aplikasi model regresi logistik untuk ...makalah aplikasi model regresi logistik unttjk...

i

APLIKASI MODEL REGRESI LOGISTIK UNTUK MENGANALISIS

FAKTOR-FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN

TERJANGKITNYA MALARIA

(Studi Kasus di RS Karitas Katikuloku Sumba Tengah, NTT)

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

oleh:

MARGARETHA VEBRENCIA BABO

NIM: 113114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE APPLICATION OF LINEAR REGRESSION MODEL TO ANALYSIS

FACTORS THAT RELATED TO THE OCCURRENCE OF MALARIA

(Case Study in RS Karitas Katikuloku Sumba Tengah, NTT)

A PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

in Mathematics Study Program

Written by:


Student ID: 113114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2016


MAKALAII

APLIKASI MODEL REGRESI LOGISTIK TJNTUK MENGANALISIS

FAI(TOR-FAKTOR YAI\IG BERHUBT]NGAhI DENGAN

TERJANGKITI\TYA MALARIA

(Studi Kasus di RS lkritas Katikuloku Sumba Tengalr, NTT)

Dosen Pembimbing Tugas Akhir,

/rroa*v,.*4(Ir. Ig. i\ris Dwiahoko, M.Sc) Tanggal: Agustus 2016

111


MAKALAH

APLIKASI MODEL REGRESI LOGISTIK UNTTJK MNNGANALISIS

FAKTOR-FAKTOR YANG BERI{UBUNGAN DENGAN TERJANGKITNYA

MALARIA

Dipersiapkan dan ditulis oleh:


I 131 14002

Tel ah dipertahankan dihadapan Panitia Penguji

Pada tanggal 24 Agustus 2016

Dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguj i

Nama lengkap

Ketua

Sekretaris

Anggota

: Y. G. Hartono, Ph. D

: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan

: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc

Yogyakarta, ZJ Ajus (u t 10 t 6

1V


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan dalam hidupku

“Kerja keras dan usaha akan selalu memberikan hasil yang tidak akan

mengecewakan”

(Yosep Babo)

Tugas Akhir ini kupersembahkan untuk:

Bapak, mama dan adik-adikku yang tercinta,

Rekan-rekan mahasiswa Matematika Universitas Sanata Dharma


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Agustus 201 6

Penulis

arsaretha Vebrencia Babo

V1


vii

ABSTRAK

Margaretha Vebrencia Babo. 2016. Aplikasi Model Regresi Logistik

untuk Menganalisis Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan

Terjangkitnya Malaria. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan

Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma,

Yogyakarta.

Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah aplikasi model regresi logistik

dalam bidang kesehatan. Analisis regresi logistik merupakan model regresi yang

digunakan bila variabel bersifat kualitatif yang hanya terdiri dari dua kategori. Bentuk umum model fungsi regresi logistik dengan variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:

( ) ∑

∑

dengan adalah 2.718, adalah koefisien regresi dari variabel bebas ke- ,

adalah nilai variabel bebas ke- ( ) dan adalah konstanta.

Model regresi logistik bersifat nonlinear terhadap parameter dan dapat diubah

dalam bentuk linear terhadap parameter dengan menggunakan transformasi

logaritma, dan dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:

( ) ∑

dengan ( ) ( )

( ), dengan parameter dan diduga

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum.


viii

ABSTRACT

Margaretha Vebrencia Babo. 2016. The Application of Logistic Regression

Model to Analysis Factors that Related to The Occurrence of Malaria. A

Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of

Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This paper cover the application of the logistic regression model in the field of

health. Logistic regression model is used when the dependent variable is qualitative an has only two categories. The general form of the logistic regression

model with independent variables can be written as follows:

( ) ∑

∑

where is 2.718, is regression coefficient of independent regression, is

the value of independent variable ( ) and is constans.

Logistic regression model was non-linear in its parameter and could be

transformed into linear form by using logarithm transformation and can be

expressed:

( ) ∑

where ( ) ( )

( ), and the parameter and was estimated

by Maximum Likelihood Method.


Yang bertanda tangan

Nama:

LEMBAR PERNYATAN PERSETUJUAN

PTJBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

NIM: 1

di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dhanna:

Margaretha Vebrencia Babo

t3tr4002

Demi pengembangan ilmu pengetalruan, saya memberikan kepada perpustakaan

Universitas Sanata Dharma, karya tulis saya yang berjudul:

APLIKASI MODEL REGRESI LOGISTIK TINTUK MENGANALISIS

FAKTOR.FAKTOR YANG BERHUBUNGAN DENGAN TERJANGKITNYA

MALARIA

Beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian, saya

memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusi secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain

untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta izin dan saya maupun memberi

royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat sebenamya,

Dibuat di Yogyakarla

Pada tanggal Agustus 2016

ix

Yang menyatakan

rgarEha Vebrencia Babo)


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

memberikan hikmat dan menyertai penulis hingga penulis mampu menyelesaikan

makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi

salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh

gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses makalah ini melibatkan banyak pihak. Oleh

karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen Pembimbing

Akademik dan Dosen Pembimbing Tugas Akhir.

2. Bapak Y.G.Hartono, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi

Matematika Universitas Sanata Dharma.

3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

5. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang berguna kepada penulis.


xi

7. Keluarga terkasih, Bapak Yosep Babo, Ibu Leonora Nama, Rufina Agusta

Babo, Konstantinus Babo, Ibu Yudista Bhala, Berto Meo, Ratna Meo dan

Dus Bhose, yang telah memberikan cinta, doa, dukungan dan motivasi.

8. Teman-teman matematika 2011: Indra, Romo John, Herry dan Bayu, atas

kebersamaan, keceriaan, doa, dukungan dan motivasi.

9. Semua pihak yang telah mendukung, yang tidak dapat penulis sebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah ini.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi menyempurnakan

makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat

bagi para pembaca.

Yogyakarta, Agustus 2016

Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................................. v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................... vi

HALAMAN ABSTRAK ....................................................................................... vii

HALAMAN ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................. x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xvi

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xviii

BAB I PENDAHUUAN .......................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 5

C. Pembatasan Masalah ...................................................................................... 5

D. Tujuan Penulisan ............................................................................................ 6

E. Manfaat Penulisan .......................................................................................... 6


xiii

F. Metode Penelitian ........................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan ..................................................................................... 7

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................. 9

A. Malaria ............................................................................................................ 9

1. Penyebaran dan Penularan Malaria .......................................................... 9

a. Penularan Secara Alamiah .................................................................. 9

b. Penularan Non Alamiah ................................................................... 10

1) Malaria Bawaan .......................................................................... 10

2) Penularan Secara Mekanik ......................................................... 11

2. Faktor-Faktor Terjadinya Malaria .......................................................... 11

a. Faktor Manusia dan Nyamuk (Host) ................................................ 11

1) Manusia ...................................................................................... 11

a) Umur ..................................................................................... 11

b) Jenis Kelamin ....................................................................... 12

c) Status Gizi ............................................................................ 12

2) Nyamuk ...................................................................................... 13

b. Faktor Agent (Plasmodium) ............................................................. 14

c. Faktor Lingkungan ........................................................................... 15

1) Lingkungan Fisik ........................................................................ 16

a) Suhu Udara ........................................................................... 16

b) kelembaban ........................................................................... 16

c) Curah Hujan .......................................................................... 17

d) Pola Tiupan Angin ............................................................... 17


xiv

e) Sinar Matahari ..................................................................... 17

f) Keadaan Dinding .................................................................. 18

g) Pemasangan Kawat Kasa ...................................................... 18

2) Lingkungan Kimiawi .................................................................. 19

3) Lingkungan Biologi .................................................................... 19

4) Lingkungan Sosial Budaya ......................................................... 19

a) Kebiasaan Keluar Rumah .................................................... 19

b) Pemakaian Kelambu ............................................................. 20

c) Obat Anti Nyamuk ............................................................... 20

d) Pekerjaan .............................................................................. 20

e) Pendidikan ........................................................................... 21

B. Distribusi Probabilitas ................................................................................. 21

1. Variabel Random .................................................................................... 21

2. Fungsi Probabilitas ................................................................................. 22

a. Distribusi Probabilitas Diskrit .......................................................... 22

b. Distribusi Probabilitas Kontinu ........................................................ 22

