aplikasi teorema green pada bidang dalam …
TRANSCRIPT
APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM MENGHITUNG
LUAS SEGI-𝒏 DENGAN BANTUAN MATLAB
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun Oleh:
Michael Bobby Christian
141414022
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM MENGHITUNG
LUAS SEGI-𝒏 DENGAN BANTUAN MATLAB
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun Oleh:
Michael Bobby Christian
141414022
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SKRIPSI
APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM MENGHITUNG
LUAS SEGI-𝒏 DENGAN BANTUAN MATLAB
Oleh:
Michael Bobby Christian
141414022
Disetujui oleh:
Dosen Pembimbing
Beni Utomo, M.Sc. Tanggal: ___ Mei 2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
SKRIPSI
APLIKASI TEOREMA GREEN DALAM MENGHITUNG LUAS SEGI-𝒏
DENGAN BANTUAN MATLAB
Dipersiapkan dan disusun oleh:
Michael Bobby Christian
141414022
Telah dipertahankan di depan panitia penguji
Pada tanggal 8 Mei 2019
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ........................
Sekretaris : Beni Utomo, M.Sc. ........................
Anggota I : Beni Utomo, M.Sc. ........................
Anggota II : Cyrenia Novella Krisnamurti, M.Sc. ........................
Anggota III : Dominukus Arif Budi Prasetyo, M.Si. ........................
Yogyakarta, 8 Mei 2019
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan untuk:
Tuhan dan Allahku Yesus Kristus
Bapa Yoseph dan Bunda Maria
Papahku Hendrik dan mamahku Seravina
Almamater: Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 8 Mei 2019
Peneliti
Michael Bobby Christian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Michael Bobby Christian
NIM : 141414022
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:
APLIKASI TEOREMA GREEN DALAM MENGHITUNG LUAS SEGI-𝑵
DENGAN BANTUAN MATLAB
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa
meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap
mencantumkan nama saya sebagai peneliti.
Dengan pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya
Yogyakarta, 8 Mei 2019
Yang menyatakan
Michael Bobby Christian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Michael Bobby Christian. 2019. Aplikasi Teorema Green pada Bidang dalam
Menghitung Luas Segi-𝒏 dengan Bantuan MATLAB. Skripsi. Program Studi
Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Aplikasi Teorema Green merupakan salah satu teorema dalam kalkulus
vektor yang mengkaji bagaimana cara menghitung luas yang batas daerahnya
merupakan kurva tertutup dan sederhana. Teorema tersebut dapat diterapkan pada
bangun persegi panjang yang merupakan kurva tertutup dan sederhana. Perluasan
atau akibat teorema Green pada bidang dapat digunakan untuk menghitung
pendekatan luas daerah lingkaran satuan sebagai konsep limit.
Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi kasus yang
mempelajari integral garis untuk menghitung luas daerah dikaji dengan akibat
teorema Green pada bidang yang dilakukan secara analitik sehingga dapat
digunakan untuk menghitung luas segi-𝑛 dengan nilai n yang semakin besar. Luas
lingkaran satuan didekati secara numerik yakni data luas dari segi-𝑛 yang dibuat.
Langkah-langkah penelitian ini diawali dengan menemukan persamaan yang dapat
digunakan untuk menghitung luas daerah segi-𝑛, segi-𝑛 yang dibuat adalah segi-𝑛
beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan.
Selanjutnya menyusun program dengan bantuan MATLAB untuk menghitung dan
memunculkan visualisasinya. Langkah berikutnya menghitung luas daerah segi-𝑛
untuk 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan 1024, kemudian data luas daerah
tersebut akan dibandingkan dengan luas daerah lingkaran satuan yaitu 𝜋, dan
memastikan bahwa program yang dibuat dapat berjalan dengan baik untuk semua
nilai 𝑛.
Hasil penelitian menunjukkan, bahwa luas segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan
dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas
daerah dengan bantuan software MATLAB dapat digunakan dengan baik untuk
semua nilai 𝑛. Luas segi-𝑛 yang dicari dengan nilai 𝑛 semakin besar yang dibuat di
luar atau di dalam lingkaran satuan, setelah diamati luasannya semakin mendekati
luas dari lingkaran satuan. Program yang disusun mampu menunjukkan visualisasi
daerah segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran
satuan untuk semua nilai 𝑛 yang diinginkan. Program yang dihasilkan ini juga dapat
digunakan untuk membantu dalam memahami pembelajaran konsep limit yaitu luas
segi-𝑛 akan konvergen ke suatu nilai dalam kasus ini konvergen keluas daerah
lingkaran satuan.
Kata kunci: Teorema Green, bidang datar, luas, segi-𝑛, MATLAB
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Michael Bobby Christian. 2019. The Application of Green’s Theorem in Plane
Geometry for Calculating The Area of Polygon by Using MATLAB. Thesis.
Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and
Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata
Dharma University, Yogyakarta.
The Green Theorem is one of the theorems in vector calculus which examines
how to calculate the area where the boundary area is a closed curve and simple. The
theorem can be applied to a rectangle which is a closed and simple curve. The
extension or effect of the Green theorem on the field can be used to calculate the
area of the unit circle area which is approach as a limit concept.
The method applied in this thesis was a case study that studies line integrals
to calculate the area studied with the results of the Green theorem in an analytical
field so that it can be used to calculate the n-faceted area. The area of the unit circle
is approached numerically, which was the broad data from the n-aspect made. The
writing steps began by finding a equation that could be used to calculate the area of
the n-nodes, the n-nodes made are regular and irregular facets made outside and
inside the unit circle. Then, compiling the program with MATLAB to calculate and
bring up the visualization. The next step was to calculate the area of the nodes for
n = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, and 1024, then the area data were compared to
the area of the unit circle, which was π, and ensured that the program made could
run well for all values n.
The results of the writing show, that the area of regular and irregular polygon using
the results of the Green theorem in fields to calculate the area aided by MATLAB
software can be used well for all values of n. The area of polygon is sought by the
value of n wich is getting bigger which is made outside or inside the unit circle,
after observing the area polygons it is getting closer to the area of the unit circle.
The program was compiled to be able to show visualization of regular and irregular
polygons made outside and inside a unit circle for all desired n values. The resulting
program can also be used to assist in understanding limit concept learning, namely
the polygons area will converge to a value in this case converging the area of the
unit circle.
Keywords: Green’s Theorem, plane geometry, area, regular polygon, MATLAB
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur peneliti panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah
melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga peneliti dapat menyelesaikan skripsi
yang berjudul “Aplikasi Teorema Green pada Bidang dalam Menghitung Luas
Segi-𝑛 dengan Bantuan MATLAB” ini dengan baik. Skripsi ini disusun untuk
memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan.
Banyak masalah yang menghambat dalam penelitian skripsi ini. Peneliti
menyadiri skripsi ini tidak dapat selesai dengan baik tanpa adanya dukungan dan
doa dari berbaga pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini peneliti ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si. selaku dekan Fakultas Keguruan
dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
2. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Pendidikan
Matematika, juga selaku dosen pembimbing skripsi yang telah bersedia
meluangkan waktu, tenaga, dan tiada lelah selalu mengingatkan peneliti
penelitian skripsi di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
3. Ibu Maria Suci Apriani, S.Pd., M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik
NIM genap yang telah bersedia memberikan masukan, semangat, dan refleksi
selama peneliti menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma Yogkyakarta.
4. Bapak, ibu, dan pastor dosen Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik peneliti selama kuliah di
Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
5. Seluruh staff sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi, perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah
menyediakan buku-buku referensi yang menunjang perkuliahan selama
berkuliah dan dalam penelitian skripsi, dan Laboran Micro Teaching
Pendidikan Matematika yaitu mas Made Setianto yang terus mengingatkan
penetili menyusun skripsi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
6. Kedua orangtua peneliti Papah Hendrikus Hendrik, Mamah Seravina
Sumartini yang selalu mendukung dan juga adik peneliti Ignatius Benny
Christian yang selalu mendukung peneliti.
7. Veronika Kania Anindita yang tiada lelah memberikan dukungan, semangat,
dan menjadi pengingat agar tidak menyerah dalam penelitian skripsi.
8. Teman-teman seperjuangan Jonathan Wijaya, Fransiska Intan, Suhardy,
Amdika Styadi, Joseph Wijaya, yang memberi semangat untuk mengerjakan
skripsi.
9. Teman-teman Kos Asolole: Bagus, Favian, Yunus, Morgan, Hendra,
Vander, Dimas, Bayu, Dominikus Bagus, dan Rizki yang menemani dalam
penyusunan skripsi selama di kos.
10. Teman-teman kelas A dan bimbingan DPA Bu Maria NIM Genap 2014
Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, yang telah
memberikan pengalaman berharga yang tak dilupakan selama perkuliahan.
11. Teman-teman bimbingan skripsi Pak B: Anton, Titis, Dita, Desi, Hera, Meli,
yang sama-sama telah membuat Pak Beni kewalahan, tetap terus semangat.
12. Teman-teman Student Staff Humas dan Staff Humas Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta yang memberikan pengalaman berharga bagi peneliti di
akhir-akhir masa perkuliahan.
13. Semua pihak yang telah membantu peneliti selama kuliah dan selama menulis
skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Peneliti mengucapkan terima kasih atas segala kritik dan saran yang
membangun guna melengkapi skripsi ini. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat dan
memberikan wawasan yang lebih kepada setiap pembacanya.
Yogyakarta, 8 Mei 2019
Peneliti
Michael Bobby Christian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .............................................................. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv
DAFTAR SIMBOL ............................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3
C. Batasan Masalah .......................................................................................... 3
D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 4
E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 4
F. Metode Penelitian ........................................................................................ 5
G. Sistematika Penelitian ................................................................................. 6
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI ............................................. 8
A. Sistem Koordinat Kartesius ℝ𝟐 ................................................................... 8
B. Koordinat Kutub ........................................................................................ 11
C. Lingkaran .................................................................................................. 13
D. Segi-𝒏 ........................................................................................................ 18
E. Persamaan Garis Lurus .............................................................................. 20
F. Konversi Sudut Radian Dalam Derajat ..................................................... 27
G. Turunan Parsial ......................................................................................... 28
H. Diferensial ................................................................................................. 29
I. Integral Tentu ............................................................................................ 30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
J. Luas Daerah Suatu Kurva.......................................................................... 31
K. Integral Kurva ........................................................................................... 33
BAB III AKIBAT TEOREMA GREEN PADA BIDANG .................................. 38
A. Teorema Green Pada Bidang ..................................................................... 38
B. Kasus-kasus Pengaplikasian Teorema Green dalam Bidang .................... 39
BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL .............................................................. 45
A. Formulasi Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada Bidang
................................................................................................................... 46
B. Menghitung Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada
Bidang dengan Menggunakan MATLAB ................................................. 64
BAB V PENUTUP ................................................................................................ 85
A. Kesimpulan ................................................................................................ 85
B. Saran .......................................................................................................... 87
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 88
LAMPIRAN .......................................................................................................... 90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ....... 66
Tabel 4.2 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ........ 67
Tabel 4.3 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan.......................... 67
Tabel 4.4 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. .... 69
Tabel 4.5 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..... 69
Tabel 4.6 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..................... 70
Tabel 4.7 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan.
............................................................................................................................... 71
Tabel 4.8 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..... 72
Tabel 4.9 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............... 72
Tabel 4.10 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ..... 74
Tabel 4.11 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ...... 74
Tabel 4.12 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan........................ 75
Tabel 4.13 Koordinat Titik Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. 76
Tabel 4.14 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ... 77
Tabel 4.15 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan .................... 77
Tabel 4.16 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan.
............................................................................................................................... 79
Tabel 4.17 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ... 80
Tabel 4.18 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............. 80
Tabel 4.19 Resume Luas Segi-𝑛 .......................................................................... 82
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Koordinat Kartesius ........................................................................... 8
Gambar 2. 2 Kuadran Pada Bidang Koordinat........................................................ 9
Gambar 2. 3 Jarak Dua Titik Ruas Garis 𝐴𝐵 ........................................................ 10
Gambar 2. 4. Koordinat Kutub .............................................................................. 11
Gambar 2. 5 Koordinat Kartesius ......................................................................... 12
Gambar 2. 6 Lingkaran Berpusat di (0,0) ............................................................. 14
Gambar 2. 7 Lingkaran yang Berpusat di Titik A(𝑎, 𝑏) ....................................... 15
Gambar 2. 8 Lingkaran Satuan ............................................................................. 17
Gambar 2. 9 Persegi .............................................................................................. 18
Gambar 2. 10 Segitiga Sama Sisi .......................................................................... 18
Gambar 2. 11 Segilima Tak Beraturan .................................................................. 18
Gambar 2. 12 Segienam Dalam Lingkaran ........................................................... 19
Gambar 2. 13 Segienam Luar Lingkaran .............................................................. 20
Gambar 2. 14 Garis 𝑙 ∥ Sumbu 𝑦 .......................................................................... 20
Gambar 2. 15 Garis 𝑠 ∥ Sumbu 𝑥 .......................................................................... 21
Gambar 2. 16 Garis 𝑙 yang Melewati Titik Asal Dan Sebuah Titik Tertentu ....... 21
Gambar 2. 17 Garis 𝑙 yang Melewati Dua Titik ................................................... 23
Gambar 2.18 Garis 𝑔 yang Melewati Suatu Titik dan Gradien Garis G Diketahui
............................................................................................................................... 25
Gambar 2. 19 Garis 𝑔 yang Berpotongan dengan Kedua Sumbu ......................... 26
Gambar 2. 20 Daerah di Atas Sumbu 𝑥 ................................................................ 32
Gambar 2. 21 Daerah di Bawah Sumbu 𝑥 ............................................................ 32
Gambar 2. 22 Daerah di Antara Dua Kurva .......................................................... 33
Gambar 2. 23 Partisi C dari [𝑎, 𝑏] ......................................................................... 34
Gambar 2. 24 Luas Tirai Tegak Melengkung Sepanjang C .................................. 35
Gambar 3. 1 Ilustrasi Kasus I (Elips) .................................................................... 39
Gambar 3. 2 Daerah yang Dibatasi Oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2 ............................... 42
Gambar 3. 3 Daerah D yang dibatasi oleh Kurva C .............................................. 43
Gambar 4. 1 Lingkaran Satuan ............................................................................. 48
Gambar 4. 2 Segiempat di Luar Lingkaran Satuan ............................................... 49
Gambar 4. 3 Segiempat ABCD di Dalam Lingkaran Satuan ................................ 51
Gambar 4. 4 Segidelapan ABCDEFGH ................................................................ 61
Gambar 4. 5 Segienambelas ABCDEFGH ........................................................... 62
Gambar 4. 6 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................... 66
Gambar 4. 7 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................... 68
Gambar 4. 8 Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan .................... 70
Gambar 4. 9 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................ 73
Gambar 4. 10 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ...................... 75
Gambar 4. 11 Segidelapan Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............... 78
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR SIMBOL
ℝ2 : Ruang Dimensi Dua Atas Semua Bilangan Real
𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ) : Panjang Ruas Garis 𝐴𝐶
𝜃 : Nama Sudut
|𝑥 − 𝑦| : Nilai Mutlak dari 𝑥 Kurang 𝑦
𝑔||𝑙 : Garis 𝑔 Sejajar Garis 𝑙
‖𝑃‖ : Norma P
𝑚 : Gradien Garis
b
a
f x dx : Integral Tentu Suatu Fungsi 𝑥 Dari 𝑎 Sampai 𝑏 Terhadap 𝑥
( , ) C
f x y ds : Integral Kurva Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) Atas Lintasan C
R
: Integral Lipat Dua Atas Daerah R
𝐷𝑥 : Notasi Turunan Terhadap Variabel Bebas 𝑥
𝑑𝑦 : Notasi Diferensial Suatu Fungsi
≈ : Nilai Pendekatan
𝜕 : Notasi Turunan Parsial
∆𝑥 : Perubahan Nilai 𝑥
∑ : Penjumlahan Suatu Barisan Bilangan
° : Satuan Derajat
|| : Notasi Menyatakan Kesamaan Panjang Dua Atau Lebih Ruas
Garis
[𝑎, 𝑏] : Interval Tertutup Dari 𝑎 Sampai 𝑏
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika kini bukanlah suatu hal yang asing bagi kita. Terlebih kini
Matematika dapat dikatakan suatu kebutuhan utama. Permasalah matematika
dapat diselesaikan melalui dua metode yakni secara analitik ataupun secara
numerik. Secara analitik, kita menggunakan rumus dan teorema yang sudah
baku dalam pelajaran Matematika. Contohnya, dalam menghitung luas persegi
panjang dengan rumus 𝑙𝑢𝑎𝑠 = 𝑝 × 𝑙 dimana 𝑝 adalah panjang dari persegi
panjang dan 𝑙 lebar persegi panjang, solusi yang didapatpun berupa jawaban
eksak. Namun pada metode numerik, digunakan pendekatan (aproksimasi)
dengan menyusun algoritma yang terprogram dengan banyak perulangan.
