aplikasi matematik
DESCRIPTION
kandunganTRANSCRIPT
PENGGUNAAN MODEL MATEMATIK DAN APLIKASI IDEA UTAMA MATEMATIK
BERKAITAN KALKULAS DALAM BIDANG AGRIKULTUR
Kalkulus merupakan pencapaian yang paling besar dalam bidang Matematik sejak kurun
ke-17 lagi. Isaac Newton dan Gottfrien Wilhelm Liebniz telah mencipta Kalkulus secara
berasingan dan memberi sumbangan terbesar dalam bidang ini. Terdapat dua cabang utama
dalam kalkulus iaitu pembezaan dan pengamiran yang saling berhubung melalui teorem asas
kalkulus. Berdasarkan Teorem Asas Kalkulus Newton, kalkulus pembezaan dan pengamiran
merupakan operasi songsang iaitu jika sesuatu fungsi dikamirkan kemudian dibezakan atau
sebaliknya maka kita akan mendapat fungsi yang asal.
Sewaktu awal penciptaan Kalkulus, ramai manusia yang sering bertanya bilakah
Kalkulus akan digunakan dalam kehidupan seharian mereka?. Namun, pada ketika ini kita
boleh lihat bahawa Kalkulus mempunyai aplikasi yang sangat luas dalam bidang perubatan,
pertanian, teknologi dan ekonomi serta dapat menyelesaikan masalah-masalah yang tidak
dapat diselesaikan dengan algebra asas. Pelbagai kajian dan penemuan baru dapat dicipta
apabila ilmu sains digabungkan dengan ilmu kalkulus sekaligus memantapkan dan
mengukuhkan lagi penemuan tersebut. Contohnya, kalkulus pembezaan digunakan dalam
kajian mengenai pertumbuhan terhad populasi. Lebih khusus lagi, untuk melihat bahawa kita
boleh membangunkan model grafik daripada andaian tentang kadar perubahan. Pertumbuhan
natural dalam populasi biologikal bermula dengan andaian kadar pertumbuhan adalah
berkadaran terus dengan populasi dan tiada sekatan ke atas pertumbuhan. Anggapan ini
membawa kepada formula model yang eksponen.
Melalui penulisan ini, kita akan lihat dan terokai apakah aplikasi dan kepentingan
Kalkulus dalam kehidupan seharian manusia khususnya dalam bidang agrikultur. Agrikultur
atau disebut juga sebagai pertanian merupakan salah satu cabang ilmu biologi. Penggunaan
matematik dalam pertanian sering memerlukan fungsi matematik untuk menerangkan dan
meramalkan fenomena yang sentiasa berubah di bawah kadar yang berbeza, dan ini
memerlukan penggunaan kalkulus. Memandangkan fenomena yang berlaku dalam pertanian
sentiasa berubah-ubah di bawah kadar yang berbeza, maka model dynamic of change
(perubahan dinamik) telah diaplikasikan bagi mengukur kadar pertumbuhan tanaman. Kajian
pertumbuhan tanaman mungkin bermula dari zaman purba. Pada zaman pertengahan,
Leonardo da Vinci memerhatikan jangka masa pertumbuhan bermusim dan beberapa ciri-ciri
1
bentuk tumbuhan. Berikut merupakan peta minda yang menunjukkan model kadar perubahan
diaplikasikan dalam bidang agrikultur :
Berdasarkan kepada peta biuh di atas, kita akan lihat dengan terperinci bagaimanakah
model kadar perubahan dapat digunakan dalam bidang agrikultur khususnya bagi mengukur
kadar pertumbuhan tanaman dan kadar perubahan berat tumbuhan. Bagi mengukur kadar
pertumbuhan tanaman, andaikan bahawa pertumbuhan tanaman semakin meningkat. Merujuk
kepada jadual 1, kadar pertumbuhan tanaman adalah malar pada 10g hari−1 dari hari ke-10
2
hingga hari ke-20. Ini bermaksud bahawa tanaman tersebut akan bertambah beratnya
sebanyak 10g setiap hari. Oleh itu, selepas 10 hari tanaman tersebut akan bertambah berat
sebanyak 100g (10g hari−1 X 10 hari). Hal ini mewujudkan hubungan antara kumulatif
perubahan berat (∆W ¿ dengan kadar pertumbuhan (w r ¿ :∆W=w r
dimana ∆ t adalah selang masa. Berikut merupakan Jadual 1
Jadual 1. Graf Kadar Pertumbuhan dan Berat Tanaman bagi hari ke-10 hingga ke-20
Berdasarkan jadual di atas, kita boleh membina sebuah graf (Rajah 1) kadar
pertumbuhan (malar) terhadap masa dan kita akan dapat satu garis mendatar pada 10g hari−1.