3. Fungsi Distribusi Kumulatif ................................................................... 23

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ..................................................... 23

a. Mean ................................................................................................ 23

b. Variansi ............................................................................................. 23

c. Momen .............................................................................................. 24

d. Fungsi Pembangkit Momen .............................................................. 24

C. Peluang Bersyarat ......................................................................................... 24


xv

D. Distribusi Binomial ...................................................................................... 26

E. Metode Kemungkinan Maksimum ............................................................... 30

F. Analisis Regresi ............................................................................................ 34

1. Regresi Linear Sederhana ....................................................................... 34

2. Regresi Linear Berganda ........................................................................ 35

BAB III ANALISIS REGRESI LOGISTIK .......................................................... 39

A. Model Regresi Logistik ................................................................................ 39

B. Transformasi Logit ....................................................................................... 42

C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik ........................................... 43

BAB IV APLIKASI REGRESI LOGISTIK .......................................................... 68

A. Deskripsi Data ............................................................................................ 68

B. Model Regresi Logistik untuk KemungkinanTerjangkitnya Malaria ........ 77

C. Transformasi Logistik ................................................................................ 78

D. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik .......................................... 78

BAB V PENUTUP ................................................................................................. 82

A. Kesimpulan ................................................................................................ 82

B. Saran .......................................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 85

LAMPIRAN ........................................................................................................... 88


xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Contoh pengkodean variabel semu untuk ras .................................... 41

Tabel 3.2 Peluang seseorang terkena penyakit jantung ..................................... 67

Tabel 4.1 Persentase pasien penderita Malaria, Thypoid dan RFA pada tahun

2015 berdasarkan umur ...................................................................... 69


2015 berdasarkan jenis kelamin ......................................................... 71


2015 berdasarkan kecamatan ............................................................ 72

Tabel 4.4 Persentase tingkat pendidikan pasien penderit Malaria, Thypoid dan

RFA pada tahun 2015 ...................................................................... 73


2015 berdasarkan status pekerjaan ...................................................... 75


xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Alur penularan malaria secara alamiah ............................................ 10

Gambar 4.1. Jumlah penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan umur ...... 70

Gambar 4.2. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan jenis

kelamin ............................................................................................. 71

Gambar 4.3. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan

tingkat kecamatan ............................................................................ 73

Gambar 4.4. Jumlah pasien penderita malaria, thyoid dan RFA berdasarkan

tingkat pendidikan ............................................................................ 74

Gambar 4.5. Jumlah pasien penderita malaria, thypoid dan RFA berdasarkan

status pekerjaan ................................................................................ 76


xviii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Data contoh 3.2 ................................................................................. 92

Lampiran 2 Langkah-langkah mencari ̂ pada model regresi linear berganda ... 94

Lampiran 3 Langkah-langkah analisis regresi logistik dengan menggunakan

SPSS ............................................................................................... 108

Lampiran 4 Analisis data lampiran 1 ................................................................. 109

Lampiran 5 Analisis data malaria ...................................................................... 112

Lampiran 6 Data penderita malaria .................................................................... 122


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Penyakit malaria merupakan salah satu penyakit menular yang masih

menjadi masalah kesehatan masyarakat di dunia baik di negara maju maupun

di negara berkembang termasuk Indonesia. Kasus terbanyak terdapat di

Afrika dan beberapa negara Asia, Amerika Latin, Timur Tengah dan negara

bagian Eropa. Menurut Badan Kesehatan Dunia (World Health Organization)

sekitar penduduk dunia atau kurang lebih 2.3 miliar penduduk tinggal di

daerah endemis yang berisiko terinfeksi malaria. Survei Kesehatan Rumah

Tangga (SKRT, 2001) menunjukkan bahwa di Indonesia setiap tahun terdapat

sekitar 15 juta kasus malaria klinis dengan 30000 orang meninggal dunia.

Di wilayah Indonesia Timur, malaria masih termasuk dalam 10 besar

penyakit utama. Data Annual Malaria Incidence (AMI) Provinsi NTT

menunjukkan penurunan selama enam tahun secara berturut-turut, dari tahun

2003 hingga 2009, yaitu 186‰, 168‰, 167‰, 152‰, 130‰, 92‰, dan

74‰. Angka kejadian malaria tahunan atau Annual Malaria Incidence (AMI)

adalah angka kesakitan malaria (malaria berdasarkan gejala klinis) per 1000

penduduk dalam 1 tahun yang dinyatakan dalam per mil (‰). AMI

dikategorikan sebagai berikut: (a) High Incidence Area (HIA) dengan AMI

lebih dari 50 kasus malaria per 1000 penduduk per –tahun; (b) Medium


2

Incidence Area (MIA) dengan AMI antara 10 – 50 kasus malaria per 1000

penduduk per –tahun; dan (c) Low Incidence Area (LIA) dengan AMI kurang

dari 10 kasus malaria per 1000 penduduk per –tahun (Depkes, 2007). Angka-

angka tersebut masih tetap tinggi di atas target nasional ( ).

Kejadian malaria dipengaruhi oleh tiga faktor utama yaitu host (manusia

dan nyamuk), agent (parasit/plasmodium), dan environment (lingkungan).

Faktor host adalah semua hal yang terdapat pada diri manusia yang dapat

mempengaruhi timbulnya suatu penyakit antara lain umur, jenis kelamin,

pekerjaan, keturunan, ras, status kawin dan kebiasaan hidup. Faktor agent

adalah suatu substansi tertentu yang keberadaannya dapat menimbulkan suatu

penyakit. Faktor environment adalah seluruh kondisi dan pengaruh luar yang

mempengaruhi kehidupan dan perkembangan nyamuk seperti temperatur,

hujan, angin, kelembaban, ketinggian dan pencahayaan.

Faktor kesehatan lingkungan biologis dan sosial budaya sangat

berpengaruh terhadap penyebaran penyakit malaria di Indonesia (Harijanto,

2000). Lingkungan biologis yaitu tumbuhan bakau, lumut, ganggang dan

berbagai tumbuhan lain dapat mempengaruhi kehidupan larva karena ia dapat

menghalangi sinar matahari atau melindungi diri dari serangan makhluk

hidup lainnya dan lingkungan sosial budaya berupa kebiasaan masyarakat

yang berada di luar rumah sampai larut malam. Masyarakat dengan kebiasaan

bekerja di luar rumah pada malam hari mempunyai risiko tertular malaria 4

kali dibandingkan masyarakat yang tidak memiliki kebiasaan bekerja di luar

rumah pada malam hari (Dasril, 2005). Penelitian Ikrayama Babba (2007),


3

menyatakan bahwa faktor risiko yang mempengaruhi kejadian malaria adalah

tidak memasang kawat kasa pada semua ventilasi, dinding rumah yang

terbuat dari kayu/papan, keberadaan kandang ternak dekat rumah, kebiasaan

keluar rumah pada malam hari, pendapatan kecil (kurang dari Rp 1000000

tiap bulan) dan pendidikan yang rendah. Perbedaan menurut umur dan jenis

kelamin sebenarnya berkaitan dengan perbedaan derajat kekebalan karena

variansi paparan terhadap gigitan nyamuk. Beberapa penelitian menunjukkan

bahwa perempuan mempunyai respon imun yang lebih kuat dibandingkan

dengan laki-laki, namun pada saat hamil resiko terkena penyakit malaria pada

perempuan lebih besar. Malaria pada ibu hamil mempunyai dampak yang

buruk terhadap kesehatan ibu dan anak (Harijanto, 2000). Tingkat

pengetahuan dan kesadaran masyarakat tentang bahaya malaria akan

mempengaruhi kesediaan masyarakat untuk memberantas malaria antara lain

dengan menyehatkan lingkungan, menggunakan kelambu, memasang kawat

kasa pada rumah dan menggunakan obat anti nyamuk (Achmadi, 2005).

Menurut penelitian Dasril (2005), masyarakat yang berpengetahuan rendah

kemungkinan risiko tertular malaria 3 kali lebih besar dibandingkan

masyarakat yang berpengetahuan baik.

Faktor-faktor yang berhubungan dengan terjangkitnya malaria dapat di

analisis menggunakan regresi logistik. Regresi logistik merupakan model

regresi yang digunakan bila variabel Y bersifat kualitatif (Hosmer, 2000).

