MATEMATICA IV

DOCENTEMg. Arcadio Atencio Vargas INTEGRANTES Milagros Danna Alave Huanca Carlos Eduardo Tarqui CabanaElmer Choque Ururi GRUPO: A SEMESTRE ACADMICO: 2014-II FECHA DE ENTREGA: 17/03/2015 TACNA-PER2015MATEMATICA VI TRABAJO FINALUniversidad Privada de TacnaFacultad de IngenieraEscuela Profesional de Ingeniera Civil

INTRODUCCIONEl descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas bsicas del clculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemticas, y ms importante fue, si cabe, la relacin que encontraron entre el clculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. El maestro de Newton, Isaac Barrow, conoca ya la existencia de la relacin entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el rea de una regin limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relacin.Una gran cantidad de leyes en la Fsica, Qumica y Biologa, tienen su expresin natural en ecuaciones diferenciables. Tambin es enorme el mundo de aplicaciones de las ecuaciones diferenciables en Ingeniera, Economa, Ciencias Sociables, Astronoma y en las mismas Matemticas, la causa es simple, si un fenmeno se puede expresar mediante una o ms razones de cambio entre las variables implicadas, entonces correspondientemente tenemos una o varias ecuaciones diferenciables.Por lo dicho anteriormente concluimos que si es de vital importancia conocer los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciables (sea algebraico, geomtrico e incluso numrico), es ms todava conocer sus aplicaciones as como tambin la forma de plantear y/o modelar un problema sea fsico o ingenieril con ecuaciones diferenciales.Para este trabajo realizaremos una aplicacin de las ecuaciones diferenciable a la ingeniera civil cuyo estudio ser flexion las vigas sometidas a cargas concentradas y distribuidas, que si bien el tema es bastante sencillo, la finalidad del trabajo es demostrar la utilidad del estudio de las ecuaciones diferenciales en nuestra carrera.

OBJETIVOS:

Desarrollar habilidades para la seleccin y aplicacin de mtodos analticos, cualitativos y numricos en la resolucin de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Introducir al estudiante en el anlisis de la solucin de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Potenciar el desarrollo de competencias para la resolucin de problemas propios de la Ingeniera Civil.

Aplicar las ecuaciones diferenciales en la resolucin de problemas reales que se presentan en el campo de la construccin

Establecer nuevas relaciones de las ecuaciones diferenciales y problemas aplicativos a la ingeniera civil.

DEFINICIONES BASICASEcuacin diferencial (E.D.) a una ecuacin que relaciona una funcin (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuacin contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas parciales (E.D.P.).Se llama orden de la ecuacin diferencial al orden de la derivada o derivada parcial ms alta que aparece en la ecuacin. Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma implcita cuando tiene la forma .Se dice que una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma explcita cuando tenemos que .Se dice que una funcin diferencial es lineal de primer grado y de orden n si tiene la forma:

Y se llama lineal homognea si adems .Pero es lineal no homognea s .Si , es una ecuacin diferencial lineal (o no lineal) con coeficientes constantes.Si , es una ecuacin diferencial lineal (o no lineal) con coeficientes variables.Se dice que una funcin y = (x) definida en un intervalo I es solucin de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuacin, la reduce a una identidad. Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solucin es expresable mediante integrales. En general, la solucin de la ecuacin diferencial de orden n depender de n parmetros. Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamtrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretacin geomtrica nos muestra que tambin la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solucin de la E. D.Se define como problema de valor inicial y problemas de valor frontera a aquellos en que la ecuacin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funcin desconocida debe satisfacer.Problema de valor inicial: Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones inciales.Problemas de valor frontera: Es un problema que busca determinar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida, especificadas en dos o ms valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. La funcin primitiva resultante, o funcin solucin de una ecuacin diferencial, puede tener por las condiciones inciales o de frontera diversos valores, diferencindose una solucin de otra en el parmetro, definindose este conjunto de soluciones familia de soluciones de un parmetro (en el caso de existir slo un parmetro) o familia de soluciones de dos o ms parmetros (en el caso de existir ms de un parmetro).

