anova

ANALISIS VARIAN SATU ARAH

Disusun oleh :

1. Kayis Kurnia Putra

2. Nuruljanah

3. Ranny Novitasari

4. Ria Puspita Sari

5. Rina Anggraini

6. Rusmaini

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

INDARALAYA

ANALISIS VARIANS SATU ARAH

10.1 Pengantar

Prosedur penentuan apakah dua buah populasi memiliki rata-rata yang sama

atau tidak telah dibahas di dalam pembahasan tentang hipotesis. Tetapi, sering terjadi

bahwa masalah-masalah manajemen meliputi beberapa populasi, dan pembuat

keputusan ingin mengetahui apakah rata-rata dari populasi, dan pembuat keputusan

ingin mengetahui apakah rata-rata dari populasi-populasi itu sama atau tidak.

(Soegyarto,2004:309)

Mula-mula kita akan menerapkan sebuah pengujian yang disebut: “Pengujian

Analisis Varian (Analisys of Variance Test – ANOVA Test)”. Seperti diketahui,

varian adalah kuadrat dari simpang baku. Jadi, (atau s) merupakan simpang baku,

maka (atau s2) merupakan sebuah varian. Pengujian ini disebut analisis varian

karena di dalam pembentukannya, kita menentukan apakah menerima atau menolak

hipotesis mengenai rata-rata populasi yang sama dengan menganalisis variasi (varian)

di dalam rata-rata cuplikan. Menurut Mendehall, prosedur analisis varian bertujuan

untuk menganalisis variasi dari sebuah jawaban (response) dan untuk menentukan

bagian daripada variasi ini bagi setiap kelompok variabel bebas.


Tujuan daripada analisis varian adalah untuk menempatkan variabel-variabel

bebas penting di dalam suatu studi dan untuk menentukan bagaimana mereka

berinteraksi dan mempengaruhi jawaban. (Mendehall & Reinmuth, 1982; hlm. 542).

10.2 Konsepsi Dasar dan Hipotesis

Teknik ANOVA berasal dari penelitian pertanian (agricultural research).

Tetapi, di tahun-tahun terakhir ini ia telah dikembangkan sebagai alat yang ampuh di

dalam menganalisis masalah-masalah ilmiah lainnya. Seperti dalam masalah-masalah

bisnis dan ekonomi. (Soegyarto,2004:310)

Di dalam sebuah analisis varian, dua buah taksiran mengenai varian populasi,

, dihitung atas dasar dua buah pendekatan perhitungan yang bebas.Pendekatan

pertama adalah menghitung sebuah penaksir dari yang tetap sesuai tanpa

memandang adanya perbedaan-perbedaan antara rata-rata dari beberapa populasi.

Dengan kata lain, rata-rata dari beberapa populasi dapat berlainan, tetapi penaksir

daripada ini tidak akan dipengaruhi oleh kenyataan yang mungkin bahwa Ho itu

adalah palsu. Dikarenakan oleh kenyataan ini, dengan sendirinya, nilai hitungan ini

tidak dapat dipergunakan untuk menguji keabsahan dari Ho. Jadi, diperlukan unsur

kedua. (Soegyarto,2004:310).

Pendekatan kedua akan menghasilkan perhitungan mengenai sebuah taksiran

yang sesuai jika rata-rata populasi itu sama. Pendekatan ini menghasilkan sebuah

taksiran yang akan berisi pengaruh-pengaruh dari setiap perbedaan-perbedaan antara

semua rata-rata populasi.Singkatnya, apa yang diuraikan di atas dapat diringkaskan

dengan decision rule’s berikut ini:

Jika dua buah taksiran yang dihitung diperkirakan sama, maka kita dapat

menyimpulkan bahwa kemungkinan tidak terdapat perbedaan-perbedaan antara rata-

rata populasi. Jadi, hipotesis nol harus diterima.