Variabel terikat biasanya disimbolkan dengan y, sedangkan variabel bebas


4

disimbolkan dengan x. Variabel terikat y mengikuti distribusi Bernoulli

dengan fungsi probabilitas:

( ) ( ) a a

dengan adalah peluang sukses dari suatu kejadian dan ( )

adalah peluang gagal suatu kejadian. Distribusi dari variabel terikat ini

merupakan pembeda antara regresi logistik dengan regresi linear. Pada regresi

linear variabel terikatnya diasumsikan berdistribusi normal, sedangkan untuk

variabel terikat pada regresi logistik bersifat kategorikal yaitu skala

pengukuran berupa nominal atau ordinal. Regresi logistik adalah model

regresi yang menggambarkan hubungan antara beberapa variabel bebas

dengan variabel terikat biner yaitu variabel yang diasumsikan mempunyai 2

nilai yang mungkin (0 atau 1) yang dapat diartikan gagal atau sukses. Analisis

regresi logistik didasarkan pada suatu fungsi yang disebut fungsi regresi

logistik, yang ditulis:

( )

dengan p adalah peluang sukses dari suatu kejadian, dan adalah

parameter dan x adalah nilai dari variabel bebas yang diketahui. Berdasarkan

diskusi di atas, penulis akan membuat model regresi logistik dan mengadakan

penelitian tentang statistika terapan dari regresi logistik dengan mengambil

variabel terikat (Y) adalah variabel kategorik bivariat yang bernilai ya

(seseorang terkena penyakit malaria) atau tidak (seseorang yang tidak terkena


5

penyakit malaria) dan variabel bebas (X) adalah jenis kelamin (x1), umur (x2),

tingkat pendidikan (x3) dan jenis pekerjaan (x4). Jenis Kelamin teridiri dari 2

kategori, yaitu laki-laki dan perempuan, usia terdiri dari 5 kategori, yaitu

balita (0-5 tahun), kanak-kanak ( tahun), remaja ( tahun),

dewasa ( tahun) dan lansia ( tahun). Tingkat pendidikan terdiri

dari 2 kategori, yaitu pendidikan rendah ( SMP) dan pendidikan tinggi (

SMA). Jenis pekerjaan terdiri dari 5 kategori, yaitu Petani, PNS/POLRI,

pegawai swasta/kontrak, tidak bekerja dan Lain-lain.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana model regresi logistik pada kasus malaria?

2. Berdasarkan model Regresi logistik, faktor-faktor apa sajakah yang

berhubungan dengan kemungkinan terjadinya penyakit malaria?

3. Berapakah peluang seseorang beresiko terkena penyakit malaria

berdasarkan informasi variabel bebas?

C. Pembatasan Masalah

1. Dalam Tugas Akhir ini, penulis akan membahas model regresi logistik

2. Dasar-dasar teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan

model regresi logistik.

3. Metode penaksiran yang digunakan adalah Metode Kemungkinan

Maksimum.


6

4. Data yang digunakan adalah data demografi yang diperoleh dari RS

Karitas Katikuloku, Sumba Tengah, NTT.

D. Tujuan Penulisan

Tulisan yang akan dicapai dalam tulisan ini adalah :

1. Mengetahui model regresi logistik pada kasus malaria.

2. Mengetahui faktor-faktor yang berhubungan dengan kemungkinan

seseorang terjangkit penyakit malaria.

3. Mengetahui peluang seseorang beresiko terjangkit penyakit malaria

berdasarkan informasi variabel bebasnya.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat penulisan ini adalah untuk memperoleh pengetahuan tentang regresi

logistik, membahas dasar-dasar teori yang terkait, dapat menentukan

parameter-parameter dari model logistik, serta dapat mengetahui faktor-faktor

yang berhubungan dengan terjangkitnya malaria.

F. Metode Penelitian

Metode penulisan yang digunakan penulis adalah studi pustaka yaitu dengan

membaca buku-buku referensi dan jurnal ilmiah yang berkaitan dengan

malaria dan regresi logistik. Data diolah menggunakan SPSS.


7

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Malaria dan Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Terjadinya Malaria

B. Distribusi Probabilitas

C. Distribusi Binomial

D. Pendugaan Parameter dengan Menggunakan Metode Kemungkinan

Maksimum

E. Analisis Regresi

BAB III MODEL REGRESI LOGISTIK

A. Model Regresi Logistik

B. Transformasi Logit

C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik

BAB IV APLIKASI REGRESI LOGISTIK

A. Deskripsi Data

B. Model Regresi Logistik untuk Kemungkinan Terjangkitnya Malaria


8

C. Transformasi Logit

D. Pendugaan Parameter

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


9

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Malaria

1. Penyebaran dan Penularan Malaria

Malaria merupakan penyakit endemis yang menyerang negara-negara

yang penduduknya padat. Batas penyebaran malaria adalah 640 Lintang

Utara (Rusia) dan Lintang Selatan (Argentina). Ketinggian yang

memungkinkan parasit malaria adalah 400 meter di bawah permukaan laut

(Laut Mati) dan 2600 meter di atas permukaan laut (Bolivia).

Di Indonesia penyakit malaria tersebar di seluruh pulau dengan derajat

endemisitas yang berbeda-beda dan dapat berjangkit di daerah dengan

ketinggian sampai 1800 meter di atas permukaan laut. Spesies yang

terbanyak dijumpai adalah Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax.

Penyakit malaria dapat ditularkan melalui 2 cara yaitu secara alamiah dan

non-alamiah:

a. Penularan secara alamiah

Penularan secara alamiah yaitu penularan melalui gigitan nyamuk

Anopheles betina yang mengandung parasit malaria. Saat menggigit

nyamuk mengeluarkan sporosit yang masuk ke peredaran darah tubuh

manusia sampai ke sel-sel hati manusia. Setelah satu sampai dua


10

minggu digigit, parasit kembali masuk ke dalam darah dan mulai

menyerang sel darah merah dan mulai memakan hemoglobin yang

membawa oksigen ke dalam darah. Pecahnya sel darah merah yang

terinfeksi Plasmodium ini menyebabkan timbulnya gejala demam

disertai menggigil dan menyebabkan anemia.

Gambar 2.1 : Alur penularan malaria secara alamiah

b. Secara non-alamiah, yaitu penularan yang bukan melalui gigitan

nyamuk Anopheles. Berikut beberapa penularan malaria secara non-

alamiah:

1) Malaria Bawaan

Malaria Bawaan adalah malaria pada bayi yang baru dilahirkan

karena ibunya menderita malaria. Penularan terjadi karena adanya

kelainan pada sawar plasenta (selaput yang melindungi plasenta)

sehingga tidak ada penghalang infeksi dari ibu kepada janinnya.

Menggigit penderita

malaria Anopheles sp

Orang menjadi

sakit malaria Anopheles mengandung

parasit

Anopheles menggigit

orang sehat


11

Selain melalui plasenta, penularan dari ibu kepada bayinya juga

dapat melalui tali pusat.

Gejala pada bayi yang baru lahir berupa demam, iritabilitas

(mudah terangsang sehingga mudah menangis), pembesaran hati

dan limpa, anemia, tidak mau makan atau minum, kuning pada

kulit dan selaput lendir. Pembuktian dilakukan dengan deteksi

parasit malaria pada darah bayi.

2) Penularan Secara Mekanik

Penularan secara mekanik adalah infeksi malaria yang ditularkan

melalui transfusi darah dari donor yang terinfeksi malaria,

pemakaian jarum suntik secara bersama-sama pada pecandu

narkoba atau melalui transplantasi organ. Malaria dapat ditularkan

melalui gigitan nyamuk yang membawa parasit plasmodium.

Transfer parasit dapat terjadi baik dari nyamuk ke manusia rentan

maupun dari manusia yang telah terinfeksi ke seekor nyamuk

rentan. Jadi faktor penting pada penularan malaria adalah manusia

dan nyamuk.

