanakan
5.Untuk , cari dan sederhanakan
6.cari daerah asal alami masing-masing fungsi berikut ini,
a.
b.
c.
d.
7.Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari setiap fungsi berikut.
a.
b. c.
d. e. f.
g.
h. i
8. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
9 a). Jika f dan g fungsi ganjil , tunjukkan bahwa f+g dan f g juga fungsi ganjil
b). Jika f dan g fungsi genap ,tunjukkan bahwa f + g , f.g dan juga fungsi genap
c). Jika f fungsi genap dan g fungsi ganjil, tunjukkan bahwa fg adalah fungsi ganjil.10.Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atau tidak satupun, kemudian gambarkan grafiknya
a.
b.
c.
d.
e.
11.
Tentukan aturan fungsi dan , serta daerah definisinya
a. Jika dan ,
b. Jika dan
c. Jika
12. Diketahui dan . Tentukan :
a. Aturan fungsi b. Syarat yang menjamin eksistensi fungsi komposisi
c. Domain fungsi komposisi Df o g
13. Jika dan . Tentukan nilai p agar .14. Misalkan . Tunjukkan bahwa asalkan dan
15. Misalkan . Tentukan dan sederhanakan
a.
b.
2.2. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
2.2.1. FUNGSI POLINOM (Fungsi suku banyak) & GrafiknyaDefinisi : Fungsi f yang didefinisikan sebagai
dinamakan fungsi polinom (fungsi suku banyak), dengan n bilangan bulat non negatif dan a0 , a1 , ....., an adalah konstanta real,
Jika maka derajat fungsi polinom tersebut adalah n.
Jika n = 0, maka diperoleh untuk semua x, maka fungsi polinom tersebut adalah fungsi konstan.
Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat 1, yang dapat dituliskan dalam bentuk
atau
Grafiknya merupakan garis lurus dengan tanjakan a dan memotong sumbu y dititik (0,b), (gambar 2.9). Jika a = 1 dan b = 0 diperoleh yang dinamakan fungsi satuan (fungsi identitas).
Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam bentuk
atau
Grafiknya adalah suatu parabola yang simetri dengan garis vertikal , dan mempunyai titik puncak di dimana .
Grafik ini terbuka ke atas bila a > 0 dan terbuka ke bawah bila a < 0 (Gb. 2.10).
Grafik fungsi kuadrat dapat terjadi dalam beberapa kasus yaitu memotong sumbu x di dua titik; menyinggung sumbu x (memotong sumbu x di satu titik) dan tidak memotong sumbu x. Dalam hal deskriminan , maka grafik fungsi kuadrat menyinggung atau memotong sumbu x di dua titik. Dan dalam hal , grafik tidak memotong sumbu x. Jika dan , maka grafik fungsi kuadrat semuanya terletak diatas sumbu x, sebaliknya jika dan , maka grafik fungsi semuanya terletak dibawah sumbu x. ( Translasi
Translasi adalah transformasi bidang sedemikian sehingga bayangan dari setiap titik adalah titik , dimana nilai-nilai h dan k adalah nilai yang diberikan. Translasi menyebabkan perpindahan setiap titik dalam jarak yang sama dan dalam arah yang sama.
Perhatikan bahwa suatu grafik fungsi dapat dibangun dengan melakukan translasi dari garafik fungsi utamanya,seperti ilustrasi berikut :
Jika , bagaimana menggambar grafik (a) (b) (c) , (d). dan (e) .Misalkan fungsi utamanya adalah (parabola terbuka keatas dengan puncak ). Grafik diperoleh dengan menggeser grafik utama sebesar 2 satuan ke atas, grafik diperoleh dengan menggeser grafik utama sebesar 3 satuan ke kiri. Grafik diperoleh dengan menggeser grafik uama sebesar 3 satuan ke kiri, kemudian 2 satuan ke atas. Sedangkan grafik diperoleh dengan menggeser grafik utama sebesar 1 satuan ke bawah, Gb.2.11.
Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapat dituliskan dalam bentuk
atau
Grafik fungsi kubik ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik.
