aplikasi integral untuk menghitung volume menggunakan metode kulit tabung

7/24/2019 Aplikasi Integral Untuk Menghitung Volume Menggunakan Metode Kulit Tabung

1/14

APLIKASI INTEGRAL UNTUK MENGHITUNG VOLUMEMENGGUNAKAN METODE KULIT TABUNG

Paper ini dibuat untuk melengkapi nilai Ujian Tengah Semestermata kuliah Kalkulus

Dosen pangempu : Ni Luh Yulianti, STP., .Si.

Disusun oleh:

!. " Putu #bhiseha Krisna urti $!%!!&'('')*+. " usti Putu #ngga -ira Dananja a $!%!!&'('+!*&. " ade Praset a /andra #ndika $!%!!&'('+(*%. " Putu as Pradn a -iba0a $!%!!&'('+)*(. ede Teguh Sigmara0an $!%!!&'('&!*

JURUSAN TEKNIK PERTANIANFAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS UDAYANABALI2015


2/14

KATA PENGANTAR

Segala puja dan pji penulis panjatkan ke hadapan "da Sangh ang -idi -asa,

Tuhan ang aha 1sa, karena atas petunjuk dan karunia2N a penulis dapat

men elesaikan paper ini, dengan judul 3 Aplikasi Integral untuk Menghitung

Volume Menggunakan Metode Kulit Tabung .

Penulis men adari sepenuhn a bah0a berhasiln a penulisan paper ini tidak

terlepas dari pihak ang telah memberikan bantuan kepada penulis. 4antuan baik

berupa bimbingan, petunjuk, sarana, serta 5asilitas ang berguna bagi penulis.

6leh karena itu pada kesempatan ini penulis mengu7apkan terimakasih ang

sebesar2besarn a kepada :

!. "buk Ni Luh Yulianti, S.TP., .Si, selaku pengampu mata kuliah kalkulus

pada Program Studi Teknik Pertanian, 8akultas Teknologi Pertanian,

Uni9ersitas Uda ana.+. Semua pihak ang telah membantu dalam pen elesaia paper ini ang tidak

dapat penulis sebutkan satu persatu.

#khir kata penulis men adari bah0a dalam penulisan paper ini masih jauh

dari sempurna. 6leh sebab itu kritik dan saran sangat penulis harapkan. Semoga paper ini berman5aat untuk kita semua.

imbaran,;+'!(

Penulis

1


3/14

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..............................................................................................i

DAFTAR ISI...........................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN

!.!................................................................................................Latar 4elakang

......................................................................................................................!!.+...........................................................................................


4/14

BAB IPENDAHULUAN

1.1. Latar B !a"a#$

Kalkulus $ 4ahasa Latin : 7al7ulus, artin a ?batu ke7il?, untuk menghitung*

adalah 7abang ilmu matematika ang men7akup limit , turunan , integral , dan

deret takterhingga . Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana

geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai

pengerjaan untuk meme7ahkan persamaan serta aplikasin a. Kalkulus

memiliki aplikasi ang luas dalam bidang2bidang sains , ekonomi , dan teknik @

serta dapat meme7ahkan berbagai masalah ang tidak dapat dipe7ahkan

dengan aljabar elementer .

Kalkulus memiliki dua 7abang utama, kalkulus di5erensial dan kalkulus

integral ang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus . Pelajaran

kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainn a ang

lebih tinggi, ang khusus mempelajari 5ungsi dan limit , ang se7ara umum

dinamakan analisis matematika . "ntegral adalah kebalikan dari proses

di5erensiasi . "ntegral ditemukan men usul ditemukann a masalah dalam

di5erensiasi di mana matematika0an harus berpikir bagaimana men elesaikan

masalah ang berkebalikan dengan solusi di5erensiasi. Lambang integral

adalah "ntegral terbagi dua aitu integral tak tentu dan integral tertentu .

4edan a adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas ba0ah.

"ntegral tertentu biasan a dipakai untuk men7ari 9olume benda putar dan

luas. #da tiga metode ang digunakan dalam men7ari 9olume aitu metode

7in7in, kulit tabung dan 7akram.

1.2. R%&%'a# Ma'a!a(4erdasarkan latar belakang diatas, dapat diketahui rumusan masalahn a

aitu bagaimana aplikasi integral dalam menghitung 9olume benda putar

dengan menggunakan metode kulit tabung beserta 7ontoh perhitunggann aA

1.). T%*%a#

1
http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integral_tak_tentuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integral_tak_tentuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_tertentu&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_tertentu&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integral_tak_tentuhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_tertentu&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin


5/14

4erdasarkan rumusan masalah diatas, dapat diketahui tujuan penulisan

paper ini aitu untuk mengetahui aplikasi integral dalam menghitung 9olume

benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung beserta 7ontoh

perhitunggann a.

2


6/14

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Ba#$%# Ta+%#$

Dalam kehidupan sehari2hari sering kita temui benda di sekitar kita

ang berbentuk tabung, misaln a drum min ak tanah, kaleng susu, beduk, dan

masih ban ak lain a. #pabila kita perhatikan, tern ata bagian atas dan bagian

ba0ah tabung berbentuk lingkaran. Tabung atau disebut juga silinder adalah

prisma ang alasn a berupa daerah lingkaran dan sisi tegakn a ang

berbentuk bidang lengkung. 4angun ini dapat dianggap sebagai prisma ang

ban akn a sisi tegak tak terhingga. Tabung memiliki & sisi dan + rusuk.