Rujuk Rajah 1 pada helaian seterusnya.
3
Hari Kadar Pertumbuhan (g
hari-1)
Berat Tanaman (g)
10 10 300
11 10 310
12 10 320
13 10 330
14 10 340
15 10 350
16 10 360
17 10 370
18 10 380
19 10 390
20 10 400
0
5
10
15
20
10 12 14 16 18 20t , hari
Luas = 10 x 10 = 100
w r Kadar pertumbuhan (g
0
100
200
300
400
500
10 12 14 16 18 20t , hari
W , Berat Tanaman (g)
Rajah 1 . Graf Kadar Pertumbuhan dan Berat Tanaman terhadap Masa
Luas kawasan di bawah garis merupakan perubahan berat terkumpul (kumulatif). Hal ini
bermaksud perubahan berat kumulatif adalah perubahan berat darab dengan selang masa.
Luas kawasan di bawah garis berbentuk segi empat tepat dengan tinggi 10g hari−1 dan lebar
(20-10) hari (selang masa). Kesimpulannya, luas kawasan di bawah garis adalah :
Oleh itu, perubahan berat kumulatif adalah 100g bermula dari hari ke-10 hingga hari ke-20
sama dengan pengiraan pada Jadual 1. Daripada graf B, kita dapat lihat bahawa berat
tanaman dengan masa perlu bertambah secara linear kerana kadar pertumbuhan tanaman
adalah malar. Kita akan mendapati bahawa kadar perubahan berat atau pertumbuhan adalah
10g hari−1 daripada kecerunan pada garis lurus ini. Bagi mecari kecerunan itu, kita perlu
menggunakan formula berikut :
m=y2− y1
x2−x1
dimana (x1 , x2) dan (y1 , y2 ¿ adalah dua pasang titik pada garis lurus. Menggunakan Jadual 1,
ambil dua pasang titik sebagai (15,350) dan (20,400) untuk mencari kecerunan pada garis
tersebut.
4
Luas = 10g hari−1× (20−10hari )=100 g
(a) (b)
m= 400−350g20−15hari
=505
=10 ghari−1
Kesimpulannya, kadar perubahan berat yang segera adalah kecerunan garis bagi graf
berat tanaman terhadap masa. Hal ini bermaksud, kecerunan garis atau lengkung dapat
memberikan kadar perubahan dengan segera manakala luas bawah lengkungan kadar
perubahan pula dapat memberikan perubahan secara kumulatif.
Seterusnya adalah perbincangan mengenai variable rate of change atau kadar
perubahan bukan berterusan. Pengaplikasian kalkulus akan menjadi lebih penting jika kadar
perubahan bukan berterusan. Andaikan mengguna tanaman yang sama tetapi ia berkembang
bukan pada kadar berubah-ubah. Kita dapat lihat bahawa berat tanaman adalah berkaitan
dengan masa melalui fungsi kuadratik berikut :
Di mana f (t) adalah berat tanaman (g) pada masa t (hari).
Sebagai contoh :
Pada hari 10:
Pada hari 11:
…
Pada hari 20:
Hasil pengiraan ini direkod di dalam Jadual 2 pada helaian berikutnya :
5
Hari Berat tanaman (g)
10 300
11 322
12 346
13 372
14 400
15 430
16 462
17 496
18 532
19 570
20 610
Jadual 2. Ukuran Berat Tanaman dari Hari ke-10 hingga ke-20.
Berdasarkan jadual di atas, kita dapat membina sebuah graf bagi berat tanaman terhadap masa seperti graf di bawah :
Rajah 2. Graf Berat Tanaman terhadap Hari.