Contohnya adalah mencari nilai terdekat dari bilangan irrasional seperti
√7, 𝜋, dan 𝑒. Saat ini jika mencari luas suatu bangun dalam matematika
merupakan permasalah yang masih sederhana atau dengan kata lain untuk
masing-masing bentuknya telah tersedia formula-formulanya, namun apabila
kita hendak menghitung luas daerah yang bentuknya lebih rumit atau misal
menghitung luas daerah suatu kota atau bahkan pulau tidak ada formula yang
diberikan yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerahnya. Seperti
halnya yang dilakukan oleh pemerintah dalam mencari luas daerah suatu kota,
tanah warga, dsb. Penelitian skripsi ini mencoba menemukan sebuah cara
untuk menghitung luas daerah yang juga dapat digunakan untuk membantu
dalam pembelajaran konsep limit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Salah satu bidang ilmu matematika yakni kalkulus. Kalkulus meliputi
dua permasalahan berikut, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang
saling berkaitan dengan teorema dasar kalkulus. Kalkulus merupakan awalan
menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, seperti analisis
matematika yang khusus mempelajari fungsi dan limit. Contohnya dalam buku
kalkulus karya Purcell dan Steward mereka berdua mengawalinya dengan
mengulas tentang limit. Purcell mengatakan bahwa salah satu yang mengarah
pada konsep pembelajaran limit yaitu luas lingkaran yang didekati secara grafis
oleh luas segi-𝑛 yang dibuat di dalam dan di luar lingkaran, yang akan
konvergen ke suatu nilai yakni akan konvergen ke luas lingkaran tersebut.
Kalkulus vektor merupakan salah satu cabang kalkulus yang lebih lanjut,
di dalamnya terdapat beberapa materi yang berkaitan untuk menghitung luas
daerah adalah integral garis dan akibat teorema Green pada bidang. Nama
Teorema Green didapat dari George Green yakni seorang ilmuwan otodidak
Inggris (yang juga merupakan penemu kasus khusus Teorema Stokes dimensi
dua). Teorema Green menyatakan hubungan antara integral garis yang
dilakukan sepanjang kurva tertutup sederhana 𝐶 dan integral lipat dua pada
daerah bidang 𝐷 yang dibatasi oleh 𝐶 dalam vektor. Guna menyatakan teorema
Green digunakan perjanjian bahwa penyelusuran 𝐶 dengan arah berlawanan
putaran jarum jam ini menunjukkan dalam teorema Green arah menjadi syarat
penting dalam pengerjaannya. (Stewart, 1999: 543-544).
Akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas daerah
dilakukan secara analitik dan kemudian perhitungan pada penelitian ini akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
dikaji secara numerik dengan menggunakan bantuan software MATLAB.
MATLAB merupakan suatu software pemograman yang cukup diminati
kalangan matematikawan untuk memecahkan permasalahan numerik, karena
MATLAB juga dapat menyajikan visulisasi dari masalah numerik yang dicari.
Penelitian ini lebih difokuskan pada memanfaatkan akibat Teorema
Green pada bidang; terutama dalam memecahkan permasalahan tentang
menghitung luas segi-𝑛 yang nantinya dapat dimanfaatkan untuk memberikan
pemahaman lebih dalam konsep limit.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana cara menghitung luas segi-𝑛 dengan menggunakan akibat
Teorema Green pada bidang untuk menghitung pendekatan luas
lingkaran satuan?
2. Bagaimana penggunaan akibat Teorema Green pada bidang untuk
menghitung luas suatu daerah dengan menggunakan MATLAB?
C. Batasan Masalah
Batasan-batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Menghitung luas daerah dengan integral garis yang dikaji dengan akibat
teorema Green pada bidang.
2. Luas pada segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan
3. Pendekatan dilakukan dengan membuat dan menghitung luas dari segi-
𝑛 beraturan yang dapat dibuat pada lingkaran satuan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
4. Software yang digunakan dalam membantu penelitian ini adalah
MATLAB.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah:
1. Menganalisa cara menghitung luas segi-𝑛 dengan menggunakan akibat
teorema Green pada bidang untuk menghitung luas sebagai
pembelajaran konsep limit.
2. Menghitung luas suatu daerah pada segi-𝑛 dengan menggunakan
MATLAB.
E. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagi Peneliti
Peneliti menambah pengetahuan mengenai Teorema Green, serta
dapat membangun suatu program yang dapat membantu serta mem-
visual-kan pendekatan yang dilakukan dengan menggunanakan bantuan
MATLAB.
2. Bagi Pembaca
Pembaca dapat mengetahui bagaimana melakukan pendekatan
luas lingakaran secara numerik dengan memanfaatkan akibat dari
teorema Green, melalui MATLAB.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan oleh peneliti dalam menyusun skripsi ini
adalah metode studi pustaka, yakni peneliti membaca referensi-referensi yang
berkaitan dengan segi-𝑛, teorema Green, lingkaran, dan MATLAB.
Kemudian peneliti mencoba untuk memanfaatkan apa yang telah didapat
kemudian mencoba membuat suatu program dalam MATLAB yang dapat
digunakan dalam pengembangan berikutnya.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Membaca berbagai referensi yang berkaitan dengan geometri analitik
bidang, kalkulus diferensial, kalkulus integral, teorema Green,
lingkaran, dan berbagai referensi lain yang dibutuhkan, serta menonton
tutorial dalam menggunakan MATLAB.
2. Melakukan pengakajian rumus dari akibat teorema Green pada bidang
untuk menghitung luas daerah secara analitik.
3. Membuat segi-𝑛 beraturan yang dibuat di dalam dan di luar lingkaran
satuan, serta segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam dengan 𝑛 = 4,
8, 16, 32, sampai 1024.
4. Menemukan koordinat (𝑥, 𝑦) titik-titik sudut pada segi-𝑛 beraturan
yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan serta segi-𝑛 tak
beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan.
5. Melakukan perhitungan untuk setiap segi-𝑛 yang dibuat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
6. Membuat program pada MATLAB sebagai alat bantu visual dalam
proses penggambaran lingkaran satuan dan segi-𝑛 berurutan dan tak
beraturan hingga membantu proses perhitungan.
7. Membandingkan luas masing-masing segi-𝑛 beraturan dengan luas
lingkaran satuan.
8. Menyusun hasil penelitian.
G. Sistematika Penelitian
Tujuan akhir penelitian skripsi ini yaitu untuk mengetahui bahwa luas
lingkaran satuan dapat didekati secara numerik dengan menggunakan segi-𝑛
beraturan. Agar penelitian penelitian ini tersusun secara sistematis, maka
peneliti memberikan sistematika penelitian sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Adapun pada bab I berisikan latar belakang, rumusan masalah,
batasaan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode
penelitian, dan sistematika penelitian.
BAB II LANDASAN TEORI
Adapun pada bab II berisikan sistem koordinat kartesius, jarak
dua titik pada bidang, segi-𝑛, persamaan garis lurus, pengertian luas,
lingkaran satuan, turunan parsial, dan integral garis. Pada bab ini
menjadi batasan materi yang digunakan dalam penelitian ini.
Penelitian ini akan melakukan pendekatan luas lingkaran satuan
secara numerik oleh luas segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam
lingkaran satuan. Selanjutnya untuk menghitung luas segi-𝑛 tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
dengan menggunakan integral garis yang dikaji dengan akibat teorema
Green pada bidang yang dilakukan secara analitik. Penelitian skripsi ini
merupakan lanjutan dari penelitian sebelumnya yang juga menghitung
luas segi-𝑛 dengan akibat teorema Green pada bidang menggunakan
software Microsoft Excel untuk segi-𝑛 yang beraturan, sedangkan
dalam skripsi ini akan dihitung luas daerah segi-𝑛 beraturan dan tak
beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan dengan
mengunakan MATLAB dan memanfaatkan fitur GUI.
BAB III TOEREMA GREEN PADA BIDANG
Adapun pada bab III berisikan Teorema Green pada bidang dan
kasus-kasus pengaplikasian Teorema Green dalam bidang.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Adapun pada bab IV berisikan formulasi luas segi-𝑛 beraturan
menggunakan akibat Teorema Green pada bidang, dan formulasi luas
segi-𝑛 menggunakan akibat Teorema Green pada bidang dengan
menggunakan MATLAB.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Adapun pada bab V berisikan kesimpulan dan saran dari
penelitian skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
A. Sistem Koordinat Kartesius ℝ𝟐
1. Sistem Koordinat Kartesius ℝ2
Sistem koordinat kartesius di dimensi dua (ℝ2) atau bidang
terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik
𝑂(0,0) yang disebut titik asal (Suarsana, 2014). Garis yang mendatar
(horizontal) dinamakan sumbu 𝑥. pada sumbu 𝑥 dari titik 𝑂 ke kanan
disebut arah positif atau sumbu 𝑥 positif. Sedangkan dari titik 𝑂 ke kiri
dikatakan arah negatif atau sumbu 𝑥 negatif. Garis yang tegak (vertikal)
dinamakan sumbu 𝑦. Pada sumbu 𝑦, dari titik 𝑂 ke atas disebut arah
positif atau sumbu 𝑦 positif. Sedangkan dari titik 𝑂 ke bawah dikatakan
arah negatif atau sumbu 𝑦 negatif. Letak titik-titik yang ada pada ℝ𝟐
dinyatakan dalam bentuk (𝑥, 𝑦). Gambar 2.1 menunjukkan titik 𝑃 pada
koordinat kartesius.
Gambar 2. 1 Koordinat Kartesius
Sumber: Suarsana, 2014
𝑦
𝑥 𝑂
𝑃(𝑥, 𝑦)
(𝑥, 0)
(0, 𝑦)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Sebuah titik 𝑃 pada koordinat kartesius dapat dinyatakan sebagai
berikut 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑥 merupakan koordinat titik 𝑃 pada sumbu-𝑥 disebut
absis, sedangkan 𝑦 merupakan koordinat dari titik 𝑃 pada sumbu-𝑦
disebut ordinat.
Sumbu koordinat pada bidang kartesius terbagi menjadi empat
daerah yang disebut kuadran Suarsana (2014), seperti Gambar 2.2 di
bawah ini:
Gambar 2. 2 Kuadran Pada Bidang Koordinat
Sumber: Suarsana, 2014
Keterangan:
Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif
Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif
Kuadran III, korrdinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif
Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif
2. Jarak Dua Titik Pada Bidang
Menurut Suarsana (2014), jarak dua titik merupakan suatu
besaran satuan panjang, yang terbentuk dari dua buah titik berbeda pada
bidang, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah panjang ruas garis
𝑂 𝑥
𝑦
Kuadran II
(−, +)
Kuadran I
(+, +)
Kuadran III
(−, −)
Kuadran IV
(+, −)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jarak Euclides yaitu
perhitungan jarak dari 2 buah titik yang berdekatan.
Gambar 2. 3 Jarak Dua Titik Ruas Garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Sumber: Suarsana, 2014
Misalkan 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2) dua titik berbeda seperti pada
Gambar 2.3, dengan 𝑥1 ≠ 𝑥2 dan 𝑦1 ≠ 𝑦2 selanjutnya 𝐶(𝑥2, 𝑦1).
Selanjutnya Wernick (1968), melalui segitiga siku-siku ∆𝐴𝐶𝐵 dengan
siku-siku di titik 𝐶 dengan menggunakan teorema Phytagoras untuk
menghitung panjang ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , diperoleh:
𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ) = |𝑥2 − 𝑥1|
𝑑(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ) = |𝑦2 − 𝑦1|
Kemudian 𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 𝑑|𝐴𝐶̅̅ ̅̅ |2 + 𝑑|𝐵𝐶̅̅ ̅̅ |2
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Contoh 2.1:
Tentukan jarak antara titik 𝐴(1,4) dan titik 𝐵(−3,2)!
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
(𝑥1, 𝑦1) (𝑥2, 𝑦1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Penyelesaian:
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(−3 − 1)2 + (2 − 4)2
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(−4)2 + (−2)2
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √16 + 4
𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √20 = 2√5
Jadi, jarak antara titik 𝐴 dan titik 𝐵 adalah 2√5.
B. Koordinat Kutub
Koordinat kutub juga dapat digunakan untuk menentukan kedudukan
suatu titik selain mengunakan koordinat kartesius. koordinat kutub
dinyatakan dalam sebuah sinar garis dengan sumbu-𝑥 dan titik pangkalnya,
sinar garis ini biasanya digambar mengarah ke kanan dan dinamakan sumbu
kutub, sedangkan titik pangkalnya disebut titik asal atau kutub (Suarsana,
2014).
Gambar 2. 4. Koordinat Kutub
Sumber: Sursana, 2014
Suatu titik dinyatakan dengan pasangan (𝑟, 𝜃) dengan 𝑟 menyatakan
jarak titik 𝑃 ke titik 𝑂 sedangkan 𝜃 adalah sudut antara sinar yang memancar
dari titik 𝑂 melewati titik 𝑃 dengan sumbu 𝑥 positif, seperti pada Gambar 2.4.
𝑃(𝑟, 𝜃) 𝑟
𝜃 𝑂 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Koordinat kutub dapat membantu untuk memudahkan dalam mengubah
persamaan kutub menjadi persamaan kartesius atau sebaliknya, sehingga titik
𝑃(𝑥, 𝑦) dalam sistem koordinat kartesius yang dinyatakan sebagai 𝑃(𝑟, 𝜃)
dalam sistem koordinat kutub, seperti pada gambar di bawah ini:
Gambar 2. 5 Koordinat Kartesius
Sumber: Suarsana, 2014
Berdasarkan pada Gambar 2.5, Jika ∆ 𝑂𝑇𝑃 siku-siku di 𝑇, maka
diperoleh hubungan sebagai berikut:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 =𝑦
𝑥⟺ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
Contoh 2.2:
Nyatakan koordinat kartesius berikut ke dalam koordinat kutub:
a. Titik 𝐵(3,3√3)
b. Titik 𝐷(−√3, 1)
Penyelesaian:
a. i. menentukan jari-jari:
𝑦
𝑥 𝑂
𝑟
𝜃
𝑥
𝑦
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑇(𝑥, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √32 + (3√3)2
= √9 + 27 = √36 = 6
ii. menetukan sudut:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦
𝑥= 𝑎𝑟𝑐 tan
3√3
3= 60°
Karena nilai 𝑥 dan 𝑦 positif, sehingga titik 𝐵 ada di kuadran I dengan
sudut 60°.
