makalah induksi matematik

39

Click here to load reader

Upload: 3-astari

Post on 15-Apr-2017

7.133 views

Category:

Education


233 download

TRANSCRIPT

Page 1: Makalah INDUKSI MATEMATIK

D

I

S

U

S

U

N

OLEH:

KELOMPOK I

ERMANSYAH (8146182009)

RIDHA HUTAMI (8146182035)

TRI ASTARI (8146182041)

KELAS : DIKDAS – KONSENTRASI MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN2015

1

Page 2: Makalah INDUKSI MATEMATIK

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan kepada hadirat Allah SWT yang telah

memberikan kita rahmat kesehatan dan kesempatan, sehingga bisa menyusun atau

menyelesaikan penyusunan makalah Teori Bilangan ini yang berjudul INDUKSI

MATEMATIK.

Shalawat dan rangkaian salam kehadirat nabi Muhammad SAW yang kita

dari alam kegelapan menuju terang benderang.

Pembuatan makalah ini bertujuan sebagai tugas kelompok Teori Bilangan

dan sebagai bahan perkuliahan.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Sahat Saragih,

M. Pd yang telah membimbing penulis dan pihak-pihak yang telah membantu

dalam pembuatan makalah ini.

Makalah ini penulis yakini jauh dari kesempurnaan dan masih banyak

kekurangannya seperti pepatah yang mengatakan “tak ada gading yang tak retak“,

baik isi maupun penyusunnya. Atas semua itu dengan rendah hati penulis

harapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat.

Medan, Agustus 2015

Penulis

2

Page 3: Makalah INDUKSI MATEMATIK

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................i

DAFTAR ISI...........................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN ......................................................................................1

A. Latar belakang .............................................................................................1

B. Identifikasi Masalah ....................................................................................2

C. Pembatasan Masalah ...................................................................................2

D. Rumusan Masalah .......................................................................................3

E. Tujuan Pembahasan ...................................................................................3

F. Manfaat Pembahasan ..................................................................................4

BAB II PEMBAHASAN ......................................................................................5

Sejarah Induksi Matematik .........................................................................5

B. Pengertian Induksi Matematik ....................................................................6

C. Tahapan Induksi Matematik ........................................................................6

D. Prinsip Induksi Matematik ..........................................................................8

E. Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik ...........................................12

F. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi )(Sigma ………….. 17

BAB III PENUTUP..............................................................................................23

A. Kesimpulam...............................................................................................23

B. Saran ..........................................................................................................23

DAFTAR PUSTAKA

3

Page 4: Makalah INDUKSI MATEMATIK

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang

menyenangkan dan susah untuk di pelajari, namun jika kita berusaha dan

memikirkan bahwa matematika itu menyenangkan, pasti kita bisa mempelajari

matematika itu. Bukankah di dunia ini atau persisnya di dalam kehidupan kita ini

semuanya menggunakan matematika?

Untuk menumbuhkan rasa menyenangkan ketika kita belajar matematika,

yaitu gunakan imajinasimu bahwa matematika itu menyenangkan, berikan rasa

percaya diri di dalam kepalamu bahwa matematika itu gampang, dan kalau perlu

ketika kita mengerjakan soal matematika kita harus berimajinasi seperti pemandu

sorak yang tidak sabar menunggu hasil pertandingan yang berakhir dengan

kemenangan.

Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut

induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin menarik.

Induksi matematika sendiri merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam

matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua

bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga

induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang

menyangkut bilangan-bilangan asli.

Bukan hanya itu induksi matematika pun mempunyai prinsip tersendiri

untuk memecahkan suatu permasalahan dan menyelesaikannya yaitu prinsip

terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui,

himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, 4, …

yang dapat dituliskan sebagai berikut: N = .

Induksi matematik adalah suatu teknik pembuktian penting dan dapat

digunakan untuk membuktikan pernyataan benar. Dalam bagian ini kita akan

4

Page 5: Makalah INDUKSI MATEMATIK

menggambarkan bagaimana induksi matematik dapat digunakan dan mengapa

induksi matematik merupakan suatu teknik pembuktian valid. Dengan mencatat

bahwa induksi matematik hanya dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang

diperoleh. Ini bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema.

