anova one way

Anova Satu Arah (Anova One Way)

1. Pengertian

Analisis varians atau analysis of variance (ANOVA) adalah metode analisis statistika

yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Dalam literatur Indonesia metode ini

dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis

variansi. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak

statistika modern. Dalam praktik, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis maupun

pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan).

Secara umum, analisis varians menguji dua varians atau ragam berdasarkan hipotesis

nol bahwa kedua varians itu sama dengan membandingkan rata-rata populasi bukan

ragam populasi. Disebut analisis ragam, karena dalam prosesnya ANOVA memilah-milah

keragaman menurut sumber-sumber yang mungkin. Sumber keragaman inilah yang akan

digunakan sebagai pembanding untuk mengetahui sumber mana yang menyebabkan

terjadinya keragaman tersebut.

Konsep analisis varians didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat

diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan antara

berbagai varabel yang diamati. Dalam pengujian hipotesis dan perhitungan statistik,

analisis varians sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan

dari distribusi populasi, homogenitas varians populasi, dan kebebasan dari kesalahan.

Menurut banyaknya faktor atau kriteria yang menjadi pusat perhatian, ANOVA

dibagi menjadi Anova satu arah, Anova dua arah dan Anova multi arah. ANOVA satu

arah digunakan ketika variabel dependen-nya univariat dengan pengaruh satu faktor, jika

terdapat pengaruh lebih dari satu faktor maka dapat digunakan ANOVA dua arah.

2. Fungsi

Untuk mengetahui perbedaan antara 3 kelompok atau lebih.

3. Asumsi

a. Data berskala minimal interval.

b. Data berdistribusi normal. Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan

terhadap karakteristik data setiap kelompok.

c. Varians data homogen. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa

varians dalam masing-masing kelompok dianggap sama

d. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen.

4. Hipotesis

H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 = … = μ k

H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda atau tidak seluruhnya mean populasi

adalah sama

Dalam H0 = μ k , artinya :

a. Seluruh mean populasi adalah sama.

b. Tidak ada efek treatment (tidak ada keragaman mean dalam grup)

Dalam H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda, artinya :

a. Terdapat sebuah efek treatment

b. Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)

5. Tabel Perhitungan

Data dibuat dengan menyusun data tersebut seperti tabel data dibawah ini agar lebih

mudah memahaminya. Tabel data tersebut yaitu sebagai berikut :

PopulasiTotal

1 2 ... K

Sampel

X11

X12

...

X1n

X21

X22

...

X2n

...

...

...

...

Xk1

Xk2

...

Xkn

Total T1=∑X1 T2 =∑X2 ... Tk =∑Xn Ttotal = ∑Xtotal

Total Kuadrat T12 = ∑X1

2 T22= ∑X1

2 .... TK2=∑Xn2 Ttotal

2 = (∑Xtotal )2

Ukuran n1 n2 ... nk Ntotal

Rata – ratax̄< 1=∑X1/n1 x̄2=∑X2/n2

... x̄< k = ∑Xn / nk x̄< total = ∑Xtotal / Ntotal

Tabel 1. Tabel Data

Keputusan untuk menolak atau menerima H0 bisa ditentukan dengan membuat tabel ANOVA

sebagai berikut :

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas (df)

Jumlah

Kuadarat

Varian

(ragam)

F hitung F tabel

Antar Kolom

Galat atau Sisa

(k – 1)

(N – k)

SST = JKK

SSE = JKS

MST = KTP

MSE = KTS

MST / MSE Fα(v1, v2)

Total (N – 1) TSS = JKT

Tabel 2. Tabel ANOVA satu arah

Keterangan :

1) k = jumlah kelompok atau perlakuan

2) N = jumlah data = n1 + n2 + ...... + nk

3) Derajat Bebas (df)

a) df numerator = (k – 1)

b) df denominator= (N – k)

c) df Total = (N – 1)