2. Faktor-Faktor terjadinya Malaria

a. Faktor Manusia dan Nyamuk (Host)

1) Manusia

a) Umur

Anak-anak lebih rentan terhadap infeksi malaria. Anak yang bergizi

baik justru lebih sering mendapat malaria dibandingkan dengan anak


12

yang bergizi buruk. Akan tetapi anak yang bergizi baik dapat mengatasi

malaria berat dengan lebih cepat dibandingkan anak bergizi buruk

b) Jenis Kelamin

Perempuan mempunyai respon yang kuat dibandingkan laki-laki tetapi

apabila menginfeksi ibu yang sedang hamil akan menyebabkan anemia

yang lebih berat. Perbedaan menurut umur dan jenis kelamin

sebenarnya berkaitan dengan perbedaan derajat kekebalan karena

variansi paparan terhadap gigitan nyamuk. Beberapa penelitian

menunjukkan bahwa perempuan mempunyai respon imun yang lebih

kuat dibandingkan dengan laki-laki, namun pada saat hamil risiko

terkena penyakit malaria pada perempuan lebih besar.

c) Status Gizi

Masyarakat yang gizinya kurang baik dan tinggal di daerah endemis

malaria lebih rentan terhadap infeksi malaria. Faktor-faktor yang

mempengaruhi status gizi terdiri dari faktor-faktor yang berkaitan

dengan ibu dan faktor-faktor yang berkaitan dengan balita. Faktor-

faktor yang berkaitan dengan ibu adalah usia ibu menikah, usia ibu

pertama melahirkan, dan pendidikan ibu. Sedangkan faktor-faktor yang

berkaitan dengan balita adalah penyakit yang sering diderita oleh balita,

frekuensi terserang penyakit, sarana sanitasi, jumlah anggota keluarga,

pemberian ASI, kelengkapan imunisasi, pola asuh balita (Suhardjo,

2003), penghasilan rumah tangga, frekuensi pemberian makan pokok,

dan asupan makanan (Almatsier, 2004).


13

2) Nyamuk

Malaria pada umumnya hanya ditularkan oleh nyamuk Anopheles

betina. Di seluruh dunia terdapat 2000 spesies Anopheles 60 spesies

diantaranya dapat menularkan malaria. Di Indonesia sendiri terdapat 80

spesies Anopheles yang mana 24 diantaranya adalah spesies yang dapat

menularkan malaria. Sifat masing-masing berbeda tergantung berbagai

faktor seperti penyebaran geografis, iklim dan tempat perindukan.

Nyamuk Anopheles betina mempunyai kebiasaan menggigit antara

waktu senja dan subuh hari.

Vektor malaria merupakan faktor utama. Vektor adalah seekor

binatang yang membawa bibit penyakit dari seekor binatang atau

seorang manusia kepada binatang lainnya atau manusia lainnya (Adi,

H.S.,1993) . Setiap daerah memiliki iklim, cuaca dan flora serta fauna

yang berbeda-beda, hal ini menyebabkan hanya vektor tertentu saja

yang suka tinggal di daerah tersebut. Dengan kata lain vektor tertentu

memiliki habitat tertentu dan akan lebih suka tinggal di daerah yang

sesuai.

Setiap waktu nyamuk biasanya menghisap darah, karena protein

darah sangat diperlukan untuk perkembangan telurnya. Seekor nyamuk

tentu saja tidak bertelur sekali saja seumur hidupnya, melainkan

berkali-kali. Faktor lain dari vektor adalah lama hidup, jarak terbang

dan resistensi terhadap insektisida. Lama hidup dan jarak terbang setiap


14

spesies nyamuk juga berbeda, makin lama umur nyamuk dan makin

jauh jarak terbangnya makin luas mereka menyebarkan malaria.

Masalah resistensi nyamuk terhadap insektisida juga berbeda-beda

sehingga banyak menyita waktu untuk mencari cara pemberantasan

nyamuk.

b. Faktor Agent (Plasmodium)

Agent penyebab malaria ialah makhluk hidup genus Plasmodia,

Famili Plasmodiidae dan Ordo Coccidiidae. Sampai saat ini di Indonesia

dikenal empat spesies parasit malaria pada manusia, yaitu: Plasmodium

vivax, Plasmodium malariae,Plasmodium falciparum, dan Plasmodium

ovale. Seorang penderita dapat dihingap lebih dari satu jenis plasmodium,

infeksi demikian disebut infeksi campuran (mixed infection). Yang

terbanyak terdiri dari dua campuran, yaitu Plasmodium falciparum

dengan Plasmodium vivax atau Plasmodium malariae. Infeksi campuran

biasanya terjadi di daerah yang angka penularannya tinggi.

Keempat jenis Plasmodium sp (spesies plasmodium) sudah ada di

Indonesia saat ini, tetapi yang paling sering ditemukan dan menimbulkan

penyakit adalah Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax.

Berhubung Plasmodium falciparum paling sering memberikan gejala

yang berat sampai menimbulkan kematian, di samping sering sekali

resisten terhadap obat malaria, maka perhatian utama harus diberikan

pada spesies ini.


15

Selanjutnya diketahui pula bahwa Plasmodium falciparum lebih

sering ditemukan di daerah tropis dan Plasmodium vivax di daerah

beriklim sedang dan sub tropis. Hal ini berhubungan dengan

perkembangan dan umur parasit tersebut. Plasmodium falciparum akan

menghambat pertumbuhannya pada suhu di bawah C dan umurnya

lebih pendek pada suhu di atas C, sedangkan Plasmodium vivax akan

terhambat perkembangannya pada suhu di bawah C dan lebih pendek

umurnya pada suhu di atas C .

c. Faktor Lingkungan

Peningkatan penularan malaria sangat terkait dengan iklim baik musim

hujan maupun musim kemarau dan pengaruhnya bersifat lokal spesifik.

Pergantian musim akan berpengaruh baik langsung maupun tidak

langsung terhadap vektor pembawa penyakit. Pergantian global iklim

yang terdiri dari suhu udara, kelembapan, curah hujan, pola tiupan angin

dan sinar matahari mempunyai dampak langsung pada reproduksi vektor

dan perkembangan parasit dalam tubuh vektor. Sedangkan dampak tidak

langsung karena pergantian vegetasi dan pola tanam pertanian yang dapat

mempengaruhi kepadatan populasi vektor. Penelitian Ikrayama Babba

(2007) menyatakan bahwa faktor risiko yang mempengaruhi kejadian

malaria adalah tidak memasang kawat kasa pada semua ventilasi, dinding

rumah yang terbuat dari kayu/papan dan keberadaan kandang ternak

dekat dengan rumah.


16

1) Lingkungan Fisik

a) Suhu Udara

Faktor geografi dan metereologi di Indonesia sangat menguntungkan

transmisi malaria di Indonesia. Pengaruh suatu suhu ini berbeda bagi

setiap spesies. Suhu yang optimal bagi kehidupan nyamuk adalah

antara dengan kelembaban 80%. Suatu daerah yang

memiliki suhu dan kelembaban tersebut merupakan tempat yang

bagus bagi perkembangan nyamuk. Oleh karena itu daerah tropis

merupakan daerah yang paling disukai Anopheles. Makin tinggi suhu

(sampai batas tertentu) makin pendek masa inkubasi ekstrinsik dan

sebaliknya makin rendah suhu makin panjang masa inkubasi

ekstrinsiknya.

b) Kelembaban

Kelembaban yang pendek akan memperpendek umur nyamuk.

Tingkat kelembaban 60% merupakan batas paling rendah untuk

memungkinkan hidupnya nyamuk. Kelembaban mempengaruhi

kecepatan berkembang biak, kebiasaan menggigit, istrahat dan lain-

lain dari nyamuk. Pada kelembaban yang tinggi nyamuk menjadi lebih

aktif dan lebih sering menggigit, sehingga meningkatkan penularan

malaria. Menurut penelitian Barodji menyatakan bahwa

nyamuk Anopheles paling banyak menggigit di luar rumah pada

kelembaban dan di dalam rumah .


17

c) Curah Hujan

Curah hujan juga merupakan faktor penentu berkaitan dengan

timbulnya perindukan nyamuk. Setiap kali hujan turun akan

menimbulkan genangan air, sehingga terciptalah keadaan yang

menguntungkan nyamuk dengan memberinya tempat perindukan.