ETAPAS DE RESOLUCIN DEL PROBLEMA CIENTFICO:Formulacin matemtica del problema cientfico: Las leyes cientficas, que por supuesto estn basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificacin idealizada del problema fsico con el que nos encontramos, llamndose esta idealizacin Modelo Matemtico. Cada modelo es una aproximacin a la realidad del problema fsico, su aproximacin y uso del modelo slo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolucin. Si la intuicin o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan til es ese modelo. Solucin de las ecuaciones: Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incgnita o incgnitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solucin exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los clculos numricos se recurre al uso de la informtica. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemtica que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemticas. Interpretacin cientfica de la solucin: Con el uso de las soluciones conocidas, el matemtico o fsico puede ser capaz de interpretar lo que est sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer interpretaciones grficas y tablas para poder comparar la teora con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigacin posterior en las interpretaciones de experimentos previos. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no estn de acuerdo con la teora, debe revisar el modelo matemtico y su formulacin matemtica hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la solucin final de un problema aplicado.Veamos un ejemplo:El ejemplo ms simple de una ecuacin diferencial proviene tal vez de la 2da ley de newton , ya que si un cuerpo cae bajo la influencia de la fuerza de gravedad entonces:

Y como:

Donde denota la posicin del cuerpo al tiempo tenemos:

Que es una ecuacin diferencial ordinaria, cuya solucin es la funcin de posicin .Si adems suponemos que sobre el cuerpo acta una fuerza de friccin con el medio que lo rodea, cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantnea , se tiene que:

De donde:

De esta forma hemos hecho la formulacin matemtica de un problema fsico.Ahora bien para resolver esta Ecuacin Diferencial habra que reconocer que tipo de ecuacin es. (esta ecuacin en una Ecuacin Diferencial no lineal de coeficientes constantes).Una vez resuelto el problema obteniendo su solucin general se obtiene sus soluciones particulares cuyas soluciones sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incgnita o incgnitas involucradas.Por ltimo interpretamos los resultados obtenidos.

EJERCICIOS A RESOLVER APLICADOS A LA ING. CIVIL.

EL SALITRE, UNO DE LOS ENEMIGOS DEL CONCRETO ARMADOLa aparicin de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las orillas del mar se ve incrementando muchsimo al pasar del tiempo. Si se tuvo una cierta cantidad de salitre . Despus de 5 das se observ que aumento en un 100 por ciento y despus de 8 das 400 por ciento. Encontrar la expresin para la cantidad de salitre presente en estructuras de concreto al tiempo y el porcentaje que haba originalmente de salitre.Objetivos:-Uno de los objetivos fundamentales es que se pueden calcular varios tipos de incremento, incrementos de poblaciones que pueden ser objetos, personas, animales o cosas siempre y cuando este crecimiento est en funcin del tiempo.-Reconocer el tipo de problema o fenmeno para poder aplicar las distintas ecuaciones aprendidas en el curso, aplicados a la profesin.

Estrategias de solucin:-Aqu se puede aplicar la ley de Malthus para as encontrar el porcentaje que haba originalmente de salitre, ya que el mencionado salitre incremente en funcin del tiempo:Sea el numero de individuos en el tiempo . La ley de Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la razon de cambio de la poblacin es proporcional al numero de individuos en ese tiempo, es decir:

Este modelo lineal para crecimientode poblaciones, son satissfactorios siempre que la poblacin no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futro distante.Cuando la poblacion es demasiado grande, este modelo matematico no puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre si por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Asi pues, hay que agregar un termino de competicion para que el crecimiento de la poblacion est representado en forma mas realista. Una eleccion adecuada del termino competitivo es , llamda ley de logistica(Verhulst, en 1837): Ahora bien, en general la constante es muy pequea comparada con , de tal modo que si no es demasiado grande entonces el termino es insignificante comparado con . Sin embargo, si es grande entonces el termino debe tomarse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento.Problema N1Procedimientos:Sea la cantidad de salitre que hay en das. De ah que y y es la velocidad a la que se incrementa el salitre.Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:

Cuya solucin integrada es conocida:

Como se tiene que:

Cuando resulta:

La ecuacin resultante quedara:

Si

La ecuacin resultante quedara de la siguiente forma:

RESPUESTAEl porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213 por ciento .