4) FK = Faktor Koreksi = G2/N = (∑Xtotal)2/N

5) Jumlah Kuadrat

a. Jumlah Kuadrat antar Kolom :

SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N ,

dengan Tij adalah jumlah data tiap kelompok (T1, T2, ..., Tk)

b. Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa :

SSE = ( TSS – SST ) atau JKS = ( JKT- JKS )

c. Jumlah Kuadrat Total :

TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N ,

dengan Xij adalah tiap data dalam kelompok (X1, X2, ..., X3)

6) Rata – Rata Kuadrat

a. Rata – Rata Kuadrat antar Kolom:

MST = SST / (k-1) atau KTP = JKP / (k-1)

b. Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa :

MSE = SSE / (N – k) atau KTS = JKS / (N – k)

7) F Statistik :

a. F Hitung = MST / MSE atau KTP / KTS

b. F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α)

8) Pengambilan Keputusan

H0 ditolak, jika F Hitung > F Tabel

H0 diterima, jika F Hitung < F Tabel

6. Langkah Perhitungan

Langkah-langkah melakukan uji anova satu arah adalah sebagai berikut :

1) Penuhi asumsi yang terdiri dari kenormalan data, independenan data, dan

homoskedastisitas.

2) Membuat tabel pengamatan.

3) Melakukan perhitungan.

4) Merumuskan Hipotesis.

5) Memuat hasil perhitungan kedalam tabel Anova.

6) Menarik Keputusan.

7) Membuat Kesimpulan.

7. Uji Barlett

Uji Barlett berfungsi untuk mengetahui data yang kita uji termasuk data yang homogen

atau data yang heterogen. Dala uji Barlett terdapat hipotesis, statistik uji, dan

pengambilan keputusan yang harus digunakan didalamnya, yaitu sebagai berikut :

1) Hipotesis

H0 : Varians data homogen

H1 : Varians data hetergen

2) Statistik Uji

Buat tabel seperti di bawah ini :

Dari tabel diatas hitung nilai-nilai yang dibutuhkan :

a. Varians gabungan dari semua sampel

b. Harga satuan B dengan rumus

c. Uji bartlett digunakan statistik chi-kuadrat yaitu :

Dengan ln 10 = 2.3026

3) Pengambilan keputusan dengan menggunakan tabel Chi-Square dengan derajat bebas

(k – 1) dan tingkkat signifikansi α. H0 ditolak jika :

Jika H0 ditolak, berarti varians data adalah heterogen dan menunjukkan bahwa analisis

varians satu arah tidak dapat digunakan sehingga harus menggunakan uji statistik non-

parametrik.

8. Contoh Soal

1) Contoh 1 :

Seorang dosen bahasa Indonesia hendak melakukan penelitian berkenaan dengan

efektifitas empat macam tekhnik membaca yang bisa digunakan oleh mahasiswanya.

Untuk keperluan itu, masing-masing dipilih 10 mahasiswa untuk menerapkan teknik

χ2> χ tabel2

membaca tersebut. Dari penelitian tersebut, data skor kecepatan efektif membaca

(KEM) tertera pada tabel berikut ini :

Teknik Membaca

A B C D

90 70 40 50

80 50 60 30

70 60 50 60

50 70 50 40

60 50 70 50

80 70 60 40

80 70 60 50

70 80 60 60

90 60 40 40

80 70 60 30

Pertanyaan :

Dengan asumsi data berdistribusi normal, apakah ada perbedaan efektifitas dari

keempat teknik membaca tersebut? ( α = 1% )

Jawab :

a. Hipotesis

H0 : μ1 = μ 2 = μ 3 = μ 4

H1 : Minimal ada satu pasang μ yang berbeda

Atau

H0 : Tidak ada perbedaan efekifitas dari keempat teknik membaca

H1 : Ada perbedaan feketifitas dari keempat teknik membaca

b. Tabel Perhitungan

Teknik Membaca

Sampel A B C D

90 70 40 50

80 50 60 30

70 60 50 60

50 70 50 40

60 50 70 50

80 70 60 40

80 70 60 50

70 80 60 60

90 60 40 40

80 70 60 30

Total 750 650 550 450 2400

Total

Kuadrat57700 43100 31100 21300

153200

Ukuran 10 10 10 10 40

Rata –

rata75 65 55 45

240

c. Faktor Koreksi

FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 24002 / 40 = 144000

d. Tabel ANOVA

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas (df)

