analisis penggunaan kernel density estimation pada metode...

UNIVERSITAS INDONESIA

Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada Metode Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional

TESIS Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

ERWAN SETIAWAN 1206179454

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA

DEPOK JANUARI 2014

Analisis penggunaan..., Erwan Setiawan, FMIPA UI, 2014

iv Universitas Indonesia

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrohim

alamin, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah

yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga

penulis diberikan kemampuan untuk menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini

dilakukan untuk memenuhi salah satu persyaratan mendapatkan gelar Magister

Sains, Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam, Universitas Indonesia.

Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak,

dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan tesis ini, sangatlah sulit bagi

penulis untuk menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, penulis ingin

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr.rer.nat. Hendri Murfi, M.Kom selaku dosen pembimbing dan Dr. Yudi

Satria, M.T. selaku pembimbing akademik dan dosen pembimbing, yang telah

menyediakan waktu, tenaga, pikiran dan memberikan bimbingan dengan penuh

kesabaran sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

2. Dr. Dian Lestari, DEA, selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA UI yang

telah memberikan bimbingan selama masa perkuliahan.

3. Prof. Dr. Djati Kerami, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika

FMIPA UI yang telah memberikan bimbingan dan inspirasi kepada penulis.

4. Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA UI, atas

arahan, bimbingan, dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama

perkuliahan.

5. Karyawan/karyawati Departemen Matematika FMIPA UI, yang selalu siap

membantu saat penulis butuhkan.

6. Bapak dan Ibu penulis, Sriyono dan Wartini, yang telah banyak memberikan

dukungan moril dan materil, serta adik-adik cantikku Erna, Endah, dan Elsa

yang penulis sayangi.

7. Istri dan jagoan kecil penulis, Yani dan Daffa, yang penulis sayangi dan selalu

memberikan semangat bagi penulis.


v Universitas Indonesia

8. Rekan-rekan satu angkatan Mathgister 2012 yaitu Mas Nurdin, Mas Yogi,

Mbak Wed, Maul, Fery, Yana, dan Fitri yang telah memberikan warna dalam

hidup penulis selama masa perkuliahan.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya, terutama untuk

pengembangan ilmu pengetahuan.

Penulis


vii Universitas Indonesia

ABSTRAK

Nama : Erwan Setiawan Program Studi : Magister Matematika Judul : Analisis Penggunaan Kernel Density Estimation pada Metode

Loss Distribution Approach untuk Risiko Operasional Risiko operasional merupakan salah satu jenis risiko pada perbankan yang wajib dikelola dengan baik karena sifatnya yang melekat pada setiap aktifitas fungsional bank. Dalam pengelolaan risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kebutuhan modal bagi risiko operasional ini dikenal sebagai Economic Capital (EC). Komite Basel dalam aturan Basel II, memberikan tiga pendekatan dalam perhitungan EC salah satunya pendekatan Advanced Measurement Approach (AMA). Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi) kemudian membentuk aggregate loss distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9%. Permasalahan dari metode LDA saat ini adalah dalam mengestimasi distribusi severitas masih berbasis pada suatu model distribusi tertentu, padahal banyak kasus dimana data tidak dapat digambarkan dengan baik oleh suatu model distribusi yang sudah ada. Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data. Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui. Hasil dari penelitian adalah estimasi distribusi severitas oleh KDE lebih baik dalam menggambarkan data dibandingkan dengan menggunakan model distribusi tertentu. Nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6 3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh metode LDA yang menggunakan model distribusi tertentu.

Kata kunci : risiko operasional, metode monte carlo, loss distribution

approach, kernel density estimation


viii Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name : Erwan Setiawan Program Study : Magister of Mathematics Title : Analysis the Use of Kernel Density Estimation on The Loss

Distribution Approach Method for Operational Risk

Operational risk is one kind of risk on banking which must be managed well because of its character is inherent in every fungtional activity in Bank. In the management of operasional risk, Bank must be able to calculate a predictable loss and an unpredictable loss in capital requisite for operasional risk. The capital requisite in operasional risk is known as Economic Capital (EC). In the regulation of Basel II, Committee Basel gives three approaches of calculation in EC. One of that is Advanced Measurement Approach (AMA). In AMA method that is the most used in approach is Loss Distribution Approach (LDA) method. In LDA method, Bank must be able to estimate loss severity distribution (severity distribution) and loss frequency distribution (frequency distribution) and aggregate loss distribution is formed from both of them. Through LDA method, the value at EC can be gotten from Value at Risk (VaR) in aggregate loss distribution with the level of confidence reaches 99,9%. The problem from LDA method recently is in estimation a severity distribution which is still refers to a model on particular distribution whereas there are many cases which can not describe a data well through a distribution model that has been there. Therefore, in this paper, it will be explained how to face or the good solution from that problem. The good solution to face it is through estimation severity distribution that is refers to the data with using Kernel Density Estimation (KDE) method. KDE is a statistic approach non- parametric to estimate the function of distribution from disordered variabel that has not known. The result on this research is estimation of severity distribution through KDE is better than another in describing the data. LDA method using KDE is smaller the value at EC 1,6 % - 3,2 % than the value at EC using another distribution model in LDA method.

Keywords : operational risk, monte carlo, loss distribution approach, kernel

density estimation.


ix Universitas Indonesia

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS .................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................. iii KATA PENGANTAR ......................................................................................... iv LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................ vi ABSTRAK .......................................................................................................... vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii DAFTAR ISI ........................................................................................................ ix DAFTAR TABEL ................................................................................................ xi DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xiii

1. PENDAHULUAN ........................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1 1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 4 1.3 Batasan Penelitian ................................................................................... 5 1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 5 1.5 Metodologi Penelitian ............................................................................. 5

2. LANDASAN TEORI ...................................................................................... 6

2.1 Risiko Perbankan ..................................................................................... 6 2.1.1 Pengertian Risiko ........................................................................... 6 2.1.2 Jenis jenis Risiko......................................................................... 6 2.1.3 Manajemen Risiko ......................................................................... 8

2.2 Risiko Operasional .................................................................................. 8 2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional ........................................ 9 2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional ............................... 10

2.3 Value at Risk ......................................................................................... 13 2.4 Distribusi Probabilitas ........................................................................... 13

2.4.1 Distribusi Binomial ...................................................................... 13 2.4.2 Distribusi Poisson ........................................................................ 14 2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian ......................................................... 14 2.4.4 Distribusi Log-Normal ................................................................. 15

2.4.5 Distribusi Majemuk ..................................................................... 15 2.5 Loss Distribution Approach .................................................................. 15 2.6 Algoritma Monte Carlo pada metode Loss Distribution Approach ...... 16

3. KERNEL DENSITY ESTIMATION ............................................................ 18 3.1 Konsep Dasar ........................................................................................ 18 3.2 Fungsi Kernel ........................................................................................ 20 3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth) ........................................................ 22