Untuk kasus a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak (gambar 2.12.a). Untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak Gb. 2.12.bFUNGSI RASIONAL Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua fungsi polinom, yaitu :
untuk semua x yang membuat penyebut tidak nol.( Fungsi dan , keduanya adalah fungsi rasional FUNGSI IRRASIONALFungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang tidak rasional yaitu mengandung faktor penarikan akar.
( Fungsi
semuanya adalah fungsi irrasional.
Perhatikan grafik fungsi irrasional berikut :
Perhatikan gambar 2.13, bahwa grafik C2 diperoleh dengan menggeser grafik C1 sejauh 1 satuan kesebelah kiri. Grafik C3 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 1 satuan disebelah kanan..Berikut ini diberikan beberapa fungsi utama beserta daerah asal , daerah nilai & gafiknyaNoFungsiDfRfJenis fungsi & Grafik
1
F.irrasional ,Gb.2.14.a
2
F. irrasional ,Gb.2.14.b
3
RRFungsi Kubik ,Gb.2.14. c
4
F. Rasional , Gb.2.14.d
5
F. Rasional , Gb.2.14.e
6
F. Rasional , Gb.2.14.f
2.2.4. Fungsi Nilai Mutlak
Domain: R, himpunan bilangan real
Range
: Bilangan real non negatif
Lambang:
Definisi:
Grafik
: gabungan dua buah semi garis lurus , yaitu :
Fungsi ini mempunyai dua aturan yaitu fungsi pada selang dan fungsi pada selang , sehingga , dan fungsi f berubah sifat di titik x = 0.
Fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak dapat dituliskan sebagai fungsi dengan banyak aturan. Contoh 121. Fungsi dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan, yaitu :
f berubah sifat di x =-1
2. fungsi dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu
f berubah sifat di x = 0
3. Diberikan fungsi , tntukan aturan fungsi tersebut tanpa mengandung nilai mutlak dan gambar garafiknya.Solusi
Berdasar definisi nilai mutlak , dan
maka diperoleh empat kombinasi persamaan (aturan) fungsi , sebagai berikut :
( Untuk , aturan fungsinya adalah
( Untuk , aturan fungsinya adalah
( Untuk , aturan fungsinya adalah
( Untuk , aturan fungsinya adalah
Grafik persamaan adalah gabungan dari grafik 4 buah semi garis lurus, lihat gambar 2.17.a.1. DISKUSIKAN di KELAS bahwa
fungsi dapat dituliskan sebagai fungsi dengan tiga aturan yaitu:
f berubah sifat di titik x = 0 dan x = 3
Grafik f merupakan gabungan tiga buah
semi parabola (Gb.2.17.b) 2.2.5.Fungsi Bilangan Bulat Terbesar (Fungsi Tangga)
Domain :R
Range : Himpunan bilangan bulat
Lambang : menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, yaitu :
Fungsi dinamakan fungsi bilangan bulat terbesar (fungsi tangga)Grafiknya : menyerupai tangga .Jika , maka tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x, yang pada garis bilangan digambarkan di sebelah kiri x.diantara semua bilangan bulat tersebut ada yang terbesar dan bilangan terbesar inilah yang dimaksud
Copntoh 13 jika x = 3,6 , maka terdapat bilangan bulat -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 yang semuanya lebih kecil dari 3,6. Dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat 3 yang terbesar, sehingga
demikian juga jika x = -2, maka terdapat ......, -5 , -4 , -3 , -2 yang semuanya lebih kecil atau sama dengan -2, dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat -2 yang terbesar sehingga .
, sebab bilangan -2 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari
Demikian juga
Untuk menggambarkan grafik fungsi , perhatikan langkah-langkah berikut :
n bilangan bulat.
