SIMULASI ALIRAN FLUIDA DENGAN METODE

SIMULASI ALIRAN FLUIDA DENGAN METODE

LATTICE GAS AUTOMATA (LGA)

Oleh Nur Anggraeni Budi Rahayu

ABSTRAK

LATAR BELAKANG

Persamaan dasar dari aliran fluida diperkenalkan oleh Navier pada tahun 1823, dan beberapa tahun kemudian ditempat yang berbeda diperkenalkan oleh Stokes. Simulasi aliran fluida dapat digambarkan dengan menyelesaikan persamaan tersebut. Persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua. Selama ini belum terdapat solusi analitik penyelesaian persamaan tersebut. Metode yang digunakan untuk mensimulasikan aliran fluida selama ini adalah metode Euler yaitu Finite Element (FE) dan Finite Difference (FD) yang menggunakan anggapan bahwa, fluida merupakan sistem yang kontinyu dan mengikuti hukum-hukum gerak Newton. Cara ini sangat tidak efektif untuk dilakukan mengingat persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan yang sangat kompleks.

Stephen Wolfram dalam bukunya yang berjudul A New Kind Of Science, memperkenalkan suatu metode Lattice Gas Automata (LGA) untuk mensimulasikan aliran fluida dengan menganggap fluida sebagai sekumpulan partikel yang bergerak pada ruang diskrit dan interval waktu yang diskrit. Hasil akhir simulasi aliran fluida dengan plat penghalang statik ditunjukkan dalam buku tersebut tetapi tidak ditunjukkan programnya secara lengkap.

Berdasarkan hal tersebut, maka dibuat program untuk mensimulasikan aliran fluida dengan plat penghalang statis yang menghalangi gerakan fluida dan sistem fluida yang bergerak pada ruang terbatas dengan menggunakan metode Lattice Gas Automata FHP model lain. Hasil akhir program untuk mensimulaiskan aliran fluida dengan plat penghalang statis diharapkan akan sesuai dengan hasil yang ditunjukkan Wolfram (Wolfram, 2002:380).

KAJIAN PUSTAKA

A. Persamaan Navier Stokes

Persamaan Navier-Stokes didapatkan dengan mensubstitusi hukum ketiga Newton kedalam elemen fluida dV. Bentuk umum persamaan Navier-Stokes dituliskan pada persamaan (1) (Gilson, 2005).

(1)

F adalah gaya luar dan adalah viskositas fluida. Untuk fluida yang tidak termampatkan, maka persamaan harus disubtitusikan pada sistem. Jika persamaan tersebut dikombinasikan dengan persamaan (1) maka persamaan Navier-Stokes untuk fluida tidak termampatkan (misalnya air) dapat dituliskan pada persamaan berikut.

.. (2) .

(3)

Simulasi aliran fluida dapat dilakukan dengan mencari solusi persamaan Navier-Stokes. Selama ini belum terdapat solusi analitik persamaan Navier-Stokes tersebut, karena itu untuk mencari solusi persamaan Navier-Stokes dapat dilakukan dengan metode numerik. Syarat awal dan syarat batas juga diperlukan dalam simulasi aliran fluida. Secara umum, syarat awal yang digunakan adalah , dan syarat batas untuk simulasi aliran fluida pada permukaan S dituliskan pada persamaan 4.

|s=0 .....................................(4)

Metode numerik yang digunakan adalah metode Euler yaitu Finite Difference (FE) dan metode Smothed Particle hydrodinamics (SPH). Hasil Simulasi dengan menggunakan dua metode ini ditunjukkan pada Gambar 1. (Vesely, 2006).

B. METODE LATTICE GAS AUTOMATA

Metode Lattice Gas Automata adalah metode cellular automata yang digunakan untuk mensimulasikan sistem fluida. Model ini menganggap fluida sebagai sekumpulan partikel yang bergerak pada ruang diskrit serta interval waktu yang diskrit. Dalam model ini partikel dapat menempati kisi (ruang) yang bisa memiliki banyak arah kecepatan. Lattice Gas Automata memiliki beberapa model yaitu model HPP dan model FHP.