Jika taksiran itu dihitung dengan pendekatan kedua secara signifikan berbeda

dari taksiran dari pendekatan pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa taksiran

kedua berisikan penaruh dari perbedaan-perbedaan rata-rata populasi. Jadi, Ho harus

ditolak. (Sanders et.al, 1985; hlm.280-281).

Selanjutnya, dasar pemikiran yang mendasari analisis varian dapat lebih baik

ditunjukkan dengan suatu pembahasan simbolis. Analisis yang nyata dapat

digambarkan dengan sebuah contoh.

Ingat kembali bahwa variabilitas dari sekelompok n ukuran adalah

proporsional terhadap jumlah kuadrat simpangan-simpangan (sum of squares of

deviations)

dan jumlah ini dipergunakan untuk menghitung varian cuplikan (sample variance).

Jika sebuah model regresi linear multivariabel ditulis untuk jawaban Y, bagian

dari jumlah keseluruhan kuadrat simpangan-simpangan yang ditentukan untuk

kesalahan (error) merupakan jumlah kuadrat simpangan-simpangan dari nilai Y

sekitar nilai prakiraan mereka masing-masing yang diperoleh dari persamaan

prakiraan Yc. Jumlah ini dinyatakan sebagai SSE, dan digambarkannya dengan

jumlah kuadrat simpangan-simpangan dari nilai Y sekitar sebuah garis lurus.

Bagi kasus-kasus yang kita perhatikan, bila variabel-variabel bebastidak

berhubungan dengan jawaban ia dapat menunjukkan bahwa masing-masing potongan

dari jumlah keseluruhan kuadrat simpangan-simpangan, dibagi dengan sebuah

bilangan konstan yang sesuai, memberikan sebuah penaksir yang bebas dan tidak

berat sebelah, varian dari kesalahan eksperimental.

Bila sebuah variabel, sangat berhubungan dengan jawaban, bagiannya (sebut

“jumlah kuadrat” bagi variabel itu) akan dibesarkan (inflated). Kondisi ini dapat

dideteksi dengan membandingkan taksiran untuk memakai sebuah uji F. Jika

taksiran bagi variabel bebas secara signifikan lebih besar, uji F akan menolak sebuah

hipotesis tentang “tidak ada pengaruh bagi variabel bebas” dan menghasilkan bukti

untuk menunjukkan suatu hubungan dengan jawaban.

Hipotesis untuk ANOVA adalah rata-rata dari populasi-populasi yang

disebarkan secara normal seperti: tiga buah populasi A, B,dan C, adalah sama, atau

Di dalam analisis varian, asumsi-asumsi berikut harus dibuat:

Pertama: Cuplikan-cuplikan itu ditarik secara acak, dan masing-masing cuplikan

independen dari cuplikan-cuplikan lain.

Kedua: Populasi-populasi yang diteliti memiliki sebaran-sebaran yang mendekati

kurva normal.

Ketiga: Populasi-populasi darimana nilai-nilai cuplikan diperoleh semuanya

memiliki varian populasi yang sama ( . Jadi, asumsi ketiga ini adalah:

Di mana k = jumlah populasi.

10.3 Prosedur Perhitungan

Untuk menjelaskan bagaimana prosedur perhitungan dilakukan, marilah kita

mengambil sebuah cuplikan acak: a,b, dan c, dari masing-masing ketiga buah

populasi A, B, dan C. (Soegyarto,2004:314)

Taksiran yang tidak berat sebelah dari varian ( populasi besar yang

didasarkan pada cuplikan-cuplikan di atas dapat diperoleh dengan salah satu dari

ketiga metode berikut:

1) Memakai varian antar-kelas (atau antar-cuplikan) (Variance Between)

Atau dinyatakan dalam bentuk umum:

Dimana: i = kelas-kelas atau cuplikan-cuplikan indicidual, a, b , dan c

ni = besaran kelas i atau besaran cuplikan yang ditarik dari populasi i

r = jumlah kelas

Tabel : X-1

Data Cuplikan Disusun Menurut Kolom

Pengamatan dalam Setiap

Cuplikan

Cuplikan

a b c

1

2

3

4

5

Xa

Xa

Xa

Xa

-

Xb

Xb

Xb

Xb

Xb

Xc

Xc

Xc

Xc

-

Jumlah

Rata-rata cuplikan

Tabel : X-2

Data Cuplikan Disusun Menurut Baris

Cuplikan Pengamatan dalam Setiap Cuplikan Total Rata-

rata

cuplikan 1 2 3 4 5

A

b

c

Xa

Xb

Xc

Xa

Xb

Xc

Xa

Xb

Xc

Xa

Xb

Xc

-

Xb

-

2) Memakai Varian dalam kelas (atau dalam cuplikan individual) (Variance

Within)

Dimana Xi = bagian-bagian individual dalam kelas i.

n = na + nb + nc = jumlah bagian-bagian dalam cuplikan tunggal besar.

3) Memakai Varian dari cuplikan besar tunggal (Total Variance)

Contoh:

Seorang manajer sebuah bank sedang meninjau kinerja dari para karyawan

bagi kemungkinan menaikkan gaji dan mempromosikan jabatan. Di dalam

mengevaluasi para petugas kasir, manajer menentukan bahwa kriterion yang penting

dari kinerja mereka adalah jumlah pelanggan yang dilayani setiap hari. Manajer

mengharapkan bahwa setiap kasir diperkirakan akan menangani jumlah pelanggan

yang sama setiap hari. Sebaliknya, setiap kasir harus diberi hadiah atau hukuman

yang sesuai dengan itu.

Enam hari kerja perusahaan dicuplik secara acak, pelanggan yang melewati

masing-masing ketiga kasir bank itu dicatat. Datanya tampak di bawah. Anda diminta

untuk:

1) Menyusun data di atas dalam sebuah tabel menurut kolom.

2) Membuat taksiran atas varian populasi besar yang tidak berat sebelah .

Hari ke: Kasir 1

Nuryati

Kasir 2

Yuniar

Kasir 3

Ahmad

1

2

3

4

5

6

45

56

47

51

50

45

55

50

53

59

58

49

54

61

54

58

52

51

Pemecahan :

1) Menyusun tabel menurut kolom.

Tabel: X-3

Data Evaluasi 3 Orang Kasir

(Menurut Kolom)

Hari ke: Kasir 1

Nuryati

Kasir 2

Yuniar

Kasir 3

Ahmad

1

2

3

4

5

6

45

56

47

51

50

45

55

50

53

59

58

49

54

61

54

58

52

51

Jumlah 294 324 330

Rata-rata

Cuplikan

49 54 55

2) Menaksir Varian Populasi

Menaksir varian populasi dengan memakai 3 cara seperti yang dijelaskan di

atas.

a) Cara Pertama (Variance Between)

b) Cara Kedua (Variance Within)

+

+

c) Cara Ketiga (Total Variance)

10.4 Pengujian Hipotesis

Untuk mengkaji hipotesis di dalam analisis varian (ANOVA) dipergunakan

peralatan Uji-F. Pengujian ANOVA didasarkan pada asumsi bahwa cuplikan-

cuplikan acak sederhana yang secara bebas ditarik dari sebaran normal memiliki

varian yang sama.Dari asumsi ini, para matematisi menurunkan sebaran kemungkinan

dari statistik F cuplikan. Sebaran itu memiliki dua buah parameter. Mereka itu adalah

dua derajat bebas (db) untuk F cuplikan, db1 untuk pembilang dan db2 untuk

penyebut. (Soegyarto,2004:319)

Prosedur pengujian dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah ke 1 : Menetapkan Hipotesis

Sebagaimana telah dijelaskan di depan, di dalam pengujian ANOVA hipotesis

ditetapkan sebagai berikut:

Ho :

Ha : Tidak seluruh rata-rata populasi adalah sama.