Tabung memiliki dua sisi berbentuk lingkaran dan satu sisi lengkung

berbentuk persegi panjang.


7/14

Untuk men7ari luas permukaan tabung dapat menggunakan jaring2jaring

tabung. aring2jaring tersebut terdiri dari :

Selimut tabung ang berupa persegi panjang dengan panjang B keliling

alas tabung B +Cr dan lebar B tinggi tabung B t, Luas B +Crt.

Dua buah lingkaran $alas dan tutup* berjari2jari r. Luas B+Cr

Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan 7ara berikut :

Luas selimut tabung B keliling alas $p* E tinggi tabung $l*

B +Cr E t

B +Crt

Luas alas dan tutup tabung B Cr F Cr B +Cr

Luas permukaan tabung BLuas alas F tutup F luas selimut tabung

Luas permukaan tabung B +Cr F+Crt B +Cr$rFt*


8/14

V = 2 rh r

h

dihitung adalah 9olume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat

uraian berikut. Pandang tabung dengan jari2jari kulit dalam dan kulit luar

berturut2turut r! dan r+, tinggi tabung h.

Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda ang dibatasi oleh dua tabung

lingkaran tegak ang sumbu simetrin a berhimpit. apabila jari2jari tabung

dalam adalah r! dan jari2jari luar adalah r+, sedangkan tinggi tabung adalah

h!, maka 9olume kulit tabung adalah:

= B Luas alas G Tinggi

= B $Luas alas luar H luas alas dalam* G Tinggi

= B $Cr luar 2 Cr dalam * G h

= B C $r luar 2 r dalam* $r luar F r dalam*

= B 2 (r luar r dalam2 )h (r luar r dalam )

= B2 jari jari rata rata tinggi tebal

=B2 rhr

4ila daerah ang dibatasi oleh B 5$E*, B ', E B a dan E B b diputar

mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bah0a jari2jari r B E ,

xr =

dan tinggi tabung h B 5$E*. 6leh karena itu 9olume benda putar B

( )dx x xf V b

a = +

5


9/14

isal daerah dibatasi oleh kur9a( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }ba x x g x f x g y x f y ,,, ==

, E B

a dan E B b diputar mengelilingi sumbu Y. aka 9olume benda putar B

( ) ( )[ ]dx x g x f xV b

a = +

4ila daerah dibatasi oleh gra5ik ang din atakan dengan EB0$ * EB', B 7

dan B d diputar mengelilingi sumbu G, maka 9olume B

( )[ ]dy yw yV d

c = +

Sedang untuk daerah ang dibatasi oleh

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }d c y yv yw yv x yw x ,,, ==, B 7 dan B d diputar mengelilingi

sumbu G. aka 9olume benda putar B

( ) ( )[ ]dx yv yw yV d

c = +

2.). #t ( , r(it%#$a#!. Iitunglah 9olume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kur9a

B E+ , garis E B +, dan sumbu E diputar mengelilingi sumbu sejauh &>'JLangkah pen elesaian:

!. ambarlah daerahn a

+. 4uatlah sebuah partisi&. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

%. #proksimasi 9olume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitn a,

dan n atakan dalam bentuk integral.

Pen elesaian :

Diketahui : Y B G +

G B +

Sudut putar B &>' '

6


10/14

0x

1 21 2

y

1234

0 x1 2x

x

x y =

x 2

y

1234

Ditan akan : =B;A

Iitungan :

#proksimasi 9olume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitn a, dan

n atakan dalam bentuk integral

= +rhE

= +$E*$E+*E

= +E&E

dx xV =+

'

&+

= B lim +E&E

[ ] +

'

%%!+ xV = )=V

7


11/14

+. Iitung 9olume benda putar bila daerah D ang dibatasi oleh B ! 2 E+ ,

sumbu G dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis E B !a0aban :

8


12/14

&. Daerah ang di arsir pada gambar di ba0ah ini diputar mengelilingi sumbuY sebesar &>' . ika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral

ang men atakan 9olume benda putar tersebut adalah ....a0aban :

= +EE Edx x x =

4

0

2V

9


13/14

BAB III

PENUTUP

).1. K 'i&,%!a#!. Kalkulus $ 4ahasa Latin : 7al7ulus, artin a ?batu ke7il?, untuk menghitung*

adalah 7abang ilmu matematika ang men7akup limit , turunan , integral ,

dan deret takterhingga . "ntegral tertentu biasan a dipakai untuk men7ari

9olume benda putar dan luas.+. #da tiga metode ang digunakan dalam men7ari 9olume aitu metode

7in7in, kulit tabung dan 7akram.&.


14/14

DAFTAR PUSTAKA

#nonim. +'!+. Kulit Tabung. Tersedia pada : http: sharematika.blogspot.7om +'

!+ ' 9olume2benda2putar2metode2kulit2tabung.html. diakses tanggal !M

#pril +'!(

#nonim. +'!%. etode Kulit Tabung. Tersedia pada http: hidupmatematika

blogspot.7om +'!% '& materi2menentukan29olume2dengan2metode.html.

diakses pada !> #pril +'!(

11

aplikasi integral untuk menghitung volume menggunakan metode kulit tabung

Documents