TEMPERATURA DE LOS MATERIALES

Objetivos:-Como es de saber, en lo que consta a los materiales empleados para construcciones estos presentan determinados parmetros (Temperatura, humedad, ndices de deformacin, etc.), por lo tanto es necesario calcular los cambios o fenmenos que puedan ocurrir entre estos. Fundamento Terico:En un cuerpo que se est enfriando la tasa de cambio de temperatura T (t) con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura TA del medio que lo rodea. Esto es:

Si sabemos que k es una constante de proporcionalidad entonces procederemos a integrar la ecuacin con la otra condicin tambin que la Temperatura Ambiente tambin es constante.

Obtenemos la relacin lineal siguiente:

Problema N2Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0F. Despus de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50F.a) Cunto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura de 25F?b) Cul ser la temperatura de la barra despus de 10 minutos?Estrategia para la solucin del problema:Sea T (t) la temperatura de la barra al tiempo t, luego T (0) = 100F y T (20) = 50F. La temperatura del medio ambiente, TA es TA= 0F. Ntese que dT/dt es la velocidad a la que se enfra la barra. Aplicamos la ley de enfriamiento de Newton y obtenemos lo siguiente:

Y como previamente se dijo que la TA=0, la ecuacin diferencial queda de la siguiente manera:

Con T (0) = 100F y con T (20) = 50FTeniendo la solucin general:

Entonces como sabemos tambin que la T (0) = 100F, entonces tenemos la siguiente ecuacin:

Cuando T (20) = 50F obtenemos lo siguiente:

Ya que tenemos el valor del cambio a razn constante (k=-0.03465) la ecuacin diferencial es:

Ahora que tenemos la ecuacin diferencial ya resuelta podemos resolver las incgnitas que nos pide el problema.a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25F

La barra tardara 40 minutos en alcanzar una temperatura de 25Fb) La temperatura de la barra despus de 10 minutos es:

La temperatura de la barra despus de 10 minutos en el cuarto es aproximadamente 71FConclusiones:En conclusin, es posible usar este ejemplo como ingeniero civil para poder medir cuanto tiempo se van a tardar en poder tener las varillas listas para la construccin. Esto es un problema simple pero al mismo tiempo puede ser irrelevante ya que las constructoras ya tienen estas varillas listas. Pero no es el nico caso en el que se puede usar esta ecuacin, tambin se puede llegar a medir tentativamente cuanto tardara el concreto usado en los cimientos en endurecer totalmente para poder volver a trabajar. Existen muchos ejemples, otro que se puede llegar a pensar es por ejemplo para saber cundo tarda una carretera en estar lista o para medir el aguante de un puente para definir qu puede pasar a travs de l.

DEFLEXIN DE VIGAS

Se entiende por deflexin aquella deformacin que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.

Para determinar la deflexin se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de mtodos de clculo: los geomtricos y los de energa.Cuando es importante estudiar las deflexiones: En estructuras metlicas. Vigas y Columnas de construccin. Sistemas de tuberas. Ejes/ rboles para maquinas.En el estudio de una viga, ella podr flectar de acuerdo a ciertos factores tales como: Distancia entre apoyos. Materiales de la viga. La carga aplicada. Propiedades geomtricas de las vigas. Tipos de vinculacin (apoyos).

Consideraciones para modelar el problema de deflexin de vigasConsidere una viga horizontal AB segn la figura. Se supone que la viga es uniforme en su seccin transversal y de material homogneo. El eje de simetra se encuentra en el plano medio indicado por la zona sombreada conocido superficie neutra plana.

Superficie neutra plana

Cuando est sometida a fuerzas, las cuales suponemos que estn en un plano que contiene el eje de simetra, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura.

Superficie neutra curva

Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinacin de ambas. El eje de simetra distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la curva elstica. La determinacin de esta curva es de importancia en la teora de elasticidad.Hay muchas maneras de apoyar vigas. Vigas en voladizo: una viga en la cual el extremo A est rgidamente fijo, mientras que el extremo B est libre, para moverse.Viga simplemente apoyada: la viga est apoyada en los dos extremos A y B.Hay ms formas y ms condiciones para la deflexin que sern aplicadas a cada tipo de problema.As como hay diferentes maneras de apoyar vigas, tambin hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa.Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.Carga variable sobre toda la viga o slo en una parte de ella.Carga puntual o concentrada.

Carga variable sobre toda la viga o slo en una parte de ella.