2.3.1 Model HPP (HardyPomeau Pazzis)

Model HPP adalah model Lattice Gas Automata pertama yang diperkenalkan oleh Hardy, Pomeau, dan de Pazzis. Partikel hanya dapat bergerak pada arah , dari kisi persegi seperti Gambar 2

Setiap partikel bergerak dengan kecepatan tertentu dari satu kisi ke kisi lain yang merupakan tetangga terdekatnya pada setiap interval waktu. Prinsip dasar dari model ini adalah tidak ada dua partikel atau lebih yang boleh menempati satu kisi yang sama dengan arah kecepatan yang sama pula. Hal ini berarti bahwa satu kisi hanya boleh ditempati oleh maksimum empat partikel pada setiap interval waktu. Apabila ada dua atau lebih partikel menuju kisi yang sama, maka partikel-partikel tersebut akan bertumbukan sesuai dengan aturan tumbukan seperti pada Gambar 3: apabila partikel yang datang pada setiap kisi memenuhi konfigurasi pada kolom sebelah kiri, partikel akan bertumbukan dan pada interval waktu berikutnya akan menghasilkan konfigurasi seperti pada kolom sebelah kanan. Apabila konfigurasi partikel yang datang tidak ditunjukkan pada Gambar 3, maka pada interval waktu berikutnya partikel akan bergerak lurus. Berdasarkan aturan tumbukan tersebut dapat diamati bahwa jumlah partikel dan momentum sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama hal ini berarti hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum terpenuhi.

Aplikasi dari model HPP sangat terbatas karena kisi persegi memiliki kesimetrian yang terbatas, hal ini menyebabkan persamaan Navier-Stokes bersifat anisotropik. Kelemahan tersebut tidak akan di dapatkan apabila digunakan kisi berbentuk segitiga samasisi atau menggunakan simetri heksagonal.

2.3.2 Model FHP (Frisch Hasslecher Pomeau)

Model FHP diperkenalkan oleh Frisch, Hasslecher, dan Pomeau pada tahun 1986. Model FHP ini didasarkan pada kisi heksagonal. Keenam arah kecepatan, , ditunjukkan pada Gambar 4 berikut.

, seperti pada model HPP, partikel bergerak dengan arah kecepatan tertentu dan prinsip dasar dari model ini adalah bahwa tidak boleh ada dua atau lebih partikel yang menempati kisi yang sama dengan arah kecepatan yang sama, sehingga dalam satu kisi maksimum hanya dapat diisi oleh enam partikel pada setiap interval waktu. Partikel dalam keadaan diam pun diperbolehkan dalam model ini, pada arah e0, tetapi dapat bertumbukan dengan partikel lain yang datang pada kisi tersebut. Contoh aturan tumbukan pada kisi heksagonal ditunjukkan pada Gambar 5. Apabila aturan tumbukan pada Gambar 6 dirotasikan dengan kelipatan sudut , maka akan didapatkan aturan tumbukan secara lengkap. Kolom sebelah kanan pada Gambar 5 menggambarkan konfigurasi partikel yang datang pada suatu kisi pada saat t, sedangkan kolom sebelah kanan menggambarkan konfigurasi setelah tumbukan pada saat t+1. Untuk konfigurasi masukan yang mempunyai kemungkinan konfigurasi keluaran yang lebih dari satu, maka konfigurasi keluaran akan dipilih secara acak diantara konfigurasi-konfigurasi keluaran yang mungkin. Dapat dilihat bahwa konfigurasi pada Gambar 5 memenuhi hukum kekekalan jumlah partikel dan hukum kekekalan momentum.

Beberapa model FHP antara lain diuraikan sebagai berikut.

a. FHP Model I

Mengikuti aturan tumbukan (a) dan (b) pada Gambar 5.

b. FHP Model II

Mengikuti aturan tumbukan (a), (b), (c), dan (d) pada Gambar 5.

c. FHP model III

Mengikuti aturan tumbukan (a), (b), (c), (d), (e), (f), dan (g) pada Gambar 5 diitambah dengan aturan tumbukan antara empat atau lima partikel.

d. FHP Model Lain

Mengikuti aturan tumbukan FHP Model I tetapi aturannya boleh ditambah, misalnya aturan tumbukan antara empat atau lima partikel.