Jadi, koordinat kutub dari 𝐵(3,3√3) adalah 𝐵(6,60°).
b. i. menentukan jari-jari:
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−√3)2
+ 12 = √3 + 1 = √4 = 2
ii. menetukan sudut:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦
𝑥= 𝑎𝑟𝑐 tan
1
−√3= 30°
Karena nilai 𝑥 negatif dan 𝑦 positif, akibatnya titik 𝐷 ada di kuadran
II, sehingga sudutnya: 180° − 30° = 150°.
Jadi, koordinat kutub dari 𝐷(−√3, 1) adalah 𝐷(2,150°).
C. Lingkaran
Definisi 2.1 (Muharti, 1973: 82)
Lingkaran adalah semua himpunan titik-titik yang berjarak sama
dengan suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak titik-titik dengan
titik tertentu disebut jari-jari.
1. Persamaan Lingkaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Berikut ini akan ditunjukkan persamaan lingkaran yang bertitik
pusat di titik asal (0,0) dan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di
titik (𝑎, 𝑏).
Gambar 2. 6 Lingkaran Berpusat di (0,0)
Sumber: Suarsana, 2014
Pada Gambar 2.6 nampak lingkaran dengan titik pusat di 𝑂(0,0)
dan jari-jari 𝑟 satuan panjang. Untuk menemukan persamaan lingkaran,
misalkan diberikan titik 𝐴(𝑥, 𝑦). Jarak titik 𝑂 ke titik 𝐴 dengan teorema
Phytagoras adalah √𝑥2 + 𝑦2 . Namun diketahui bahwa 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ adalah jari-
jari lingkaran, maka diperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di
titik (0,0):
√𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (2.1)
Selanjutnya untuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟 dapat diturunkan sebagai berikut:
𝑂
𝐴(𝑥, 𝑦)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Gambar 2. 7 Lingkaran yang Berpusat di Titik A(𝑎, 𝑏)
Sumber: http://memedwachiantosmkn10.blogspot.com diakses
pada 10 Desember 2018.
Menentukan persamaan lingkaran seperti Gambar 2.7, ambil
sembarang titik pada lingkaran, misal titik 𝑃(𝑥, 𝑦). Pada segitiga siku-
siku 𝐴𝑃′𝑃 didapat jarak titik 𝐴 ke titik 𝑃 adalah √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2.
Padahal jaraknya adalah jari-jari lingkaran, yaitu 𝑟, maka diperoleh
persamaan di bawah ini:
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (2.2)
Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sembarang titik pada lingkaran tersebut,
berlaku persamaan di atas untuk setiap titik pada lingkaran tersebut.
Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat 𝐴(𝑎, 𝑏) dengan berjari-
jari satuan adalah:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (2.3)
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 disebut sebagai persamaan umum
lingkaran. Apabila diketahui persamaan umum suatu lingkaran, maka
(𝑥 − 𝑎)
𝑃′(𝑥, 𝑏)
𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
dapat ditemukan koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jarinya.
Persamaan bentuk umum tersebut diubah menjadi:
𝑥2 + 𝐴𝑥 +1
4𝐴2 + 𝑦2 + 𝐵𝑦 +
1
4𝐵2 =
1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶
(𝑥 +1
2𝐴)
2
+ (𝑦 +1
2𝐵)
2
=1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 (2.4)
Dari persamaan (2.3) dan (2.4), dapat disimpulkan bahwa titik
pusat lingkaran adalah (−1
2𝐴, −
1
2𝐵) dan jari-jarinya adalah:
𝑟 = √1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶.
Dari pernyataan di atas terkait titik pusat dan jari lingkaran,
terdapat 2 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:
a. Jika 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 > 0, persamaan bentuk umum itu
menyatakan lingkaran nyata.
b. Jika 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 = 0, persamaan bentuk umum itu
menyatakan lingkaran dengan jari-jari nol, berarti berupa sebuah
titik.
c. Jika 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 < 0, persamaan bentuk umum itu
menyatakan lingkaran imajiner, yaitu lingkaran yang tidak mudah
untuk dibayangkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
2. Lingkaran Satuan
Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat di titik asal
(0,0) dengan jari-jari 𝑟 = 1. Kemudian persamaan dari lingkaran
satuan adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 1.
Gambar 2. 8 Lingkaran Satuan
Sumber: Suarsana, 2014
Lingkaran satuan sangat membantu dalam mendefinisikan fungsi
trigonometri. Misal diberikan titik 𝑇(𝑥, 𝑦) pada lingkaran satuan
𝑥2 + 𝑦2 = 1
Kemudian berdasarkan Gambar 2.8 ∆𝑂𝑃𝑇 siku-siku di 𝑃, maka
diperoleh hubungan, sebagai berikut:
sin 𝜃 =𝑦
1 ⟺ 𝑦 = sin 𝜃
cos 𝜃 =𝑥
1 ⟺ 𝑥 = cos 𝜃
} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Berdasarkan dari hubungan di atas, titik 𝑇 berubah menjadi,
𝑇(cos 𝜃 , sin 𝜃). Selanjutnya dengan mensubstitusikan koordinat 𝑇,
yakni 𝑥 = cos 𝜃 dan 𝑦 = sin 𝜃 pada persamaan lingkaran satuan,
sehingga persamaan lingkaran satuan menjadi:
1
𝑇(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1. (2.5)
D. Segi-𝒏
Definisi 2.2 (Bronshtein, 1998: 175)
Segi-𝑛 adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis lurus sebanyak n
garis/sisi pada bidang datar, kemudian jumlah besar sudut dalamnya adalah
(𝑛 − 2) 180°. Segi-𝑛 disebut beraturan jika sisi-sisi dan sudut-sudutnya
adalah sama panjang dan sama besar. Sedangkan segi-𝑛 disebut tak
beraturan ketika sisi-sisinya tidak sama panjang dan besar sudut-sudut
dalamnya berbeda.
Contoh seperti pada Gambar 2.9, 2.10 dan 2.11, berturut-turut persegi
adalah segiempat beraturan, segitiga sama sisi adalah segitiga beraturan, dan
segilima tak beraturan.
Gambar 2. 10 Segitiga Sama Sisi Gambar 2. 9 Persegi
Gambar 2. 11 Segilima Tak Beraturan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Segi-𝑛 dikatakan sebagai segi-𝑛 yang dibuat di dalam lingkaran satuan
apabila segi-𝑛 dibuat melalui titik-titik sudut yang berada pada lingkaran
satuan dan daerah yang dibatasi oleh segi-𝑛 berada di dalam lingkaran satuan.
Jika segi-𝑛 dalam lingkaran merupakan segi-𝑛 beraturan, maka titik pusat
lingkaran juga merupakan titik pusat dari segi-𝑛, seperti pada Gambar 2.12 di
bawah ini. Titik 𝑂 merupakan titik pusat dari segi-6 sekaligus lingkaran
satuan serta 𝑂𝐹̅̅ ̅̅ adalah 𝑟 atau jari-jari lingkaran satuan.
Gambar 2. 12 Segienam Dalam Lingkaran
Sumber: Bronshtein, 1998
Selanjutnya segi-𝑛 dikatakan sebagai segi-𝑛 yang dibuat di luar
lingkaran satuan apabila sisi-sisi pada segi-𝑛 bersinggungan dengan
lingkaran. Jika segi-𝑛 yang dibuat di luar lingkaran satuan merupakan segi-𝑛
beraturan, maka titik pusat lingkaran satuan juga merupakan titik pusat dari
segi-𝑛, seperti pada Gambar 2.13 di bawah ini. Titik 𝑂 merupakan titik pusat
segi-6 sekaligus lingkaran dan 𝑑(𝑂𝐺̅̅ ̅̅ ) = 𝑟 atau jari-jari lingkaran satuan.
𝑟
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Gambar 2. 13 Segienam Luar Lingkaran
Sumber: Bronshtein, 1998
E. Persamaan Garis Lurus
Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak
terdekat. Sehingga persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang
menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Persamaan garis
lurus ada beberapa macam jenisnya, menurut Suarsana (2014) yakni:
1. Garis Sejajar Sumbu-Sumbu Koordinat
Gambar 2. 14 Garis 𝑙 ∥ Sumbu 𝑦
Sumber: Suarsana, 2014
𝐹
𝐴 𝐺 𝐵
𝐶
𝐷 𝐸
𝑂
𝑟
𝑦
𝑥 𝑂
𝑙
𝐴(𝑎, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Gambar 2. 15 Garis 𝑠 ∥ Sumbu 𝑥
Sumber: Suarsana, 2014
Garis 𝑙 pada Gambar 2.14 melalui titik 𝐴(𝑎, 0) dan sejajar sumbu-
𝑦 yang berarti semua ruas garis yang dibuat melalui sumbu-𝑦 dan tegak
lurus dengan garis 𝑙 sama panjang yakni berjarak sebesar 𝑎, sehingga
persamaan garis 𝑙 dinyatakan sebagai 𝑥 = 𝑎. Selanjutnya garis 𝑠 pada
Gambar 2.15 melalui titik 𝐵(0, 𝑏) dan sejajar sumbu-𝑥, sehingga
persamaan garis 𝑠 merupakan 𝑦 = 𝑏.
2. Garis Melalui Titik Asal dan Sebuah Titik Tertentu
Persamaan garis lurus yang melalui titik asal (0,0) dan sebuah
titik tertentu 𝑃(𝑥1, 𝑦1), dapat dibuat dengan sebelumnya menentukan
atau mencari sifat-sifat yang sama yang dimiliki oleh semua titik pada
garis, misal garis 𝑙, seperti gambar di bawah ini:
Gambar 2. 16 Garis 𝑙 yang Melewati Titik Asal Dan Sebuah Titik
Tertentu
Sumber: Suarsana, 2014
𝑦
𝑥 𝑂
𝑠 𝐵(0, 𝑏)
𝑦
𝑥 𝑂
𝑙
𝑃(𝑥1, 𝑦1)
𝑇(𝑥2, 𝑦2)
𝑄(𝑥1, 0) 𝑅(𝑥2, 0)
𝛼
𝑆(0, 𝑦1)
𝑈(0, 𝑦2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Ambilah sebarang titik T dan titik P pada garis 𝑙 dan titik R dan Q
masing-masing adalah proyeksi titik T dan P pada sumbu-𝑥. Misalkan
𝑇(𝑥2, 𝑦2) dan 𝑅(𝑥2, 0), 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄(𝑥1, 0) serta 𝑇𝑅 ∥ 𝑃𝑄 maka:
𝑑(𝑇𝑅̅̅ ̅̅ ): 𝑑(𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ) = 𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ): 𝑑(𝑂𝑄̅̅ ̅̅ )
𝑦2: 𝑥2 = 𝑦1: 𝑥1
atau dapat ditulis
𝑦2
𝑥2=
𝑦1
𝑥1
Jika 𝛼 adalah sudut yang dibentuk garis 𝑙 dengan sumbu 𝑥 arah
positif, maka:
𝑦2
𝑥2=
𝑦1
𝑥1= tan 𝜃
Dapat dilihat bahwa perbandingan ordinat dan absis setiap titik
garis 𝑙 adalah tan 𝜃. Apabila sebarang titik (𝑥, 𝑦) terletak pada garis 𝑙,
maka diperoleh:
𝑦
𝑥= tan 𝜃
Mengingat titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1) diketahui, maka nilai tan 𝜃, sehingga
diperoleh:
𝑦
𝑥= tan 𝜃
𝑦
𝑥=
𝑦1
𝑥1
Jadi persamaan garis lurus 𝑙 yang melalui titik asal 𝑂 dan
𝑃(𝑥1, 𝑦1) adalah:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
𝑦 =𝑦1
𝑥1𝑥 (2.6)
3. Garis Melalui Dua Titik yang Diketahui
Garis yang melalui dua titik yaitu suatu garis lurus yang dibuat
melalui dua buah titik yang diberikan misalkan titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan titik
𝐵(𝑥2, 𝑦2) dapat merupakan titik yang berbeda atau pun dua titik yang
saling berhimpit. Persamaan garis yang melalui dua titik yang diketahui
dapat dinyatakan sebagai berikut:
Gambar 2. 17 Garis 𝑙 yang Melewati Dua Titik
Sumber: Suarsana, 2014
Pada Gambar 2.17, garis lurus 𝑙 melalui titik-titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan
𝐵(𝑥2, 𝑦2) yang diketahui, dengan bantuan teorema Phytagoras dan
jarak dua titik, dapat dinyatakan:
tan 𝜃 =𝑑(𝐶𝐵̅̅ ̅̅ )
𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Langkah untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua
titik yang diketahui, diawali dengan mengambil sebarang titik 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑥 𝑂
𝑙
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝐴(𝑥1, 𝑦1) 𝐶(𝑥2, 𝑦1)
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜃
𝛼
(𝑥2, 0) (𝑥, 0) (𝑥1, 0)
(0, 𝑦1)
(0, 𝑦)
(0, 𝑦2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
pada garis lurus 𝑙, maka gradien garis lurus 𝑙 sama juga dengan gradien
ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
tan 𝜃 =𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
Karena gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ sama dengan gradien ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
sehingga diperoleh persamaan:
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1 (2.7)
atau dapat ditulis
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1 (2.8)
Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sebarang titik pada garis lurus 𝑙, maka
persamaan (2.8) merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik
𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2).
4. Garis Melalui Suatu Titik Tertentu dengan Gradien yang Diketahui
Persamaan garis juga dapat dibuat apabila diberikan satu titik dan
gradien garis tersebut juga diketahui. Misalkan sebuah garis 𝑔 dibuat
melalui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan gradien garis 𝑔 yaitu 𝑚. Selanjutnya diambil
sebarang titik 𝑃(𝑥, 𝑦) pada garis 𝑔, sehingga gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅
adalah
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1= 𝑚
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Gambar 2.18 Garis 𝑔 yang Melewati Suatu Titik dan Gradien Garis 𝑔
Diketahui
Sumber: Suarsana, 2014
Gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ sama saja dengan gradien garis 𝑔, karena
gradien garis 𝑔 adalah 𝑚, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1= 𝑚
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (2.9)
Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sebarang titik pada garis lurus 𝑔,
persamaan garis lurus yang melalui titik (𝑥1, 𝑦1) dengan gradien 𝑚
adalah:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (2.10)
5. Garis dengan Perpotongan Kedua Sumbu Diketahui
Suatu garis lurus dapat dibuat berpotongan dengan sumbu-𝑋 dan
sumbu-𝑌 masing-masing berpotongan di titik 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0), atau
juga dapat dikatakan persamaan garis yang melalui dua titik yang
masing-masing berada di sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦.
𝑦
𝑥 𝑂
𝑔
𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝑄(𝑥, 𝑦1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 2. 19 Garis 𝑔 yang Berpotongan dengan Kedua Sumbu
Sumber: Suarsana, 2014
Berdasarkan Gambar 2.19 diberikan suatu garis yang melalui dua
titik yaitu 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0), sehingga menurut persamaan (2.8)
persamaan garisnya adalah:
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
Selanjutnya dengan mensubtitusikan 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0) ke
persamaan (2.8), didapat:
𝑦 − 0
𝑏 − 0=
𝑥 − 𝑎
0 − 𝑎
𝑦
𝑏=
𝑥 − 𝑎
−𝑎
𝑦
𝑏=
𝑥
−𝑎+ 1
𝑦
𝑏+
𝑥
𝑎= +1
𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏
Akhirnya didapat persamaan garis yang melalui titik 𝐴(𝑎, 0) dan
𝐵(0, 𝑏) adalah
𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏 (2.11)
𝑦
𝑥 𝑂
𝑔
𝐴(𝑎, 0)
𝐵(0, 𝑏)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
F. Konversi Sudut Radian Dalam Derajat
Definisi 2.3 (Zen, 2012: 39)
Sudut adalah dua sinar garis yang bertemu di satu titik yang disebut
titik sudut. Ukuran sudut yang sering digunkaan adalah “derajat” yang
dinotasikan °.