4. SIMULASI DAN PEMBAHASAN ............................................................. 24 4.1 Data Penelitian ...................................................................................... 24 4.2 Estimasi Distribusi Frekuensi ............................................................... 26


x Universitas Indonesia

4.3 Estimasi Distribusi Severitas ................................................................ 27 4.3.1 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan KDE ...................... 27 4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan Suatu Model Distribusi

..................................................................................................... 31 4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang Menggunakan KDE

dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi................... 32 4.4 Perbandingan Nilai EC antara yang Menggunakan KDE dengan yang

Menggunakan Suatu Model Distribusi ................................................. 34 4.5 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE ........................................ 39

5. KESIMPULAN DAN SARAN ..................................................................... 41

DAFTAR REFERENSI .................................................................................... 42 LAMPIRAN ....................................................................................................... 43


xi Universitas Indonesia

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 .................................. 12 Tabel 4.1 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ................ 24 Tabel 4.2 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun 37 Tabel 4.3 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data

3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun ....................................................... 39


xii Universitas Indonesia

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel ..................................................................................................... 21

Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h.... 22 Gambar 4.1 Histogram data penelitian ............................................................ 26 Gambar 4.2 Distribusi frekuensi ..................................................................... 27 Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan nilai h berdasarkan

metode silverman......................................................................... 28 Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h30 Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal . 32 Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas yang menggunakan KDE dan

yang menggunakan log-normal ................................................... 33 Gambar 4.7 Konvergensi nilai EC untuk data 3 tahun .................................... 35 Gambar 4.8 Konvergensi nilai EC untuk data 5 tahun .................................... 36 Gambar 4.9 Konvergensi nilai EC untuk data 10 tahun .................................. 37 Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan log-normal untuk data 3 tahun, 5

tahun, dan 10 tahun...................................................................... 38


xiii Universitas Indonesia

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Algoritma program ........................................................................ 44 Lampiran 2 Data penelitian ............................................................................... 47 Lampiran 3 Hasil simulasi konvergensi nilai EC .............................................. 53


1 Universitas Indonesia

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dewasa ini, bank memegang peranan yang sangat penting dalam

membangun perekonomian masyarakat. Bank merupakan badan usaha yang

menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya

kepada masyarakat dalam bentuk kredit dan atau bentuk lainnya, guna

meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Sebagaimana layaknya badan usaha lain,

bank memerlukan modal yang merupakan sarana untuk menyerap kerugian dan

kekuatan untuk melakukan ekspansi, artinya setiap ada kerugian bisnis maka akan

mempengaruhi permodalan bank. Dengan modal yang besar, kesadaran risiko

bank cenderung akan berkurang karena mengandalkan semuanya pada kecukupan

modal. Tetapi dengan modal yang kecil bank cenderung tidak bisa melihat jauh ke

depan (ekspansi) dan hanya berkutat pada operasional sehari-hari. Oleh karena itu,

bank harus memiliki keseimbangan pola pikir dalam mengelola risiko dan

permodalan.

Risiko dalam konteks perbankan merupakan suatu kejadian potensial yang

berdampak negatif terhadap pendapatan dan permodalan bank. Saat ini, situasi

lingkungan eksternal dan internal perbankan mengalami perkembangan pesat

yang diikuti dengan semakin kompleksnya risiko kegiatan usaha perbankan

sehingga meningkatkan kebutuhan praktek tata kelola bank yang sehat (good corporate governance) dan penerapan manajemen risiko. Esensi dari penerapan

manajemen risiko adalah kecukupan prosedur dan metodologi pengelolaan risiko

sehingga kegiatan usaha bank tetap dapat terkendali pada batas/limit yang dapat

diterima serta menguntungkan bank. Penerapan manajemen risiko meliputi

pengawasan aktif pengurus bank, kebijakan, prosedur dan penetapan limit risiko,

proses identifikasi, pengukuran, pemantauan, sistem informasi, dan pengendalian

risiko, serta sistem pengendalian intern.

Untuk dapat menerapkan proses manajemen risiko, maka tahap awal bank

harus dapat mengidentifikasi risiko dengan cara mengenal dan memahami seluruh

risiko yang ada. Setelah dilakukan identifikasi, langkah berikutnya secara


2

Universitas Indonesia

berturut-turut bank perlu melakukan pengukuran, pemantauan, dan pengendalian

risiko. Pengukuran risiko tersebut dimaksudkan agar bank mampu mengkalkulasi

eksposur risiko yang melekat pada kegiatan usahanya sehingga bank dapat

memperkirakan dampaknya terhadap permodalan yang seharusnya dipelihara

dalam rangka mendukung kegiatan usaha bank. Sementara itu, dalam rangka

melaksanakan pemantauan risiko, bank harus melakukan evaluasi terhadap

eksposur risiko, terutama yang bersifat material dan atau yang berdampak pada

permodalan bank. Hasil pemantauan yang mencakup evaluasi terhadap eksposur

risiko tersebut dilaporkan secara tepat waktu, akurat dan informatif yang akan

digunakan oleh pihak pengambilan keputusan, termasuk tindak lanjut yang

diperlukan. Selanjutnya berdasarkan hasil pemantauan tersebut, bank melakukan

pengendalian risiko antara lain dengan cara penambahan modal, melindungi aset,

dan teknik mitigasi risiko lainnya.

Risiko yang melekat (inherent) pada setiap aktifitas fungsional bank adalah

risiko operasional. Komite Basel untuk Pengawasan Perbankan, suatu lembaga

yang dibentuk oleh bank sentral dari negara-negara Group of Ten (G10) pada

tahun 1974, mendefinisikan risiko operasional sebagai risiko kerugian yang

disebabkan oleh ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan

sistem atau dari kejadian eksternal. Risiko operasional dapat menimbulkan

kerugian keuangan secara langsung maupun tidak langsung dan kerugian potensial

atas hilangnya kesempatan memperoleh keuntungan. Salah satu kasus yang

menggambarkan pentingnya manajemen risiko operasional adalah kasus Barings

Bank di London pada tahun 2004. Kasus Barings Bank terjadi karena seorang

treader di kantor cabang Singapura melakukan kegiatan treading diluar

kewenangannya. Peristiwa ini mengakibatkan Baring Brothers and Co Ltd

mengalami kerugian tidak kurang dari GBP 827 juta yang menyebabkan bank

tersebut tidak dapat memenuhi kewajibannya (kecukupan modal) sehingga

menjadi bank gagal.

Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk

memperhitungkan kerugian yang diperkirakan (expected loss) dan kerugian yang

tidak diperkirakan (un-expected loss) dalam kebutuhan modal bagi risiko

operasional. Kebutuhan modal bagi risiko operasional dikenal sebagai Economic


3


Capital (EC). Economic capital adalah ukuran kecukupan modal yang diperlukan

untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan

tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga

pendekatan dalam perhitungan modal ekonomis, yaitu: Basic Indicator Approach

(BIA), Standardized Approach (SA), dan Advanced Measurement Approach

(AMA). Untuk pendekatan BIA dan SA formulasinya sudah ditetapkan dalam

aturan Basel II, sedangkan dalam pendekatan AMA pihak bank diberikan

keleluasaan untuk mengembangkan metode perhitungan EC secara internal yang

berbasis data internal bank, dengan mendapatkan persetujuan dari regulator lokal.