Jumlah

Kuadarat

Varian

(ragam)

F hitung F tabel

Antar Kolom

Galat atau

Sisa

3

36

SST = 5000

SSE = 4200

MST =

1666,67

MSE =116,67

1666,67/116,67

= 14,28

F (3);(36);(0,99) =

4,38

Total 39 TSS = 9200

Keterangan :

a) k = 4

b) N = 40

c) Derajat Bebas (df)

df numerator = (k – 1) = (4 – 1) = 3

df denominator = (N – k) = (40 – 4) = 36

df Total = (N – 1) = (40 – 1) = 39

d) Jumlah Kuadrat

Jumlah Kuadrat antar Kolom :

SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (7502/10 + 6502/10 + 5502/10 +

4502/10) – (144000) = 149000 – 144000 = 5000

Jumlah Kuadrat Galat atau Sisa :

SSE = ( TSS – SST ) = 9200 – 5000 = 4200

Jumlah Kuadrat Total :

TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (902+802+...+302) – ( 144000) =

153200 – 144000 = 9200

e) Rata – Rata Kuadrat

Rata – Rata Kuadrat antar Kolom:

MST = SST / (k-1) = 5000 / (4 – 1) = 1666,67

Rata – Rata Kuadrat Galat atau Sisa :

MSE = SSE / (N – k) = 4200 / (40 – 4) = 116,67

f) F Statistik :

F Hitung = MST / MSE = 1666,67 / 116,67 = 14,28

F Tabel = Fα(v1, v2) = F (k-1) ; (n-k) ; (1-α) = F (3);(36);(0,99) = 4,38

g) Pengambilan Keputusan

F Hitung > F Tabel

14,28 > 4,38

( H0 ditolak, artinya ada perbedaan efektifitas dari keempat teknik membaca

tersebut ).

2) Contoh 2 :

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada metode yang dalam

waktu penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air yang paling optimal .

Ada tiga metode penambahan yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 bak

berisi air, lalu dicatat waktu yang digunakan (menit) untuk perubahan kualitas

tersebut, yaitu sebagai berikut :

Metode 1 Metode 2 Metode 3

16 12 26

22 20 23

24 15 17

18 10 25

20 18 19

Pertanyaaan:

A. Ujilah dengan α= 0,5 % , apakah ada pengaruh perbedaan metode waktu

penambahan kaporit terhadap perubahan kualitas air ?

B. Ujilah apakah varians data tersebut homogen atau heterogen!

Jawab :

A. Menguji ada tidaknya perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap

perubahan kualitas air

a. Hipotesis

H0 : μ1 = μ 2 = μ 3


Atau

H0 : Tidak ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan

kualitas air

H1 : Ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit terhadap perubahan

kualitas air


Sampel

Metode 1 Metode 2 Metode 3

16 12 26

22 20 23

24 15 17

18 10 25

20 18 19

Total 100 75 110 285

Total

Kuadrat2040 1193 2480 5713

Ukuran 5 5 5 15

Rata –

rata20 15 22 57

c. Faktor Koreksi

FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 2852 / 15 = 5415

d. Tabel ANOVA

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas (df)

Jumlah

Kuadarat

Varian

(ragam)

F hitung F tabel

Antar Kolom

Galat atau Sisa

2

12

SST = 130

SSE = 168

MST = 65

MSE = 14

65/14 = 4,64 F(2);(12);(0,95) =

3,89

Total 14 TSS = 298

Keterangan :

a) k = 3

b) N = 15


df numerator = (k – 1) = (3 – 1) = 2


df Total = (N – 1) = (15 – 1) = 14

d) Jumlah Kuadrat


SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (1002/5 + 752/5 + 1102/5) – (5415) =