Satu derajat dapat dituliskan:
1° =1
360𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛
Ukuran sudut yang lazim digunakan selain “derajat” adalah “radian”
(disingkat: rad), satu radian didefinisikan sebagai ukuran sudut di dalam
sebuah lingkaran yang diapit oleh dua jari-jari dan panjang busur lingkaran
yang sama dengan panjang jari-jari tersebut. Satu radian dapat dituliskan:
1 𝑟𝑎𝑑 =180°
𝜋 𝑎𝑡𝑎𝑢 1° =
𝜋
180𝑟𝑎𝑑
Contoh 2.3:
Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran radian!
a. 30°
b. 100°
Penyelesaian:
a. 30° = 30 ×𝜋
180𝑟𝑎𝑑 =
𝜋
6𝑟𝑎𝑑
b. 100° = 100 ×𝜋
180𝑟𝑎𝑑 =
5𝜋
9𝑟𝑎𝑑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
G. Turunan Parsial
Definis 2.4 (Purcell, 2007: 624)
Andaikan bahwa 𝑓 adalah suatu fungsi dua peubah 𝑥 dan 𝑦. Jika 𝑦
ditahan agar konstan, misalnya 𝑦 = 𝑦0, maka 𝑓(𝑥, 𝑦0) menjadi fungsi satu
peubah 𝑥. Turunannya di 𝑥 = 𝑥0 di sebut turunan parsial terhadapa 𝑥 di
(𝑥0, 𝑦0) dan 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0).
Jadi,
𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑥 (2.12)
Demikian pula, turunan parsial 𝑓 terhadapat 𝑦 dinyatakan oleh
𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), dan dituliskan sebagai,
𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
∆𝑦
Misal diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), terdapat cara penelitian lainnya dengan
menggunakan notasi 𝜕 yang merupakan lambang khas dalam matematika dan
disebut tanda turunan parsial.
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑧
𝜕𝑥=
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑧
𝜕𝑦=
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
Contoh 2.4:
Jika 𝑧 = 𝑥2 sin(𝑥𝑦2), carilah 𝜕𝑧
𝜕𝑥 dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦!
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Penyelesaian:
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 𝑥2
𝜕 sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥2
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 𝑥2
𝜕 sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥2
𝜕𝑥
= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2)𝜕(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2) ⋅ 2𝑥
= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2) 𝑦2 + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2)
= 𝑥2𝑦2 cos(𝑥𝑦2) + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2)
demikian pula,
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑥2
𝜕 sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑦+ sin(𝑥𝑦2)
𝜕𝑥2
𝜕𝑦
= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2) ⋅ 2𝑥𝑦 + 0 = 2𝑥3𝑦 cos(𝑥𝑦2).
H. Diferensial
Definisi 2.5 (Purcell, 2007: 143)
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi terdiferensial dari variabel bebas 𝑥.
∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variabel bebas 𝑥, sedangkan notasi
𝑑𝑥 disebut diferensial variabel bebas 𝑥, adalah sama dengan ∆𝑥. Selanjutnya
𝑓′(𝑥0) = lim∆𝑥0→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
jika ∆𝑥 kecil, maka:
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) ≈ ∆𝑥𝑓′(𝑥0) (2.13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Ruas kiri ekpresi diatas adalah ∆𝑦 yang merupakan perubahan
sebenarnya dalam variabel 𝑦 ketika 𝑥 berubah dari 𝑥 menjadi:
𝑥 + ∆𝑥
yakni
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥).
Notasi 𝑑𝑦, didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥.
Contoh 2.4:
Carilah 𝑑𝑦 jika:
a. 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1!
b. 𝑦 = sin(𝑥4 − 3𝑥2 + 11)!
Penyelesaian:
a. 𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 3)𝑑𝑥
b. 𝑑𝑦 = cos(𝑥4 − 3𝑥2 + 11) ⋅ (4𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥
I. Integral Tentu
Definisi 2.6 (Purcell, 2007: 224)
Misalkan suatu fungsi yang didefiniskan pada interval tertutup [𝑎, 𝑏].
Jika terdapat nilai
𝑙𝑖𝑚‖𝑃‖→0
∑(𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(2.14)
Maka dapat dikatakan 𝑓 terintegralkan pada [𝑎, 𝑏]. Lebih lanjut dinotasikan
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
disebut integral tentu dari fungsi 𝑓dari [𝑎, 𝑏], selanjutnya didefinisikan
sebagai berikut:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim‖𝑃‖→0
∑(𝑓(𝑥�̅�)∆𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(2.15)
Pada ( )
b
a
f x dx dapat disebut 𝑎 sebagai titik ujung bawah dan 𝑏 sebagai
titik ujung atas untuk integral. Dalam definisi, ( )
b
a
f x dx , secara implisit
dapat diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏. Sehingga juga dapat dinotasikan sebagai
berikut dengan 𝑎 > 𝑏:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
, 𝑎 > 𝑏 (2.16)
J. Luas Daerah Suatu Kurva
Menurut Purcell (2007), terdapat dua masalah geometri yang
memunculkan pemikiran terpenting dalam kalkulus. Masalah pencarian garis
singgung berkaitan dengan turunan (derivative), dan permasalahan terkait
mencari luas daerah berkaitan dengan integral tentu (definite integral).
1. Daerah di Atas Sumbu 𝑥
Suatu daerah dibatasi oleh sebuah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-𝑥
sepanjang 𝑎 sampai 𝑏 seperti Gambar 2.20.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Gambar 2. 20 Daerah di Atas Sumbu 𝑥
Sumber: Purcell, 2007
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) menentukan persamaan kurva di bidang-𝑥𝑦 dan
misalkan 𝑓 tak-negatif pada interval [𝑎, 𝑏], seperti ditunjukkan pada
Gambar 2.20. Berdasarkan daerah 𝑅 yang dibatasi oleh grafik-grafik
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0. Terlihat bahwa 𝑅 adalah daerah
tertutup yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥), diantara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Luas
𝐴(𝑅), diberikan oleh:
𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥 (2.17)
2. Daerah di Bawah Sumbu 𝑥
Suatu daerah dibatasi oleh sebuah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-𝑥
sepanjang 𝑎 sampai 𝑏 seperti Gambar 2.21.
Gambar 2. 21 Daerah di Bawah Sumbu 𝑥
Sumber: Purcell, 2007
𝑦
𝑥 𝑏 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑅
𝑦
𝑥
𝑏 𝑎
𝑓(𝑥)
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Luas adalah bilangan tak-negatif. Jika grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terletak di
bawah sumbu 𝑥 maka ( )b
af x dx adalah bilangan negatif, sehingga tidak
dapat menyatakan suatu luas. Sehingga luasnya dinyatakan sebagai
berikut:
𝐴(𝑅) = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥 (2.18)
3. Daerah di Antara Dua Kurva
Gambar 2. 22 Daerah di Antara Dua Kurva
Sumber: Purcell, 2007
Berdasarkan pada Gambar 2.2 daerah yang dimaksud berada
diantara kurva-kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)
pada [𝑎, 𝑏], seperti. Adapun untuk mencari luasanya menggunakan
metode iris, aproksimasi, integrasi. Yakinkan untuk memperhatikan
bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) memberikan tinggi yang benar dari irisan tipis
tersebut.
K. Integral Kurva
Menurut Purcell (2007), integral garis atau integral kurva adalah
hasil dari generalisasi integral tentu ( )
b
a
f x dx dengan menggantikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
[𝑎, 𝑏] dengan suatu kurva 𝐶 di bidang-𝑥𝑦, sehingga menghasilkan
integral yakni , C
f x y ds .
Misalkan 𝐶 suatu kurva bidang mulus, 𝐶 diberikan soleh
persamaan parameter
𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), [𝑎, 𝑏]
𝑥′ dan 𝑦′ kontinu dan tidak secara serentak nol pada [𝑎, 𝑏],
andaikan bahwa 𝐶 terorientasi positif (arah positifnya berpadanan
terhadap pertambahan nilai 𝑡) bahwa 𝐶 hanya ditelusuri sekali saat 𝑡
berubah dari 𝑎 ke 𝑏. Jadi, 𝐶 memiliki titik awal di (𝑥(𝑎), 𝑦(𝑎)) dan titik
terakhir (𝑥(𝑏), 𝑦(𝑏)). Partisi dari selang [𝑎, 𝑏] menghasilkan
pembagian kurva 𝐶 menjadi 𝑛 subbusur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖
𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑏
Gambar 2. 23 Partisi C dari [𝑎, 𝑏]
Sumber: Purcell, 2007
Partisi dari [𝑎, 𝑏] ini menghasilkan suatu pembagian kurva 𝐶 ke dalam
𝑛 busur-bagian. Misalkan ∆𝑠𝑖 melambangkan panjang busur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖 dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
misalkan |𝑃| merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan |𝑃|
adalah ∆𝑡𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1.
Contoh 2.5:
Pilih titik 𝑄𝑖(�̅�𝑖, �̅�𝑖) pada subbusur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖 seperti pada Gambar 2.23.
Gambar 2. 24 Luas Tirai Tegak Melengkung Sepanjang C
Selanjutnya memperhatikan jumlahan Riemann 1
( , )n
i ii
i
f x y s
. Jika 𝑓
positif, jumlahan ini mengaproksimasi luas tirai tegak melengkung seperti
Gambar 2.22. Jika 𝑓 kontinu pada daerah D yang mengandung kurva 𝐶. Maka
jumlahan Riemann memiliki limit untuk |𝑃| → 0. Limit ini disebut integral
garis dari 𝑓 sepanjang 𝐶 dari A ke B; yaitu
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝐶
= lim|𝑃|→0
∑ (𝑓(�̅�𝑖, �̅�𝑖)∆𝑠𝑖)𝑛
𝑖=1
Guna memperoleh perhitungan yang baik disajikan dalam parameter 𝑡
dan menjadi integral tentu biasa. Integral garis atas kurva 𝐶 dapat dinyatakan
𝑃𝑛 = 𝐵
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
dalam integral tentu biasa dari 𝑎 sampai 𝑏 dalam parameter 𝑡, seperti di bawah
ini:
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝐶
= ∫ (𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2) 𝑑𝑡𝑏
𝑎
(2.19)
Contoh 2.6:
Hitung integral garis 3 C
x y ds ; dengan 𝐶 adalah kurva 𝑥 = 3𝑡,
𝑦 = 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1!
Jawab:
Diketahui:
𝑥 = 3𝑡 maka 𝑥′ = 3 dan
𝑦 = 𝑡3 maka 𝑦′ = 3𝑡2
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦
Subtitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 ke 𝑓(𝑥, 𝑦), sehingga menjadi fungsi dalam 𝑡, yakni,
𝑓(𝑡) = (3𝑡)3 + 𝑡3 = 27𝑡3 + 𝑡3 = 28𝑡3. Maka
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝐶
= ∫ (𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2) 𝑑𝑡𝑏
𝑎
Kemudian telah diberikan batas nilai t dari 0 hingga 1, selanjutnya batas
tersebut sebagai nilai-nilai integral tentu, seperti di bawah ini,
∫ (𝑥3 + 𝑦)𝑑𝑠𝐶
= ∫ (28𝑡3√[3]2 + [3𝑡2]2) 𝑑𝑡1
0
= ∫ (28𝑡3√9 + 9𝑡4) 𝑑𝑡1
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
= 84 ∫ (𝑡3√1 + 𝑡4) 𝑑𝑡1
0
=84
4∙
2
3(1 + 𝑡4)
32 |
𝑡 = 1𝑡 = 0
= 14(2√2 − 1)
= 14(√2 − 1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
BAB III
AKIBAT TEOREMA GREEN PADA BIDANG
Bab III ini peneliti mempelajari akibat teorema Green pada bidang
untuk mencari luas segi-𝑛. Perlu disadari bahwa akibat dari Teorema Green
pada bidang dapat membantu dalam menyelesaikan persoalan integral garis
dengan lebih efisien. Seperti beberapa contoh kasus yang akan ditunjukkan
pada bab ini.
A. Teorema Green Pada Bidang
Teorema Green merupakan teorema yang cukup penting karena teori
ini menyatakan hubungan antara integral garis yang dilakukan sepanjang
kurva tetutup 𝐶 pada bidang dengan integral lipat dua (double integral) atas
suatu daerah yang dibatasi oleh 𝐶. Teorema ini, dengan kata lain, menjelaskan
bahwa permasalahan integral garis dalam menghitung luas daerah yang
dibatasi suatu kurva dapat diselesaikan dengan akibat teorema Green dengan
lebih baik/ efisien. Suatu kurva tertutup sederhana 𝐶 memiliki dua arah yaitu
berlawanan arah dengan arah putarjarum jam/ CCW (counter-clock-wise)
sebagai arah positif, dan searah dengan putaran jarum jam/ CW (clock-wise)
sebagai arah negatif.
Jika 𝑅 ada suatu daerah tertutup dalam bidang 𝑋𝑌 yang dibatasi oleh
kurva tertutup sederhana 𝐶. Misal 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) masing fungsi kontinu
dan mempunyai turunan parsial pertama yang juga kontinu dalam R, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
∮ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦
𝐶
= ∬ (𝜕𝑁
𝜕𝑥−
𝜕𝑀
𝜕𝑦)
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 (3.1)
Kurva tertutup 𝐶 dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum
jam/ counter clockwise). Pembuktian teorema ini dapat dilihat pada Marsden
(1976: 405-407).
B. Kasus-kasus Pengaplikasian Teorema Green dalam Bidang
Bagian ini menunjukkan bahwa akibat teorema Green pada bidang
untuk mengitung luas dapat dilakukan dengan baik, untuk ke dalam beberapa
permasalahan atau kasus. Berikut adalah kasus-kasus pengaplikasian
Teorema Green dalam Bidang.
1. Kasus I
Teorema Green dalam bidang jika 𝐶 adalah sebuah kurva tertutup
yang memiliki sifat bahwa sembarang garis lurus yang sejajar sumbu-
sumbu koordinat memotong 𝑅 paling banyak pada dua buah titik.
