ppt induksi matematik

16
INDUKSI MATEMATIK EXIT KELOMPOK I 1. ERMANSYAH 2. RIDHA HUTAMI 3. TRI ASTARI OLEH : T E O R I B I L N A G A N

Upload: t-asta

Post on 15-Jan-2017

1.677 views

Category:

Education


86 download

TRANSCRIPT

Page 1: PPT INDUKSI MATEMATIK

INDUKSI MATEMATIK

EXIT

KELOMPOK I1. ERMANSYAH2. RIDHA HUTAMI3. TRI ASTARI

OLEH :

T E O R I B I L NA G A N

Page 2: PPT INDUKSI MATEMATIK

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANGB. IDENTIFIKASI MASALAH

C. PEMBATASAN MASALAHD. RUMUSAN MASALAH

E. TUJUAN MASALAHF. MANFAAT MASALAH

Page 3: PPT INDUKSI MATEMATIK

BAB II PEMBAHASANINDUKSI

MATEMATIK

SEJARAHNYA:Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak terbatas.

PENGERTIAN:Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah.

Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan dalam bukunya yang berjudul arithmétique segitiga du Traité. Pada akhir abad ke-19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano.

Page 4: PPT INDUKSI MATEMATIK

Tahapan Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga langkah, yaitu:1. Langkah BasisMenunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 12. Langkah InduksiMenunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1 3. Kesimpulan

Definisi :Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau salah. Misalkan,P(1), benarJika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita buktikan P(k+1) benarSehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

INDUKSI MATEMATI

K

Page 5: PPT INDUKSI MATEMATIK

1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

p (1) (2n – 1) = n2

(2.1– 1) = 12

1=1 (benar)Jadi, p (1) benar.

2. Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:

n = k 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 n = k +1 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2n-1) = n2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2-1) = (k + 1)2

k2 + (2k + 1) = (k + 1)2

(k + 1)2 = (k + 1)2 (Terbukti)Jadi, p (k+1) benar.

3. Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

Contoh SoalGunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

Page 6: PPT INDUKSI MATEMATIK

PRINSIP INDUKSI

MATEMATIK

1. Prinsip Induksi SederhanaMisal p(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar utnuk semua bilangan bulat positif. Langkah induksi:1. Basis: tunjukan p (1) benar.2. Induksi: Misal p (n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1.3. Kesimpulan: Buktikan bahwa p (n+1) benar.

2. Prinsip Induksi yang Dirapatkan (Generalized)Prinsip induksi sederhana digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n dimulai dari 1. Prinsip induksi yang dirapatkan digunakan untuk membuktikkan pernyataan p (n) dimana n tidak harus dimulai dari 1, tetapi berlaku untuk untuk semua bilangan bulat positif (non negatif).Misal p (n) adalah pernyataan. Kita akan buktikan p (n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Langkah induksi:1. Basis : p (n0) benar.2. Induksi : Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n0.3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

3. Prinsip Induksi KuatMisal p(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Kita akan buktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilanagn n . Langkah induksi:1. Basis : p(n0) benar.2. Induksi : Andaikan untuk semua bilanagn bulat n , p(n0), p(n0+1), …… p(n) benar.3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

Page 7: PPT INDUKSI MATEMATIK

Contoh Soal1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + …+ n = , untuk setiap bilangan asli n.

Penyelesaian:1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + … + n =

p = 1

1 = 1 = 1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar.

2. Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:

)1(211 nn

)1(21

nn

)11(121

)2(21

)1(21

nn

Page 8: PPT INDUKSI MATEMATIK

benar. 1)+(k p Jadi,

(Terbukti) 2)+(k 1)(k21=2)1)(k(k

21

2)+1)(k(k21 =2)3k(k

21

2)+1)(k(k21 =2)2kk(k

21

2)+1)(k(k21 =2)(2kk)(k

21

2)+1)(k(k21 =2)(2k

21 +k)(k

21

2)+1)(k(k21 = 1)(k

22 +k)(k

21

2)+(k 1)(k21= 1)(k

22 +k)(k

21

2)+(k = 1) +(k + 1)k(k21

1)+1)+1)((k(k21 = 1) +(k +k + … + 3 + 2 + 1

1)n(n21 =n +k + … + 3 + 2 + 1 1)+(k =n

1)k(k21 =k + … + 3 + 2 + 1

)1(21 =n + … + 3 + 2 + 1k =n

2

2

2

2

2

2

nn

3. Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)= (k+2), berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

)1(21

kk

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu:

Page 9: PPT INDUKSI MATEMATIK

Contoh Soal:2. Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat non negatif.