Selanjutnya, tentang induksi matematik akan dibahas lebih dalam pada makalah

ini.

B. Identifikasi Masalah

Dari latar belakang di atas penulis melakukan pengidentifikasian masalah

sebagai berikut:

1. Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang

menyenangkan dan susah untuk di pelajari.

2. Didalam matematika terdapat sebuah metode pembuktian yang disebut

induksi matematik yang jika dipelajari terlihat sulit namun akan semakin

menarik.

3. Induksi matematik bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau

teorema.

C. Pembatasan Masalah

Untuk mempermudah arah pembahasan masalah ini penulis membuat

batasan masalah sebagai berikut:

1. Sejarah dari Induksi Matematik.

2. Pengertian dari Induksi Matematik.

3. Tahapan Induksi Matematik.

4. Prinsip Induksi Matematik.

5. Contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6. Konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi (sigma).

5

Page 6: Makalah INDUKSI MATEMATIK

D. Rumusan Masalah

Dari latar belakang dan identifikasi masalah yang ada maka rumusan

masalah yang digunakan adalah:

1. Bagaimana sejarah adanya Induksi Matematik?

2. Apa yang dimaksud dengan Induksi Matematik?

3. Bagaimana tahapan Induksi Matematik?

4. Bagaimana prinsip Induksi Matematik?

5. Bagaimana contoh soal penggunaan Induksi Matematik?

6. Bagaimana konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi

(sigma)?

E. Tujuan Pembahasan

Tujuan dari makalah ini, antara lain:

1. Mengetahui sejarah dari Induksi Matematik.

2. Memahami konsep Induksi Matematik.

3. Mengetahui tahapan Induksi Matematik.

4. Mengetahui prinsip Induksi Matematik.

5. Mengetahui contoh soal penggunaan Induksi Matematik.

6. Mengetahui konsep, prinsip dan contoh-contoh penggunaan notasi

(sigma).

F. Manfaat Pembahasan

6

Page 7: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Penulis berharap makalah ini memiliki manfaat bagi kita semua. Dimana

dengan adanya makalah ini dapat membantu semua kalangan baik itu mahasiswa,

pelajar dan masyarakat umum dalam mendalami Induksi Matematik dengan

sejarah, konsep, prinsip, dan hubungan prinsip. Selain itu dapat menambah

wawasan mengenai contoh soal penggunaanya.

BAB II

7

Page 8: Makalah INDUKSI MATEMATIK

PEMBAHASAN

A. Sejarah Induksi Matematik

Sebuah bukti implisit dengan induksi matematika untuk urutan aritmatika

diperkenalkan dalam al-Fakhri yang ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000 Masehi,

yang menggunakannya untuk membuktikan teorema binomial dan sifat segitiga

Pascal. Selain al-Fakhri terdapat juga ilmuwan Yunani kuno yang membuktikan

induksi matematika untuk menyatakan bahwa sifat bilangan prima yang tidak

terbatas. Tidak satupun ahli matematika kuno yang dapat membuktikan induksi

matematika secara eksplisit.

Barulah pada tahun 1665 ilmuwan Prancis yang bernama Blaise Pascal

dapat membuktikannya secara eksplisit. Bukti induksi secara eksplisit dia tuliskan

dalam bukunya yang berjudul arithmétique segitiga du Traité. Pada akhir abad ke-

19 ilmu induksi matematika diperbarui kembali oleh dua orang matematikawan

yang bernama Richard Dedekind dan Guiseppe Peano. Dedekind

mengembangkan sekumpulan aksioma yang menggambarkan bilangan bulat

positif. Peano memperbaiki aksioma tersebut dan memberikan interpretasi logis.

Keseluruhan aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano.

Gambar 3. Richard Dedekind dan Guiseppe Peano

B. Pengertian Induksi Matematik

8

Page 9: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Induksi matematika merupakan salah satu metode/cara pembuktian yang

absah dalam matematik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika

apakah benar atau salah. Seringkali kita hanya menerima saja pernyataan atau

argumen matematika, tanpa mengetahui kebenaran pernyataan tersebut. Oleh

karena itu kita membutuhkan suatu metode untuk membuktikan kebenaran

pernyataan matematika yang disebut induksi matematika.