METODE PEMROGRAMAN

Simulasi ini ditujukan untuk dua sistem fluida. Sistem fluida yang pertama adalah fluida cair, misalnya air, yang terletak dalam bidang x, y tanpa plat penghalang. Domain dua dimensi ini dianggap sebagai tampak atas dari fluida cair tiga dimensi yang bergerak pada ruang terbatas. Sistem fluida yang kedua adalah fluida cair, misalnya air, yang terletak pada bidang x, y dan terdapat penghalang statik berupa plat yang menghalangi gerak fluida. Domain dua dimensi ini dianggap sebagai tampak atas dari sistem fluida cair tiga dimensi yang mengalir dari atas ke bawah pada bidang yang panjang dan lebarnya tidak terhingga.

Metode Komputasi

Program ini menggunakan model Lattice Gas Automata FHP model lain untuk mensimulasikan aliran fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang dan untuk mensimulasikan aliran fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan penghalang statis yang menghalangi gerak fluida. Partikel fluida dianggap sebagai partikel diskrit dan menempati sel yang diskrit serta bergerak dengan interval waktu yang diskrit.

Untuk menggambarkan setiap kejadian pada setiap interval waktu dalam model FHP, digunakan variabel boolean, misalnya untuk menentukan ada atau tidaknya partikel dalam satu kisi. Setiap partikel dalam FHP diasumsikan mempunyai kelajuan serta massa yang sama dan bergerak pada interval waktu diskrit. Prinsip dasar dari model ini adalah tidak ada dua atau lebih partikel yang menempati kisi sama dengan arah kecepatan yang sama pula. Variabel boolean yang digunakan harus merepresentasikan semua keadaan pada setiap kisi.

KEMUNGKINAN KONFIGURASI PARTIKEL PADA FHP MODEL LAIN

Gambar 6 adalah semua kemungkinan konfigurasi partikel pada FHP model lain, setiap konfigurasi bisa digambarkan dengan notasi 6 bit, misalnya dalam satu sel yang tidak terdapat partikel dapat ditulis dengan (000000), satu sel yang terisi penuh oleh partikel dapat ditulis dengan (111111). Konfigurasi partikel hasil tumbukan diarsir dengan warna merah.

Tetangga terdekat

Tetangga terdekat dari sebuah sel adalah heksagonal, maksudnya setiap sel hanya bisa berinteraksi dengan enam sel lainnya yang mengelilingi sel tersebut (lihat Gambar 7). Tetangga terdekat dibedakan menjadi dua, yaitu tetangga terdekat untuk sel yang terletak pada baris genap dan tetangga terdekat untuk sel yang berada pada baris ganjil. Tetangga terdekat untuk sel r[i,j] yang terletak pada baris genap adalah: t1[i,j]=r[i+1,j].c4, t2[i,j]=r[i,j+1].c5, t3[i,j]= r[i-1,j+1].c6, t4[i,j]= r[i-1,j].c1

t5[i,j]= r[i-1,j-1].c2, t6[i,j]= r[i,j-1].c3. Sementara tetangga terdekat untuk sel r[i,j] yang terletak pada baris ganjil adalah:

t1[i,j]= r[i+1,j].c4, t2[i,j]= r[i+1,j+1].c5, t3[i,j]= r[i,j+1].c6, t4[i,j]= r[i-1,j].c1

t5[i,j]= r[i,j-1].c, t6[i,j]= r[i+1,j-1].c3.

t1[i,j], t2[i,j], t3[i,j], t4[i,j], t5[i,j], t6[i,j] bernilai 0 apabila tidak terdapat partikel dan bernilai 1 apabila terdapat partikel.

ATURAN TUMBUKAN

a. Tumbukan Antar Partikel

Aturan tumbukaan antar partikel sesuai dengan Gambar 8.

b. Tumbukan Partikel Dengan Dinding (Bidang Batas)

Aturan tumbukan antara partikel dan dinding sesuai dengan Gambar 9.

c. Tumbukan Partikel Dengan Plat Penghalang

Aturan tumbukaan antara partikel dengan plaat penghalang sama dengan aturan tumbukan antara partikel dengan dinding.