Langkah ke 2 : Menentukan F Cuplikan

F cuplikan (atau statistik F atau Critical Ratio, CR) ditentukan dengan

perumusan berikut:

Langkah ke 3 : Mencari Titik Kritis

Untuk mencari titik kritis atau F tabel perlu ditetapkan tingkat signifikansi

yang akan dipakai, misalnya = 1% atau = 5%. Sesudah itu mengacu pada kedua

derajat bebas (db1 dan db2), nilai titik kritis dicari dalam tabel “F-distribution”.

Titik kritis dinyatakan dengan notasi:

F , db1, db2 , ......

Langkah ke 4: Pengambilan Keputusan

Penagmbilan keputusan dilakukan dengan titik kritis F tabel atau F . Dari

hasil perbandingan itu diambil keputusan berikut:

Apabila ternyata F cuplikan < F , maka Ho diterima dan Ha ditolak.

Apabila ternyata F cuplikan ≥ F , maka Ho ditolak dan Ha diterima.

Langkah ke 5:

Terakhir, setelah diambil suatu keputusan atas dasar perbandingan kedua nilai

tersebut, kemudian ditariklah suatu kesimpulan.

Jika Ho diterima, kita simpulkan bahwa semua rata-rata populasi adalah sama.

Jika Ho ditolak, kita simpulkan bahwa tidak semua rata-rata populasi adalah

sama.

Contoh:

Melanjutkan contoh di atas, marilah kita lakukan Pengujian ANOVA

Langkah 1:

Hipotesi yang akan diuji adalah:

Ho: Rata-rata populasi pelanggan yang ditangani oleh ketiga kasir bank setiap

harunya adalah sama.

Ha: Rata-rata populasi pelanggan yang ditangani oleh ketiga kasir bank setiap

harinya tidak seluruhnya sama.

Langkah 2 :

Diketahui:

(r - 1) = 3 – 1 = 2

r(n – 1) = 3(6 – 1) = 15

F cuplikan = 63/16,4 = 3,84

Langkah 3 :

Dalam pengujian ini dipergunakan tingkat signifikansi = 1% dan = 5%, dengan

db1 = 2 dan db2 = 15. Atas dasar itu, maka

F = 5%, db1=2, db2=15 = 3,68 dan

F =1%, db1=2, db2=15 = 6,36.

Sekarang kita bandingkan antara F cuplikan dengan F ,

1) Ternyata bahwa F cuplikan = 3,84 ≥ F =5% = 3,68

2) Ternyata bahwa F cuplikan = 3,84 < F =1% = 6,36

Langkah 4:

Dari hasil perbandingan diatas diambil keputusan sebagai berikut:

a) Menolak Ho pada tingkat signifikansi = 5%

b) Menerima Ho pada tingkat signifikansi =1%

Langkah 5 :

Sebagai berikut langkah terakhir, kita menarik kesimpulan-kesimpulan berikut:

Pertama : Dengan menolak Ho pada = 5%, dapat disimpulkan bahwa jumlah

rata-rata pelanggan yang dilayani oleh masing-masing kasir per hari

tidak lah sama.

Kedua : Dengan menerima Ho pada = 1%, dapat disimpulkan bahwa jumlah

rata-rata pelanggan yang dilayani oleh masing-masing kasir per hari

adalah sama.

Masalah sekarang adalah kesimpulan mana yang akan diikuti atau dipakai

oleh manager bank tersebut tergantung pada tingkat signifikansi mana yang diyakini

akan dapat dijadikan landasan bagi kebijaksanaannya. Karenanya diperlukan

penelitian susulan untuk menentukan secara tepat perbedaan di dalam kinerja mereka.

Berikut ini diberikan contoh lain dimana data ditabulasikan menurut baris dan

besaran cuplikan tidak sama.

Contoh no 3:

Seorang peneliti menarik sebuah cuplikan tentang penghasilan dari 14 orang tenaga

ahli disebuah kota selama periode tertentu. tertentu. Ia ingin mengklasifikasikan

penghasilan bulanan itu menurut keahlian mereka masing-masing, yaitu: notaries,

akuntan, konsultan, seperti Nampak pada table: X – 4.