Jika dipilih n = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , diperoleh :
Jadi
grafikn f ditunjukan pada gambar 2.18Contoh 14 Tentukan aturan fungsi tanpa mengandung nilai mutlak, dan gambar grafik dari fungsi :
Penyelesaian : :a). Menurut definisi bilangan bulat terbesar :
, kalikan pada ketiga ruas (ingat sifat pertidaksamaan) diperoleh
, sehingga :
Jadi aturan fungsinya adalah :
grafiknya ditunjukkan pada gambar 2.19.
b). .
Karena
agar ,diperoleh
, sehingga aturan fungsinya adalah :
Grafik ditujukan pada gambar 2.20 c). .Berdasar definisi bilangan bulat terbesar , maka
, jika atau
Agar , kita pilih sehingga Jadi aturan fungsinya adalah :
Grafiknya ditunjukkan pada gambar 2.21 LATIHAN :Tentukan aturan fungsi tanpa mengandung nilai mutlak dan gambar grafik fungsi berikut:
1.
11.
2.
12.
3. 13.
4. 14.
5.
15.
6. 16.
7. 17.
8. 18.
9. 19.
10. 20.
21 22.
23.
24.
25.
26.
27.
2.2.6. Fungsi Trigonometri Misalkan bahwa sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal 0 dengan jari-jari 1 dalam koordinat kartesian, sebuah sudut ( (dalam satuan derajat) diperoleh dengan memutar (berlawanan arah jarum jam) dari lingkaran tersebut dari titik (1,0) pada sumbu-x yang panjangnya u (dalam satuan radian) untuk lengkungan tempuhnya. Karena panjang busur lingkaran satuan adalah , maka
Perhatikan suatu titik P(x,y) pada sistem koordinat kartesian, ditransformasi menjadi titik P(u,r) pada sistem koordinat kutub (polar), maka diperoleh hubungan persamaan:
sin u =
cos u = ;
Pilih sudut ( yang bersesuaian dengan u, P disebut titik tunggal pada lingkaran satuan dengan pusat 0. Perhatikan bahwa titik P(u,r) pada lingkaran satuan di atas berpadanan dengan radian u, dan juga berpadanan dengan tiap bilangan (u+k.2() dengan k bilangan bulat sembarang sehingga berlaku :
y = sin u = sin(u+2k()
x = cos u = cos(u+2k() ; k = 0,(1, (2,
Ini berarti nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang-selang kelipatan 2(. Oleh karena itu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik jika terdapat suatu bilangan positif p sedemikian sehingga:
f(x+p) = f(x), untuk setiap x (Dfbilangan positif p terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periodik fungsi. Fungsi Sinus, Cosinus, Secan, Cosecan mempunyai periode ((. Fungsi tangen dan cotangen mempunyai perioda (.
Kita tidak dianjurkan untuk menghapal terlalu banyak rumus. Cukup hanya sedikit rumus dan kemudian bisa menurunkan atau menjabarkan rumus-rumus yang lain dari sedikit rumus tersebut. Sebagai contoh, dari kedua rumus
Dapat diturunkan banyak rumus yang lain. Misalnya dalam kasus , maka kedua rumus tersebut diatas berubah menjadi
Dengan mengingat maka ini bisa dimodifikasi menjadi
atau
Kemudian dengan mengganti menjadi dalam kedua rumus (1) dan (2) serta mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap masing-masing dari fungsi sinus dan kosinus, diperoleh
Kemudian perhatikan (1) dan (5), maka diperoleh
Juga dari dan (6), maka diperoleh
Rumus-rumus diatas berlaku umum untuk sembarang
Fungsi tangen didefinisikan sebagai hasil bagi fungsi sinus oleh kosinus. Jika nilai fungsi tangen disetiap diberi lambang , maka
, disetiap , dengan Dengan kata lain, domain fungsi tangen adalah . Secara analog, didefinisikan fungsi-fungsi cotangen, sekan dan kosekan yang nilainya disetiap dalam domain masing-masing dilambangkan dengan dan didefinisikan sebagai
Berikut ini diberikan dua rumus yang memberikan kaitan antara masing-masing fungsi tangen, kotangen dengan sekan, kosekan sebagi berikut ;
Fungsi-fungsi trigonometri tidak termasuk fungsi aljabar. Bersama-sama fungsi logaritma dan pangkat serta hiperbolik (belum diajarkan), fungsi-fungsi ini termasuk dalam kelompok fungsi transenden. Semua fungsi aljabar dan transenden termasuk dalam kelompok fungsi elementer, kelompok fungsi-fungsi yang sederhana dan biasanya sudah mempunyai nama tertentu.2.4.1.2. Grafik Fungsi Trigonometri1. Grafik y = sin x dan y = cos x
2. Grafik y = tan x
3. Grafik y = cot x
4. Grafik y = Sec x
5. Grafik cosec x
Contoh 15Menggambar grafik fungsi trigonometria.