6
0
150
300
450
600
750
10 12 14 16 18 20t , day
W , plant weight (g)W, Berat Tanaman (g)
t, hari
Berdasarkan graf di atas, kita dapat lihat berat tanaman meningkat seiring masa dengan
cara non- linear. Hal ini menunjukkan bahawa kadar pertumbuhan tanaman adalah berubah-
ubah dan ia adalah kontra dengan pengiraan sebelum ini. Perkara ini terjadi kerana lengkung
pada graf di atas adalah non-linear. Mencari kecerunan lengkung pada titik (a, b), sama maksud
dengan mencari kecerunan garis tangen di (a, b). Namun, bagaimana cara untuk mencari
kecerunan garis tangen?
Idea asas untuk penentuan kecerunan garis tangen pada sesuatu titik adalah
menganggarkan garis tangen dengan teliti pada garis-garis secant . Satu garis secant di P ialah
garis lurus melalui P dan titik Q berdekatan lengkung ini (Rajah 3). Katakan bahawa titik P ialah
(x, f (x )) , dan titik Q adalah h unit mendatar dari kedudukan P supaya titik Q terletak di ( x + h, f
(x + h )) . Oleh yang demikian, kecerunan bagi garis secant melalui titik P dan Q ialah
Rajah 3. Garis tangen kepada lengkung pada titik P dianggarkan hampir dengan garis
secant melalui titik P dan Q.
Untuk membolehkan kecerunan garis secant menghampiri kecerunan garis tangen , kita
perlu pindahkan titik Q hampir dengan titik P, dengan itu h menjadi semakin kecil (tetapi h tidak
7
Kecerunan garis secant
pernah sifar) . Dalam erti kata lain, dengan mengambil h sangat kecil , kecerunan garis secant
boleh diambil sebagai kecerunan garis tangen. Secara matematik , kita menulis ini sebagai
Di mana h→0 bermaksud h menghampiri 0 namun tidak pernah mencapai sifar dan f '(a)
adalah fungsi terbitan f(x) pada x=a. Dalam erti kata lain, f '(a) adalah kecerunan garis tangen
pada x=a. Fungsi derivative kadangkala ditulis sebagai dy/dx, df(x) atau D(x). Jika kita ingin
mengetahui kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-15, kita perlu mencari kecerunan garis
tangen pada t=15. Kita perlu membezakan fungsi berat tanaman seperti berikut: f (t) = t2 + t +
190 pada t = 15
Di mana kita lihat sebagai h→0 , f ' (15) menghampiri 31. Kesimpulannya, kita boleh mengambil
31g hari−1 sebagai kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-15. Jika kita ingin mengetahui
kadar pertumbuhan tanaman bagi hari ke-20 pula, gunakan pengiraan yang sama. Contoh :
Berdasarkan pengiraan di atas, kita tahu bahawa kadar pertumbuhan tanaman pada hari ke-20
adalah 41 ghari−1. Kesimpulannya, kadar pertumbuhan tanaman pada bila-bila masa t adalah :
8
Oleh itu, terbitan bagi fungsi kadar berat tanaman ; f (t) = t2 + t + 190 akan memberikan
fungsi kadar pertumbuhan sebagai f ' (t )=2 t+1. Jadual 3 di bawah menunjukkan ukuran harian
bagi berat tanaman serta kadar pertumbuhan harian dikira ( 2t + 1 ) dari hari ke-10 hingga hari
ke- 20 .
Hari Kadar Pertumbuhan (g hari-1)
Berat Tanaman (g)
10 21 300
11 23 322
12 25 346
13 27 372
14 29 400
15 31 430
16 33 462
17 35 496
18 37 532
19 39 570
20 41 610
Jadual 3. Ukuran Berat Tanaman dan Kadar Pertumbuhan
Berdasarkan jadual di atas, kita dapat lihat bahawa kadar pertumbuhan meningkat
secara linear seiring masa, di mana garis ini digambarkan dengan fungsi 2t+1. Luas bagi
kawasan bawah lengkung dari hari ke-10 hingga hari ke-20 adalah gabungan luas segi tiga
(kawasan A) dan luas segi empat tepat (kawasan B) seperti dalam Rajah 4 di bawah :
9
0
10
20
30
40
50
10 12 14 16 18 20t , day
Area A
Area B
w r = 2t + 1
w r , growth rate (g day-1)
Rajah 4. Graf Kadar pertumbuhan berubah-ubah terhadap masa.