Masalah perindukan ini selain disebabkan oleh curah hujan juga

disebabkan oleh ulah manusia sendiri yang tanpa sengaja membuat

tempat perindukan nyamuk. Penebangan hutan dan jejak-jejak kaki di

tanah menimbulkan tempat perindukan baru bilamana hujan turun.

d) Pola Tiupan Angin

Kecepatan angin pada saat matahari terbit dan terbenam merupakan

saat terbangnya nyamuk ke dalam atau di luar rumah, adalah salah

satu faktor yang ikut menentukan jumlah kontak antara manusia dan

nyamuk. Jarak terbang nyamuk dapat diperpendek atau diperpanjang

tergantung arah angin, Jarak terbang Nyamuk Anopheles biasanya

tidak lebih dari Km dari tempat perindukannya dan nyamuk

malaria dapat hidup sesuai dengan kondisi ekologi setempat,

contohnya nyamuk malaria yang hidup di air payau (Anopheles

Sundaicus dan Anopheles Subpictus), di sawah (Anopheles Aconitus)

atau air bersih di pegunungan (Anopheles Aculatus).

e) Sinar Matahari

Pengaruh sinar matahari terhadap pertumbuhan nyamuk berbeda-beda.

Anopheles Sundacius lebih suka tempat yang teduh, Anopheles


18

Hyrcanus spp dan Anopheles Punctulatus sp lebih menyukai tempat

yang terbuka dan Anopheles Barbirostris dapat hidup baik di tempat

teduh maupun yang terang.

f) Keadaan dinding

Keadaan rumah, khususnya dinding rumah berhubungan dengan

kegiatan penyemprotan rumah karena insektisida yang disemprotkan

ke dinding akan terserap ke dinding rumah sehingga saat nyamuk

hinggap akan mati akibat kontak dengan insektisida tersebut. Dinding

rumah yang terbuat dari kayu memungkinkan lebih banyak lagi

lubang untuk masuknya nyamuk. Penelitian Suwendra

menyebutkan bahwa ada hubungan antara keadaan

dinding/lantai rumah dengan kejadian malaria, dimana rumah dengan

dinding/lantai berlubang berpeluang menderita malaria kali

dibandingkan dengan rumah yang keadaan dinding/lantai rapat.

g) Pemasangan kawat kasa

Pemasangan kawat kasa pada ventilasi akan menyebabkan semakin

kecilnya kontak nyamuk yang berada di luar rumah dengan penghuni

rumah, dimana nyamuk tidak dapat masuk ke dalam rumah. Hasil

penelitian Rizal menyebutkan bahwa masyarakat yang

rumahnya tidak terlindung dari nyamuk mempunyai risiko kali

untuk tertular malaria dibandingkan dengan rumah yang terlindung

dari nyamuk. Demikian juga penelitian Masra , yaitu ada

hubungan antara pemasangan kawat kasa pada ventilasi rumah dengan


19

kejadian malaria, dimana rumah yang tidak memasang kawat kasa

mempunyai peluang 5.689 kali lebih besar untuk terkena malaria

dibandingkan dengan rumah yang memasang kawat kasa.

2) Lingkungan kimiawi

Dari lingkungan ini yang baru diketahui pengaruhnya adalah kadar garam

dari tempat perkembangbiakan. Sebagai contoh An.sundaicus memilih air

payau dengan kadar antara per mil akan tumbuh optimal dan

pada kadar per mil akan menghilang atau tidak berkembang biak.

3) Lingkungan Biologi

Umumnya nyamuk akan memilih tempat yang gelap, teduh berlindung,

lembab untuk berkembangbiak. Selain itu adanya kandang ternak yang

dekat atau menyatu dengan rumah akan semakin menambah tempat

untuk berkembangbiak. Tumbuhan bakau, lumut, ganggang dan berbagai

tumbuhan lain dapat mempengaruhi kehidupan larva karena ia dapat

menghalangi sinar matahari atau melindungi diri dari serangan makhluk

hidup lainnya. Adanya berbagai jenis ikan pemakan larva seperti ikan

kepala timah, gambusia, nila, mujair dan lain-lain akan mempengaruhi

populasi nyamuk di suatu daerah.

4) Lingkungan Sosial Budaya

a) Kebiasaan keluar rumah

Kebiasaan untuk berada di luar rumah sampai larut malam dan juga

tidak berpakaian berhubungan dengan kejadian malaria. Masyarakat

dengan kebiasaan bekerja di luar rumah pada malam hari mempunyai


20

risiko tertular malaria 4 kali dibandingkan masyarakat yang tidak

memiliki kebiasaan bekerja di luar rumah pada malam hari (Dasril,

2005).

b) Pemakaian kelambu

Beberapa penelitian membuktikan bahwa pemakaian kelambu secara

teratur pada waktu tidur malam hari mengurangi kejadian malaria.

Penelitian Suwendra (2003), Masra (2002) menunjukkan ada hubungan

antara kebiasaan menggunakan kelambu dengan kejadian malaria.

Penelitian CH2N-UGM (2001) menyatakan bahwa individu yang tidak

menggunakan kelambu saat tidur berpeluang terkena malaria kali di

bandingkan dengan yang menggunakan kelambu saat tidur.

c) Obat anti nyamuk

Kegiatan ini hampir seluruhnya dilaksanakan sendiri oleh masyarakat

seperti menggunakan obat nyamuk bakar, semprot, oles maupun secara

elektrik. Penelitian Subki , menyatakan bahwa ada hubungan

antara penggunaan obat anti nyamuk dengan kejadian malaria.

d) Pekerjaan

Hutan merupakan tempat yang cocok bagi peristirahatan maupun

perkembangbiakan nyamuk (pada lubang di pohon-pohon) sehingga

menyebabkan vektor cukup tinggi. Penelitian Subki ,

menyebutkan ada hubungan bermakna antara pekerjaan yang berisiko

(nelayan, berkebun) dengan kejadian malaria sebesar kali

dibandingkan yang tidak berisiko (pegawai, pedagang).


21

e) Pendidikan

Tingkat pendidikan sebenarnya tidak berpengaruh langsung terhadap

kejadian malaria tetapi umumnya mempengaruhi jenis pekerjaan dan

perilaku kesehatan seseorang. Secara umum seseorang yang

berpendidikan tinggi akan mempunyai pekerjaan yang lebih layak

dibanding seseorang yang berpendidikan rendah dan mempunyai

pengetahuan yang cukup terhadap masalah-masalah yang terjadi di

lingkungan sekitar (Notoatmojo, 2007). Hasil penelitian Rustam

, menyatakan bahwa masyarakat yang tingkat pendidikannya

rendah berpeluang terkena malaria sebesar kali dibandingkan

dengan yang berpendidikan tinggi. Penelitian Dasril (2005) menyatakan

bahwa masyarakat yang berpengetahuan rendah kemungkinan risiko

tertular malaria 3 kali lebih besar dibandingkan masyarakat yang

berpengetahuan baik.

B. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Random

Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang

sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan

nilainya.


22

Definisi 2.2

Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskrit jika himpunan dari

kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak demikian maka variabel

random tersebut adalah variabel random kontinu.

2. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas

diskrit dan distribusi probabilitas kontinu.

a. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut adalah fungsi probabilitas dari

variabel random diskrit jika

1) untuk setiap

2) ∑

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.4

Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk va-

riabel random kontinu , jika

1)

2) ∫


23

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif

Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-

riabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut

{

∑

∫

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

a. Mean

Definisi 2.6

Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random di-

notasikan sebagai atau didefinisikan sebagai

{

∑

∫

b. Variansi

Definisi 2.7

Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis didefini-

sikan sebagai

[ ]

Teorema 2.1

( )


24

Bukti

[ ]

( )

( )

c. Momen

Definisi 2.8

Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan

dengan didefinisikan sebagai

d. Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.9

Fungsi pembangkit momen dari sebuah variabel random Y didefinisi-

kan sebagai . Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan

ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga

untuk | | .

C. Peluang bersyarat

Definisi 2.10

Misalkan dan adalah variabel random diskrit. Fungsi probabilitas

bersama dan adalah


25

Teorema 2.2

Jika dan adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas

bersama maka

1. untuk semua .

2. ∑ , dengan jumlahan dari semua nilai memiliki

probabilitas tidak nol.

Definisi 2.11

Misalkan dan variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas

bersama , maka fungsi probabilitas marginal dari dan berturut-

turut sebagai berikut:

∑ dan ∑

Definisi 2.12

Jika dan adalah variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas

bersama dan fungsi probabilitas marginal dan , maka

fungsi probabilitas bersyarat dari diberikan adalah

| |

dengan .


26

D. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial berasal dari percobaan Binomial yaitu percobaan

Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi Binomial

merupakan distribusi variabel random diskrit.