Meskipun namanya induksi matematik, namun metode ini merupakan

penalaran deduktif. Induksi matematik merupakan salah satu argumentasi

pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta

pembicaranya kumpulan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli.

Melalui induksi matematik ini kita dapat mengurangi langkah-langkah

pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan

kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Induksi matematik yang sesungguhnya merupakan salah satu aksioma

yang dipenuhi oleh sistem bilangan asli. Bentuk umum induksi matematik sebagai

berikut: Misalkan N adalah himpunan semua bilangan asli. Dapat dituliskan

sebagai berikut: N = .

C. Tahapan Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk

memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam himpunan bilangan

positif atau himpunan bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga

langkah, yaitu:

a. Langkah Basis

Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1

b. Langkah Induksi

Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k,

maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n = k + 1

c. Kesimpulan

Definisi :

9

Page 10: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang

bisa benar atau salah. Misalkan,

1. P(1), benar

2. Jika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k + 1 harus kita

buktikan P(k+1) benar

Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

Contoh Soal

Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan

ganjil positif pertama adalah n2.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2\

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

p (1) (2n – 1) = n2

(2.1 – 1) = 12

1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii) Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk

n = k, yaitu:

n = k 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1

n = k +1 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2n-1) = n2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2-1) = (k + 1)2

k2 + (2k + 1) = (k + 1)2

(k + 1)2 = (k + 1)2 (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

10

Page 11: Makalah INDUKSI MATEMATIK

(iii) Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah

diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama

adalah n2.

D. Prinsip Induksi Matematika

1. Prinsip Induksi Sederhana

Misal p (n) adalah pernyataan yang bergantung pada n bilangan bulat

positif. Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar utnuk semua bilangan

bulat positif. Langkah induksi:

1. Basis: tunjukan p (1) benar.

2. Induksi: Misal p (n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1.

3. Kesimpulan: Buktikan bahwa p (n+1) benar.

Con t oh Soal :

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = untuk setiap bilangan asli n.

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + … + n =

p = 1

1 =

1 =

1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar

(ii) Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu

bilangan asli k, yaitu:

n = k 1 + 2 + 3 + … + n =

1 + 2 + 3 + … + k =

Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu:

11

Page 12: Makalah INDUKSI MATEMATIK

n = (k+1) 1 + 2 + 3 + … + k + n =

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ((k+1)+1)

+ (k + 1) = (k+2)

+ = (k+2)

+ = (k+2)

+ = (k+2)

= (k+2)

= (k+2)

= (k+2)

= (k+2) (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

(iii) Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)= (k+2),

berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan

asli n.

2. Prinsip Induksi yang Dirapatkan (Generalized)

Prinsip induksi sederhana digunakan untuk membuktikkan pernyataan p

(n) dimana n dimulai dari 1. Prinsip induksi yang dirapatkan digunakan untuk

membuktikkan pernyataan p (n) dimana n tidak harus dimulai dari 1, tetapi

berlaku untuk untuk semua bilangan bulat positif (non negatif).

Misal p (n) adalah pernyataan. Kita akan buktikan p (n) benar untuk semua

bilangan bulat n ≥ n0. Langkah induksi:

1. Basis : p (n0) benar.

12

Page 13: Makalah INDUKSI MATEMATIK

2. Induksi : Andaikan p(n) benar untuk n ≥ n0.

3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1) benar.

Contoh Soal:

Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat non negatif.

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan, p (n) adalah

Untuk p (0)

1 = 2 – 1

1 = 1 (benar)

Jadi, p (0) benar.

(ii) Langkah Induksi: andaikan n = 0,

adalah benar.

Akan dibuktikan untuk p (n+1) :

n = (n+1)

(Terbukti)

(iii) Kesimpulan: , untuk semua bilangan

bulat positif.

3. Prinsip Induksi Kuat

Misal p(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Kita

akan buktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilanagn n . Langkah

induksi:

13

Page 14: Makalah INDUKSI MATEMATIK

1. Basis : p(n0) benar.

2. Induksi : Andaikan untuk semua bilanagn bulat n , p (n0), p (n0+1), … p(n)

benar.

3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p (n+1) benar.