Gambar 3. 1 Ilustrasi Kasus I (Elips)
𝑅
𝐹
𝐵
𝐴
𝐸
𝑏 𝑎
𝑒
𝑓
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑦1(𝑥)
𝑦 = 𝑦2(𝑥)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Bukti:
Misalkan persamaan kurva-kurva 𝐴𝐸𝐵 dan 𝐴𝐹𝐵 masing-masing
adalah 𝑦 = 𝑦1(𝑥) dan 𝑦 = 𝑦2(𝑥) seperti pada Gambar 3.1. Jika 𝑅
adalah daerah yang dibatasi oleh 𝐶, maka:
∬𝜕𝑀
𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
= ∫ [ ∫𝜕𝑀
𝜕𝑦𝑑𝑦
𝑦2(𝑥)
𝑦=𝑦1(𝑥)
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑥=𝑎
= ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) |𝑌2(𝑥)
𝑦 = 𝑌1(𝑥)
𝑏
𝑥=𝑎
𝑑𝑥
= ∫ [𝑀(𝑥, 𝑌2) − 𝑀(𝑥, 𝑌1)]𝑑𝑥
𝑏
𝑥=𝑎
= − ∫ 𝑀(𝑥, 𝑌1)𝑑𝑥𝑏
𝑎
− ∫ 𝑀(𝑥, 𝑌2)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= ∮ 𝑀 𝑑𝑥𝐶
Sehingga diperoleh
∮ 𝑀 𝑑𝑥𝐶
= − ∬𝜕𝑀
𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
(1)
Berikutnya, dengan cara yang sama, misalkan persamaan-
persamaan kurva-kurva 𝐸𝐴𝐹 dan 𝐸𝐵𝐹, masing-masing adalah 𝑥 =
𝑋1(𝑦) dan 𝑥 = 𝑋2(𝑦), maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
∬𝜕𝑁
𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
= ∫ [ ∫𝜕𝑁
𝜕𝑥𝑑𝑥
𝑥2(𝑦)
𝑥=𝑥1(𝑦)
] 𝑑𝑦
𝑓
𝑦=𝑒
= ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) |𝑋2(𝑦)
𝑥 = 𝑋1(𝑦)
𝑓
𝑒
𝑑𝑦
= ∫[𝑁(𝑋2, 𝑦) − 𝑁(𝑋1, 𝑦)]𝑑𝑦
𝑓
𝑒
= ∫ 𝑁(𝑋1, 𝑦) 𝑑𝑦𝑓
𝑒
+ ∫ 𝑁(𝑋2, 𝑦) 𝑑𝑦𝑓
𝑒
= ∮ 𝑁 𝑑𝑦𝐶
Sehingga diperoleh:
∮ 𝑁 𝑑𝑦𝐶
= ∬𝜕𝑁
𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑅
(2)
Jumlahkan (1) dan (2) untuk memperoleh:
C R
N MM dx N dy dxdy
y y
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
2. Kasus II
Gambar 3. 2 Daerah yang Dibatasi Oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2
Akan dibuktikan akibat teorema Green pada bidang untuk
2 2
C
xy y dx x dy , dengan 𝐶 adalah kurva tertutup dari daerah yang
dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2, yang berpotongan di titik (0,0) dan
titik (1,1).
Bukti:
Sepanjang 𝑦 = 𝑥2 dari (0,0), sampai (1,1), integral garisnya
yaitu,
∫ ((𝑥)(𝑥2) + 𝑥4)𝑑𝑥 + (𝑥2)(2𝑥)𝑑𝑥1
0
= ∫ (3𝑥3 + 𝑥4)𝑑𝑥1
0
=19
20
Sedangkan sepanjang 𝑦 = 𝑥 dari (1,1), sampai (0,0) integral
garisnya yaitu,
∫ ((𝑥)(𝑥) + 𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥2)𝑑𝑥0
1
= ∫ 3𝑥2𝑑𝑥0
1
= −1
Maka integral lintasannya adalah 19 1
120 20
∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
3. Kasus III
Gambar 3. 3 Daerah D yang dibatasi oleh Kurva C
Sumber: https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Green
diakses pada 12 Desember 2018
Akibat teorema Green pada bidang juga dapat digunakan untuk
menghitung luas suatu daerah dengan konsep integral garis. Jika suatu
daerah 𝐷 pada bidang mempunyai batas 𝐶, dengan kurva 𝐶 sederhana,
tertutup, mulus sepotong-sepotong, seperti Gambar 3.3 maka luas 𝐷
diberikan oleh:
𝐴(𝐷) =1
2∮ 𝑥 𝑑𝑦
𝐶
− 𝑦 𝑑𝑥 (3.2)
Bukti:
Diberikan ( , )2
yM x y dan ( , )
2
xN x y dan terapkan akibat
teorema Green untuk menghitung luas.
∮𝑥
2 𝑑𝑦
𝐶
−𝑦
2 𝑑𝑥 = ∬ (
𝜕
𝜕𝑥(
𝑥
2) −
𝜕
𝜕𝑦(−
𝑦
2)) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
= ∬ (1
2+
1
2) 𝑑𝐴
𝐷
= 𝐴(𝑅) ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB IV
PEMBAHASAN DAN HASIL
Bab ini membahas tentang penggunaan atau pengaplikasian Teorema Green
untuk menghitung pendekatan luas lingkaran. Luas lingkaran akan didekati
menggunakan luas dari lingkaran satuan yakni lingkaran yang berjari-jari 1,
berpusat di titik pangkal (0,0), dan memiliki luas 𝜋. Metode yang digunakan dalam
penelitian ini yaitu studi pustaka dengan membaca buku-buku yang berkaitan
dengan luas daerah dan Teorema Green. Seperti yang telah diulas pada Bab III
bahwa teorema ini dapat diaplikasikan untuk menghitung luas daerah, prinsipnya
dalam Teorema Green mirip dengan integral garis yakni menghitung panjang
lintasan suatu kurva. Sedangkan dalam bidang teorema green menghitung luasan
suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva, dan kurva tersebut masing-masing
lintasannya terbentuk dari dua titik yang saling berdekatan. Penelitian ini
mengambil pendekatan yang dibangun dari segi-𝑛 beraturan dan tidak beraturan
yang dibuat di dalam serta di luar lingkaran satuan. Nilai 𝑛 yang akan digunakan
adalah 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan 1024.
Teorema Green yang ada tidak dapat langsung digunakan begitu saja untuk
menghitung luas daerah segi-𝑛, melainkan perlu dikaji kembali secara analitik
sehingga ditemukan formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas segi-𝑛.
Langkah ini membutuhkan pengetahuan tentang persamaan garis melalui dua titik,
diferensial, integral garis, dan Teorema Green. Luas daerah dalam skripsi ini seperti
yang telah dikatakan di atas, yakni menggunakan luas daerah segi-𝑛 beraturan dan
tidak beraturan. Aplikasi Teorema Green pada bidang dapat digunakan untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
menghitung luas daerah tersebut, karena kurva yang membatasi daerah tersebut
memenuhi syarat-syarat agar teorema ini dapat digunakan. Adapun syarat-
syaratnya yakni suatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup yang sederhana,
mulus sepotong-sepotong, dan tetap mempertahankan luasan berada disebelah kiri
lintasan.
Penelitian ini membutuhkan titik sudut-titik sudut dari segi-𝑛. Kemudian
titik-titik yang saling berdekatan disubstitusikan ke dalam persamaan yang telah
didapat. Melalui proses tersebut akan diperoleh luasan sebelah kiri dari garis yang
terbentuk melalui dua titik yang berdekatan dan arah integrasinya berlawanan arah
jarum jam. Proses ini terus diulang dengan pasangan titik yang lain hingga pasangan
titik (𝑛 − 1, 𝑛), setelah itu luasan pada masing-masing lintasan yang didapat
kemudian dijumlahkan sehingga didapat luas daerah sepanjang lintasan 𝐶 dari segi-
𝑛 beraturan di dalam dan di luar lingkaran satuan. Luas dari segiempat beraturan,
segidelapan beraturan, dst, menjadi data yang akan diamati.
Pada penelitian ini peneliti harus menemukan rumus untuk menghitung segi-
𝑛 di dalam ataupun diluar baik beraturan maupun tidak beraturan
A. Formulasi Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada
Bidang
Pada awal dari pembahasan ini telah dikatakan bahwa persamaan yang
ada tidak dapat serta-merta digunakan untuk menghitung luas daerah yang
dicari. Pembahasan diawali dengan mengkaji beberapa aturan yang akan
digunkaan dalam menjelaskan penggunaan akibat Teorema Green pada
bidang untuk menghitung luasan. Bagian ini merupakan tahapan mengkaji
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
secara analitik akibat Teorema Green pada bidang hingga pada akhirnya
mendapatkan sebuah persamaan yang secara umum dapat digunakan untuk
menghitung luas daerah segi-𝑛 yang dibuat, serta cara yang digunakan untuk
menemukan koordinat dari titik-titik sudut segi-𝑛 yang dibuat.
1. Formulasi pengambilan titik dari segi-𝑛
Penelitian ini menggunakan titik-titik sudut pada segi-𝑛 yang
akan dicari luas daerah yang membayaitu di dalam dan di luar
lingkaran, sehingga terdapat perbedaan dalam formulasi pengambilan
koordinat titik-titiknya. Mengambil koordinat titik pada segi-𝑛 menjadi
bagian penting dalam penelitian ini karena koordinat ini menjadi input
pada persamaan yang digunakan. Langkah ini dilakukan dengan
menggunakan pendefinisian Trigonometri pada koordinat Cartesius
dengan lingkaran satuan dan besar sudut dalam radian. Langkah ini
perlu dilakukan guna menunjukkan dan memastikan bahwa pasangan
titik yang digunakan merupakan titik-titik yang saling berdekatan. Jika
lintasan terbentuk dari titik-titik yang saling berdekatan, maka kurva
yang terbentuk bukan lagi kurva yang tertutup sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 4. 1 Lingkaran Satuan
a. Titik Segi-𝑛 di Dalam Lingkaran Satuan
Lingkaran satuan, dari gambar 4.1, dengan jari-jari 1 satuan
dan berpusat pada titik pangkal (0,0). Dari ∆𝑂𝑃𝑇 dengan siku-
siku di 𝑃, dapat ditemukan 𝑥 dan 𝑦 sebagai berikut:
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 (4.1)
b. Titik Segi-𝑛 di Luar Lingkaran Satuan
Menentukan koordinat titik segi-𝑛 agar berada di luar
lingkaran pada dasarnya menggunakan formula yang sama
dengan menentukan titik-titik sudut pada segi-𝑛 yang dibuat di
dalam lingkaran satuan, namun terdapat perbedaan yakni adanya
variabel pengali, seperti berikut ini:
𝑦 = 𝑟1 × 𝑟 sin 𝜃𝑥 = 𝑟1 × 𝑟 cos 𝜃
} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 (4.2)
𝑦
𝑥 𝑂
𝑟
𝜃
𝑥
𝑦
𝑇
𝑃 1
1
−1
−1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
dengan 𝑟1 adalah panjang 1
2 diagonal segi-𝑛 yang dibuat di luar
lingkaran satuan. Pada penelitian ini menggunakan “𝑟1” sebagai
pengalinya, dan dinyatakan sebgai berikut:
𝑟1 =1
cos (2𝜋2𝑛)
Pengali “𝑟1” diatas didapat dari proses dibawah ini:
Gambar 4. 2 Segiempat di Luar Lingkaran Satuan
Berdasarkan gambar di atas, dapat ditemukan panjang ruas
garis 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ dan 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ maka diperlukan besar sudut 𝐴𝑂𝑂’ atau sudut
𝛼, yakni 2
2n
dengan 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan
1024. Dapat ditemukan panjang ruas garis 𝑂𝐴, yaitu cosr
OA
.
Pada gambar 4.2 mendeskripsikan segiempat beraturan
yang di buat di luar lingkaran satuan, maka panjang ruas garis 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ,
seperti berikut ini:
𝐴
𝐵
𝐶
D
𝑂
𝑂′
𝑟
𝛼
𝑟1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1
cos (2𝜋2𝑛)
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1
cos (2𝜋8 )
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1
cos (𝜋4)
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = √2
Selanjutnya berlaku cara yang serupa dalam menemukan
panjang 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ . Sehingga guna menemukan koordinat dari
titik-titik sudut pada segiempat beraturan yaitu “𝑟1” kali dari
koordinat saat berada di lingkaran satuan.
2. Formulasi Luas Segi-𝑛
Akibat Teorema Green pada bidang serta beberapa aturan yang
digunakan dalam menjelaskan penggunaan akibat Teorema Green pada
bidang untuk mencari luasan akan dikaji. Setelahnya akan ditemukan
formulasi sebuah persamaan yang digunakan untuk menghitung luasan
daerah dari segi-𝑛 yang dibuat.
a. Formulasi Luas Segiempat
Penelitian ini akan diawali dengan menghitung luas
segiempat dengan menggunakan akibat Teorema Green pada
bidang. Teorema ini akan dikaji secara analitik sehingga didapat
sebuah formula yang dapat digunakan untuk mengitung luas
segiempat beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-jari
1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.
Melalui dua buah sebarang titik dapat dibuat suatu garis.
Misalkan titik-titik tersebut adalah (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2). Maka
dari dua titik tersebut dapat dibuat suatu garis lurus dengan
persamaan
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1 (4.3)
Persamaan tersebut dapat juga dinyatakan dalam:
𝑦 = 𝑦1 +𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑦2 − 𝑦1) (4.4)
Diberikan sebarang segiempat beraturan ABCD yang
dibuat di dalam lingkaran satuan seperti Gambar 4.3.
Gambar 4. 3 Segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 di Dalam Lingkaran Satuan
Luas daerah segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 dapat dicari menggunakan
aplikasi Teorema Green untuk menghitung luas daerah pada
bidang dengan menggunakan formula, sebagai berikut:
A
B
C
D
𝑂
S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) =1
2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)
𝑆
(4.5)
Misal diberikan koordinat masing-masing titik yaitu
𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), dan 𝐷(𝑥4, 𝑦4), maka perhitungan
luas dilakukan atas lintasan S yang terdiri dari lintasan-lintasan
yang terbentuk dari A ke B ke C ke D dan kembali ke A.