Definisi 2.13

Suatu variabel random Y yang mempunyai dua nilai yaitu 0 atau 1 disebut

variabel Bernouli. Suatu eksperimen dengan 2 hasil yang mungkin, misalkan 1

menyatakan kejadian sukses dan 0 menyatakan kejadian gagal, disebut

percobaan Bernoulli.

Percobaan binomial memiliki sifat sebagai berikut:

1. Percobaan dilakukan berulang-ulang kali sebanyak n ulangan percobaan

Bernoulli.

2. Setiap ulangan hanya ada 2 hasil yaitu sukses atau gagal.

3. Peluang sukses adalah p dan peluang gagal adalah . p bersifat

tetap antar ulangan.

4. Antar ulangan bersifat saling bebas.

Definisi 2.14

Suatu variabel random Y dikatakan berdistribusi binomial berdasarkan n

ulangan dengan probabilitas sukses p jika dan hanya jika

( )


27

Teorema 2.3

Misalkan Y variabel random berdistribusi binomial dengan n ulangan dan

probabilitas sukses p, maka

Bukti:

(i) Bukti untuk nilai harapan

Dari definisi nilai harapan,

∑

∑

( )

∑

( )

∑

∑

∑

Misalkan maka persamaan di atas menjadi

∑


28

Ingat: ekspansi binomial ∑ ( )

maka

∑

∑(

)

(i) Bukti untuk Variansi

[ ]

Untuk mencari Var(Y), kita harus mencari nilai dari Y2:

∑

∑ ( )

∑ ( )

∑

∑


29

∑

persamaan di atas menjadi

∑

∑ (

)

[∑ (

) ∑

]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]


30

E. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method)

Definisi 2.15

Pendugaan (estimation) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk

rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai dugaan

parameter berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel.

Definisi 2.16

Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan

karakteristik populasi.

Metode Penduga Kemungkinan Maksimum

Metode Penduga kemungkinan maksimum (Maximum likelihood estimation)

adalah metode untuk memperoleh suatu penduga parameter yang dapat

memaksimumkan fungsi yang tidak bergantung pada nilai parameter yang

diduga. Ide dasar dari metode ini adalah mencari nilai parameter yang

berkorespondensi dengan kemungkinan yang paling besar dari suatu data

yang terobservasi sebagai suatu penduga dari parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.17

Andaikan X1, X2, ..., Xn adalah variabel random diskrit dan adalah sebuah

vektor parameter dari X1, X2, ..., Xn. Fungsi probabilitas gabungan dari X1,

X2, ..., Xn dapat ditulis sebagai hasil kali dari fungsi probabilitas bersyarat

sebagai berikut:


31

| ∏ |

Definisi 2.18

Bila X1, X2, ..., Xn adalah variabel random yang memiliki fungsi densitas

bersama | . Bila diketahui nilai terobservasi

merupakan kemungkinan dari sebagai suatufungsi

dari didefinisikan

| ∏ |

Definisi 2.19

Logaritma dari fungsi kemungkinan (likelihood function), yang disebut

kemungkinan log (log-likelihood) didefinisikan sebagai berikut:

| ∏ |

∑ |

Penduga kemungkinan maksimum ̂ didapat dari turunan pertama fungsi log-

likelihood kemudian menyamakan turunan pertama tersebut ke nol.


32

Contoh 2.1

Misalkan adalah sampel random berdistribusi Poisson dengan mean

. Tentukan penduga kemungkinan maksimum ̂ bagi .

Penyelesaian:

| | | |

∑

∑

0

̂ ̅

Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk ̂ ̅ .


33

Contoh 2.2

Percobaan Binomial terdiri dari n kali percobaan yang mengakibatkan

pengamatan , dimana jika percobaan ke-i sukses dan

jika percobaan ke-i gagal. Tentukan PKM dari probabilitas sukses p.

Penyelesaian:

| | | |

[ ] [ ]

∑ ∑

∑

Sekarang akan dicari nilai p yang memaksimumkan . Ketika

dan maksimum ketika . Ketika

dan maksimum ketika . Jika maka

adalah nol ketika dan kontinu untuk

nilai p yang memaksimalkan dengan menetapkan turunan dari

. Untuk menemukan nilai penduga p lebih mudah dengan memaksimalkan

, sebagai berikut:


34

̂

̂

Kita tahu bahwa ∑ jadi ̂

∑

̅.

Jadi PKM untuk ̂ ̅

F. Analisis regresi

Analisis regresi merupakan analisis untuk menjelaskan hubungan antara dua

variabel atau lebih.Tujuan dari analisis regresi adalah untuk memprediksi satu

variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas.

1. Regresi Linear Sederhana

Regresi linear sederhana adalah sebuah alat statistik yang digunakan untuk

menentukan hubungan antara satu variabel bebas dengan satu variabel terikat.

Misal terdapat hubungan linear antar Y dan X maka hubungan itu dapat ditulis

sebagai


35

(2.1)

dengan

variabel terikat.

variabel bebas.

konstanta.

= koefisien regresi dari variabel bebas.

penyimpangan atau galat

2. Regresi Linear Berganda

Regresi linear berganda merupakan perluasan dari regresi linear sederhana

dimana terdapat satu variabel terikat dengan lebih dari satu variabel bebas.

Dengan kata lain, analisis regresi linear berganda digunakan untuk menguji

hubungan antara satu variabel terikat dengan dua atau lebih variabel bebas.

Model regresi linear dengan k variabel yang meliputi satu variabel terikat

Y dan k variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut

(2.2)

dengan

variabel terikat.

parameter regresi.

nilai variabel bebas ke-i dari sejumlah k variabel bebas.


36

galat.

= 1, 2, 3, ..., n

= 1, 2, 3, ..., k

Penjabaran dari persamaan (2.2) adalah

.

.

.

Model regresi linear berganda tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

sebagai berikut:

(2.3)

dengan

[ ]

[

]

[ ]

[ ]

dengan :

= vektor kolom dari variabel tak bebas berordo

= matriks dari variabel bebas berordo


37

= vektor kolom dari parameter berordo

= vektor kolom dari error berordo

Salah satu metode untuk mengestimasi parameter pada regresi linear adalah

Metode Kuadrat Terkecil. Persamaan (2.3) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Tujuan dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat

dari galat, yaitu:

∑

= [ ] [

]

=

sehingga:

∑

=

= [ ]

=

=

=


38

Oleh karena adalah skalar, maka matriks transposenya adalah

Jadi,

(2.4)

Untuk meminimumkan jumlah kuadrat dari error, maka pada persamaan

(2.4) diturunkan secara parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka:

[ ]

[ ]

Proses penurunan terhadap dapat dilihat pada lampiran 2

̂ (2.5)


39

BAB III

ANALISIS REGRESI LOGISTIK

A. Model Regresi Logistik

Regresi logistik (logit) merupakan model regresi yang digunakan bila

variabel Y bersifat kualitatif, (Hosmer, 2000). Regresi logistik melengkapi

regresi linear sederhana dengan kemampuannya melibatkan variabel terikat

biner. Sebagai contoh, apakah kesehatan seseorang baik atau tidak, keputusan

seseorang membeli mobil atau tidak, keputusan seorang konsumen membeli

merek televisi tertentu, misalnya membeli televisi merek Sonny atau bukan

Sonny, pada bidang pemasaran seperti prediksi kecenderungan pelanggan

untuk membeli suatu produk atau berhenti berlangganan dan lain-lain.

Contoh-contoh di atas menghasilkan dua kemungkinan hasil yang saling

berlawanan. Analisis regresi logistik digunakan untuk menjelaskan hubungan

antara variabel terikat yang berupa data dikotomi/biner dengan variabel bebas

yang berupa skala interval dan atau kategorik (Hosmer, 2000). Variabel yang

dikotomi/biner adalah variabel yang hanya mempunyai dua kategori saja,

yaitu kategori yang menyatakan kejadian sukses (Y=1) dan kategori yang

menyatakan kejadian gagal (Y=0).

Bila diketahui ada p variabel bebas maka dapat ditunjukkan dengan vektor

. Hal ini diasumsikan bahwa beberapa variabel


40

bebas berskala interval, sehingga probabilitas bersyarat dari kejadian sukses

bisa ditulis | dan probabilitas bersyarat dari kejadian

gagal bisa ditulis | . Model fungsi probabilitas logistik

kumulatif dengan p variabel bebas dapat ditulis sebagai berikut:

(3.1)

dengan,

∑

Dengan e adalah bilangan natural dengan nilai 2,718, koefisien regresi dari

variabel bebas ke-j, adalah nilai variabel bebas ke-j dari sejumlah p

variabel bebas dan adalah konstanta. Nilai terletak antara dan

sedangkan terletak diantara 0 dan 1.