Contoh Soal:

Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika dan hanya

habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Penyelesaian:

Kita akan buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n , dapat dinyatakan

sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

(i) Langkah Basis:

Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai

perkalian satu bilangan prima) benar.

(ii) Langkah Induksi: Misalkan 2, 3. 4. …..n dapat dinyatakan sebagai

hasil kali satu atau lebih bilangan prima.

Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu

atau lebih bilangan prima.

Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan

sebagai hasil kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1)

Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a

sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1).

Dengan kata lain:

(n+1) = ab (Terbukti)

(iii) Kesimpulan: Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan

sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga

dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima,

sehingga (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih

bilangan prima.

E.   Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematik

Pembuktian dengan Induksi matematik dapat diilustrasikan dengan

14

Page 15: Makalah INDUKSI MATEMATIK

fenomena yang terkenal dengan Efek Domino. Sejumlah batu domino diletakan

berdiri dengan jarak ruang yang sama satu dengan yang lain. Untuk merebahkan

domino kita hanya cukup mendorong domino 1 ke kanan. Jika Domino 1

didorong kekanan, ia akan memdorong domino ke 2, domino 2 mendorong

domino 3, dst sampai semua domino rebah ke kanan.

Adapun beberapa contoh soal penggunaan induksi matematika sebagai

berikut ini:

1. Buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan p (n) adalah

p(1)

1 =

1 = 1 (benar)

Jadi p (1) benar.

(ii) Langkah Induksi:

Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:

n = k

15

Page 16: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Dan harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu ditunjukkan bahwa

n = (k+1)

(Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

(iii) Kesimpulan: Dari langkah-langkah (i) dan (ii) disimpulkan bahwa p (n)

benar untuk setiap bilangan asli n.

2. Untuk semua , buktikan dengan induksi matematika bahwa

habis dibagi 3.

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan p (n) adalah

16

Page 17: Makalah INDUKSI MATEMATIK

P (1) 13 + 2(1) habis dibagi 3

= 3 habis dibagi 3 (benar)

Jadi p (1) benar.

(ii) Langkah Induksi:

Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k yaitu:untuk n =

k benar, yaitu:

n = k habis dibagi 3

= k habis dibagi 3

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :

n = (k+1) habis dibagi 3

= habis dibagi 3

= habis dibagi 3

= habis dibagi 3

= habis dibagi 3

Karena adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi di atas).

= habis dibagi 3

maka juga habis dibagi 3. (Terbukti)

Jadi adalah jumlah dua buah bilangan yang

habis dibagi 3, karena itu juga habis dibagi 3.

Jadi, p (k+1) benar.

(iii) Kesimpulan: Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka

terbukti bahwa untuk semua , habis dibagi 3.

3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 3n < n! untuk setiap bilangan bulat

positif n ≥ 7.

17

Page 18: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah 3n < n!

Misalnya n = 7

n = 7 37 < 7!

= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 < 7 x 6 x 5 x4 x 3 x2 x1

= 2187 < 5040 (benar)

Jadi p (7) benar.

(ii) Langkah Induksi:

Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu: n = k 3n < n!

= kn < k!

Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :

n = (k+1) 3n < n !

= 3k+1 < (k+1) !

= 3k.31 < (k+1) k!

= 3k < k!

Menurut hipotesis induksi, , sedangkan untuk n ≥ 7, nilai

, sehingga akan memperkecil nilai di ruas kiri pertidaksamaan. Efek

nettonya, jelas benar.

(iii) Kesimpulan: Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka

terbukti bahwa 3n < n! untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 7.

4. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5n − 1 dapat dibagi 4

untuk setiap n = 1, 2, ...

Penyelesaian:

18

Page 19: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Adapun langkah-langkahnya yaitu:

(i) Langkah Basis: Misalkan p (n) adalah 5n − 1 habis dibagi 4 untuk

untuk setiap n = 1, 2, ...

n = 1 5n − 1 habis dibagi 4

= 51− 1 habis dibagi 4

= 5 − 1 habis dibagi 4

= 4 habis dibagi 4 (benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii) Langkah Induksi: Asumsikan bahwa 5n − 1 habis dibagi 4 untuk n

= k, yaitu:

n = k 5n − 1 habis dibagi 4

= 5k − 1 habis dibagi 4

Pembuktian untuk n = k + 1,

n = (k+1) 5n − 1 habis dibagi 4

= (5) k+1 − 1 habis dibagi 4

= [5k.5] – 1 habis dibagi 4

= 5k (1 + 4) – 1 habis dibagi 4

= 5k +4. 5k − 1 habis dibagi 4

= (5k – 1) + 4. 5k habis dibagi 4 (Terbukti)

Jadi, p (k+1) benar.