Penyelesaian : :a. ; karena sin x mempunyai perioda 2(, berarti mempunyai perioda 4(, shingga berperioda 4(
memotong sumbu x jika , yaitu untuk x = 0, (2(, (4(, (6(, mencapai maksimum = 3 bila x = ( ( 4k(, k = 0, ( 1, ( 2,
mencapai minimum= -3 bila x = -( ( 4k(, k = 0, ( 1, ( 2,
Grafik ditunjukkan pada Gb.2.28.a. Grafik ini mudah di gambarkan dengan bantuan Maple, sebagai berikut:
b.
selalu bernilai non negatif, yaitu ( 0 ( sin 2x ( 0 ( sin 2x
y
0
x
f(x) = 3
y
0
x
f(x) = x
y
0
x
f(x) = ax + b
3
fungsi konstan fungsi kesatuan fungsi linier drajat 1
Gbr.2.9
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.10
Gb. 2.11
-4
2
-1
1
1
2
-1
-3
3
-2
3
4
4
x
y
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
-4
2
-1
1
1
2
-1
-3
3
-2
3
4
4
x
y
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.12. a
Gb.2.12. b
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.13
0
EMBED Equation.3
y
x
Gb.2.14.a
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
-2
4
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.14.b
Gb.2.14.c
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.14.d
0
EMBED Equation.3
y
x
EMBED Equation.3
Gb.2.14.e
0
y
x
EMBED Equation.3
0
1
Gb.2.14..f
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2
1
0
1
-2
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb. 2.15
1
0
-1
x
y
-1
Gb. 2.16. a
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
Gb. 2.16. b
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3
0
-3
3
y
x
Gb.2.17.a
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
-3
3
9
0
x
y
3
Gb.2.17.b
|
n 2
|
n 1
|
n
|
x
|
n + 1
|
n + 2
EMBED Equation.3
. . . . . .
bilangan bulat yang EMBED Equation.3
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
Grafik
EMBED Equation.3
x
y
Gb.2.18
1
1
2
-
-1
-1
-2
Gb.2.19
x
y
Gb.2.20
2
3
2
-1
-2
4
6
5
x
y
(
(
(
(
O
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
- EMBED Equation.3
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb.2.21
x
y
u
-1
P(x,y)=P(cos u,sin u)
1
r =1
x
0
Lingkaran satuan
gambar 2.26
Koordinat Kartesian
y
(
0
-1
1
cos x
sin x
(
x
EMBED Equation.3
-(
EMBED Equation.3
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Gb. 2.27.a
0
-1
1
(/2
3(/2
-(/2
-(
-3(/2
(
Gb. 2.27.b
1
Gb. 2.27.c
(
-(
-(/2
3(/2
(/2
0
-1
0
-1
1
(/2
3(/2
-(/2
-(
-3(/2
(
EMBED Equation.3
Gb.2.27.d
0
-1
1
(/2
3(/2
-(/2
-(
-3(/2
(
cosec x ( -1 ( sec x(1
Gb.2.27.e
0
-3
3
EMBED Equation.3
(
2(
3(
4(
-(
-2(
-3(
-4(
Gb. 2.28.a
> plot(3*sin(0.5*x),x=-4*Pi..4*Pi);
0
-1
1
(/2
(
3(/2
2(
-(/2
-(
-3(/2
Gb. 2.29.a
> plot(abs(sin(2*x)),x=-2*Pi..2*Pi);
EMBED Equation.3
Gb.2.29.b
> plot(abs(cos(2*x)),x=-2*Pi..2*Pi);
EMBED Equation.3
Gb.2.30
PAGE halaman : 18
_1027157083.unknown
_1027157430.unknown
_1027274088.unknown
_1027490166.unknown
_1027575435.unknown
_1027576606.unknown
_1027584751.unknown
_1027585028.unknown
_1027585500.unknown
_1027585556.unknown
_1027585625.unknown
_1027585784.unknown
_1027585975.unknown
_1027585704.unknown
_1027585585.unknown
_1027585529.unknown
_1027585088.unknown
_1027585482.unknown
_1027585054.unknown