Ia ingin mengetahui apakah ada atau tidak ada perbedaan yang berarti antara

rata-rata dari penghasilan bulanan yang diklasifikasikan dengan tiga pekerjaan yang

berlainan. Untuk keperluan uji F, ia memakai tingkat signifikansi (a) α = 5% dan (b)

α = 1%. ((Soegyarto,2004:324)

Tabel: X – 4

Data untuk contoh No. 3

Pekerjaan Penghasilan Bulanan (Rp 100.000)

Anggota Cuplikan (ni) Jumlah

1 2 3 4 5

Notaris

7,9

7,5

7,6

7,8

-

30,8

Akuntan

Konsultan

7,7

6,7

7,6

6,2

7,1

7,1

7,4

6,6

7,2

6,4

37,0

33,0

Jumlah besar

100,8

Rata-rata Cuplikan Besar (X):

(100,8 + 14) x Rp 100.000,- = Rp 720.000,-

Pemecahan:

(1) Menetapkan Hipotesis

H0 : Rata-rata penghasilan bulanan dari ketiga pekerjaan yang berbeda itu

adalah sama,atau µa = µb = µc.

Catatan : a = notaries, b = akuntan, c = konsultan.

Diasumsikan bahwa ketiga populasi (penghasilan bulanan) itu disebarkan

secara normal.

(2) Mencari nilai F cuplikan.

2.1 Menghitung Rata-rata Cuplikan:

Penghasilan Bulanan (Rp)

Notaris ( )

Akuntan ( )

Konsultan ( )

790.000,- 770.000,- 670.000,-

750.000,- 760.000,- 620.000,-

760.000,- 710.000,- 710.000,-

780.000,- 740.000,- 660.000,-

720.000,- 640.000,-

3.080.000,- 3.700.000 3.300.000,-

Rata-rata = 770.000,-

Rata-rata = 740.000,-

Rata-rata = 660.000,-

2.2 menghitung varian antar-cuplikan.

a. Notaris

( – = 4 (770.000 – 720.000 = 4(50.000

=10.000.000.000,-

b. Akuntan

( – = 5(740.000 – 720.000 = 5(20.000

=2.000.000.000,-

c. konsultan

( – = 5 (660.000 – 720.000 = 5(-60.000

=18.000.000.000,-

2.3 menghitung varian dalam cuplikan

(a). notaris

–

1 (790.000 – 770.000 = 400 jt

2 (750.000 – 770.000 = 400jt

3 (760.000 – 770.000 = 100jt

4 (780.000 – 770.000 = 100jt

5 ................................

Jumlah 1.000 jt

(b) Akuntan:

n1 (Xb – X(rata-rata)b)2

1

2

3

4

5

(770000 – 740000)2 = 900 jt

(760000 – 740000)2 = 400 jt

(710000 – 740000)2 = 900 jt

(740000 – 740000)2 = 0 jt

(720000 – 740000)2 = 400 jt

Jumlah: Rp 2600,- jt

(c) Konsultan:

n1 (Xc – X(rata-rata)c)2

1

2

3

4

5

(670000 – 660000)2 = 100 jt

(620000 – 660000)2 = 1600 jt

(710000 – 660000)2 = 2500 jt

(660000 – 660000)2 = 0 jt

(640000 – 660000)2 = 400 jt


2.4 Menghitung Variasi Total

(a) Notaris:

n1 (Xa – X(rata-rata))2

1

2

3

4

5

(790000 – 720000)2 = 4900 jt

(750000 – 720000)2 = 900 jt

(760000 – 720000)2 = 1600 jt

(780000 – 720000)2 = 3600 jt

- - - -

Jumlah: Rp 11.000,- jt

(b) Akuntan:

n1 (Xb – X(rata-rata))2

1

2

3

4

5

(770000 – 720000)2 = 2500 jt

(760000 – 720000)2 = 1600 jt

(710000 – 720000)2 = 100 jt

(740000 – 720000)2 = 400 jt

(720000 – 720000)2 = 0 jt


(c) Konsultan:

n1 (Xc – X(rata-rata))2

1

2

3

4

5

(670000 – 720000)2 = 2500 jt

(620000 – 720000)2 = 10000 jt

(710000 – 720000)2 = 100 jt

(660000 – 720000)2 = 3600 jt

(640000 – 720000)2 = 6400 jt


2.5 Menghitung Jumlah Besar (Grand Total)

Cuplikan Variasi Antar

(Rp juta)

Variasi Dalam

(Rp juta)

Variasi Total

(Rp juta)

Notaris

Akuntan

Konsultan

10.000

2.000

18.000

1.000

2.600

4.600

11.000

4.600

22.600

Jumlah Besar 30.000 8.200 38.200

Db1 = 3-1=2

Db2 = (4+5+5)-3=11

Db total= 14-1=13

2.6 Mencari Nilai Cuplikan

F cuplikan =

(3) Pengambilan Keputusan dan Penarikan Kesimpulan

Dengan Db1= 3-1 = 2 dan Db2 = 14-3 = 11, nilai F secara signifikan

besar jika, berdasarkan pengujian pihak kanan, diketahui :

F berada di atas 3,98 pada tingkat

F berada di atas 7,21 pada tingkat

Karena nilai F cuplikan 25,61 jauh di atas 7,21, dapat diambil keputusan H0

harus ditolak, baik pada tingkat maupun pada .

Atas dasar keputusan tersebut, dapat disimpulkan bahwa rata-rata

populasi dari penghasilan bulanan ketiga tenaga ahli tersebut (notaris,

akuntan, dan konsultan) tidak sama. Populasi ketiga tenaga ahli tersebut

merupakan sesuatu yang berbeda.

((Soegyarto,2004:328)

10.5 Tabel Anova

Hasil dari seluruh proses perhitungan di atas, dapat disajikan secara ringkas di

dalam sebuah tabel yang disebut : “Tabel Anova”. Adapun format umum dari tabel

tersebut dapat ditampakkan seperti berikut : ((Soegyarto,2004:328)

Tabel : X-5

Tabel Analisis Varian (Anova)

Sumber

Variasi

Variasi

(Sum of

Aquares)

*) (SS)

Derajat

Bebas

(db)

Varian

(Maen

Squares)

(MS)

F Rasio

Cuplikan α =

5%

α =

1%

AntarCuplikan

r– 1

Dalam

Cuplikan

r(

Total

n-1 Hasil pengujian

H0

............................................................

Tabel : X-6

Tabel Anova Hasil Perhitungan Contoh No 3

Sumber

Variasi

Variasi

(Sum of

Aquares)

*) (SS)

Derajat

Bebas

(db)

Varian

(Maen

Squares)

(MS)

F Rasio

Cuplikan α =

5%

α =

1%

AntarCuplikan Rp

30.000,-

3-1 = 2 Rp 30.000/

2 = Rp

15.000

Rp

15.000+

Rp

585,714

= 25,61

3,98 7,21 Dalam

Cuplikan

Rp

8.200,-

14-3=

11

Rp

8.200/11=

Rp 585,714

Total Rp

38.200,-

14-

1=13

Hasil pengujian

H0 ditolak

*) Dalam jutaan rupiah

Catatan : Rumusan derajat bebas di dalam tabel :X-5 untuk variasi dalam cuplikan

diberikan 2 macam : r( bila = ; n-1 bila

((Soegyarto,2004:329)

10.6 Model Anova Satu Arah

Di dalam model Anova satu arah perlu diperhatikan hal-hal berikut ini :