5545 – 5415 = 130


SSE = ( TSS – SST ) = 298 – 130 =168


TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (162+222+...+192) – ( 5415) = 5713 –

5415 = 298



MST = SST / (k-1) = 130 / (3 – 1) = 65


MSE = SSE / (N – k) = 168 / (15 – 3) = 14

f) F Statistik :

F Hitung = MST / MSE = 65 / 14 = 4,64



( α = 0,5% )

F Hitung < F Tabel

4,64 < 8,51

( H0 diterima, artinya tidak ada perbedaan metode waktu penambahan kaporit

terhadap perubahan kualitas air).

B. Menguji homogen atau tidaknya varians data

a. Hipotesis

H0 : Varians data homogen

H1 : Varians data hetergen

b. Statistik Uji

Sampel df 1/df log dk log

3) Contoh 3 :

Tiga kelompok subyek penelitian untuk menguji metode pempbuangan sampah mana

yang paling baik. Metode pertama adalah open dumping, metode kedua adalah

dumping in water, dan metode ketiga adalah burning on permises yang dicoba

terapkan di 24 tempat. Data hasil penelitian tersebut adalah sebagai berikut:

Metode Pembuangan

Sampah

I II III

25 17 26

11 16 20

16 18 17

26 20 26

32 10 43

25 14 46

30 19 35

17 18 34

Pertanyaan :

Dengan asumsi data berdistribusi normal, apakah ada perbedaan hasil akhir dari

penerapan ketiga metode pembuangan sampah tersebut? ( α = 2,5% )

Jawaban :

a. Hipotesis

H0 : μ1 = μ 2 = μ 3


Atau

H0 : Tidak ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan

sampah

H1 : Ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode pembuangan

sampah


Metode Pembuangan Sampah

Sampel

I II III

25 17 26

11 16 20

16 18 17

26 20 26

32 10 43

25 14 46

30 19 35

17 18 34

Total 182 132 247 561

Total

Kuadrat4516 2250 8387 15153

Ukuran 8 8 8 24

Rata –

rata22.75 16.5 30.875 70.125

c. Faktor Koreksi

FK = G2/N = (∑Xtotal)2/N = 5612 / 24 = 13113,375

d. Tabel ANOVA

Sumber

Keragaman

Derajat

Bebas

(df)

Jumlah

Kuadarat

Varian

(ragam)

F hitung F tabel

Antar Kolom

Galat atau Sisa

2

21

SST= 831,25

SSE = 1208,375

MST =

415,625

MSE = 57,54

415,625/57,5

4 = 7,22

F (2);(21);(0,975) =

4,42

Total 23 TSS = 2039,625

Keterangan :

a) k = 3

b) N = 24


df numerator = (k – 1) = (3 – 1) = 2


df Total = (N – 1) = (24 – 1) = 23

d) Jumlah Kuadrat


SST = JKK = ∑Tij2 /n - (∑Xtotal)2/N = (1822/8 + 1322/8 + 2472/8) –

(13113,375) = 13944,625 – 13113,375 = 831,25


SSE = ( TSS – SST ) = 2039,625 – 831,25 = 1208,375


TSS = JKT = ∑(Xij2 ) - (∑Xtotal)2/N = (252+112+...+342) – ( 13113,375) =

15153 – 13113,375 = 2039,625



MST = SST / (k-1) = 831,25 / (3 – 1) = 415,625


MSE = SSE / (N – k) = 1208,375 / (24 – 3) = 57,54

f) F Statistik :

F Hitung = MST / MSE = 415,625 / 57,54 = 7,22



F Hitung > F Tabel

7,22 > 4,42

( H0 ditolak, artinya ada perbedaan hasil akhir dari penerapan ketiga metode

pembuangan sampah tersebut ).

anova one way

Documents