_1027584804.unknown
_1027584939.unknown
_1027584776.unknown
_1027578299.unknown
_1027584699.unknown
_1027584713.unknown
_1027578466.unknown
_1027576887.unknown
_1027576925.unknown
_1027576796.unknown
_1027575950.unknown
_1027576489.unknown
_1027576551.unknown
_1027576472.unknown
_1027576128.unknown
_1027576348.unknown
_1027575838.unknown
_1027575915.unknown
_1027575651.unknown
_1027573192.unknown
_1027575066.unknown
_1027575234.unknown
_1027575275.unknown
_1027575178.unknown
_1027573390.unknown
_1027574978.unknown
_1027573341.unknown
_1027569551.unknown
_1027569939.unknown
_1027569968.unknown
_1027569838.unknown
_1027569465.unknown
_1027569507.unknown
_1027569393.unknown
_1027279231.unknown
_1027485706.unknown
_1027488972.unknown
_1027489036.unknown
_1027489503.unknown
_1027489003.unknown
_1027487666.unknown
_1027487690.unknown
_1027485774.unknown
_1027485805.unknown
_1027279450.unknown
_1027279724.unknown
_1027280013.unknown
_1027280059.unknown
_1027280102.unknown
_1027279969.unknown
_1027279550.unknown
_1027279629.unknown
_1027279504.unknown
_1027279370.unknown
_1027279402.unknown
_1027279319.unknown
_1027278904.unknown
_1027279067.unknown
_1027279125.unknown
_1027279211.unknown
_1027279093.unknown
_1027279000.unknown
_1027279029.unknown
_1027278982.unknown
_1027278687.unknown
_1027278814.unknown
_1027278840.unknown
_1027278791.unknown
_1027274503.unknown
_1027274601.unknown
_1027274391.unknown
_1027157470.unknown
_1027157486.unknown
_1027157759.unknown
_1027273834.unknown
_1027273919.unknown
_1027273975.unknown
_1027274030.unknown
_1027273956.unknown
_1027273879.unknown
_1027273908.unknown
_1027273868.unknown
_1027157764.unknown
_1027157769.unknown
_1027273786.unknown
_1027273803.unknown
_1027157771.unknown
_1027273766.unknown
_1027157770.unknown
_1027157766.unknown
_1027157767.unknown
_1027157768.unknown
_1027157765.unknown
_1027157762.unknown
_1027157763.unknown
_1027157760.unknown
_1027157761.unknown
_1027157677.unknown
_1027157755.unknown
_1027157757.unknown
_1027157758.unknown
_1027157756.unknown
_1027157748.unknown
_1027157750.unknown
_1027157752.unknown
_1027157754.unknown
_1027157753.unknown
_1027157751.unknown
_1027157749.unknown
_1027157679.unknown
_1027157747.unknown
_1027157678.unknown
_1027157490.unknown
_1027157492.unknown
_1027157676.unknown
_1027157491.unknown
_1027157488.unknown
_1027157489.unknown
_1027157487.unknown
_1027157478.unknown
_1027157482.unknown
_1027157484.unknown
_1027157485.unknown
_1027157483.unknown
_1027157480.unknown
_1027157481.unknown
_1027157479.unknown
_1027157474.unknown
_1027157476.unknown
_1027157477.unknown
_1027157475.unknown
_1027157472.unknown
_1027157473.unknown
_1027157471.unknown
_1027157454.unknown
_1027157462.unknown
_1027157466.unknown
_1027157468.unknown
_1027157469.unknown
_1027157467.unknown
_1027157464.unknown
_1027157465.unknown
_1027157463.unknown
_1027157458.unknown
_1027157460.unknown
_1027157461.unknown
_1027157459.unknown
_1027157456.unknown
_1027157457.unknown
_1027157455.unknown
_1027157438.unknown
_1027157448.unknown