Bagi mencari luas kawasan bawah lengkung seperti pada Rajah 4, kita perlu gunakan
formula seperti berikut :
Hal ini menunjukkan bahawa ukuran berat tanaman bertambah sebanyak 310 g dari hari ke-10
hingga hari ke-20.
Mencari luas kawasan bawah lengkung adalah sama dengan melakukan pengkamiran
dan pengkamiran pula merupakan songsangan bagi pembezaan. Apabila kita mengambil
kecerunan bagi fungsi f, kita mentafsirkannya sebagai kadar perubahan. Namun, jika kita ingin
menentukan perubahan kumulatif iaitu, berapa banyak perubahan telah berlaku, kita perlu
mengambil anti - terbitan daripada kadar perubahan fungsi f’ ; iaitu, kita mengamirkan kadar
fungsi f '. secara ringkasnya, dengan mengamirkan fungsi yang menerangkan kadar perubahan
lengkung, ia memberikan kita perubahan kumulatif ;
10
Kadar pertumbuhan (g hari−1¿
t, hari
A
B
Luas = Luas Segi tiga (A) + Luas Segi empat tepat (B)
[Perubahankumulatif dari (a ,b ) ]=∫a
b
[kadar perubahansegera padau ]du¿∫a
b
f ' (u )du
Penulisan sebelum ini menunjukkan bahawa kadar perubahan segera adalah tetap pada 10 g
hari−1. Maka, apabila dikamirkan ;
∫10
20
10dt=[10t ]1020=420−110=310 g
Ini memberikan kita perubahan kumulatif berubah pada 310g dalam 10 hari yang sama seperti
dalam Jadual 3.
Hasil daripada penulisan ini, jelaslah bahawa kalkulus telah diaplikasikan dalam bidang
agrikultur atau pertanian bagi mengukur kadar pertumbuhan tanaman mengikut masa.
Walaupun pasti ramai yang tidak menjangkakan bahawa kalkulus dapat diaplikasikan dalam
bidang agrikultur ini, namun penulisan ini telah membuktikan kedua-dua cabang utama kalkulus
iaitu pembezaan dan pengamiran sangat penting bagi petani atau pengkaji mengukur kadar
pertumbuhan tanaman dari segi berat tanaman (g). Model dan idea utama berkaitan kalkulus
sungguh berguna di dalam bidang agrikultur kerana ia memudahkan para petani atau peladang
melihat tahap tumbesaran dan perkembangan tanaman mereka dengan lebih terperinci.
Pengaplikasian pengiraan akan memberikan maklumat mengenai tahap pertumbuhan tanaman
dengan lebih tepat (contohnya; melalui graf) berbanding dengan membuat pemantauan secara
mata kasar. Walaupun kalkulus merupakan salah satu cabang matematik yang kompleks,
namun ia berjaya memberikan kesan yang baik dalam kehidupan manusia tanpa mengira apa
jua bidang yang.
SENARAI RUJUKAN
11
Bessonov, N. & Volpret, V. (n.d). Mathematics and Mathematical Modelling : Dynamical Models
of Plant Growth. Lyon : Claude Bernard University Lyon.
Boyer, C. B. (2012). The History of Calculus and Its Conceptual Development. New York :Courier Corporation.
Fernande, O. E. (2014). Everyday Calculus : Discovering the Hidden Math All Around Us. NewJersey : Princeton University Press.
Hunt, R. (2003). Basic Growth Analysis : Plant Growth Analysis for Beginners. London :Academic Division of Unwin Hyman Ltd.
Paine, C. E. T., Marthews, T. R., Vogt, D. R., Purves, D., Rees, M., Hector, A., & Turnbull, L. A.(2012). How to Fit Non-Linear Plant Growth Models and Calculate Growth Rates : anUpdate for Ecologists. Methods in Ecology and Evolution, 3(2), 245-256. doi :10.1111/j.2041-210X.2011.00155.x
12