Jika variabel bebas merupakan variabel diskrit maka variabel berskala

nominal seperti jenis kelamin, ras dan lain-lain akan kurang sesuai

dimasukkan ke dalam model seperti variabel berskala interval, karena angka-

angka tersebut hanya bersifat identifier saja. Dalam hal ini, metode yang

dipakai yaitu dengan menambahkan variabel semu (dummy variabel). Secara

umum, jika variabel berskala nominal mempunyai k taraf, maka dibutuhkan

k-1 variabel semu. Misalkan variabel independen ke-j, mempunyai

tingkatan. Maka ada variabel semu yang mungkin yang akan

adinotasikan dengan dan koefisien untuk variabel semu ini akan


41

dinotasikan dengan . Begitu juga model logistik untuk

suatu model dengan variabel dan variabel ke- akan dijabarkan dengan

rumus:

∑

(3.2)

Misalkan, contoh variabel bebas yang dimaksud adalah “ras”, yang

dikategorikan berkulit putih, berkulit hitam, atau lainnya. Pada kasus ini

diperlukan 2 variabel semu. Salah satu strategi pengkodean yang mungkin

adalah ketika respondennya adalah berkulit putih, 2 variabel semunya adalah

D1 dan D2, keduanya akan sama dengan 0; ketika respondennya berkulit

hitam, D1 akan sama dengan 1 sedangkan D2 sama dengan 0; ketika ras dari

respondennya adalah selain putih dan hitam, kita akan menggunakan D1=0

dan D2=1. Table 3.1 mengilustrasikan pengkodean variabel semu.

Tabel 3.1 Contoh pengkodean variabel semu

untuk ras

Variabel semu

Ras D1 D2

Berkulit putih 0 0

Berkulit hitam 1 0

lainnya 0 1


42

B. Transformasi Logit

merupakan fungsi non linear, sehingga perlu dilakukan transformasi

ke dalam bentuk logit untuk memperoleh fungsi yang linear dalam parameter-

parameternya agar mempermudah pendugaan parameter variabel bebasnya.

Transformasi logit diterapkan pada model regresi logistik sebagai berikut:

( ) *

+ ∑

(3.3)

Uraian transformasi logit untuk persamaan (3.3) adalah sebagai berikut:

∑

∑

[ ] ( ∑

)

∑

( ∑

)

∑

∑

(

∑ )

[ ] ∑

∑

(

) (

∑ )

(

) ∑

∑ (3.4)


43

dengan g(X) disebut persamaan regresi logistik yang merupakan fungsi linear

dari parameter-parameter p variabel bebas.

C. Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik

Pendugaan parameter model regresi logistik tidak dapat menggunakan

metode kuadrat terkecil seperti halnya model regresi linear. Berdasarkan

asumsi yang biasa digunakan untuk regresi linear (misalnya asumsi

kenormalan atau kehomogenan varians), Metode Kuadrat Terkecil

menghasilkan estimasi parameter dengan sifat-sifat statistik yang diinginkan

yakni tak bias dan varians minimum (Maharani dkk, 2007). Berbeda dengan

estimasi model regresi linear, metode kuadrat terkecil tidak dapat diterapkan

untuk model regresi logistik karena penduga parameter yang dihasilkan tidak

lagi memiliki sifat-sifat statistik yang diinginkan yaitu asumsi normalitas,

heteroskedastisitas, dan autokorelasi, dikarenakan variabel terikat yang

terdapat pada regresi logistik merupakan variabel semu (0 dan 1), sehingga

residualnya, tidak memerlukan ketiga pengujian tersebut. Pada penelitian ini

estimasi parameter model regresi logistik menggunakan penduga

kemungkinan maksimum (PKM). Koefisisen diduga menggunakan metode

maksimum likelihood. Secara sederhana dapat disebutkan bahwa metode ini

berusaha mencari nilai koefisien yang memaksimumkan fungsi likelihood.

Diketahui probabilitas bersyarat untuk variabel terikat dinyatakan

| dan | . Bila terdapat n buah

pengamatan yang saling bebas. menyatakan variabel terikat dari


44

pengamatan ke-i, dimana . Diketahui probabilitas untuk

(suatu karakteristik terjadi pada pengamatan ke-i) adalah dan

probabilitas untuk adalah . Maka fungsi probabilitas dari

adalah

[ ] [ ]

Karena pengamatan saling bebas, maka fungsi likelihood dapat diperoleh

dengan mengalikan fungsi-fungsi probabilitas dari

∏ [ ]

dengan vektor berisi parameter-parameter tidak diketahui yang ingin diduga,

( ).

Untuk memudahkan mencari nilai yang memaksimumkan fungsi

likelihood digunakan bentuk logaritma natural dari fungsi likelihood, yang

kemudian disebut sebagai fungsi log-likelihood, yaitu:

(∏ [ ]

)

= ∑ [ ]

= ∑{

}


45

= ∑[ ]

= ∑

∑

=

∑ ( ∑

∑

) +∑

( ∑

∑

)

= ∑ ( ∑

∑

) +∑ (

∑

)

= ∑ * ( ∑

) (

∑ )+

∑ * ( ∑

)+

misalkan:

∑ * ( ∑

) (

∑ )+

∑ *( ∑

) ( ∑

)+

misalkan, g( )= ∑

= ∑ [ ]


46

= ∑

misalkan:

∑ * ( ∑

)+

= ∑ * ( ∑

)+

= ∑ ( ( ∑

))

= ∑ [ ]

= ∑

diperoleh

∑

∑

= ∑


47

= ∑ (3.5)

Secara matematis untuk mendapatkan nilai yang memaksimalkan fungsi log atau disebut juga fungsi log-likelihood yang

dinotasikan sebagai , yakni dengan cara mendiferensialkan terhadap dan menyamakannya dengan nol

(Agresti,1990).

=0

∑

=0

∑, ( ∑

) * ∑

+-

=0

,∑*( ∑

) ( ∑

)+

- =0


48

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

∑

∑ ∑

( ∑

)

=0

∑( ∑

( ∑

)

)

=0

∑ ̂

=0 (3.6)

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

∑

∑

∑

( ∑

)

=0


49

∑(

∑

( ∑

)

)

=0

∑ ̂

=0

∑[ ̂ ]

=0 (3.7)

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

∑( ∑

)

∑(∑

∑

( ∑

)

)

=0

∑( ∑

∑

∑

( ∑

)

)

=0


50

∑*( ∑

(∑

) ̂ )+

=0

∑*(∑

) ̂ +

=0

∑[ ̂ ]

untuk

=0 (3.8)

Karena persamaan-persamaan likelihood yang diperoleh di atas tidak linear dalam , maka perlu dilakukan perhitungan

menggunakan metode numerik untuk mendapatkan dugaan dari , yang dinyatakan dalam ̂ dengan . Dugaan dari

variansi dan kovariansi diperoleh dari turunan parsial kedua fungsi likelihood. Bentuk turunan parsial kedua dari fungsi log-

likelihood adalah

=0


51

∑

=0

∑, ( ∑

) * ∑

+-

=0

,∑*( ∑

) ( ∑

)+

- =0

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

(∑

)

(∑

∑

( ∑

)

) =0

Misalkan ∑

,

∑

∑ ,

∑

,

∑

∑


52

∑*(

∑ ) (

∑ )+ *(

∑ ) (

∑ )+

( ∑

)

=0

∑((

∑ ) (

∑ )

( ∑

)

( ∑

)

)

=0

∑( ∑

( ∑

)

)

=0

∑( ∑

( ∑

)

( ∑

)

)

=0

∑* ∑

( ∑

)

(

∑

∑

∑

)+

=0

∑* ∑

( ∑

)

(

∑

∑

∑

∑

)+

=0


53

∑{ ̂ [ ̂ ]}

=0 (3.9)

=0

∑

=0

∑, ( ∑

) * ∑

+-

=0

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

[∑

]

*∑

∑

( ∑

)

+ =0

*∑

∑

( ∑

)

+ =0


54

Misalkan ∑

,

∑ ,

∑

,

∑

∑

∑{*(

∑ ) (

∑ )+ *(

∑ ) (

∑ )+

( ∑

)