_1027157452.unknown
_1027157453.unknown
_1027157451.unknown
_1027157440.unknown
_1027157441.unknown
_1027157439.unknown
_1027157434.unknown
_1027157436.unknown
_1027157437.unknown
_1027157435.unknown
_1027157432.unknown
_1027157433.unknown
_1027157431.unknown
_1027157283.unknown
_1027157325.unknown
_1027157374.unknown
_1027157412.unknown
_1027157422.unknown
_1027157426.unknown
_1027157428.unknown
_1027157429.unknown
_1027157427.unknown
_1027157424.unknown
_1027157425.unknown
_1027157423.unknown
_1027157416.unknown
_1027157420.unknown
_1027157421.unknown
_1027157419.unknown
_1027157414.unknown
_1027157415.unknown
_1027157413.unknown
_1027157390.unknown
_1027157398.unknown
_1027157408.unknown
_1027157410.unknown
_1027157411.unknown
_1027157409.unknown
_1027157404.unknown
_1027157406.unknown
_1027157407.unknown
_1027157405.unknown
_1027157400.unknown
_1027157401.unknown
_1027157399.unknown
_1027157394.unknown
_1027157396.unknown
_1027157397.unknown
_1027157395.unknown
_1027157392.unknown
_1027157393.unknown
_1027157391.unknown
_1027157382.unknown
_1027157386.unknown
_1027157388.unknown
_1027157389.unknown
_1027157387.unknown
_1027157384.unknown
_1027157385.unknown
_1027157383.unknown
_1027157378.unknown
_1027157380.unknown
_1027157381.unknown
_1027157379.unknown
_1027157376.unknown
_1027157377.unknown
_1027157375.unknown
_1027157345.unknown
_1027157353.unknown
_1027157361.unknown
_1027157365.unknown
_1027157369.unknown
_1027157371.unknown
_1027157372.unknown
_1027157373.unknown
_1027157370.unknown
_1027157367.unknown
_1027157368.unknown
_1027157366.unknown
_1027157363.unknown
_1027157364.unknown
_1027157362.unknown
_1027157357.unknown
_1027157359.unknown
_1027157360.unknown
_1027157358.unknown
_1027157355.unknown
_1027157356.unknown
_1027157354.unknown
_1027157349.unknown
_1027157351.unknown
_1027157352.unknown
_1027157350.unknown
_1027157347.unknown
_1027157348.unknown
_1027157346.unknown
_1027157336.unknown
_1027157341.unknown
_1027157343.unknown
_1027157344.unknown
_1027157342.unknown
_1027157339.unknown
_1027157340.unknown
_1027157337.unknown
_1027157338.unknown
_1027157331.unknown
_1027157334.unknown
_1027157335.unknown
_1027157332.unknown
_1027157329.unknown
_1027157330.unknown
_1027157327.unknown
_1027157328.unknown
_1027157326.unknown
_1027157305.unknown
_1027157313.unknown
_1027157321.unknown
_1027157323.unknown
_1027157324.unknown
_1027157322.unknown
_1027157319.unknown
_1027157320.unknown
_1027157315.unknown
_1027157317.unknown
_1027157318.unknown
_1027157316.unknown
_1027157314.unknown
_1027157309.unknown
_1027157311.unknown
_1027157312.unknown
_1027157310.unknown
_1027157307.unknown
_1027157308.unknown
_1027157306.unknown
_1027157291.unknown
_1027157301.unknown
_1027157303.unknown
_1027157304.unknown
_1027157302.unknown
_1027157295.unknown
_1027157299.unknown
_1027157300.unknown
_1027157297.unknown
_1027157298.unknown
_1027157296.unknown
_1027157293.unknown
_1027157294.unknown
_1027157292.unknown
_1027157287.unknown
_1027157289.unknown
_1027157290.unknown
_1027157288.unknown
_1027157285.unknown
_1027157286.unknown
_1027157284.unknown
_1027157223.unknown
_1027157252.unknown
_1027157260.unknown
_1027157268.unknown
_1027157272.unknown
_1027157276.unknown
_1027157278.unknown
_1027157280.unknown
_1027157281.unknown
_1027157282.unknown
_1027157279.unknown
_1027157277.unknown
_1027157274.unknown
_1027157275.unknown
_1027157273.unknown
_1027157270.unknown
_1027157271.unknown
_1027157269.unknown
_1027157264.unknown
_1027157266.unknown
_1027157267.unknown
_1027157265.unknown
_1027157262.unknown
_1027157263.unknown
_1027157261.unknown
_1027157256.unknown
_1027157258.unknown
_1027157259.unknown
_1027157257.unknown
_1027157254.unknown
_1027157255.unknown
_1027157253.unknown
_1027157231.unknown
_1027157239.unknown
_1027157243.unknown
_1027157247.unknown
_1027157249.unknown
_1027157251.unknown
_1027157250.unknown
_1027157248.unknown
_1027157245.unknown
_1027157246.unknown
_1027157244.unknown
_1027157241.unknown
_1027157242.unknown
_1027157240.unknown
_1027157233.unknown
_1027157235.unknown
_1027157237.unknown
_1027157238.unknown
_1027157236.unknown
_1027157234.unknown
_1027157232.unknown
_1027157227.unknown
_1027157229.unknown
_1027157230.unknown
_1027157228.unknown
_1027157225.unknown
_1027157226.unknown
_1027157224.unknown
_1027157192.unknown
_1027157209.unknown
_1027157213.unknown
_1027157218.unknown
_1027157221.unknown
_1027157222.unknown
_1027157219.unknown
_1027157220.unknown
_1027157216.unknown
_1027157217.unknown
_1027157214.unknown
_1027157211.unknown
_1027157212.unknown
_1027157210.unknown
_1027157196.unknown
_1027157200.unknown
_1027157204.unknown
_1027157207.unknown
_1027157208.unknown
_1027157205.unknown
_1027157206.unknown
_1027157202.unknown
_1027157203.unknown
_1027157201.unknown
_1027157198.unknown
_1027157199.unknown
_1027157197.unknown
_1027157194.unknown
_1027157195.unknown
_1027157193.unknown
_1027157101.unknown
_1027157186.unknown
_1027157190.unknown
_1027157191.unknown
_1027157187.unknown
_1027157180.unknown
_1027157185.unknown
_1027157102.unknown
_1027157094.unknown
_1027157099.unknown
_1027157100.unknown
_1027157095.unknown
_1027157090.unknown
_1027157093.unknown
_1027157089.unknown
_1027156959.unknown
_1027157019.unknown
_1027157035.unknown
_1027157051.unknown
_1027157075.unknown
_1027157079.unknown
_1027157081.unknown
_1027157082.unknown
_1027157080.unknown
_1027157077.unknown
_1027157078.unknown
_1027157076.unknown
_1027157059.unknown
_1027157063.unknown
_1027157070.unknown
_1027157072.unknown
_1027157073.unknown
_1027157074.unknown
_1027157071.unknown
_1027157068.unknown
_1027157069.unknown
_1027157064.unknown
_1027157061.unknown
_1027157062.unknown
_1027157060.unknown
_1027157055.unknown
_1027157057.unknown
_1027157058.unknown
_1027157056.unknown
_1027157053.unknown
_1027157054.unknown
_1027157052.unknown
_1027157043.unknown
_1027157047.unknown
_1027157049.unknown
_1027157050.unknown
_1027157048.unknown
_1027157045.unknown
_1027157046.unknown
_1027157044.unknown
_1027157039.unknown
_1027157041.unknown
_1027157042.unknown
_1027157040.unknown
_1027157037.unknown
_1027157038.unknown
_1027157036.unknown
_1027157027.unknown
_1027157031.unknown
_1027157033.unknown
_1027157034.unknown
_1027157032.unknown
_1027157029.unknown
_1027157030.unknown
_1027157028.unknown
_1027157023.unknown
_1027157025.unknown
_1027157026.unknown
_1027157024.unknown
_1027157021.unknown
_1027157022.unknown
_1027157020.unknown
_1027156975.unknown
_1027157008.unknown
_1027157012.unknown
_1027157017.unknown
_1027157018.unknown
_1027157014.unknown
_1027157015.unknown
_1027157016.unknown
_1027157013.unknown
_1027157010.unknown
_1027157011.unknown
_1027157009.unknown
_1027156979.unknown
_1027156981.unknown
_1027156982.unknown
_1027156980.unknown
_1027156977.unknown
_1027156978.unknown
_1027156976.unknown
_1027156967.unknown
_1027156971.unknown
_1027156973.unknown
_1027156974.unknown
_1027156972.unknown
_1027156969.unknown
_1027156970.unknown
_1027156968.unknown
_1027156963.unknown
_1027156965.unknown
_1027156966.unknown
_1027156964.unknown
_1027156961.unknown
_1027156962.unknown
_1027156960.unknown
_1027156902.unknown
_1027156928.unknown
_1027156950.unknown
_1027156955.unknown
_1027156957.unknown
_1027156958.unknown
_1027156956.unknown
_1027156952.unknown
_1027156953.unknown
_1027156951.unknown
_1027156936.unknown
_1027156940.unknown
_1027156944.unknown
_1027156947.unknown
_1027156949.unknown
_1027156948.unknown
_1027156946.unknown
_1027156945.unknown
_1027156942.unknown
_1027156943.unknown
_1027156941.unknown
_1027156938.unknown
_1027156939.unknown
_1027156937.unknown
_1027156932.unknown
_1027156934.unknown
_1027156935.unknown
_1027156933.unknown
_1027156930.unknown
_1027156931.unknown
_1027156929.unknown
_1027156920.unknown
_1027156924.unknown
_1027156926.unknown
_1027156927.unknown
_1027156925.unknown
_1027156922.unknown
_1027156923.unknown
_1027156921.unknown
_1027156906.unknown
_1027156908.unknown
_1027156909.unknown
_1027156907.unknown
_1027156904.unknown
_1027156905.unknown
_1027156903.unknown
_1027156835.unknown
_1027156859.unknown
_1027156898.unknown
_1027156900.unknown
_1027156901.unknown
_1027156899.unknown
_1027156870.unknown
_1027156871.unknown
_1027156869.unknown
_1027156844.unknown
_1027156848.unknown
_1027156852.unknown
_1027156854.unknown
_1027156856.unknown
_1027156857.unknown
_1027156858.unknown
_1027156855.unknown
_1027156853.unknown
_1027156850.unknown
_1027156851.unknown
_1027156849.unknown
_1027156846.unknown
_1027156847.unknown
_1027156845.unknown
_1027156839.unknown
_1027156842.unknown
_1027156843.unknown
_1027156841.unknown
_1027156837.unknown
_1027156838.unknown
_1027156836.unknown
_1027156818.unknown
_1027156822.unknown
_1027156826.unknown
_1027156830.unknown
_1027156833.unknown
_1027156834.unknown
_1027156832.unknown
_1027156831.unknown
_1027156828.unknown
_1027156829.unknown
_1027156827.unknown
_1027156824.unknown
_1027156825.unknown
_1027156823.unknown
_1027156820.unknown
_1027156821.unknown
_1027156819.unknown
_1027156814.unknown
_1027156816.unknown
_1027156817.unknown
_1027156815.unknown
_1027156811.unknown
_1027156813.unknown
_1027156810.unknown