i. Pada lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Persamaan garis yang terbentuk dari titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan
𝐶(𝑥2, 𝑦2), dari persamaan (4.4) dapat ditemukan diferensial 𝑑𝑦,
seperti di bawah ini:
𝑦 = 𝑦1 +𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑦2 − 𝑦1) (4.4a)
𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥 −
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1
𝑑𝑦 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥 (4.6a)
Langkah berikutnya mengubah persamaan (4.5) ke dalam
variabel 𝑥 serta diferensialnya dalam 𝑑𝑥. Langkah tersebut
dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4a) dan
persamaan (4.6a) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) =1
2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦1 +
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑦2 − 𝑦1)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦1 +
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]
𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
=1
2∮ [− (𝑦1 +
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥 −
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1) 𝑑𝑥
𝑆
+ 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]
=1
2∮ [−𝑦1 −
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥 +
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 + 𝑥 (
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1) ] 𝑑𝑥
𝑆
Sehingga diperoleh:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1
2∫ [
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1 ] 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
Adapun setelah persamaan di atas tersebut diselesaikan secara
analitik, maka:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1
2∫ [
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1 ] 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
=1
2[((
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1) 𝑥 − 𝑦1𝑥) ]
𝑥1
𝑥2
=1
2[(
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥 ]
𝑥1
𝑥2
=1
2[(
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥2 − (
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥1]
=1
2[(
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) (𝑥2 − 𝑥1)]
=1
2[(
𝑥1(𝑦2 − 𝑦1) − 𝑦1(𝑥2 − 𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1) (𝑥2 − 𝑥1)]
=1
2[𝑥1(𝑦2 − 𝑦1) − 𝑦1(𝑥2 − 𝑥1)]
=1
2[𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑦1 − 𝑦1𝑥2 + 𝑦1𝑥1]
=1
2[𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2]
=1
2𝑥1𝑦2 −
1
2𝑦1𝑥2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
ii. Pada lintasan 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
Persamaan garis yang terbentuk dari titik B(𝑥2, 𝑦2), dan
C(𝑥3, 𝑦3), jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan
menggunakan titik 𝐵 dan 𝐶 maka persamaannya akan berubah
menjadi,
22 3 2
3 2
( )x x
y y y yx x
(4.4b)
Kemudian dari persamaan (4.4b) dapat ditemukan
diferensial 𝑑𝑦, seperti di bawah ini:
22 3 2
3 2
( )x x
y y y yx x
(4.4b)
3 22 2
3 2
( )y y
y y x xx x
3 2 3 22 2
3 2 3 2
y y y yy y x x
x x x x
𝑑𝑦 =𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥 (4.6b)
Langkah berikutnya mengubah persamaan (4.5) ke dalam
variabel 𝑥 serta diferensialnya dalam 𝑑𝑥. Langkah tersebut
dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4b) dan
persamaan (4.6b) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1
2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦2 +
𝑥 − 𝑥2
𝑥3 − 𝑥2
(𝑦3 − 𝑦2)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦2 +
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2
(𝑥 − 𝑥2)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]
𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
=1
2∮ [− (𝑦2 +
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥 −
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2) 𝑑𝑥
𝑆
+ 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]
=1
2∮ [−𝑦2 −
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥 +
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 + 𝑥 (
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2) ] 𝑑𝑥
𝑆
Sehingga diperoleh:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2 ] 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2
Adapun setelah persamaan di atas tersebut diselesaikan secara
analitik, maka:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2 ] 𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2
=1
2[((
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2) 𝑥 − 𝑦2𝑥) ]
𝑥2
𝑥3
=1
2[(
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥 ]
𝑥2
𝑥3
=1
2[(
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥3 − (
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥2]
=1
2[(
𝑦3 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) (𝑥3 − 𝑥2)]
=1
2[(
𝑥2(𝑦3 − 𝑦2) − 𝑦2(𝑥3 − 𝑥2)
𝑥3 − 𝑥2) (𝑥3 − 𝑥2)]
=1
2[𝑥2(𝑦3 − 𝑦2) − 𝑦2(𝑥3 − 𝑥2)]
=1
2[𝑥2𝑦3 − 𝑥2𝑦2 − 𝑦2𝑥3 + 𝑦2𝑥2]
=1
2[𝑥2𝑦3 − 𝑦2𝑥3]
=1
2𝑥2𝑦3 −
1
2𝑦2𝑥3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
iii. Pada lintasan 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
Persamaan garis yang terbentuk dari titik 𝐶(𝑥3, 𝑦3), dan
𝐷(𝑥4, 𝑦4) jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan
menggunakan titik 𝐶 dan 𝐷 maka persamaannya akan berubah
menjadi,
𝑦 = 𝑦3 +𝑥 − 𝑥3
𝑥4 − 𝑥3
(𝑦4 − 𝑦3) (4.4c)
Kemudian dari persamaan (4.4c) dapat ditemukan
diferensial 𝑑𝑦, seperti di bawah ini:
𝑦 = 𝑦3 +𝑥 − 𝑥3
𝑥4 − 𝑥3
(𝑦4 − 𝑦3) (4.4c)
𝑦 = 𝑦3 +𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3
(𝑥 − 𝑥3)
𝑦 = 𝑦3 +𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥 −
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3
𝑑𝑦 =𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥 (4.6b)
Langkah berikutnya mengubah persamaan (4.5) ke dalam
variabel 𝑥 serta diferensialnya dalam 𝑑𝑥. Langkah tersebut
dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4c) dan
persamaan (4.6b) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1
2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦3 +
𝑥 − 𝑥2
𝑥4 − 𝑥3(𝑦4 − 𝑦3)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦3 +
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3(𝑥 − 𝑥3)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]
𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
=1
2∮ [− (𝑦3 +
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥 −
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3) 𝑑𝑥
𝑆
+ 𝑥 (𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]
=1
2∮ [−𝑦3 −
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥 +
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 + 𝑥 (
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3) ] 𝑑𝑥
𝑆
Sehingga diperoleh:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3 ] 𝑑𝑥
𝑥4
𝑥3
Adapun setelah persamaan di atas tersebut diselesaikan secara
analitik, maka:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3] 𝑑𝑥
𝑥4
𝑥3
=1
2[((
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3) 𝑥 − 𝑦3𝑥) ]
𝑥3
𝑥4
=1
2[(
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥 ]
𝑥3
𝑥4
=1
2[(
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥4 − (
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥3]
=1
2[(
𝑦4 − 𝑦3
𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) (𝑥4 − 𝑥3)]
=1
2[(
𝑥3(𝑦4 − 𝑦3) − 𝑦3(𝑥4 − 𝑥3)
𝑥4 − 𝑥3) (𝑥4 − 𝑥3)]
=1
2[𝑥3(𝑦4 − 𝑦3) − 𝑦3(𝑥4 − 𝑥3)]
=1
2[𝑥3𝑦4 − 𝑥3𝑦3 − 𝑦3𝑥4 + 𝑦3𝑥3]
=1
2[𝑥3𝑦4 − 𝑦3𝑥4]
=1
2𝑥3𝑦4 −
1
2𝑦3𝑥4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
iv. Pada lintasan 𝐷𝐴̅̅ ̅̅
Persamaan garis yang terbentuk dari titik dan 𝐷(𝑥4, 𝑦4) dan
𝐴(𝑥1, 𝑦1), jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan
menggunakan titik 𝐷 dan 𝐴 maka persamaannya akan berubah
menjadi,
𝑦 = 𝑦4 +𝑥 − 𝑥4
𝑥1 − 𝑥4
(𝑦1 − 𝑦4) (4.4d)
Kemudian dari persamaan (4.4d) dapat ditemukan
diferensial 𝑑𝑦, seperti di bawah ini:
𝑦 = 𝑦4 +𝑥 − 𝑥4
𝑥1 − 𝑥4
(𝑦1 − 𝑦4) (4.4d)
𝑦 = 𝑦4 +𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4(𝑥 − 𝑥4)
𝑦 = 𝑦4 +𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥 −
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4
𝑑𝑦 =𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥 (4.6c)
Langkah berikutnya mengubah persamaan (4.5) ke dalam
variabel 𝑥 serta diferensialnya dalam 𝑑𝑥. Langkah tersebut
dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4d) dan
persamaan (4.6c) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1
2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦4 +
𝑥 − 𝑥4
𝑥1 − 𝑥4(𝑦1 − 𝑦4)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥)]
𝑆
=1
2∮ [− (𝑦4 +
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4(𝑥 − 𝑥4)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (
𝑦4 − 𝑦3
𝑥1 − 𝑥2𝑑𝑥)]
𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
=1
2∮ [− (𝑦4 +
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥 −
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4) 𝑑𝑥
𝑆
+ 𝑥 (𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥)]
=1
2∮ [−𝑦4 −
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥 +
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 + 𝑥 (
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4) ] 𝑑𝑥
𝑆
Sehingga diperoleh:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4 ] 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥4
Adapun setelah persamaan di atas tersebut diselesaikan secara
analitik, maka:
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1
2∫ [
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4 ] 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥4
=1
2[((
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4) 𝑥 − 𝑦4𝑥) ]
𝑥4
𝑥1
=1
2[(
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥 ]
𝑥4
𝑥1
=1
2[(
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥1 − (
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥4]
=1
2[(
𝑦1 − 𝑦4
𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) (𝑥1 − 𝑥4)]
=1
2[(
𝑥4(𝑦1 − 𝑦4) − 𝑦4(𝑥1 − 𝑥4)
𝑥1 − 𝑥4) (𝑥1 − 𝑥4)]
=1
2[𝑥4(𝑦1 − 𝑦4) − 𝑦4(𝑥1 − 𝑥4)]
=1
2[𝑥4𝑦1 − 𝑥4𝑦4 − 𝑦4𝑥1 + 𝑦4𝑥4]
=1
2[𝑥4𝑦1 − 𝑦4𝑥1]
=1
2𝑥4𝑦1 −
1
2𝑦4𝑥1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Luas segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 yaitu luas yang dihitung sepanjang
lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ .
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = (1
2𝑥1𝑦2 −
1
2𝑦1𝑥2) + (
1
2𝑥2𝑦3 −
1
2𝑦2𝑥3)
+ (1
2𝑥3𝑦4 −
1
2𝑦3𝑥4) + (
1
2𝑥4𝑦1 −
1
2𝑦4𝑥1)
Keterangan:
𝐸1: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸2: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐸3: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐸4: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ ∎
b. Formulasi Luas Segidelapan
Penelitian ini dilanjutkan dengan menghitung luas
segidelapan dengan menggunakan akibat Teorema Green pada
bidang. Melalui proses yang serupa dalam menemukan formula
menghitung luas pada segiempat di atas, akan ditemukan sebuah
formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas
segidelapan beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam
dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-
jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Gambar 4. 4 Segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻
Diberikan segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 seperti pada gambar
4.4. Misalkan koordinat masing-masing titik yaitu 𝐴(𝑥1, 𝑦1),
𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), 𝐷(𝑥4, 𝑦4), 𝐸(𝑥5, 𝑦5), 𝐹(𝑥6, 𝑦6), 𝐺(𝑥7, 𝑦7),
dan 𝐻(𝑥8, 𝑦8), maka luas segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 yaitu luas
yang dihitung sepanjang lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ ,
dan 𝐻𝐴̅̅ ̅̅ . Luas daerah segidelapan berdasarkan akibat Teorema
Green pada bidang yang telah dikaji pada segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷,
didapat formula menghitung luas segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)
= (1
2𝑥1𝑦2 −
1
2𝑦1𝑥2) + (
1
2𝑥2𝑦3 −
1
2𝑦2𝑥3)
+ (1
2𝑥3𝑦4 −
1
2𝑦3𝑥4) + (
1
2𝑥4𝑦5 −
1
2𝑦4𝑥5)
+ (1
2𝑥5𝑦6 −
1
2𝑦5𝑥6) + (
1
2𝑥6𝑦7 −
1
2𝑦6𝑥7)
+ (1
2𝑥7𝑦8 −
1
2𝑦7𝑥8) + (
1
2𝑥8𝑦1 −
1
2𝑦8𝑥1) ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
c. Formulasi Luas Segienambelas
Penelitian ini dilanjutkan dengan menghitung luas
segienambelas dengan menggunakan akibat Teorema Green pada
bidang. Melalui proses yang serupa dalam menemukan formula
menghitung luas pada segiempat di atas, akan ditemukan sebuah
formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas
segienambelas beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam
dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-
jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.
Gambar 4. 5 Segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃
Diberikan segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 seperti
pada gambar 4.5. Misalkan koordinat masing-masing titik yaitu
𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), 𝐷(𝑥4, 𝑦4), 𝐸(𝑥5, 𝑦5), 𝐹(𝑥6, 𝑦6),
𝐺(𝑥7, 𝑦7), 𝐻(𝑥8, 𝑦8), 𝐼(𝑥9, 𝑦9), 𝐽(𝑥10, 𝑦10), 𝐾(𝑥11, 𝑦11),
𝐿(𝑥12, 𝑦12), 𝑀(𝑥13, 𝑦13), 𝑁(𝑥14, 𝑦14), 𝑂(𝑥15, 𝑦15), dan
𝑃(𝑥16, 𝑦16), maka luas segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃
A
B
C
D E
F
G
H
I
J
K L
M N
O
P
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
yaitu luas yang dihitung sepanjang lintasan
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐼�̅�, 𝐽𝐾̅̅ ̅, 𝐾𝐿̅̅ ̅̅ , 𝐿𝑀̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅, 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , dan
𝑃𝐴̅̅ ̅̅ . Luas daerah segienambelas berdasarkan akibat Teorema
Green pada bidang yang telah dikaji pada segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷,
didapat formula menghitung luas segienambelas
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃.
𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃)
= (1
2𝑥1𝑦2 −
1
2𝑦1𝑥2) + (
1
2𝑥2𝑦3 −
1
2𝑦2𝑥3)
+ (1
2𝑥3𝑦4 −
1
2𝑦3𝑥4) + (
1
2𝑥4𝑦5 −
1
2𝑦4𝑥5)
+ (1
2𝑥5𝑦6 −
1
2𝑦5𝑥6) + (
1
2𝑥6𝑦7 −
1
2𝑦6𝑥7)
+ (1
2𝑥7𝑦8 −
1
2𝑦7𝑥8) + (
1
2𝑥8𝑦9 −
1
2𝑦8𝑥9)
+ (1
2𝑥9𝑦10 −
1
2𝑦9𝑥10) + (
1
2𝑥10𝑦11 −
1
2𝑦10𝑥11)
+ (1
2𝑥11𝑦12 −
1
2𝑦11𝑥12) + (
1
2𝑥12𝑦13 −
1
2𝑦12𝑥13)
+ (1
2𝑥13𝑦14 −
1
2𝑦13𝑥14) + (
1
2𝑥14𝑦15 −
1
2𝑦14𝑥15)
+ (1
2𝑥15𝑦16 −
1
2𝑦15𝑥16) + (
1
2𝑥16𝑦1 −
1
2𝑦16𝑥1)
=1
2(∑(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1) + (𝑥16𝑦1 − 𝑦16𝑥1)
15
𝑖=1
) ∎
d. Formulasi Luas Segi-n
Penelitian ini akan menghitung luas segi-𝑛 dengan
menggunakan akibat Teorema Green pada bidang. Melalui proses
yang serupa dalam menemukan formula menghitung luas pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
segiempat, segidelapan, dan segienambelas di atas, akan
ditemukan sebuah formula yang dapat digunakan untuk
menghitung luas segi-𝑛 beraturan dan tidak beraturan yang dibuat
didalam dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat
𝑂(0,0), berjari-jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋. Luas
segi-𝑛 yang akan dihitung dengan nilai 𝑛 =4, 8, 16, 32, 64, 128,
256, 512, dan 1024, dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑛 = ∑1
2(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1)
𝑛−1
𝑖=1
+1
2(𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦𝑛𝑥1), (4.7)
𝑛 ∈ ℕ
B. Menghitung Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada
Bidang dengan Menggunakan MATLAB
Penelitian ini diawali dengan membentuk suatu formula untuk
memunculkan koordinat titik segi-𝑛 dengan persamaan (4.1) untuk
menentukan titik-titik sudut segi-𝑛 yang dibuat di dalam lingkaran satuan,
kemudian untuk menentukan titik-titik sudut segi-𝑛 yang di buat di luar
lingkaran satuan menggunakan persamaan (4.2), serta formula untuk
menghitung luas segi-𝑛 yang telah diolah yakni persamaan (4.7). Langkah
selanjutnya ialah menyatakan beberapa formula tersebut ke dalam software
MATLAB. Adapun formula-formula yang telah diubah agar dapat diproses
oleh MATLAB yang akan dilampirkan pada bagian lampiran skripsi ini.
Setelah penyusunan program selesai dan dijalankan, tampilan pada
Command Window akan menjadi, sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Kemudian, pada bagian “Masukkan banyaknya Segi” dapat diisi
dengan banyaknya segi yang diinginkan, sebagai contoh peneliti mengambil
segiempat, segidelapan. Kemudian setelah dieksekusi (run), program akan
menghitung luas daerah sepanjang lintasan dari segiempat beraturan dan tak
beraturan tersebut dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang
untuk menghitung luas daerah yang telah dikaji sebelumnya yakni persamaan
(4.7).
1. Menghitung Luas Segi-𝑛
Berikut akan ditunjukkan proses perhitungan luas daerah segi-𝑛
beraturan di dalam lingkaran satuan, di luar lingkaran satuan, dan luas daerah
segi-𝑛 tak beraturan di dalam maupun di luar lingkaran satuan.
a. Luas Segiempat
Berikut ini akan menghitung luas segiempat beraturan yang dibuat
di dalam, di luar lingkaran satuan, dan segiempat tak beraturan yang
dibuat di dalam lingkaran satuan.
Selamat Datang di Program Saya ^_^
----------------------------------
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
*********************************
Masukkan banyaknya Segi: ….