Karena n = k = 1, 2, …

Maka jika n = k =1 (5k – 1) + 4. 5k habis dibagi 4

= (52-1) + 4.52 habis dibagi 4

= (25-1) + 4.25 habis dibagi 4

= 24 + 100 =124 habis dibagi 4

Jadi, 124 dibagi 4 akan bernilai 31

(iii) Kesimpulan: Dari langkah basis dan induksi dapat disimpulkan

bahwa 5n − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1, 2, ...

F.   Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi (Sigma)

19

Page 20: Makalah INDUKSI MATEMATIK

Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis lebih singkat

dengan mengguankan notasi (sigma). Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-

contoh penggunaan notasi-notasi

1)

2)

3) , dengan c = konstanta

4)

5)

Keterangan: dengan n = suku ke-.

Contoh Soal:

1.

2.

3.

4.

5. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n.

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan p (n) menyatakan

P (1)

20

Page 21: Makalah INDUKSI MATEMATIK

3 - 2 =

1 = 1 (benar)

Jadi, p (1) benar.

(ii) Langkah Induksi: Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan

asli t, yaitu:

n = t

Tunjukkan bahwa p (t+1) benar, yaitu:

n = (t+1)

(Terbukti)

Jadi p (t+1) benar.

21

Page 22: Makalah INDUKSI MATEMATIK

(iii) Kesimpulan: Jadi p (t+1) benar sehingga p (n) benar untuk setiap

bilangan.

Contoh di atas dapat dibuktikan meggunakan sifat-sifat notasi sebagai berikut:

=

menggunakan contoh sebelumnya,

maka ingat bahwa

=

=

=

6. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, 7n – 2n selalu terbagi habis oleh 5.

Penyelesaian:

(i) Langkah Basis:

Misalkan p (n) menyatakan 7n – 2n selalu terbagi habis oleh 5.

p (1) 71- 2 1 terbagi habis oleh 5

= 7 – 2 terbagi habis oleh 5

= 5 terbagi habis oleh 5

Jadi, p (1) benar.

(ii) Langkah Induksi: Diasumsikan p (k) benar untuk suatu bilangan

asli k, yaitu :

n = k 7n – 2n terbagi habis oleh 5

= 7k – 2k terbagi habis oleh 5

Tunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu :

n = (k+1) 7n – 2n terbagi habis oleh 5

= 7k+1 – 2k+1 terbagi habis oleh 5

22

Page 23: Makalah INDUKSI MATEMATIK

= terbagi habis oleh 5

= terbagi habis oleh 5

= terbagi habis oleh 5

= terbagi habis oleh 5

= terbagi habis oleh 5

= 7 terbagi habis oleh 5 (Terbukti)

Telah diasumsikan bahwa (7k - 2k) terbagi habis oleh 5. Maka 7

(7k - 2k) terbagi habis oleh 5 pula.

(2k.5) jelas terbagi habis oleh 5, sebab mempunyai faktor 5.

Sehingga 7 terbagi habis oleh 5. Jadi 7k+1 – 2k+1

terbagi habis oleh 5.

Maka p (k+1) benar.

(iii) Kesimpulan: dari langkah (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 7n

– 2n terbagi habis oleh 5 untuk setiap bilangan asli n.

7. Misalkan, banyaknya elemen himpunan Sn adalah n (suatu bilangan asli).

Berapakah banyaknya semua himpunan bagian dari Sn.

Penyelesaian:

Misalkan Sn =

Jika S1 = maka himpunan bagian dari S1 adalah dan . Sehingga

banyaknya himpunan bagian dari S1 adalah 2.

Coba periksalah banyaknya himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut

ini!

Banyaknya himpunan bagian dari S2 = adalah 4. Banyaknya himpunan

bagian dari S3 = adalah 8. Banyaknya himpunan bagian dari S4 =

adalah 16 dan seterusnya. Untuk melihat hal ini dengan lebih jelas

perhatikan Tabel 1.