}

=0

∑[

∑ (

∑ )

( ∑

)

( ∑

)

]

=0

∑[

∑

( ∑

)

]

=0

∑[ ( ∑

∑

)(

∑

)]

=0

∑* ( ∑

( ∑

)

)(

∑

∑

∑

)+

=0


55

∑* ( ∑

( ∑

)

)(

∑

∑

∑

∑

)+

=0

∑{ ̂ [ ̂ ]}

=0 (3.10)

=0

(∑

) =0

∑, ( ∑

) * ∑

+-

=0

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

[∑

]

*∑

∑

( ∑

)

+ =0


56

*∑

∑

( ∑

)

+ =0

Misalkan ∑

,

∑ ,

∑

,

∑

∑

∑{*(

∑ ) (

∑ )+ *(

∑ ) (

∑ )+

( ∑

)

}

=0

∑[

∑ (

∑ )

( ∑

)

( ∑

)

]

=0

∑[

∑

( ∑

)

]

=0

∑{ ̂ [ ̂ ]}

=0 (3.11)


57

=0

(∑

) =0

,∑* ( ∑

) ( ∑

)+

- =0

*∑ ( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

(∑

)

(∑

∑

( ∑

)

) =0


58

(∑

∑

( ∑

)

) =0

Misalkan ∑

,

∑ ,

∑

,

∑

∑

∑,*(

∑ ) ( ∑

)+ *(

∑ ) (

∑ )+

( ∑ )

-

=0

∑*

∑ (

∑ )

( ∑

)

( ∑ )

+

=0

∑(

∑

( ∑ )

)

=0

∑{ ̂ [ ̂ ]}

=0 (3.12)


59

*∑( ∑

)

+

[∑ (

∑ )

] =0

(∑

)

(∑

(∑ )

∑

( ∑

)

)

Untuk

=0

(∑

(∑ )

∑

( ∑

)

) =0

Misalkan (∑ )

∑ , (∑

)

∑

,

∑

, (∑

)

∑ (∑

)

∑

∑

{

*((∑

)

∑

) (

∑ )+ *(∑

) (

∑ ) ((∑

)

∑ )+

( ∑

)

}


60

∑(∑

)

∑

(∑

)

(

∑ )

(∑ )

(

∑ )

( ∑

)

∑[(∑

)

∑

( ∑

)

]

=0

∑[(∑

)

∑

( ∑

)

( ∑

)

]

=0

∑ *

∑

( ∑

)

(

∑

∑

( ∑

)

)+

Untuk

=0

∑ *

∑

( ∑

)

(

∑

( ∑

)

∑

( ∑

)

)+

=0


61

∑ [ ̂ ̂ ]

=0 (3.13)

Bentuk umum dari turunan kedua fungsi log-likelihood adalah

∑

̂ ̂

(3.14)

dan

∑ ̂ ̂

(3.15)

dimana .

Dari turunan parsial kedua fungsi log-likelihood dapat dibentuk sebuah matriks berukuran yang isinya

merupakan elemen-elemen negatif dari nilai-nilai dari persamaan (3.14) dan (3.15). Matriks yang demikian disebut sebagai matriks

informasi yang dinyatakan dengan , yang bentuknya adalah


62

[

]

Untuk mengetahui variansi dan kovariansi dari dugaan parameter dibentuk

suatu matriks yang merupakan invers dari matriks informasi. Sehingga matriks

dugaan variansi dan kovariansi dari ̂, yaitu ̂, diperoleh dengan

menginverskan dugaan matriks informasi, ̂ ̂ . Elemen diagonal

utama ke-p dari matriks dugaan variansi dan kovariansi ̂ menunjukkan

dugaan variansi ̂ , yaitu ̂ , dan elemen-elemen nondiagonalnya menunjukkan

dugaan dari ̂ dan ̂ , yaitu ( )̂ . Akar kuadrat dari ̂ , yaitu ̂

merupakan dugaan standar error dari ̂ . Penyelesaian dari perhitungan log-

likelihood memerlukan software khusus yang dapat ditemukan di beberapa paket

program.

Rumus di atas dari matriks informasi akan sangat berguna ketika membahas

kecocokan model dan menduga signifikansi dari model yang ditentukan adalah

sebagai berikut ̂( ̂) dengan X adalah matriks n dengan ordo p+1 dan V

adalah matriks n dengan elemen diagonalnya ̂ ̂ , dengan matrix X adalah


63

[ ]

dan matrix V

[

̂ ̂

̂ ̂ ̂

]

Fungsi maksimum likelihood menyatakan bahwa probabilitas bersama dari data

hasil observasi merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Prinsip

estimasi dengan metode ini adalah bila ada suatu fungsi likelihood yaitu

( ) maka perlu mencari ̂ ̂ ̂ yang didapat dengan

memaksimumkan nilai ( ).

Pada regresi logistik, pola distribusi bersyarat variabel terikatnya adalah

dimana nilai error mempunyai dua kemungkinan nilai yaitu:

1. maka dengan peluang

2. maka dengan peluang dan dapat dinyatakan

bahwa memiliki ∑ dan [ ] yang

mengikuti distribusi binomial (Hosmer, 2000) karena banyaknya

kejadian/pengamatan yang dilakukan adalah n bukan individual.

Persamaan (3.3) dapat ditulis:


64

(

) ∑

(3.12)

(

) disebut logit atau log-odds .

Persamaan (3.12) mengekspresikan asumsi-asumsi dasar dari model regresi

logistik, yaitu:

1. Logit merupakan fungsi linear dari variabel bebas X.

2. Jika logit =0 maka . Sehingga untuk

berkorespondensi dengan nilai-nilai positif dan untuk

berkorespondensi dengan nilai-nilai negatif, masing-

masing pada skala logit. Jadi, probabilitas dari Y bernilai 1 dan 0

berkorespondensi dengan pada skala logit.

Contoh 3.1:

Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh status merokok dan umur

seseorang pasien terhadap resiko terkena penyakit jantung. adalah status

merokok yang terdiri dari 2 kategori yaitu bernilai 1 jika merokok dan bernilai 0

jika tidak merokok. adalah umur. Y adalah kondisi jantung yang merupakan

variabel kategorik bivariat yang bernilai 1 jika sakit dan bernilai 0 jika tidak sakit.

Diambil 100 sampel dan diperoleh data seperti pada lampiran 1. Model fungsi

probabilitas logistik kumulatif dengan 2 variabel bebas dapat ditulis sebagai

berikut:


65

dimana

Output :

Variables in the Equation

B S.E. Wald df Sig. Exp(B) 95% C.I.for EXP(B)

Lower Upper

Step 1a

umur 0.493 0.114 18.675 1 0.000 1.637 1.309 2.048

merokok(1) 5.841 1.758 11.033 1 0.001 344.060 10.962 10799.300

Constant -22.285 5.272 17.869 1 0.000 0.000

Nilai peduga parameter model adalah dan

dengan galat standarnya masing-masing adalah 5.272, 0.114 dan

1.758. Model regresi logistik yang didapat adalah

e merokok umur

e merokok umur

Berdasarkan tabel di atas kolom sig dapat disimpulkan bahwa variabel

merokok dan umur signifikan mempengaruhi variabel Y. Hal ini dikarenakan

nilai sig untuk kedua variabel bebas kurang dari 0.05.

Model Summary

Step -2 Log

likelihood

Cox & Snell R

Square

Nagelkerke R

Square

1 35.368a 0.629 0.851

a. Estimation terminated at iteration number 8 because

parameter estimates changed by less than 0.001.


66

Tabel Model Summary di atas diperoleh nilai Cox & Snell R Square sebesar 0.629.

Hal ini berarti variabel bebas (status merokok dan umur) di dalam model logit

mampu menjelaskan resiko seseorang terkena penyakit jantung sebesar 62.9%

sedangkan sisanya sebesar 37.1% dijelaskan oleh variabel lain di luar kedua

variabel bebas yang diteliti.

Dari koefisien regresi logistik di atas dapat digunakan untuk memprediksi

probabilitas seseorang terkena penyakit jantung atau tidak. Misalnya jika

seseorang berumur 45 tahun dan ia tidak merokok yaitu nilainya 0, maka

probabilitas terkena penyakit jantung s

aplikasi model regresi logistik untuk ...makalah aplikasi model regresi logistik unttjk...

Documents