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
i. Luas segiempat beraturan di luar lingkaran satuan
Gambar 4. 6 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna hijau di
luar lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.6 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);
rr = 1/cos(2*pi/(2*m));
r = ones (1,(n+1));
polar(theta,rr*r,'g');
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.2
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
Tabel 4.1 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar
Lingkaran Satuan. Titik ke- Koordinat Titik
1 (1.4142,0)
2 (0, 1.4142)
𝑹
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Titik ke- Koordinat Titik
3 (−1.4142,0)
4 (0, −1.4142)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau counter clockwise/ CCW.
Berdasarkan pada Tabel 4.1 pemasangan titik-titiknya yaitu, titik
pertama ke titik kedua, titik kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke
titik keempat, dan titik keempat kembali ke titik pertama. Berikut
lintasan yang digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
Tabel 4.2 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran
Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik
1 (1.4142,0)(0, 1.4142)
2 (0, 1.4142)( −1.4142,0)
3 (−1.4142,0)(0, −1.4142)
4 (0, −1.4142)( 1.4142,0)
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel 4.1
dan Tabel 4.2, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.3 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
1 (1.4142,0)(0, 1.4142) 1
2 (0, 1.4142)( −1.4142,0) 1
3 (−1.4142,0)(0, −1.4142) 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
4 (0, −1.4142)( 1.4142,0) 1
Luas total 4
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat beraturan di luar lingkaran satuan dengan
menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas 4
satuan luas.
ii. Luas segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan
Gambar 4. 7 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna biru di
luar lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.7 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);
r = ones (1,(n+1));
polar(theta,r,'b');
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.1
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
Tabel 4.4 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Titik ke- Koordinat Titik
1 (1,0)
2 (0,1)
3 (−1,0)
4 (0, −1)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.4
pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik
kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik
keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang
digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
Tabel 4.5 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik
1 (1,0)(0,1)
2 (0,1)(−1,0)
3 (−1,0)(0, −1)
4 (0, −1)(1,0)
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel 4.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
dan Tabel 4.5, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.6 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
1 (1,0)(0,1) 0.5
2 (0,1)(−1,0) 0.5
3 (−1,0)(0, −1) 0.5
4 (0, −1)(1,0) 0.5
Luas total 2
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan dengan
menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas 2
satuan luas.
iii. Luas segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan
Gambar 4. 8 Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna merah di
dalam lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.8 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
r = ones (1,(n+1)); random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)], polar(baru,r,'r')
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.1
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
Tabel 4.7 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Titik ke- Koordinat Titik
1 (0.1638, 0.9864)
2 (−0.5378, 0.8430)
3 (−0.8598, −0.5104)
4 (0.9681, −0.2502)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.7
pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik
kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik
keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang
digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Tabel 4.8 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Lintasan
ke- Pasangan Titik
1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430)
2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104)
3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502)
4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864)
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel 4.7
dan Tabel 4.8, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.9 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran
Satuan Lintasan
ke- Pasangan Titik Luas
1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430) 0.334348
2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104) 0.499741
3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502) 0.354715
4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864) 0.498047
Luas total 1.686853
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan
dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang
memiliki luas 1.686853 satuan luas.
b. Luas Segidelapan
Berikut ini akan menghitung luas segidelapan beraturan yang
dibuat di dalam, di luar lingkaran satuan, dan segidelapan tak beraturan
yang dibuat di dalam lingkaran satuan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
i. Luas segidelapan beraturan di luar lingkaran satuan
Gambar 4. 9 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran
Satuan
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna hijau di
luar lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.9 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);
rr = 1/cos(2*pi/(2*m));
r = ones (1,(n+1));
polar(theta,rr*r,'g');
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.2
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Tabel 4.10 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar
Lingkaran Satuan. Titik ke- Koordinat Titik
1 (1.0823, 0)
2 (0.7653, 0.7653)
3 (0, 1.0823)
4 (−0.7653, 0.7653)
5 (−1.0823, 0)
6 (−0.7653, −0.7653)
7 (0, −1.0823)
8 (0.7653, −0.7653)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.10
pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik
kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik
keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang
digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
Tabel 4.11 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar
Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik
1 (1.0823, 0)(0.7653, 0.7653)
2 (0.7653, 0.7653)( 0, 1.0823))
3 (0, 1.0823))(−0.7653, 0.7653)
4 (−0.7653, 0.7653)( −1.0823, 0)
5 (−1.0823, 0)( −0.7653, −0.7653)
6 (−0.7653, −0.7653)( 0, −1.0823)
7 (0, −1.0823)( 0.7653, −0.7653)
8 (0.7653, −0.7653)( 1.0823, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel
4.10 dan Tabel 4.11, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.12 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
1 (1.0823, 0)(0.7653, 0.7653) 0.414213
2 (0.7653, 0.7653)( 0, 1.0823)) 0.414213
3 (0, 1.0823))(−0.7653, 0.7653) 0.414213
4 (−0.7653, 0.7653)( −1.0823, 0) 0.414213
5 (−1.0823, 0)( −0.7653, −0.7653) 0.414213
6 (−0.7653, −0.7653)( 0, −1.0823) 0.414213
7 (0, −1.0823)( 0.7653, −0.7653) 0.414213
8 (0.7653, −0.7653)( 1.0823, 0) 0.414213
Luas total 3.313708
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat beraturan di luar lingkaran satuan dengan
menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas
3.313708 satuan luas.
ii. Luas segidelapan beraturan di dalam lingkaran satuan
Gambar 4. 10 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna biru di
luar lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.10 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);
r = ones (1,(n+1));
polar(theta,r,'b');
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.1
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
Tabel 4.13 Koordinat Titik Segidelapan Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan.
Titik ke- Koordinat Titik
1 (1, 0)
2 ( 0.7071, 0.7071)
3 (0.4142, 1)
4 (−0.7071, 0.7071)
5 (−1, 0)
6 (−0.7071, −0.7071)
7 (0, −1)
8 (0.7071, −0.7071)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik
kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik
keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang
digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
Tabel 4.14 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
1 (1, 0)( 0.7071, 0.7071) 0.353553
2 ( 0.7071, 0.7071)( 0.4142, 1) 0.353553
3 (0.4142, 1)(−0.7071, 0.7071) 0.353553
4 (−0.7071, 0.7071)( −1, 0) 0.353553
5 (−1, 0)( −0.7071, −0.7071) 0.353553
6 (−0.7071, −0.7071)( 0, −1) 0.353553
7 (0, −1)( 0.7071, −0.7071) 0.353553
8 (0.7071, −0.7071)( 1, 0) 0.353553
Luas total 2.828427
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel
4.13 dan Tabel 4.14, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.15 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran
Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
1 (1, 0)( 0.7071, 0.7071) 0.353553
2 ( 0.7071, 0.7071)( 0.4142, 1) 0.353553
3 (0.4142, 1)(−0.7071, 0.7071) 0.353553
4 (−0.7071, 0.7071)( −1, 0) 0.353553
5 (−1, 0)( −0.7071, −0.7071) 0.353553
6 (−0.7071, −0.7071)( 0, −1) 0.353553
7 (0, −1)( 0.7071, −0.7071) 0.353553
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Lintasan ke- Pasangan Titik Luas
8 (0.7071, −0.7071)( 1, 0) 0.353553
Luas total 2.828427
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan dengan
menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas
2.828427 satuan luas.
iv. Luas segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan
Gambar 4. 11 Segidelapan Tak Beraturan di Dalam Lingkaran
Satuan
Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna merah di
dalam lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.11 merupakan luas
daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang
diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan
segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah
pada program seperti berikut ini:
r = ones (1,(n+1)); random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n);
𝑅
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)], polar(baru,r,'r')
Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik
sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.1
yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang
didapat:
Tabel 4.16 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan.
Titik ke- Koordinat Titik
1 ( 0.9972, 0.0747)
2 ( 0.6849, 0.7285)
3 (−0.5204, 0.8538)
4 (−0.9815, 0.1911)
5 (−0.9813, −0.1923)
6 (−0.9079, −0.4190)
7 (0.1822, −0.9832)
8 (0.9152, −0.4028)
Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui
lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah
integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada
disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.7
pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik
kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik
keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang
digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Tabel 4.17 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam
Lingkaran Satuan. Lintasan
ke- Pasangan Titik
1 (0.9972, 0.0747) ( 0.6849, 0.7285)
2 (0.6849, 0.7285) (−0.5204, 0.8538)
3 (−0.5204, 0.8538) (−0.9815, 0.1911)
4 (−0.9815, 0.1911) (−0.9813, −0.1923)
5 (−0.9813, −0.1923) (−0.9079, −0.4190)
6 (−0.9079, −0.4190) (0.1822, −0.9832)
7 (0.1822, −0.9832) (0.9152, −0.4028)
8 (0.9152, −0.4028) (0.9972, 0.0747 )
Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7
yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel
4.16 dan Tabel 4.17, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai
berikut:
Tabel 4.18 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran
Satuan Lintasan
ke- Pasangan Titik Luas
1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430) 0.337675
2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104) 0.482042
3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502) 0.369324
4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864) 0.188164
5 (−0.9813, −0.1923) ( 0.6849, 0.7285) 0.118329
6 ( 0.6849, 0.7285) (−0.5204, 0.8538) 0.484558
7 (−0.5204, 0.8538)(−0.9815, 0.1911) 0.413263
8 (−0.9815, 0.1911)(−0.9813, −0.1923) 0.235050
Luas total 2.628411
Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang
dibatasi segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang
memiliki luas 2.628411 satuan luas.
c. Luas Segi-𝑛 tak Beraturan di Luar Lingkaran Satuan
Penelitian skripsi ini menggunakan aplikasi akibat teorema Green
pada bidang untuk menghitung luas daerah yakni luas segi-𝑛 beraturan
yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan, serta luas segi-𝑛 tak
beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan. Pada
penelitian ini untuk menghitung luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat
di luar lingkaran satuan peneliti mengalami kendala dalam proses
pembuatan atau penyusunan program yang mampu menampilkan
visualisasinya.
Pada dasarnya untuk menghitung luas daerah segi-𝑛 tak beraturan
yang dibuat di luar lingkaran satuan, juga berlaku akibat teorema Green
pada bidang yang telah dikaji sebelumnya yakni persamaan (4.7)
asalkan diketahui koordinat masing-masin titik sudut pada segi-𝑛 tak
beraturan yang dibuat. Aturan-aturan lainnya pun juga tak dapat
diabaikan agar akibat teorema Green dapat menghitung luas daerah
segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di lingkaran satuan dengan baik yaitu,
lintasan yang dibentuk dari dua titik yang terdekat, tetap
mempertahankan luas daerah berada di seblah kiri kurva, kemudian
kurva merupakan kurave tetutup dan sederhana.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
2. Resume Luas Segi-𝑛 dan Analisis Hasil Perhitungan
Penelitian skripsi ini akan menghitung luas daerah segi-𝑛 beraturan
yang dibuat di luar dan dalam lingkaran satuan dan segi-𝑛 tak beraturan yang
dibuat di dalam lingkaran satuan. Sebelumnya telah dihitung luas segiempat
dan segidelapan menggunakan akibat teorema Green pada bidang untuk
menghitung luas. Langkah berikutnya akan di hitung luas daerah segi-𝑛
dengan proses yang serupa dalam menghitung luas segiempat dan
segidelapan beraturan dan tak beraturan dapat dilakukan untuk menghitung
luas segi-𝑛. Berikut ini akan ditunjukkan hasil perhitungan luas segi-𝑛 dengan
nilai 𝑛 atau jumlah sisi pada segi-𝑛 yang terus bertambah. Sehingga,
diperolehlah luasan dari masing-masing segi-𝑛 beraturan di dalam dan di luar
lingkaran satuan dan segi-𝑛 tak beraturan di dalam lingkaran satuan, sebagai
berikut:
Tabel 4.19 Resume Luas Segi-𝑛
Segi-𝑛 Beraturan Tak Beraturan
Luar Dalam Dalam
4 4 2 1.686853
8 3.313708 2.828427 2.628411
16 3.182598 3.061467 2.779228
32 3.151725 3.121445 3.042149
64 3.144118 3.136548 3.109551
128 3.142224 3.140331 3.133733
256 3.141750 3.141277 3.140062
512 3.141632 3.141514 3.141161
1024 3.141603 3.141573 3.141489
Dapat dilihat, pada Tabel 4.19, bahwa benar apa yang dikatakan Purcell
(2007) sebagai awalan dalam membelajarkan konsep limit dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
menggunakan luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat di lingkaran satuan. Pada
penelitian ini juga mengembangkan apa yang disampaikan Purcell dengan
menghitung luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan.
Apabila semakin besar atau semakin banyak 𝑛 pada segi-𝑛 beraturan
konvergen ke suatu nilai yakni luas lingkaran satuan yang berpusat di titik
pusat (0,0),berjari-jari 1, sehingga luas lingkaran satuan satuan adalah 𝜋 atau
dapat ditulis nilai 𝜋 ≈ 3.141593 satuan luas.
Berdasarkan Tabel 4.19 dapat dilihat luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat
di luar lingkaran satuan semakin besar nilai 𝑛 atau semakin banyak sisi pada
segi-𝑛 luas nya semakin mengecil mendekati luas lingkaran satuan. Dapat
dilihat luas segiempat beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan adalah 4
satuan luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16 memiliki luas masing-masing
3.313708 satuan luas dan 3.182598 satuan luas terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛
beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan saat nilai 𝑛 membesar luasnya mulai
mengecil. Pada akhirnya luas daerah segi-𝑛 tersebut dengan nilai 𝑛 = 1024 memiliki
luas daerah sebesar 3.141603 satuan luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛
beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan akan terus mengecil mendekati nilai
luas lingkaran satuan yaitu 𝜋 ≈ 3.141593.
Selanjutnya untuk luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat di dalam lingkaran
satuan, berdasarkan Tabel 4.19 dapat dilihat luas segi-𝑛 tersebut ketika
semakin besar nilai 𝑛 atau semakin banyak sisi pada segi-𝑛 luasannya
semakin membesar mendekati luas lingkaran satuan. Dapat dilihat luas
segiempat beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan adalah 2 satuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16 memiliki luas masing-masing 2.828427
satuan luas dan 3.061467. Berikutnya terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛 beraturan
yang dibuat di dalam lingkaran satuan saat nilai 𝑛 terus membesar luasnya mulai
membesar. Pada akhirnya luas daerah segi-𝑛 tersebut hingga nilai 𝑛 = 1024 memiliki
luas daerah sebesar 3.141573 satuan luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛
beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan akan terus membesar mendekati nilai
luas lingkaran satuan yaitu 𝜋 ≈ 3.141593.
Akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas yang telah
dilakukan pada segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan
dengan nilai 𝑛 atau banyak sisi pada segi-𝑛 yang terus bertambah. Pada Tabel
4.19 dapat dilihat bahwa luas daerahnya semakin membesar mendekati luas
lingkaran satuan. Luas segiempat tak beraturan yang dibuat di dalam
lingkaran satuan adalah 1.686853 satuan luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16
memiliki luas masing-masing 2.628411 satuan luas dan 2.779228 satuan luas,
terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan
saat nilai 𝑛 membesar luasnya juga semakin membesar. Pada akhirnya luas daerah
segi-𝑛 tersebut hingga nilai 𝑛 = 1024 memiliki luas daerah sebesar 3.141489 satuan
luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam
lingkaran satuan akan terus membesar mendekati nilai luas lingkaran satuan yaitu
𝜋 ≈ 3.141593.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Teorema Green merupakan teorema yang cukup penting karena teori
ini menyatakan hubungan antara integral garis yang dilakukan sepanjang
kurva tetutup 𝐶 pada bidang dengan integral lipat dua (double integral) atas
suatu daerah yang dibatasi oleh 𝐶. Penelitian ini diaplikasikan pada
menghitung luas daerah yang dibatai oleh segi-𝑛. Segi-𝑛 adalah bangun datar
yang dibatasi oleh 𝑛 sisi garis lurus. Menghitung luas segi-𝑛 menggunakan
persamaan yang didapat, kemudian perhitungan dalam penelitian ini dengan
menggunakan aplikasi matematika MATLAB. Program ini dapat digunakkan
sebagai pengantar membelajarkan konsep limit, khususnya luas lingkaran
satuan yang dapat didekati oleh luas segi-𝑛 tak hingga beraturan. Berdasarkan
hasil yang diperoleh dari pembahsan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa:
1. Akibat Teorema Green dalam bidang dapat digunakan untuk mencari
luas segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar maupun di
dalam lingkaran satuan dengan baik. Penggunaan akibat teorema Green
dalam bidang untuk menghitung luas daerah yakni, apabila kurva 𝐶
tertutup sederhana, dan mulus sepotong-sepotong dengan persamaan:
𝐴(𝑅) = ∮ 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥𝑅
Kemudian persamaan tersebut dikaji secara analitik dengan
mensubstitusikan persamaan garis melalui dua titik dan diferensialnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Sehingga didapat persamaan yang akan digunakan untuk menghitung
luas daerah yang dibatasi segi-𝑛 beraturan, yang diyantakan dalam:
𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑛 = ∑1
2(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1)
𝑛−1
𝑖=1
+1
2(𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦𝑛𝑥1), 𝑛 ∈ ℕ
2. Syarat yang harus dipenuhi agar perhitungan mendapatkan hasil yang
benar, kurva harus tertutup sederana, mulus, dan arah integrasinya
mempertahankan agar luasan tetap berada di sebelah kiri kurva.
3. Persamaan yang ada perlu diubah ke dalam Bahasa pemograman
MATLAB agar dapat berjalan dengan baik, persamaan yang diubah ke
dalam bahasa pemogram yaitu persamaan menghitung luas segi-𝑛 dan
kemudian persamaan untuk menemukan titik-titik sudut pada segi-𝑛
beraturan.
4. Membantu dalam menghitung luas dengan diketahui titik-titiknya saja,
dan lintasan dibentuk dari dua titik yang saling berdekatan dan arah
lintasan berlawan dengan arah perputaran jarum jam (counter
clockwise/ CCW).
5. Luas daerah yang dibatasi oleh segi-𝑛 beraturan baik di luar maupun di
dalam lingkran satuan, saat nilai 𝑛 bertambah, sudut pada segi-𝑛
semakin membesar untuk segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam
lingkaran satuan, sehingga semakin besar nilai 𝑛 bentuk segi-𝑛 semakin
menyerupai lingkaran dan luasnya juga mendekati luas daerah
lingkaran satuan yakni:
𝐿 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 = 𝜋 ⋅ 12 = 𝜋 ≈ 3,14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
B. Saran
Penelitian ini tak luput dari beberapa hambatan yang ditemui oleh
peniliti dalam proses penelitian. Maka dari itu, saran yang dapat diberikan
peniliti untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan aplikasi dari
akibat teorema Green pada bidang adalah:
1. Penelitian ini menggunakan akibat teorema Green pada bidang yang
dibuat pada lingkaran satuan. Selanjutnya dapat digunakan untuk
mengitung luas suatu daerah atau pulau.
2. Penelitian ini masih mempunyai beberapa kekurangan, salah satunya
pada penyusunan program di MATLAB. Peneliti masih belum mampu
membuat program untuk memvisualisaikan segi-𝑛 tak beraturan yang
dibuat di luar lingkaran satuan, kemudian pada tampilan GUI yang
sudah dibuat peneliti belum memunculkan titik-titik pada segi-𝑛 karena
kurangnya informasi dan pengalaman dalam mengoperasikan
MATLAB.
3. Program yang telah dibuat dapat digunakan untuk membantu guru
dalam proses pembelajaran guna memberikan gambaran terkait
pemahaman konsep limit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
DAFTAR PUSTAKA
Bronshtein, I. N., Semendyayev, K. A. (1998). Handbook Of Mathematics.
Springer: New York.
Fenn, Roger. (2000). Geometry. Springer: London.
Hadiwidjojo, Muharti. (1973). Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian I. Yayasan
Pembina FKIE – IKIP: Yogyakarta.
Jerri, Abdul J. (1999). Introduction To Integral Equations With Applications
Second Edition. Jhon Wiley & Sons, Inc: New York.
Marsden & Tromba. (1976). Vector Calculus Second Edition. W. H. Freeman And
Company: San Fransisco.
Smith, Rolland R. & Ulrich, James F. (1956). Plane Geometry. Harcourt, Brace &
World, Inc: New York.
Stewart, James. (1999). Calculus Fourht Edition. Brooks/Cole Publishing: USA.
Stewart, James., Terj. Oleh Susila, I Nyoman (2003). Kalkulus Edisi Keempat.
Erlangga: Jakarta.
Suarsana, I Made. (2014). Geometri Analitik. Graha Ilmu: Yogyakarta.
Sundstrom, Ted., Schlicker, Steven. Trigonometry. Grand Valley State Universty:
California.
Utomo, Beni. (2018). Implementasi Teorema Green Pada Bidang Untuk
Menghitung Luas Daerah Dengan Ms. Excel. Universitas Sanata
Dharma: Yogyakarta.
Varberg, D., Purcell, E. (1987). Calkulus and Analytical Geometry. Prentice-Hall,
Inc, Upper Saddle: New Jersey.
Varberg, D., Purcell, E., dan Rigdon, S. (2007). Calculus: Ninth Edition. Prentice-
Hall, Inc, Upper Saddle: New Jersey.
Wernick, William. (1968). Analitic Geometry. Silver Burdett Company: USA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
www.geogebra.org/graphinghttp://we15hang.blogspot.com/2012/02/MATLAB-
gui-inserting-background-image.html (diakses pada 29 November
2018)
www.youtube.com/watch?v=Q_19XxHIVGU (diakses pada 29 November 2018)
Zen, Fathurin. (2012). Trigonometry. ALFABETA: Bandung.
Zill, Dennis G., Jacqueline M. Dewar. Trigonometry.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
A. LIST PROGRAM MATLAB
%program menunjukkan lingkaran dan segi_n %dan melakukan perhitunga luas %input : segi_n yang diinginkan %output : luas segi_n di dalam dan di luar lingkaran
clc;clear;close all; disp('Selamat Datang di Program') disp('Menghitung Luas Segi-n') disp('**********************************') XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari fprintf('Masukkan banyaknya Segi : '); m = input(''); %banyaknya segi yang diinginkan n = m; %banyaknya segi yang diinginkan
luas_lingkaran = pi*R^2; disp(['Luas Lingkaran = ' num2str(luas_lingkaran,'%7.6f')]); %bagian untuk buat lingkaran teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);
%bagian untuk membuat segi-n di luar lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi) rr = 1/cos(2*pi/(2*m)); r = ones (1,(n+1)); figure(1) polar(theta,rr*r,'g');
%hitung luas segi_n luar lingkaran luas_total_luar = 0; for index = 1:n x_luasluar = rr*R*cos (theta); y_luasluar = rr*R*sin (theta); luas_garisluar =
((x_luasluar(index)*y_luasluar(index+1))/2)-
((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2) luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' luar lingkaran = '
num2str(luas_total_luar,'%7.6f')]);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
%bagian untuk membuat segi-n di dalam lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); r = ones (1,(n+1)); figure(2) plot(x,y,'k'); hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(theta,r,'b');
%hitung luas segi_n dalam lingkaran luas_total_dalam = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (theta); y_luasdalam = R*sin (theta); luas_garisdalam =
((x_luasdalam(index)*y_luasdalam(index+1))/2)-
((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2) luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' dalam lingkaran = '
num2str(luas_total_dalam,'%7.6f')]); %----------------------------------------------------------% %----------------------------------------------------------%
%bagian untuk membuat segi-n tidak beraturan random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)] figure(3) plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(baru,r,'m')
%hitung luas segi-n tak beraturan luas_total = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (baru); y_luasdalam = R*sin (baru); luas_garisdalamacak =
((x_luasdalam(index).*y_luasdalam(index+1))/2)-
((y_luasdalam(index).*x_luasdalam(index+1))/2) luas_total = luas_total + luas_garisdalamacak; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '
num2str(luas_total,'%7.6f')]);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
B. LIST PROGRAM MATLAB TAMPILAN GUI
function varargout = skripsifix1(varargin) % SKRIPSIFIX1 MATLAB code for skripsifix1.fig % SKRIPSIFIX1, by itself, creates a new SKRIPSIFIX1 or
raises the existing % singleton*. % % H = SKRIPSIFIX1 returns the handle to a new SKRIPSIFIX1
or the handle to % the existing singleton*. % % SKRIPSIFIX1('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...)
calls the local % function named CALLBACK in SKRIPSIFIX1.M with the given
input arguments. % % SKRIPSIFIX1('Property','Value',...) creates a new
SKRIPSIFIX1 or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property
value pairs are % applied to the GUI before skripsifix1_OpeningFcn gets
called. An % unrecognized property name or invalid value makes
property application % stop. All inputs are passed to skripsifix1_OpeningFcn
via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI
allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES
% Edit the above text to modify the response to help
skripsifix1
% Last Modified by GUIDE v2.5 27-Mar-2019 17:04:05
% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @skripsifix1_OpeningFcn,
... 'gui_OutputFcn', @skripsifix1_OutputFcn,
... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end
if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,
varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT
% --- Executes just before skripsifix1 is made visible.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end
if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,
varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT
% --- Executes just before skripsifix1 is made visible. function skripsifix1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles,
varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA) % varargin command line arguments to skripsifix1 (see
VARARGIN) clc; grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); axes(handles.axes1); axes(handles.axes2); axes(handles.axes3);
% Choose default command line output for skripsifix1 handles.output = hObject;
% Update handles structure guidata(hObject, handles);
% UIWAIT makes skripsifix1 wait for user response (see
UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);
% --- Outputs from this function are returned to the command
line. function varargout = skripsifix1_OutputFcn(hObject, eventdata,
handles) % varargout cell array for returning output args (see
VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;
function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;
function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit1 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit2_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit2 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit2 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function numSidesedit_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to numSidesedit (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of
numSidesedit as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
numSidesedit as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function numSidesedit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to numSidesedit (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit4_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit4 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit4 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit4 as a double
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
function edit4_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit4 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit4 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit4 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit4_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit4 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit6_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit6 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit6 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit6 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit6_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit6 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit7_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit7 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit7 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit7 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit7_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit7 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit8_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit8 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit8 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit8 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit8_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit8 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit8_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit8 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit10_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit10 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit10 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit10 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit10_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit10 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit11_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit11 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit11 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit11 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit11 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit11 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit11_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit11 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit12_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit12 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit12 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit12 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit12_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit12 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit13_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit13 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
function edit13_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit13 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit13 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit13 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit13_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit13 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit15_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit15 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit15 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit15 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit15_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit15 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit16_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit16 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit16 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit16 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit16_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit16 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
function edit17_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit17 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit17 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit17 as a double
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit17_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit17 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function edit17_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit17 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: edit controls usually have a white background on
Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),
get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end
% --- Executes on button press in gambar1. function gambar1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to gambar1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA) m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan
%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes2); cla(handles.axes2); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);
%bagian untuk membuat segi-n di luar lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); rr = 1/cos(2*pi/(2*m)); r = ones (1,(n+1)); polar(theta,rr*r,'g');
%hitung luas segi_n luar lingkaran luas_total_luar = 0; for index = 1:n x_luasluar = rr*R*cos (theta); y_luasluar = rr*R*sin (theta); luas_garisluar =
((x_luasluar(index)*y_luasluar(index+1))/2)-
((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2); luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; % menampilkan luas pada command window
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
%hitung luas segi_n luar lingkaran luas_total_luar = 0; for index = 1:n x_luasluar = rr*R*cos (theta); y_luasluar = rr*R*sin (theta); luas_garisluar =
((x_luasluar(index)*y_luasluar(index+1))/2)-
((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2); luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' luar lingkaran = '
num2str(luas_total_luar,'%7.6f')]); set
(handles.edit15,'string',num2str(luas_total_luar,'%7.6f'));
% --- Executes on button press in gambar2. function gambar2_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to gambar2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan
%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes1); cla(handles.axes1); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);
%bagian untuk membuat segi-n di dalam lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); r = ones (1,(n+1)); plot(x,y,'k'); hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(theta,r,'b');
%hitung luas segi_n dalam lingkaran luas_total_dalam = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (theta); y_luasdalam = R*sin (theta); luas_garisdalam =
((x_luasdalam(index)*y_luasdalam(index+1))/2)-
((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2); luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
%hitung luas segi_n dalam lingkaran luas_total_dalam = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (theta); y_luasdalam = R*sin (theta); luas_garisdalam =
((x_luasdalam(index)*y_luasdalam(index+1))/2)-
((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2); luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' dalam lingkaran = '
num2str(luas_total_dalam,'%7.6f')]); set
(handles.edit16,'string',num2str(luas_total_dalam,'%7.6f'));
% --- Executes on button press in gambar3. function gambar3_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to gambar3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA) m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan
%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes3); cla(handles.axes3); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); %bagian untuk membuat segi-n tidak beraturan random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)]; r = ones (1,(n+1)); polar(baru,r,'r');
%hitung luas segi-n tak beraturan luas_totalacak = 0; for index = 1:n x_takberaturan = R*cos (baru); y_takberaturan = R*sin (baru); luas_acakdalam =
((x_takberaturan(index).*y_takberaturan(index+1))/2)-
((y_takberaturan(index).*x_takberaturan(index+1))/2); luas_totalacak = luas_totalacak + luas_acakdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '
num2str(luas_totalacak,'%7.6f')]);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
%hitung luas segi-n tak beraturan luas_totalacak = 0; for index = 1:n x_takberaturan = R*cos (baru); y_takberaturan = R*sin (baru); luas_acakdalam =
((x_takberaturan(index).*y_takberaturan(index+1))/2)-
((y_takberaturan(index).*x_takberaturan(index+1))/2); luas_totalacak = luas_totalacak + luas_acakdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '
num2str(luas_totalacak,'%7.6f')]); set (handles.edit17,'string',num2str(luas_totalacak,'%7.6f'));
% --- Executes during object creation, after setting all
properties. function axes2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to axes2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles empty - handles not created until after all
CreateFcns called
% Hint: place code in OpeningFcn to populate axes2
function edit19_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit19 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of
MATLAB % handles structure with handles and user data (see
GUIDATA)
% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit19 as
text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of
edit19 as a double
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
C. HASIL EKSEKUSI PROGRAM PADA MATLAB DENGAN
TAMPILAN GUI
Tampilan Ketika Pushbutton dijalankan
Input banyaknya sisi mulai dari 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 𝑑𝑎𝑛 1024
Tampilan Poligon Segi-4 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Tampilan Poligon Segi-8 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
Tampilan Poligon Segi-16 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
Tampilan Poligon Segi-32 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
Tampilan Poligon Segi-64 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Tampilan Poligon Segi-1024 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI