ATURAN BAYES

Aturan Bayes merupakan perluasan dari penggunaan hukum probabilitas kondisional.

Aturan Bayes untuk 2 events.

P(X1IY) = P(Y Xǀ i) P(Xi)P(Y Xǀ 1) P(X1)+ P(Y Xǀ 2) P(X2)+⋯ + P(Y Xǀ n) P(Xn) P(X1IY) = P(Y Xǀ i) P(Xi)P(Y Xǀ 1) P(X1)+ P(Y Xǀ 2) P(X2)

Contoh.Ada 2 perusahaan memproduksi printer yakni perusahaan Alamo Ribbon dan perusahaan South Jersey. Perusahaan Alamo Ribbon menghasilkan 65% dengan tingkat kerusakan 8% dan perusahaan South Jersey menghasilkan 35% dengan tingkat kerusakan 12%.

Seorang konsumen membeli printer yang baru. Berapa probabilitas bahwa perusahaan Alamo memproduksi printer tersebut Berapa probabilitas bahwa perusahaan South memproduksi printer tersebut

Kemudian printer diuji dan menunjukkan bahwa printer tersebut rusak, Berapa probabilitas bahwa perusahaan Alamo memproduksi printer tersebut Berapa probabilitas bahwa perusahaan South memproduksi printer tersebut

Perusahaan Alamo Ribbon menghasilkan 65% dan perusahaan South Jersey menghasilkan 35%. Ini disebut dengan prior probability, karena probabilitas tersebut didasarkan pada informasi yang sebenarnya.Dengan adanya informasi tingkat kerusakan, maka hal ini merubah probabilitas, karena satu perusahaan menghasilkan tingkat kerusakan yang lebih tinggi dbandingkan dengan perusahaan yang lain.Bagaimana informasi baru tersebut merubah probabilitas awal? Berikut ini disajikan table

Ada 2 perusahaan memproduksi printer yakni perusahaan Alamo Ribbon dan perusahaan South Jersey. Perusahaan Alamo Ribbon menghasilkan 65% dengan tingkat kerusakan 8% dan perusahaan South Jersey menghasilkan 35% dengan tingkat kerusakan 12%.

EVENT PRIOR PROBABILITY

CONDITIONAL PROBABILITY

JOINT PROBABILITY POSTERIOR/REVISED PROBABILITY

Alamo 0.65 0.08 0.052 0.553South 0.35 0.12 0.042 0.447

P(Rusak) =0.094

Soal.Mesin A, B, dan C menghasilkan 2 produk yang sama (X dan Y). Untuk kedua produk, mesin A memproduksi 60%, B menproduksi 30%, dan C memproduksi 10%.Mesin A menghasilkan 40% produk X, Mesin B menghasilkan 50% produk X, dan Mesin C menghasilkan 70% produk XTentukan revised/posterior probability bahwa produk X diproduksi dari mesin A, B, atau C.

4.9. Menggunakan Hukum Perkalian dengan beberapa percobaan.

Hukum perkalian dalam probabilitas digunakan untuk memecahkan joint probability atau intersections. Kondisi ini menjadi lebh sulit dengan memasukkan beberapa percobaan.

Misalnya,11% dari pemirsa TV menonton Dunia dalam berita. Probabilitas melakukan wawancara kepada 3 pemirsa TV secara random dan menemukan bahwa pemirsa pertama menonton dunia dalam berita, pemirsa kedua tidak menonton, dan pemirsa ketiga menonton adalah:

P(DDB1 n notDDB2 n DDB3)Oleh karena pemirsa kedua yang tidak menonton DDB tidak disebut dengan jelas, maka urutannya sebaga berkut:Urutan 1 (DDB1) (DDB2) (notDDB3)Urutan 2 (DDB1) (notDDB2) (DDB3)Urutan 3 (notDDB1) (DDB2) (DDB3)Ada 2 kelompok dalam masalah penentuan probabilitas dengan tanpa penyebutan urutan kejadian sebaga berikut: Masalah dengan penggantian Masalah tanpa penggantian

Masalah dengan penggantianDalam probabilitas ketika events bersfat independent, maka probabilitas outcome tertentu tidak tergantung kepada outcome event lain. Dalam hal ini probabilitas dibobot dengan jumlah cara outcome terjadi.Contoh. Suatu eksperimen terhadap pelemparan 3 koin, berapa probabilitas pelemparan 3 koin dan memperoleh muka depan?. Outcome dapat terjadi dengan memperoleh muka depan pada koin pertama, muka belakang pada koin kedua dan ketiga. Joint probability:

P(H1 n T2 n T3) atau P(H1) * P (T2) * P(T3)= 1/2 *1/2 *1/2 = 1.8Jadi setiap urutan memberikan proabilitas= 1/8. Total probabilitas untuk memperoleh muka depan dalam 3 koin adalah 3 *1/8 = 3/8 dengan perincian:•P(H1 n T2 n T3)= 1/2 *1/2 *1/2 =1/8

•P(T1 n H2 n T3) = 1/2 *1/2 *1/2 = 1/8

•P(T1 n T2 n H3) = 1/2 *1/2 *1/2 =1/8

Selain melakukan perincian, maka metode lain yang dapat digunakan adalah dengan KOMBINASI dengan rumus:

nCr =𝒏!𝒓!ሺ𝒏−𝒓ሻ! ,dimana 0≤ r ≤ n

Untuk 3 koin, maka kombinasinya

nCr =𝒏!𝒓!ሺ𝒏−𝒓ሻ! = 3C1 = 𝟑!𝟏!ሺ𝟑−𝟏ሻ! = 3

Contoh.Perusahaan VCR memproduksi produk tahun 2013 dengan tingkat kerusakan 3%. Jika 5 unit produk tersebut diambil secara acak, dari 5 negara dan dilakukan pengujian. berapa probabilitas 2 diantaranya adalah rusak? Asumsi setiap produk dproduksi secara independen satu dengan lainnya.

D1 n D2 n G3 n G4 n G5

Oleh karena produk diproduksi secara independen, maka probabilitas memperoleh 2 produk pertama yang rusak dan 3 produk dalam kondisi baik adalah(0.3)(0.3)(0.97) (0.97) (0.97) = 0.00082Berapa cara untuk memperoleh 2 produk yang rusak dari 5 produk?

D1 n D2 n G3 n G4 n G5

D1 n G2 n D3 n G4 n G5

D1 n G2 n G3 n D4 n G5

D1 n G2 n G3 n G4 n D5

G1 n D2 n D3 n G4 n G5

G1 n D2 n G3 n D4 n G5

G1 n D2 n G3 n G4 n D5

G1 n G2 n D3 n D4 n G5

G1 n G2 n D3 n G4 n D5

G1 n G2 n G3 n D4 n D5 Dengan menggunakan kombinasi sebagai berikut:

nCr =𝒏!𝒓!ሺ𝒏−𝒓ሻ! = 5C2 = 𝟓!𝟐!ሺ𝟓−𝟐ሻ! = 10

Dengan mengalikan 10 cara dengan probablitas1 cara adalah

10*0.00082 = 0.0082

Masalah tanpa penggantianJika events tidak bersiat independen, maka hokum perkalian umum digunakan menentukan joint probability. Jika jumlah percobaan lebih dari 1, maka urutan harus diperhitungkan dalam penentuan probabilitasContoh.Penarikan 3 kartu tanpa pengembalian dari setumpuk kartu, maka probabilitas bahwa pengambilan 1 kartu adalah king adalahK1 n N2 n N3 4/52 * 48/51 * 47/50 =0.06805

N1 n K2 n N3 48/52 * 4/51 * 47/50 =0.06805

N1 n N2 n K3 48/52 * 47/51 * 4/50 =0.06805

Dengan demikian, total probabilitas memperoleh 1 king adalah 3 * 0.06805 = 0.20415

Soal.Ada 50 tv sejenis disimpan digudang dan 5 dari tv tersebut rusak dengan tanpa label. Jika pegawai gudang mengambil secara random 4 tv tanpa pengembalian, maka berapa proabbilitas 2 tv yang terpilih asalah rusak?

D1 n D2 n G3 n G2 = 5/50 * 4/49 * 45/48 * 44/47 = 0.007165

D1 n G2 n D3 n G2 = 5/50 * 45/49 * 4/48 * 44/47 = 0.007165

D1 n G2 n G3 n D2= 5/50 * 45/49 * 44/48 * 4/47 = 0.007165

G1 n D2 n D3 n G2= 45/50 * 5/49 * 4/48 * 44/47 = 0.007165

G1 n D2 n G3 n D2= 45/50 * 5/49 * 44/48 * 4/47 = 0.007165

G1 n G2 n D3 n D2= 45/50 * 44/49 * 5/48 * 4/47 = 0.007165Total probabilitas = 6 * (0.007165) = 0.04299