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

Carga uniformemente distribuida

VIGA EN VOLADIZO

Carga puntual o concentradaOTRA FORMA DE APOYAR UNA VIGA

Modelado y formas de resolver la ecuacin diferencial de la deflexinConsidere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de simetra (lnea punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje Y como positivo hacia abajo.

Debido a la accin de las fuerzas externas (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetra se distorsiona en la curva elstica que se muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elstica desde el eje X se llama la deflexin o flecha de la viga en la posicin x. As, si determinamos la ecuacin de la curva elstica, se conocer la deflexin de la viga.Para poder formular la ecuacin debemos saber:Sea M(x) el momento flector en una seccin transversal vertical de la viga en x. Este momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una lnea horizontal en la seccin transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convencin de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencion antes. No importa cul lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde cualquier lado son iguales. El momento flector en x est simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elstica en x, siendo la relacin:

Donde E es el mdulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseo de la viga, e I es el momento de inercia de la seccin transversal de la viga en x con respecto a una lnea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta seccin transversal. El producto EI se llama la rigidez y se considerar como una constante.Si asumimos que la viga se dobla slo levemente, lo cual es vlido para muchos propsitos prcticos, la pendiente y de la curva elstica es tan pequea que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuacin se puede remplazar por la buena aproximacin:

Por lo que tambin es vlido escribirlo de esta forma:

La ecuacin (1) es una ecuacin diferencial lineal de la forma:

En vigas siempre habr momentos que flexionen la viga por lo que Por lo que concluimos que la ecuacin () es una ecuacin diferencial lineal de primer grado, de orden n no homognea de coeficientes constantes (esto es debido a que el producto EI es constante). Por lo que se tiene que resolver dicha ecuacin.Sin embargo por lo simple de la ecuacin diferencial tambin resulta ser una ecuacin diferencial de orden superior cuyas variables son separables.En conclusin existen dos mtodos:1er mtodo:La ecuacin (), es una ecuacin diferencial de la forma:

Donde es una funcin solo de x.La solucin de la ecuacin (1) se obtiene por integraciones sucesivas, es decir:

Si usamos el primer mtodo para resolver la ecuacin () tenemos:

Integrando sucesivamente tenemos:

Es la solucin general de la ecuacin ().Para hallar los valores de las constantes y tenemos que tener valores de condiciones iniciales y/o valores de condiciones de frontera, estos valores estarn definidos de acuerdo al tipo de viga que se analizara la deflexin, (sea una viga simplemente apoyada, empotrada, etc.).

2do mtodo:Como la ecuacin ( es tambin una ecuacin diferencial lineal no homognea de coeficientes constantes su solucin general ser:

Donde: La solucin general de la ecuacin diferencial lineal homognea de coeficientes constantes, dicha esta ecuacin se obtiene haciendo cero M(x) La solucin particular cualquiera de la ecuacin diferencial lineal no homognea de coeficientes constantes.

Como M(x) siempre ser un polinomio de grado m donde , se presentaran solo dos casos:1er caso:Si r=0, no es raz de la ecuacin caracterstica P(r)=0 (r es la variable que reemplaza a las derivadas en una E.D.L.H. para obtener su ecuacin caracterstica y hallar las races de dicha ecuacin), entonces la solucin particular es:

2do caso:Si r=0, es raz de la ecuacin caracterstica P(r)=0, entonces la solucin particular es:

Donde s es la multiplicidad de r=0

Ejemplo de aplicacin

Como la ecuacin ( es tambin una ecuacin diferencial lineal no homognea de coeficientes constantes su solucin general ser:

Para obtener hacemos M(x)=0

Entonces su ecuacin caracterstica ser: (Cuya raz es de multiplicidad 2)Por lo tanto la solucin general ser:

Para hallar la ecuacin lineal no homognea se iguala M(x) cuyo polinomio es:

Cuya forma deber ser idntica (ser un polinomio completo y ordenado), al polinomio

Luego se deriva en funcin de x (dependiendo del orden de la E.D.L), y se reemplaza los valores de la derivada en la ecuacin , con la finalidad de hallar los coeficientes del polinomio , con un sistema de ecuaciones.Por ultimo tendramos que ver si r=0 es una raz de la ecuacin caracterstica para determinar si la solucin particular es el 1er o 2do caso.