122.......222 1210 nn

122 100

Penyelesaian:1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah Untuk p (0)

1 = 2 – 11 = 1 (benar)

Jadi, p (0) benar.

2. Langkah Induksi: andaikan n = 0, adalah benar.

Akan dibuktikan untuk p (n+1):

122.......222 1210 nn

122.......222 1210 nn

)1(Terbukti-2 1-2

1212.2

1-2 1-22

12212

1222...222

1222...222 1)+(n =n

2n2n

21

2n1n1

211n

1)1(1210

1210

nn

n

nn

nnn

nnn

3. Kesimpulan: , untuk semua bilangan bulat positif.

122.......222 1210 nn

Page 10: PPT INDUKSI MATEMATIK

3. Contoh Soal:Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.1. Langkah Basis: Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai perkalian satu bilangan prima) benar.2. Langkah Induksi: Misalkan 2, 3. 4. …..n dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1)Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1). Dengan kata lain:

(n+1) = ab (Terbukti)3. Kesimpulan: Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

ban

)1(

Page 11: PPT INDUKSI MATEMATIK

Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi (Sigma) Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis lebih singkat dengan menggunakan notasi (sigma). Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-contoh penggunaan notasi -notasi .

1.

2.

3. , dengan c = konstanta

4.

5.

Keterangan: dengan n = suku ke-.

nkn

k

...3211

)12(...321)12(1

nkkn

k

n

k

n

k

kcck1 1

n

l

n

ll

n

llll baba

1 1 1

)(

nddddddn

l

...1

Page 12: PPT INDUKSI MATEMATIK

15543215

1

k

k

168)7654321(6667

1

7

1

l l

ii

60101010101010106

1

l

32)222()321(32323 3213

1

3

1

3

1

k

k

kk

k kk

Contoh Soal:

1.

2.

3

4

5 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n. nnkn

k

2

1

32123

Page 13: PPT INDUKSI MATEMATIK

v

Penyelesaian:1. Langkah Basis: Misalkan p (n) menyatakan nnk

n

k

2

1

32123

benar. (1) p Jadi,(benar) 1 = 1

(2)21 = 2 - 3

1)-(32121.3

11.3212-3k(1) P

n

1

2

k

benar. (1) p Jadi,(benar) 1 = 1

(2)21 = 2 - 3

1)-(32121.3

11.321 2-3k (1) P 2

n

1k

2. Langkah Induksi: Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan asli t, yaitu:

Tunjukkan bahwa p (t+1) benar, yaitu:

)3(212)-(3k

)3(212)-(3k t =n

t

1k

2

2n

1k

tt

nn

Page 14: PPT INDUKSI MATEMATIK

3. Kesimpulan: Jadi p (t+1) benar sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan.

benar. 1)+(t p Jadi

(Terbukti) 2)5t(3t212)-5t(3t

21

)253(21)263(

21

)253(21)26()3(

21

)253(21)26(

21)(3t

21

)253(21)13(

22)3(

21

)253(21)13()3(

21

1)363(21)233()3(

21

1)12(3212-1)3(t2)-(3k

)1()1(321)23(

321 2)-(3k 1)+(t =n

22

22

22

22

22

22

22

t

1k

2

1

1

2

2n

1k

ttttt

ttttt

tttt

ttttt

ttttt

tttttt

ttt

ttk

nn

t

k

Page 15: PPT INDUKSI MATEMATIK

3

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULANB. SARAN

Page 16: PPT INDUKSI MATEMATIK

/;,,,,, lj

TERIMA KASIHHOM

E

T E O R I B I L NA G A N