Arah Kecepatan Sesaat Sebelum Menumbuk PlatArah Kecepatan Sesaat Setelah Menumbuk Plat

arah c1arah c4

arah c6arah c2

Arah c2Arah c4

Persamaan Navier-Stokes merupakan persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua untuk aliran fluida. Simulasi aliran fluida dapat dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan Navier-Stokes tersebut. Namun, persamaan Navier-Stokes sulit diselesaikan dengan metode analitik maupun metode numerik karena persamaan tersebut merupakan persamaan yang kompleks.

Pada skripsi ini dihasilkan suatu program komputer bernama Program LGA yang menggunakan bahasa pemrograman Delphi 7.0 untuk mensimulasikan dua sistem fluida, yaitu fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang dan fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan plat penghalang, dengan menggunakan metode Lattice Gas Automata (LGA) FHP model lain. Metode LGA adalah suatu metode yang menganggap fluida sebagai sekumpulan partikel yang bergerak pada ruang diskrit dan interval waktu yang diskrit serta mengikuti aturan tumbukan tertentu. Metode LGA ini lebih sederhana karena tidak melibatkan persamaan matematis yang rumit untuk mensimulasikan aliran fluida.

Hasil simulasi Program LGA untuk sistem fluida yang bergerak pada ruang terbatas tanpa plat penghalang menunjukkan pola-pola yang sama dengan pola yang dihasilkan dengan menyelesaikan persamaan Navier-Stokes. Kelakuan partikel pada hasil simulasi aliran fluida untuk sistem fluida yang bergerak pada ruang tak terbatas dengan plat penghalang pada 10000 interval waktu sama dengan kelakuan partikel yang ditunjukkan Wolfram, tetapi mempunyai perbedaan pada jumlah sel, jumlah partikel, dan jarak antar sel yang digunakan.

(d)

(c)

(b)

(a)

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

EMBED PBrush

Gambar 1 Hasil Simulasi aliran fluida dengan menggunakan metode numerik. (a) dan (c) menggunakan metode Euler. (b) dan (d) menggunakan metode SPH.

c3

c1

c4

c2

Gambar 2 Kisi segi empat yang digunakan dalam model HPP

Konfigurasi pada t=0 Konfigurasi pada t=1

Gambar 3 Aturan tumbukan pada model HPP. Kolom sebelah kiri menunjukkan konfigurasi partikel yang datang dan kolom sebelah kanan menunjukkan konfigurasi partikel yang terjadi setelah tumbukan

c5

c4

c3

c2

c1

c6

Gambar 4 Kisi heksagonal yang digunakan pada model FHP

atau

Gambar 5 Aturan tumbukan pada model FHP. Kisi digambarkan dengan sebuah titik sedangkan partikel yang berada pada keadaan istirahat digambarkan dengan lingkaran kosong.

(b)

(a)

(d)

(f)

(e)

(c)

(g)

atau

atau

atau

Gambar 6 Kemungkinan konfigurasi pada satu sel heksagonal FHP model lain

010

111

110

101

011

100

001

000

010

111

110

101

011

100

001

000

t6[i,j]

Gambar 7 Tetangga terdekat dari sel r[i,j]. Panah hitam menunjukkan kemungkinan arah kecepatan partikel.

t1[i,j]

t5[i,j]

t4[i,j]

t3[i,j]

t2[i,j]

atau

atau

Konfigurasi sebelum Konfigurasi setelah tumbukan

tumbukan

atau

Gambar 3.5 Aturan tumbukan antar partikel pada FHP model lain. Kolom kanan menunjukkan konfigurasi sebelum tumbukan dan kolom kiri menunjukkan konfigurasi setelah tumbukan.

Gambar 3.6 Aturan tumbukan dengan plat penghalang

_1202630507.unknown

_1202638677.unknown

_1205045513.unknown

_1205045615.unknown

_1202639015.unknown

_1202631443.unknown

_976695867.unknown

_1202630136.unknown

_976659397.unknown