PROBLEMA 3.-

En una construccin de una vivienda unifamiliar se tiene una viga principal de 8 m de longitud que est apoyada en dos columnas verticales. Si la viga tiene una carga uniforme de 2500 kg por metro de longitud y una carga al centro de 15000 kg, cul es la curva elstica de la viga?

SOLUCION:Las fuerzas que actan sobre OP son: Una fuerza aplicada en O a x metros de P, dirigida hacia arriba e igual a la carga total, es decir:

Una fuerza de 1500X dirigida hacia abajo que est en el punto medio de OPAs el momento flector en P es. Entonces la ecuacin diferencial tiene la siguiente forma:

Resolvemos integrando directamente una vez

Volvemos a integrar:

Ahora analizamos la viga:En el punto O, y

En el punto Q, y

Por lo tanto la curva elstica de la viga est dada por la solucin:

INTERPRETACION:Si queremos conocer la ecuacin de la curva elstica debemos resolver la ecuacin diferencial, con esta ecuacin hallada, conociendo el mdulo de elasticidad y la inercial de la viga se puede representar grficamente cual ser la deformacin de la viga.

CONCLUSIONES: La ecuacin del momento flector en el punto P es de

En el punto O no se tiene valor de constante pero el punto P donde hay una distancia y por consiguiente un momento el valor de constate es de .

La ecuacin final de la curva elstica de la viga de 8 metros es:

FUNDAMENTO TEORICO DEL PROBLEMA:

Una viga es un elemento estructural que soporta cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. (BEER, JOHNSTON, DEWOLF, & MAZUREK, 2013)

Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexin, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes.

Trazado tentativo de la curva elsticaSe denomina por curva elstica, la curva que representa la deformada del elemento en su lneacentroidal.En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elstica considerando las curvaturas que se producen por flexin y las restricciones de los apoyos.

VENTURA B. JOSE 2004)

PROBLEMA 4.-Una viga horizontal de longitud 200 cm est apoyada en su extremo izquierdo y libre en el derecho, siendo esta una viga empotrada el peso de la viga es de 1000 kg y la fuerza en un extremo es de W1= 2500 kg.Encontrar la ecuacin de su curva elstica y su deflexin mxima cuando:a) La viga est sometida a su propio peso por unidad de longitud (W = constate) b) La viga est sometida a su propio peso y a una carga W1 localizada en el extremo libre.

SOLUCION:Solucin para la parte A:

Ecuacin de su curva elstica:

Ecuacin de la deflexin mxima:

Calculo del momento de inercia

Solucin para la parte B:Ecuacin de su curva elstica:

Ecuacin de la deflexin mxima: Calculo del momento de inercia

INTERPRETACION:

Con esta ecuacin hallada, conociendo el mdulo de elasticidad y la inercial de la viga se puede representar grficamente cual ser la deformacin de la viga.Para el clculo de la deflexin mxima solamente se necesita remplazar los pesos y la longitud de la viga.

CONCLUSIONES:

La viga tiene una longitud de 200 cm y dos cargas una es su mismo peso y la otra que es aplicada en el extremo, estas se agregan a las ecuaciones que se calcularon. el momento de inercia en ambos casos es de 227812.5 cm4, ya que son de la misma dimensin.

EJERCICIO N5EJEMPLO VIGA SIMPLEPara la viga indicada en la figura, se pide determinar la ecuacin de la lnea elstica, la flecha mxima y el giro en los apoyos.

Solucin:

Tenemos 4 constantes de integracin por lo que necesitamos 4 Condiciones de Borde para encontrar el valor de dicha constante.

Condiciones de Borde:1. Desplazamiento vertical en el Apoyo A cale cero.2. Momento flector en el Apoyo A vale cero (rtula).

3. Desplazamiento vertical en el apoyo B vale cero.

4. Momento flector en el Apoyo B vale cero (rtula)

De 1. De 2. De 4. De 3.

Reemplazando valores:

Ecuacin de la Lnea Elstica de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.PROBLEMA N6Hallar la elstica de una viga simplemente apoyada sometida a una carga concentrada:

Solucion:

Dado que la funcin momento no queda expresada mediante una nica ley debemos integrar en dos campos distintos.

En el caso particular en que la carga se encuentra en la mitad de la luz:

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