Tabel 1

Banyaknya

elemen Sn

Himpunan Sn Himpunan bagian dari S

Banyak

himpunan

bagian dari Sn

23

Page 24: Makalah INDUKSI MATEMATIK

0

1

2

3

.

.

.

n

, ,

, , , ,

, .

1 =

2 =

4 =

8 =

Tampak dalam kolom terakhir dari Tabel 1 tersebut bahwa banyaknya

himpunan bagian tersebut merupakan perpangkatan dari 2. Sehingga kita dapat

menduga bahwa banyaknya himpunan bagian dari Sn = adalah

2n. akan tetapi dugaan ini harus dibuktikan kebenarannya. Akan kita buktikan

dengan induksi matematik.

Misalkan p (n) menyatakan “banyaknya himpunan bagian Sn =

adalah 2n. untuk setiap bilangan asli n”.

(i) Langkah Basis: p (1) banyaknya himpunan bagian dari S1 =

adalah 21. Hal ini benar, sebab himpunan bagian dari S1 adalah

dan . Jadi , p(1) benar.

(ii) Langkah Induksi: Diasumsikan p(k) benar untuk suatu bilangan

asli k, yaitu banyaknya himpunan bagian dari Sk =

adalah 2k dan harus ditunjukkan p(k+1) benar

yaitu, banyaknya himpunan bagian dari Sk+1 =

adalah 2k+1.

Telah diasumsikan bahwa banyaknya himpunan bagian dari Sk

adalah 2k. Maka banyaknya himpunan bagian dari Sk+1 adalah

banyaknya himpunan bagian dari Sk ditambah dengan banyaknya

himpunan bagian dari Sk+1 yang bukan merupakan himpunan

bagian dari Sk , yaitu himpunan bagian dari Sk yang masing-masing

24

Page 25: Makalah INDUKSI MATEMATIK

dilengkapi dengan elemen yaitu sebanyak 2k pula. jadi

banyaknya himpunan bagian dari Sk+1 adalah 2k + 2k = 2k+1.

Sehingga p (k+1) benar.

(iii) Kesimpulan: Selanjutnya dapat disimpulkan dari (i) dan (ii)

bahwa p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.

BAB III

PENUTUP

25

Page 26: Makalah INDUKSI MATEMATIK

A. Kesimpulan

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam

matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua

bilangan asli.

Suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu

prinsip induksi sederhana, induksi yang dirapatkan (Generalized) dan induksi

kuat dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah

himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai

berikut. N = .

Induksi matematik digunakan untuk membuktikan hasil tentang

kompleksitas algoritma, pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema

tentang graf dan pohon, dan juga suatu range luas dari identitas dan

pertidaksamaan.

Induksi Matematika juga merupakan suatu teknik yang dikembangkan

untuk membuktikan pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Selain

itu Induksi Matematika juga digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi

secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

B. Saran

Dalam makalah ini penulis memiliki harapan agar pembaca memberikan

kritik dan saran yang membangun. Karena penulis sadar dalam penulisan makalah

ini terdapat begitu banyak kekurangan.

Selain itu, penulis juga menyarankan setelah membaca makalah ini kita

semua dapat mengatakan bahwa matematika itu asyik. Setelah kita belajar tentang

induksi Matematika kita akan lebih tertantang lagi dan lebih bersemangat dalam

belajar khususnya matematika.

26

Page 27: Makalah INDUKSI MATEMATIK

DAFTAR PUSTAKA

Daddy. “Contoh Pembuktian Dengan Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015.

http://askyourdaddy.blog.uns.ac.id/2014/09/12/contoh-pembuktian-dengan-

induksi-matematika/

Ningsih, Novia. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015.

.http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNU

L_NOVIANIGSIH/INDUKSI_MATEMATIK.pdf

Salim, Asbar. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015.

http://asbarsalim009.blogspot.com/2015/02/induksi-matematika.html

Sukirman. 2008. Teori Bilangan. Jakarta: Universitas Terbuka.

Yosi. “Induksi Matematika”. 19 Agustus 2015.

https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/

27

Page 28: Makalah INDUKSI MATEMATIK

28