1. Data yang diklasifikasikan menurut klasifikasi satu arah

2. Hanya terdapat satu variabel di dalam analisis itu.

Gambaran yang disajikan pada contoh 3 didasarkan pada pengklasifikasian

satu-arah dari data tertentu, klasifikasi yang berupa tiga buah cuplikan yang

berlainan. Akan tetapi analisis varian satu-arah akan memperpanjang prosedur yang

semula dipergunakan untuk memasukkan setiap jumlah dari cuplikan-cuplikan. Juga,

besaran-besaran daripada cuplikan-cuplikan, kelas-kelas, adalah tidak sama didalam

contoh 3 di atas. Bilamana besaran-besaran cuplikan adalah sama, metode

menghitung varian-varian yang diinginkan dapat disederhanakan. Metode yang

disederhanakan itu disajikan di bawah ini : ((Soegyarto,2004:330)

Tabel : X-7

Data Cuplikan Diklasifikaskan Menurut Baris Untuk Anova Satu Arah

Cuplikan-

cuplikan

(i=1,2,...,r)

Pengamatan di masing-

masing cuplikan pengamatan

ke-j

(j=1,2,...,c)

Cuplikan

(baris) Total

ΣXi

Cuplikan

(baris) rata-

rata

1 2 ... c

1

2

.

.

.

r

.

.

.

.

.

.

...

...

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Simbol yang dipakai di dalam tabel di atas dijelaskan berikut

i = baris kelas atau cuplikan individual, 1,2,3,...,r

j = kolom individual, 1,2,3,...,c

r = jumlah baris, atau jumlah cuplikan

c = jumlah kolom, atau besaran masing-masing cuplikan

Perumusan yang dipergunakan di dalam penyelesaian pengujian secara

bertahap dijelaskan sebagai berikut :

1) Kita memiliki persamaan dasar seperti berikut :

Variasi Total = Variasi Dalam + Variasi Antar

2) Dinyatakan dengan notasi : St = Sw + Sr

3) Bilamana setiap variasi dibagi dengan derajat bebas masing-masing, maka

akan diperoleh perumusan lain seperti berikut:

St / (n-1) = S2

= Varian Total

Sw / (n-r) = S2

within = Varian dalam

Sr / (r-1) = S2 between = Varian antar

4) Di dalam kaitannya dengan penyelesaian Anova satu-arah, perlu dilakukan

penyederhanaan perhitungan variasi total dan variasi antar kelas. Jadi:

Dimana :

c = jumlah kolom, atau besara masing-masing cuplikan. C adalah bilangan

konstan.

r = jumlah baris, atau jumlah cuplikan

n = c.r = jumlah nilai X dari cuplikan yang disatukan. Misalkan: c =4 dan r

=3, maka n=cr=12

= nilai X dalam baris ke-i, dim mana i= 1,2,3,...,r

5) F cuplikan (F rasio) dicari dengan rumusan :

F cuplikan = Sr / (r-1) + Sw / (n-r)

= S2 antar + S2 dalam

(324)

Marilah kita perhatikan contoh berikut ini :

Sebuah perusahaan besar menawarkan sebuah kursus pelatihan manajemen

kepada stafnya. Staf- staf itu dibagi kedalam tiga kelompok dan diajar oleh tiga orang

instruktur yang berlainan, yaitu : Arsyad, Bunyamin, dan Ganda. Bahan pelajaran

yang diberikan didalam kursus itu sama untuk masing – masing kelompok.

Pada akhir pelatihan, sebuah ujian yang seragam diberikan kepada para staf

itu. Sebuah cuplikan yang berisikan 4 orang staf diambil secara acak dari setiap

kelompok. Nilai ujiian, maksimum 10 point, dari kedua belas orang staf didalam

ketiga cuplikan diberikan dibawah ini.

Tabel X – 8

Data untuk Contoh Ini

Instruktur Staf-staf Total

Σxi

Rata-rata

X(rata-rata)i 1 2 3 4

Nilai

Arsyad

Bunyamin

Ganda

6

2

7

7

2

9

9

5

10

10

7

10

32

16

36

8

4

9

Total ΣXj 15 18 24 27 ΣX = 84

Rata-rata

X(rata-rata)j

5 6 8 9 X(rata-

rata) = 7

Direktur pendidikan dan perusahaan itu ingin mengukur apakah rata-rata nilai-nilai

yang dikelompokkan menurut ketiga instruktur yang berlainan itu berbeda secara

signifikan atau tidak. Pergunakan tingkat signifikansi (a) α = 5% dan (b) α = 1%.

Pemecahan:

(1) Merumuskan Hipotesis nol:

H0 : Rata-rata nilai yang diklasifikasikan menurut ketiga instruktur yang

berlainan adalah sama.

Ha : Tidak semua rata-rata nilai sama.

(2) Mencari F rasio.

(a) Hitunglah jumlah-jumlah yang diperlukan:

Arsyad Bunyamin Ganda

ΣXi : 32 16 36

Σ(ΣXi) : 32 + 16 + 36 = 84

(ΣXi)2 : (32)

2 = (16)

2 = (36)

2 =

1024 256 1296

ΣX2 : 6

2 + 7

2 + 9

2 + 10

2 + 2

2 + 2

2 + 5

2 + 7

2 + 7

2 + 9

2 + 10

2 + 10

2

= 36 + 49 + 81 + 100 + 4 + 4 + 25 + 79 + 79 + 81 + 100 + 100

= 678

(b) Masukkan hasil (a) ke dalam rumus:

St = ΣX2 – /n] = 678 – [(84)2/12] = 678 – 588 = 90

Sr - /n] = (2576/4) –

= 644 – 588 = 56

= St Sr

(c) Hitunglah F rasio :

F cuplikan = S r / (r – 1) + / (n – r)

= antar + dalam = 56 / (3 – 1) + 34 / (12 – 3 )

= 28 + 3,778 = 7,41 dengan = 3 – 1 = 2 dan = 12 – 3 =

9

(3) Mengambil Keputusan dan Kesimpulan

Di dalam tabel F 5%, nilai Fa = 5% dengan = 2 dan = 9 adalah

4,26. Karena nilai F cuplikan = 7,41 ternyata lebih besar daripada nilai maka

harus ditolak. Didalam tabel F 1%, nilai Fa = 5% dengan = 2 dan =

9 adalah 8,02. Karena nilai F cuplikan = 7, 41 ternyata lebih kecil daripada

nilai Fa’ maka harus diterima. Jadi, ditolak pada tingkat signifikan 5%,

tetapi diterima pada tingkat signifikan 1%. Dengan demikian, pengujian

perbedaan antara rata- rata memperlihatkan signifikansi pada tingkat 5% tetapi

tidak signifikan pada tingkat 1%. Kesimpulan yang dapat diambil adalah

bahwa hasil yang diperoleh ini mungkin dapat dipertimbangkan sebagai

signifikan. Kita dapat menyatakan bahwa rata – rata nilai yang

diklasifikasikan menurut instruktur mungkin tidak sama. Keefektifan

perlakuan ketiga instruktur mungkin berlainan. Keseluruhan prosedur

perhitungan diatas termuat didalam tabel ANOVA dibawah ini.

(333)

Tabel : X – 9

Tabel ANOVA Hasil Perhitungan

Sumber

Variasi

Variasi

(Sum of

Aquares)

*) (SS)

Derajat

Bebas

(db)

Varian

(Maen

Squares)

(MS)

F Rasio

Cuplikan α = 5% α = 1%

Antar

kelas

baris

Sr = 56 3 – 1 = 2 56 : 2 =

28

28/ 3,778

= 7,41

4,26 8,02

Dalam

kelas

baris

= 34 12 – 3 =

9

34 : 9 =

3,778

Total = 90 12 – 1 =

11

Hasil pengujian

ditolak pada tingkat α = 5%

diterima pada tingkat α = 1%


DAFTAR PUSTAKA

Prof.Drs. Soegyarto Mangkuatmodjo, Statistik Lanjutan, 2004, Jakarta, Rineka Cipta.

anova

Documents