Metode AMA yang banyak digunakan adalah metode Loss Distribution Approach (LDA). Dalam metode LDA, bank harus mengestimasi loss severity distribution (distribusi severitas) dari besarnya kerugian pada satu kejadian dalam

suatu periode dan loss frequency distribution (distribusi frekuensi) dari banyaknya

kejadian rugi dalam suatu periode, kemudian membentuk aggregate loss distribution dari gabungan kedua distribusi tersebut. Nilai EC dengan

menggunakan metode LDA didapat dari Value at Risk (VaR) pada aggregate loss distribution dengan tingkat kepercayaan 99,9% (Frachot,Georges, dan

Roncalli,2001).

Karena aggregate loss distribution dibentuk oleh gabungan dari dua

distribusi maka disebut juga sebagai distribusi majemuk. Pada umumnya, tidak

terdapat ekspresi analitik untuk distribusi majemuk sehingga perlu dilakukan

pendekatan secara numerik untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi

majemuk. Metode numerik yang banyak digunakan adalah metode monte carlo

karena mudah untuk diimplementasikan (Shevchenko, 2010). Langkah pertama

untuk mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk adalah mengestimasi

distribusi frekuensi dan distribusi severitas. Langkah kedua, dari distribusi

frekuensi diambil satu nilai secara acak, misal N, kemudian dilakukan

pengambilan nilai secara acak dari distribusi severitas sebanyak N, sebut X(1), X(2),

X(N). Langkah terakhir menjumlahkan semua nilai X(i) untuk mendapatkan

sebuah nilai yang merupakan sampel dari distribusi majemuk. Estimasi nilai EC

didapatkan dari persentil ke 99,9% dari sampel-sampel yang diambil secara acak

dari distribusi majemuk.


4


Permasalahan dari metode ini adalah dalam mengestimasi distribusi

severitas saat ini masih berbasis model distribusi tertentu. Padahal sering kali data

sebenarnya tidak dapat digambarkan dengan baik oleh model distribusi yang

sudah ada. Hal ini tentunya akan berpengaruh pada akurasi dari estimasi nilai EC.

Oleh karena itu, dalam tulisan ini akan dijelaskan solusi dari permasalahan

tersebut, yaitu dengan mengestimasi distribusi severitas berbasis pada data.

Metode yang digunakan adalah Kernel Density Estimation (KDE). KDE

merupakan suatu pendekatan statistika non-parametrik untuk mengestimasi fungsi

distribusi probabilitas dari suatu variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model

distribusi dari variabel acak tersebut tidak diketahui.

Pembahasan mengenai KDE dalam tesis ini meliputi konsep dasar metode

LDA dan KDE, simulasi perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh metode

LDA yang estimasi distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang

menggunakan model distribusi tertentu, analisis pengaruh pemilihan nilai

parameter lebar pita (bandwidth) pada KDE terhadap nilai EC yang dihasilkan,

dan kesimpulan penelitian.

1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah

1. Bagaimana analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko

operasional. 2. Bagaimana perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi

distribusi severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model

distribusi tertentu.

1.3 Batasan Penelitian Batasan yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Fungsi kernel yang digunakan adalah fungsi kernel Gaussian

2. Dalam LDA yang berbasis model, estimasi distribusi severitas menggunakan

satu model distribusi standar yang relatif baik menggambarkan data penelitian.


5


3. Analisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional hanya

meliputi: analisis pemilihan lebar pita (bandwidth), analisis pengaruh nilai

lebar pita terhadap nilai EC yang dihasilkan

1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah

1. Menganalisis penggunaan KDE pada metode LDA untuk risiko operasional. 2. Membandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang estimasi distribusi

severitasnya menggunakan KDE dengan yang menggunakan model distribusi

tertentu

1.5 Metodologi Penelitian Metodologi penelitian yang dilakukan sebagai berikut:

1. Studi literatur mengenai topik penelitian, seperti risiko pada perbankan, konsep

dan penerapan metode LDA untuk risiko operasional, konsep KDE, konsep

metode Monte Carlo pada LDA, konsep Value at Risk dan bahasa

pemrograman Python.

2. Melakukan simulasi komputasi dengan menggunakan bahasa pemrograman

Python, dengan alur sebagai berikut:

a. Membentuk data penelitian secara acak menggunakan Python.

b. Melakukan estimasi distribusi frekuensi dari data penelitian.

c. Melakukan estimasi distribusi severitas dengan menggunakan metode KDE

dan metode berbasis model distribusi standar yang ada saat ini.

d. Melakukan aproksimasi distribusi majemuk, yang merupakan gabungan dari

distribusi frekuensi dan severitas, menggunakan metode monte carlo.

e. Menentukan nilai EC yang didapat dari persentil ke 99,9% dari sampel-

sampel yang diambil secara acak dari distribusi majemuk.

f. Melakukan analisis terhadap hasil yang diperoleh dari simulasi komputasi.

g. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan.



BAB I I LANDASAN TEORI

Dalam bab 2, akan dijelaskan mengenai teori teori dasar yang terkait

dengan penelitian dalam tesis ini, diantaranya risiko perbankan, risiko

operasional, value at risk, distribusi probabilitas, loss distribution approach, dan

algoritma monte carlo pada metode loss distribution approach.

2.1 Risiko Perbankan Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat

dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya kepada masyarakat dalam bentuk

kredit dan atau bentuk lainnya, guna meningkatkan taraf hidup rakyat banyak.

Dalam menjalankan kegiatan usahanya, bank selalu bersinggungan dengan risiko.

Sejatinya risiko tersebut tidak bisa dihindari akan tetapi sangat mungkin dilakukan

pengelolaan risiko agar kegiatan usaha perbankan tidak terganggu dan dapat

memberikan keuntungan bagi bank.

2.1.1 Pengertian Risiko Menurut kamus besar Bahasa Indonesia, risiko secara umum adalah akibat

yang kurang menyenangkan (merugikan, membahayakan) dari suatu perbuatan

atau tindakan. Sedangkan kaitannya dengan perbankan, Bank Indonesia

mendefinisikan risiko sebagai tingkat kemungkinan terjadinya kerugian yang

harus ditanggung dalam pemberian kredit, penanaman investasi, atau transaksi

lain yang dapat berbentuk harta, kehilangan keuntungan, atau kemampuan

ekonomis.

2.1.2 Jenis-jenis Risiko Bank Indonesia dalam PBI 5/8/2003 membagi risiko perbankan ke dalam 8

jenis risiko. Hal ini dilakukan untuk mempermudah dalam proses manajemen atau

pengelolaan risiko. Jenis-jenis risiko perbankan tersebut antara lain:


7


a) Risiko Kredit

Risiko kredit didefinisikan sebagai risiko ketidakmampuan debitur atau

counterparty melakukan pembayaran kembali kepada bank.

b) Risiko Pasar

Risiko pasar adalah kerugian pada posisi neraca dan rekening administratif

termasuk transaksi derivatif akibat perubahan keseluruhan pada kondisi pasar.

c) Risiko Operasional

Risiko operasional adalah risiko akibat ketidakcukupan dan/atau tidak

berfungsinya proses internal, kesalahan manusia, kegagalan sistem, dan/atau

adanya kejadian eksternal yang mempengaruhi operasional bank.

d) Risiko Likuiditas

Risiko likuiditas adalah risiko akibat ketidakmampuan bank untuk memenuhi

kewajiban yang jatuh tempo dari sumber pendanaan arus kas dan/atau dari aset

likuid berkualitas tinggi yang dapat diagunkan, tanpa menganggu aktivitas dan

kondisi keuangan bank.

e) Risiko Hukum

Risiko hukum adalah risiko yang timbul akibat tuntutan hukum dan/atau

kelemahan aspek yuridis.

f) Risiko Reputasi

Risiko reputasi adalah risiko akibat menurunnya tingkat kepercayaan

stakeholder yang bersumber dari persepsi negatif terhadap bank.

g) Risiko Strategik

Risiko strategik adalah risiko akibat ketidaktepatan bank dalam mengambil

keputusan dan/atau pelaksanaan suatu keputusan stratejik serta kegagalan

dalam mengantisipasi perubahan lingkungan bisnis.

h) Risiko Kepatuhan

Risiko kepatuhan adalah risiko yang timbul akibat bank tidak mematuhi

dan/atau tidak melaksanakan peraturan perundang-undangan dan ketentuan

yang berlaku.


8


2.1.3 Manajemen Risiko Menurut peraturan Bank Indonesia No. 5/8/PBI/2003 manajemen risiko

didefinisikan sebagai serangkaian proses dan metodologi yang digunakan untuk

mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan mengendalikan risiko yang timbul

dari kegiatan usaha bank. Penerapan manajemen risiko akan memberikan manfaat,

baik kepada bank maupun otoritas pengawasan perbankan, diantaranya

a. Bagi bank

Penerapan manajemen risiko dapat meningkatkan shareholder value,

memberikan gambaran kepada pengelola bank mengenai kemungkinan kerugian

bank di masa datang, meningkatkan metode dan proses pengambilan keputusan

yang sistematis yang didasarkan atas ketersediaan informasi, digunakan sebagai

dasar pengukuran yang lebih akurat mengenai kinerja bank, digunakan untuk

menilai risiko yang melekat pada instrumen atau kegiatan usaha bank yang relatif

kompleks serta menciptakan infrastruktur manajemen risiko yang kokoh dalam

rangka meningkatkan daya saing Bank.

b. Bagi otoritas pengawasan perbankan

Penerapan manajemen risiko akan mempermudah penilaian terhadap

kemungkinan kerugian yang dihadapi bank yang dapat mempengaruhi

permodalan bank dan sebagai salah satu dasar penilaian dalam menetapkan

strategi dan fokus pengawasan bank.

2.2 Risiko Operasional Jenis risiko yang selalu melekat dalam setiap aktifitas fungsional bank

adalah risiko operasional. Risiko operasional didefinisikan sebagai risiko kerugian

yang disebabkan dari ketidakcukupan atau kegagalan proses internal, manusia dan

sistem atau dari kejadian eksternal (Basel Committee on Banking Supervision,

2006). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebab risiko

operasional dibagi menjadi empat yaitu proses internal, manusia, sistem, dan

kejadian eksternal.

a. Proses internal contohnya dokumentasi yang tidak lengkap, pengendalian yang

lemah, kelalaian pemasaran, kesalahan penjualan produk, pencucian uang,

laporan yang tidak lengkap atau tidak benar, kesalahan transaksi.


9


b. Manusia contohnya permasalahan keselamatan dan kesehatan kerja, perputaran

karyawan yang tinggi, penipuan internal, sengketa pekerja, praktik manajemen

yang buruk, pelatihan karyawan yang tidak memadai.

c. Sistem contohnya kesalahan program, gangguan pelayanan, masalah yang

terkait dengan keamanan sistem misalnya virus atau hacking, penggunaan

teknologi yang belum diuji coba.

d. Kejadian eksternal contohnya pencurian dan penipuan dari luar, kebakaran,

bencana alam, kerusuhan dan unjuk rasa, penerapan ketentuan baru.

2.2.1 Tipe Kejadian pada Risiko Operasional Penyebab risiko operasional (proses internal, manusia, sistem, dan kejadian

eksternal) dapat timbul karena beberapa faktor, antara lain:

Inadequate segretation of duties tidak memadainya pemisahan tugas

sehingga fungsi dual control tidak berjalan.

Insufficient training tidak memadainya pelatihan yang diberikan kepada

petugas/pejabat bank.

Lack of management supervision kelemahan supervisi dari manajemen bank

Beberapa kelemahan tersebut yang akhirnya memicu terjadinya risiko

operasional berdasarkan tipe kejadian Basel II, yaitu:

a) Kecurangan secara internal (internal fraud), yaitu tindakan-tindakan yang

jenisnya menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik

perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan

perusahaan, yang melibatkan sekurang-kurangnya satu orang dalam

b) Kejahatan eksternal (external fraud), yaitu tindakan-tindakan yang jenisnya

menjurus kepada pencurian, penipuan, penyalahgunaan hak dan milik

perusahaan, menghindari regulasi, ketentuan hukum atau kebijakan perusahaan

yang dilakukan oleh pihak ketiga.

c) Praktek ketenagakerjaan dan keselamatan tempat kerja (employment practices and workplace safety), yaitu tindakan-tindakan yang tidak konsisten dengan

ketentuan ketenagakerjaan, ketentuan mengenai keselamatan kerja, atau

tindakan yang dapat mengakibatkan timbulnya tuntutan karena adanya

kecelakaan, atau tuntutan karena adanya diskriminasi terhadap pegawai


10


d) Klien, produk, dan praktek bisnis (client, products, and business practices),

yaitu kegagalan memenuhi kewajiban kepada nasabah, baik karena lalai

ataupun tidak sengaja, atau memenuhi sifat dan rancangan produk.

e) Kerusakan aset fisik (damage to physical assets), yaitu hilangnya atau rusaknya

aset bank secara fisik.

f) Gangguan bisnis dan kegagalan sistem (business disruption and system failures), yaitu gangguan terhadap kegiatan usaha atau kegagalan sistem.

g) Eksekusi, pengiriman, dan manajemen proses (execution, delivery, process management), yaitu proses transaksi atau manajemen yang gagal termasuk

hubungan dagang dengan counterparty.

2.2.2 Economic Capital untuk Risiko Operasional Dalam manajemen risiko operasional, bank dipersyaratkan untuk

memperhitungkan kerugian yang diperkirakan dan kerugian yang tidak

diperkirakan dalam kebutuhan modal bagi risiko operasional. Kerugian yang

diperkirakan didefinisikan sebagai kerugian yang timbul akibat pelaksanaan

kegiatan usaha secara normal. Sedangkan kerugian yang tidak diperkirakan

didefinisikan sebagai kerugian yang timbul dari kejadian luar biasa yang potensi

kejadiannya sangat kecil dan besarnya kerugian yang ditimbulkan jauh berada di

atas nilai wajar yang dapat dikategorikan sebagai kerugian yang diperkirakan.

Modal bagi risiko operasional dikenal sebagai Economic Capital (EC).

Economic Capital didefinisikan sebagai ukuran kecukupan modal yang diperlukan

untuk menyerap kerugian ekstrem yang tidak diperkirakan dalam periode dan

tingkat keyakinan tertentu. Komite Basel dalam aturan Basel II memberikan tiga

pendekatan untuk menghitung besarnya EC, yaitu:

1. The Basic Indicator Approach (BIA) Pendekatan BIA merupakan pendekatan yang paling sedrhana. Dalam

pendekatan BIA, total pendapatan kotor (gross income) digunakan sebagai

indikator eksposur. Perhitungan EC dengan pendekatan BIA ditentukan dengan

mengalikan pendapatan kotor positif selama tiga tahun sebelumnya dengan suatu

persentase tetap ( = 15%) kemudian diambil rata-ratanya.


11


dimana :

ECBIA = Economic Capital dengan pendekatan BIA

GIj = Gross Income/pendapatan kotor positif tahunan selama 3 tahun

sebelumnya

= Persentase tetap yang ditetapkan oleh komite sebesar 15%

n = Banyaknya tahun dari tiga tahun sebelumnya yang pendapatan kotornya

positif

Pendapatan kotor didefinisikan sebagai pendapatan bunga bersih

(pendapatan bunga dikurangi biaya bunga) ditambah pendapatan bersih non bunga

(pendapatan di luar bunga dikurangi biaya di luar bunga). Pendapatan kotor yang

negatif selama jangka waktu tiga tahun dikeluarkan dari perhitungan.

2. The Standardised Approach (SA) Tidak seperti dalam pendekatan BIA, pada pendekatan SA perhitungan EC

menggunakan pendapatan kotor pada tiap lini bisnis bank. Terdapat 8 lini bisnis

pada bank yaitu keuangan perusahaan (corporate finance), penjualan dan

perdagangan (trading and sales), perbankan ritel (retail banking), perbankan

komersial (commercial banking), pembayaran dan penyelesaian (payment and settlement), jasa agensi (agency services), perantara ritel (retail brokerage),

manajemen aset (asset management). Perhitungan EC dengan pendekatan SA

ditentukan dengan mengalikan pendapatan kotor pada setiap lini bisnisnya,

dengan suatu persentase tetap (Beta Factor).

dimana :

ECSA = Economic Capital dengan pendekatan SA

GIi = Pendapatan kotor untuk lini bisnis ke-i.

i = Persentase tetap untuk lini bisnis ke-i yang besarannya ditetapkan oleh

komite. Besaran i untuk tiap lini bisnis dapat dilihat pada tabel 2.1 berikut


12


Tabel 2.1 Jenis lini bisnis dan besaran beta faktor ( )

Nilai beta dari tiap lini bisnis merupakan faktor bobot risiko. Semakin tinggi

nilai beta maka semakin besar potensi kerugian risiko operasional pada lini bisnis

tersebut. Dalam SA pendapatan kotor yang negatif pada tahun tertentu tetap

dimasukkan ke dalam perhitungan dengan cara diganti dengan nol.

3. The Advanced Measurement Approaches (AMA) Pendekatan yang terakhir adalah AMA. Pendekatan ini memberikan ruang

kepada bank untuk mengembangkan model perhitungan EC secara internal yang

berbasis pada data internal bank, dengan persetujuan dari regulator lokal. Menurut

Basel II, untuk layak menggunakan AMA, suatu bank harus memenuhi

persyaratan minimum berikut:

Dewan direksi dan manajemen senior, jika diperlukan, terlibat aktif dalam

pemantauan pelaksanaan kerangka manajemen risiko operasional.

Memiliki konsep sistem manajemen risiko operasional yang baik dan

diimplementasikan dengan integritas.

Memiliki sumber daya yang cukup untuk penggunaan pendekatan tersebut

pada lini bisnis utamanya, serta pada wilayah-wilayah pengendalian dan audit

Terdapat tiga metode dalam pendekatan AMA, yaitu internal measurement approach, loss distribution approach, dan risk drivers and control approach.

Metode yang banyak digunaka adalah metode Loss Distribution Approach (LDA).

Lini Bisnis Beta Faktor1) 18%

2) 18%

3) 12%

4) 15%

5) 18%

6) 15%

7) 12%

8) 12%


13


2.3 Value at Risk Misal diberikan tingkat kepercayaan (0,1), maka Value at Risk (VaR)

pada tingkat kepercayaan didefinisikan sebagai nilai terkecil l sedemikian

sehingga probabilitas kerugian L lebih besar l adalah tidak lebih besar dari (1

Secara matematis, VaR diberikan oleh persamaan berikut

(McNeil, Frey, dan Embrechts 2005)

Dalam ekonomi dan keuangan, VaR adalah kerugian maksimum yang tidak

akan dilewati untuk suatu probabilitas yang didefinisikan sebagai tingkat

kepercayaan. VaR diterapkan secara luas dalam keuangan untuk manajemen

risiko secara kuantitatif.

2.4 Distribusi Probabilitas Sering kali, untuk mengetahui peluang dari semua variabel acak pada suatu

percobaan acak lebih mudah menggunakan suatu rumus. Rumus tersebut

merupakan fungsi dari nilai-nilai variabel acak, jadi f(x) = P(X = x) dimana X

adalah variabel acak. Himpunan semua pasangan berurutan (x,f(x)) disebut

distribusi probabilitas untuk variabel acak X.

Distribusi probabilitas dibagi menjadi dua yaitu distribusi probabilitas

diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. Distribusi probabilitas diskrit adalah

sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu

variabel acak diskrit berikut peluangnya. Sedangkan, untuk distribusi probabilitas

kontinu sering disebut sebagai fungsi densitas probabilitas karena nilai-nilai dari

variabel acaknya berupa daerah interval (Walpole,1972).

2.4.1 Distribusi Binomial Misalkan terdapat N percobaan yang saling bebas dan tiap percobaan

menghasilkan sebuah peluang sukses p dan peluang gagal 1 p. Maka distribusi

probabilitas untuk variabel acak M, yaitu banyaknya kejadian sukses dalam N

percobaan yang saling bebas adalah


14


Variabel acak M dalam kasus ini disebut variabel binomal dan distribusi

probabilitas untuk variabel acak M disebut distribusi binomal (Walpole, 1972).

2.4.2 Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi sebuah variabel acak X, yaitu

banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di

suatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Percobaan poisson

memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

a) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi

pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

b) Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang

singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut.

c) Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu

yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan.

Variabel X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu

percobaan poisson disebut variabel acak poisson dan distribusi probabilitasnya

disebut distribusi poisson. Distribusi probabilitas untuk X adalah

dimana µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang

waktu atau dalam daerah yang dinyataka 2).

2.4.3 Distribusi Normal/Gaussian Distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam bidang statistika

adalah distribusi normal. Distribusi normal sering disebut distribusi Gaussian,

untuk menghormati Gauss (1777 1855) yang berhasil mendapatkan

persamaannya dari studi mengenai galat dalam pengukuran yang berulang-ulang

terhadap benda yang sama. Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki

distribusi probabilitas berbentuk genta/lonceng disebut variabel acak normal.


15


Bila X 2,

maka persamaan kurva normalnya adalah

2, 2).

2.4.4 Distribusi Log-Normal Distribusi log-normal adalah suatu distribusi probabilitas dari variabel acak

kontinu yang logaritma dari variabel acaknya berdistribusi normal. Jika X

berdistribusi log-normal maka Y = log(X) berdistribusi normal. Variabel acak yang

berdistribusi log-normal hanya bernilai positif.

Bila X adalah variabel acak yang berdistribusi log-normal dengan mean µ 2, maka persamaan kurvanya adalah

dalam hal ini ln(.) adalah logaritma dengan b .

2.4.5 Distribusi Majemuk Misalkan S adalah suatu variabel acak yang dibentuk dari beberapa variabel

acak X yang identically independent distribution (iid), dimana banyaknya variabel

acak X itu sendiri berupa variabel acak N dan X saling bebas terhadap N. Secara

matematis S didefinisikan sebagai berikut:

dalam hal ini S akan membentuk suatu distribusi probabilitas yang disebut

distribusi majemuk.

2.5 Loss Distribution Approach Loss Distribution Approach (LDA) adalah suatu pendekatan statistik yang

sangat populer dalam akturia sains untuk menghitung distribusi kerugian (loss distribution). Dalam kaitannya dengan risiko operasional, LDA dipertimbangkan


16


sebagai kerangka dasar untuk pengalokasian economic capital. Konsep dasarnya

adalah bank harus mengestimasi, untuk setiap lini bisnis/tipe kejadian, fungsi

distribusi probabilitas dari dampak kejadian tunggal dan frekuensi kejadian untuk

satu tahun ke depan dengan menggunakan data internal bank tersebut, dan

menentukan distribusi probabilitas dari kerugian operasional kumulatif (Frachot,

Georges, dan Roncalli,2001).

Secara matematis, besarnya kerugian tahunan diberikan oleh persamaan

berikut:

dimana,

Z = besarnya kerugian per tahun

N = banyaknya kejadian kerugian yang terjadi selama 1 tahun

X(i) = besarnya kerugian pada kejadian ke- i Karena Z adalah variabel acak yang dibentuk dari variabel acak X(i) untuk

i = 1, N, yang identically independent distribution (iid), kemudian N juga

merupakan variabel acak yang saling bebas terhadap X(i) maka Z akan membentuk

suatu distribusi majemuk. Dalam kasus ini, distribusi probabilitas dari variabel

acak X(i) disebut distribusi severitas, dan distribusi probabilitas dari variabel acak

N disebut distribusi frekuensi.

Secara umum, tidak terdapat ekspresi secara analitik untuk distribusi

majemuk sehingga perlu dilakukan suatu pendekatan secara numerik untuk

mendapatkan aproksimasi dari distribusi majemuk. Beberapa metode numerik

yang terkenal adalah metode Monte Carlo, Fast Fourier Transform dan Panjer Recursion. Metode monte carlo adalah metode yang paling mudah untuk

diimplementasikan (Shevchenko, 2009).

2.6 Algoritma Monte Carlo pada Metode Loss Distribution Approach Metode monte carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan

berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Algoritma monte carlo

merupakan metode monte carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi

problem matematis yang sulit dipecahkan secara analitik.


17


Algortima monte carlo pada metode LDA adalah sebagai berikut:

1. Melakukan estimasi distribusi frekuensi

2. Melakukan estimasi distribusi severitas

3. Untuk k = 1

a) Melakukan pengambilan bilangan secara acak dari distribusi frekuensi,

misal bilangan yang terambil N.

b) Melakukan pengambilan secara acak sebanyak N dari distribusi severitas,

misal X(1), X(2) X(N) dengan X(1), X(2) X(N) saling bebas.

c) Hitung

4. Ulangi langkah no.1 untuk k = 2 sampai dengan k = K

Pada akhirnya akan diperoleh Z(1) Z(K) yang merupakan sampel dari

distribusi majemuk. Untuk mendapatkan estimasi modal risiko di tahun

berikutnya maka Z(1) Z(K) diurutkan sebagai berikut ,

kemudian ditentukan persentil ke 99,9 % (Shevchenko, 2009).



BAB I I I KERNEL DENSITY ESTIMATION

Dalam bab 3 ini, akan dibahas mengenai konsep dasar dari metode kernel density estimation, fungsi kernel, dan pemilihan lebar pita (bandwidth).

3.1 Konsep Dasar Kernel Density Estimation (KDE) merupakan suatu pendekatan statistika

non-parametrik untuk mengestimasi fungsi distribusi probabilitas dari suatu

variabel acak jika diasumsikan bentuk atau model distribusi dari variabel acak

tersebut tidak diketahui. Dalam ekonometrika, KDE dikenal sebagai metode

Parzen-Rosenblatt window. Konsep dasar dari KDE adalah mengestimasi fungsi

densitas di suatu titik x dengan menggunakan pengamatan disekitarnya. Misalkan

vektor pengamatan x diambil dari suatu fungsi distribusi probabilitas p(x) yang

tidak diketahui, maka probabilitas bahwa vektor x akan berada dalam suatu daerah

R adalah

Misalkan N pengamatan diambil dari distribusi probabilitas p(x). Karena

setiap titik data memiliki probabilitas P untuk berada dalam daerah R, maka

distribusi probabilitas banyaknya k titik data yang berada dalam daerah R akan

mengikuti distribusi binomial

Dari persamaan (3.2) dapat diperoleh bahwa mean k/N adalah E(k/N) = P

dan variansi k/N adalah var(k/N) = P(1 P)/N. Untuk N yang sangat besar maka

variansi dari k/N akan semakin kecil dan mengakibatkan data cenderung

berkumpul di mean, sehingga

Jika diasumsikan bahwa daerah R cukup kecil sehingga probabilitas p(x)

konstan atas daerah R, maka persamaan (3.1) akan menjadi


19


dengan V adalah volume dari R. Subtitusikan persamaan (3.3) ke (3.4) maka

diperoleh estimasi dari fungsi distribusi probabilitas dalam bentuk

Persamaan (3.5) dapat dikembangkan dengan dua cara. Pertama, dengan

menetapkan k dan kemudian menentukan nilai V dari data, hal ini yang mendasari

metode k-nearest-neighbour, metode ini tidak akan dibahas lebih lanjut. Kedua,

dengan menetapkan V dan kemudian menentukan k dari data, hal ini yang

mendasari metode Kernel Density Estimation (KDE).

Sekarang, asumsikan bahwa daerah R adalah hypercube berdimensi D yang

memiliki pusat di titik x.

Kemudian definisikan fungsi sebagai berikut:

dengan i D. Fungsi ini adalah contoh fungsi kernel yang disebut Parzen Windows. Dari persamaan (3.6) nilai K((x xn)/h) akan sama dengan 1 jika titik

data xn berada dalam hypercube dengan sisi h dan pusat x, dan nol untuk

sebaliknya. Dengan demikian banyaknya data yang berada dalam hypercube ini

adalah

Substitusikan persamaan (3.7) ke persamaan (3.5) maka diperoleh

dimana V = hD merupakan volume dari kubus berdimensi D dengan sisi h (Bishop, 2006).


20


Dalam kasus univariat, persamaan (3.8) menjadi

(Zambom dan Dias, 2012).

Contoh:

Diberikan data X = {4,5,6,6,13,14,15,15,15,17}. Dengan menggunakan fungsi

kernel Parzen Windows, tentukan probabilitas p(x) di x = 3,11,15, dengan

menggunakan h = 4.

Solusi:

dengan cara yang sama diperoleh,

3.2 Fungsi Kernel Estimasi fungsi distribusi probabilitas dengan menggunakan KDE selalu

melibatkan fungsi kernel. Suatu fungsi K(u) disebut fungsi kernel jika K fungsi

kontinu, bernilai riil, simetris, terbatas, dan .

Beberapa contoh fungsi kernel yang banyak digunakan adalah

1. Seragam


21


2. Segitiga

3. Epanechnikov

4. Gaussian

Dalam KDE, tingkat kemulusan dari pKDE(x) ditentukan oleh fungsi kernel K

dan lebar pita h yang disebut parameter pemulus. Tetapi pengaruh kernel K tidak

sedominan parameter pemulus h. Perbandingan tingkat kemulusan dari beberapa

fungsi kernel K dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut:

Gambar 3.1 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa fungsi kernel

Dari gambar 3.1 terlihat bahwa fungsi kernel yang menghasilkan fungsi

probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik adalah fungsi kernel gaussian.


22


3.3 Pemilihan Lebar Pita (Bandwidth) Parameter lain dalam estimasi fungsi distribusi probabilitas menggunakan

KDE adalah lebar pita h. Pemilihan lebar pita h yang terlalu kecil akan

menyebabkan pKDE(x) terlalu berduri sehingga sulit untuk diinterpretasikan,

sedangkan lebar pita h yang terlalu besar akan menyebabkan pKDE(x) terlalu mulus

sehingga dapat menutupi struktur data. Perbandingan beberapa nilai h pada pKDE(x)

yang menggunakan fungsi kernel gaussian dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut:

Gambar 3.2 Fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) dengan beberapa nilai h.

Dari gambar 3.2 terlihat bahwa untuk h = 0,1 akan menyebabkan fungsi

distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu berduri dan pemilihan h = 2 akan

menyebabkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) terlalu mulus sedangkan untuk

h = 0,6 fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) memiliki tingkat kemulusan yang

baik karena sesuai dengan struktur data atau bisa dikatakan h = 0,6 adalah nilai h

yang optimal.

Penelitian mengenai pemilihan lebar pita h yang optimal telah banyak

dilakukan, namun sampai saat ini belum ada metode yang paling bagus untuk

dapat digunakan dalam setiap situasi. Dalam banyak kasus, pemilihan nilai h


23


cukup dengan melihat fungsi distribusi probabilitas yang dihasilkan oleh nilai h

dalam rentang nilai tertentu. Pertama dimulai dengan nilai h yang besar, dan terus

turun sampai didapatkan nilai h yang cukup optimal, yaitu nilai h yang

menghasilkan fungsi distribusi probabilitas pKDE(x) yang cukup baik

menggambarkan struktur data. Akan tetapi untuk beberapa kasus diperlukan suatu

metode kuantitatif dalam mengestimasi nilai h yang optimal (Zambom dan Dias

2012).

Salah satu metode kuantitatif untuk estimasi nilai h yang banyak digunakan

adalah metode silverman, yaitu

dengan s adalah standar deviasi sampel dan N adalah banyaknya data sampel.

Asumsi yang digunakan dalam metode ini adalah fungsi distribusi probabilitas

data sebenarnya adalah gaussian dan fungsi kernel yang digunakan gaussian

(Zambom dan Dias, 2012).



BAB IV SIMULASI DAN ANALISIS

Dalam bab ini, dilakukan simulasi yang bertujuan untuk melihat

perbandingan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE dalam

estimasi distribusi severitasnya dengan LDA yang menggunakan model distribusi

tertentu dalam estimasi distribusi severitasnya. Perangkat lunak yang digunakan

adalah bahasa pemrograman Python. Algoritma inti program diunduh dari

http://scikit-learn.org, http://docs.scipy.org, dan http://matplotlib.org. Alur

pembahasan dalam simulasi ini meliputi data penelitian, estimasi distribusi

frekuensi, estimasi distribusi severitas, perbandingan nilai EC antara KDE dan

model distribusi tertentu, perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada

KDE.

4.1 Data Penelitian Data penelitian dalam tesis ini dibangun secara acak menggunakan

microsoft excel dan python. Data penelitian terdiri dari 3 data, yaitu data 3 tahun,

data 5 tahun, dan data 10 tahun dengan nilai data dalam satuan ribuan rupiah.

Statistik data penelitian dapat dilihat pada tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1 Statistik data penelitian 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun

Tahun Ke- 1 2 3Frekuensi 183 149 163Mean 39,836.09 44,062.72 54,967.08 Standar Deviasi 18,137.52 23,814.23 22,071.61

Tahun Ke- 1 2 3 4 5Frekuensi 55 65 70 50 60Mean 32,256.70 28,569.98 36,447.10 54,637.52 49,342.57 Standar Deviasi 11,787.16 13,314.75 20,037.53 28,458.42 26,551.13

Tahun Ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Frekuensi 50 60 50 65 45 55 50 60 50 55Mean 34,798.56 33,710.42 38,019.44 32,382.11 35,281.24 36,008.76 36,435.36 39,506.53 45,152.88 49,761.51 Standar Deviasi 14,201.39 13,912.41 13,612.59 13,322.23 14,370.14 13,805.79 21,059.44 22,926.98 23,127.57 24,497.91


http://scikit-learn.org/

http://docs.scipy.org/

http://matplotlib.org/

25


Sedangkan untuk rincian data penelitian dapat dilihat dalam lampiran 2 dengan

histogram data penelitian disajikan dalam gambar 4.1 berikut:

7 8 9 1050 60 50 55

36,435.36 39,506.53 45,152.88 49,761.51 21,059.44 22,926.98 23,127.57 24,497.91


26


Gambar 4.1 Histogram data penelitian

4.2 Estimasi Distribusi Frekuensi Frekuensi kerugian per tahun dalam risiko operasional menghasilkan nilai-

nilai bagi variabel acak N, yaitu banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam

waktu satu tahun. Banyaknya frekuensi kerugian yang terjadi dalam tahun tertentu

tidak bergantung pada banyaknya frekuensi kerugian dalam tahun yang lain. Oleh

karena itu, distribusi probabilitas dari variabel acak N adalah berdistribusi

poisson. Parameter dalam distribusi poisson adalah mean µ. Untuk data 3 tahun

memiliki µ=165, data 5 tahun memiliki µ=60, dan data 10 tahun memiliki µ=54.

Distribusi frekuensi yang terbentuk dapat dilihat pada gambar 4.2 berikut:


27


Gambar 4.2 Distribusi frekuensi

4.3 Estimasi Distribusi Severitas 4.3.1 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan KDE

Langkah pertama dalam mengestimasi distribusi severitas menggunakan

KDE adalah menentukan paramater pemulus untuk distribusi severitas. Parameter

pemulus pertama adalah pemilihan fungsi kernel. Dalam penelitian ini fungsi

kernel yang digunakan adalah fungsi kernel gaussian karena bisa menghasilkan

fungsi distribusi probabilitas dengan tingkat kemulusan yang baik. Parameter

pemulus kedua adalah pemilihan nilai h. Pemilihan nilai h berdasarkan metode

kuantitatif yaitu metode silverman dapat dilihat pada gambar 4.3 berikut:


28


Gambar 4.3 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan

nilai h berdasarkan metode silverman


29


Dari gambar 4.3 dapat dilihat bahwa pemilihan nilai h menggunakan metode

silverman masih kurang optimal menggambarkan data yang sebenarnya karena

distribusi severitas yang dihasilkan masih terlalu besar mengestimasi daerah yang

lebih kecil dari nilai minimum data. Oleh karena itu, pemilihan nilai h akan

dilanjutkan dengan cara yang umum digunakan yaitu berdasarkan distribusi

severitas yang dihasilkan oleh beberapa nilai h kemudian secara visual akan

ditentukan nilai h yang optimal, yaitu nilai h yang bisa menghasilkan distribusi

severitas yang cukup baik menggambarkan data penelitian. Hasil dari beberapa

nilai h dapat dilihat pada gambar 4.4 berikut:


30


Gambar 4.4 Distribusi severitas menggunakan KDE dengan beberapa nilai h

Dari gambar 4.4 dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu untuk data 3

tahun dipilih nilai h yang optimal adalah h = 5000 karena cukup baik


31


menggambarkan data secara keseluruhan, untuk data 5 tahun dipilih nilai h yang

optimal adalah h = 3000 karena tidak terlalu besar mengestimasi daerah yang

nilainya lebih kecil dari nilai minimum data, dan untuk data 10 tahun dipilih nilai

h yang optimal adalah h = 3000 karena bisa menggambarkan data dengan baik

termasuk tidak berlebihan dalam estimasi untuk data-data yang bernilai besar.

Kemudian untuk nilai h = 500 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu

berduri dan untuk nilai h = 10000 distribusi severitas yang dihasilkan akan terlalu

mulus.

4.3.2 Estimasi Distribusi Severitas Menggunakan Suatu Model Distribusi Dari histogram data penelitian dalam gambar 4.1 terlihat bahwa data

cenderung berkumpul di daerah yang nilai datanya relatif kecil (menceng kiri),

dan data seluruhnya bernilai positif. Oleh karena itu, untuk ketiga data penelitian

dipilih model distribusi yang relatif cocok yaitu distribusi log-normal. Tampilan

distribusi log-normal untuk data penelitian dapat dilihat pada gambar 4.5 berikut:


32


Gambar 4.5 Distribusi severitas menggunakan model distribusi log-normal

4.3.3 Perbandingan Distribusi Severitas yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi Perbandingan distribusi severitas antara yang menggunakan KDE dengan

yang menggunakan suatu model distribusi tertentu dilakukan untuk melihat secara

visual, manakah dari dua distribusi severitas yang dihasilkan, yang mampu lebih

baik dalam menggambarkan data penelitian.


33


Gambar 4.6 Perbandingan distribusi severitas

yang menggunakan KDE dan yang menggunakan Log-Normal


34


Dari gambar 4.6 terlihat bahwa untuk ketiga data yang digunakan dalam

penelitian ini, distribusi severitas yang menggunakan KDE lebih baik dalam

menggambarkan data penelitian karena bisa mengestimasi daerah-daerah lokal

tempat berkumpulnya data, sedangkan distribusi severitas menggunakan model

distribusi log-normal tidak bisa melakukannya.

4.4 Perbandingan Nilai EC antara yang Menggunakan KDE dengan yang Menggunakan Suatu Model Distribusi

Perhitungan nilai EC dilakukan secara numerik menggunakan metode monte

carlo. Melalui metode monte carlo akan didapatkan variabel-variabel acak yang

merupakan sampel dari distribusi majemuk. Kemudian variabel-variabel acak

tersebut diurutkan dari nilai yang terkecil ke nilai yang terbesar lalu ditentukan

persentil ke 99,9% yang merupakan estimasi nilai EC di tahun berikut. Simulasi

dilakukan sebanyak 10 kali dan dilakukan terhadap beberapa jumlah sampel,

diantaranya 1, 10, 102, 103, 104, 105, dan 106. Hasil dari simulasi disajikan dalam

gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 berikut:


35


Gambar 4.7 Konvergensi nilai EC untuk data 3 tahun


36




37



Dari gambar 4.7, 4.8, dan 4.9 dapat dilihat bahwa nilai EC akan mulai

konvergen ke suatu nilai ketika banyaknya sampel adalah 105, hal ini sesuai

dengan karakteristik dari metode monte carlo yang membutuhkan sampel minimal

sebanyak 105 agar simulasi yang dilakukan konvergen ke suatu nilai.

Perbandingan nilai EC yang diperoleh dari hasil simulasi lebih jelasnya dapat

dilihat pada tabel 4.2 berikut

Tabel 4.2 Perbandingan nilai EC untuk data 3 tahun, 5 tahun dan 10 tahun

M etode Nilai ECBanyak Sampel (10^x)

Standar Deviasi

9,747,878.30 5 26,312.37 9,743,212.00 6 6,552.70 9,893,008.39 5 22,764.94 9,901,079.80 6 4,819.10

KDE

Log-Normal


38


Dari tabel 4.2 dapat dilihat bahwa untuk data 3 tahun nilai EC yang

dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil sebesar 1,6%, untuk

data 5 lebih kecil sebesar 3,2%, dan untuk data 10 tahun lebih kecil sebesar 2,8%

dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan log-normal.

Kemudian ketika banyaknya sampel adalah 106 nilai EC semakin jelas menuju ke

satu nilai hal ini dapat dilihat dari standar deviasinya yang lebih kecil

dibandingkan ketika banyaknya sampel adalah 105.

Perbedaan nilai EC yang dihasilkan untuk ketiga data penelitian, disebabkan

oleh estimasi yang berlebih dari model distribusi log-normal pada daerah yang

nilainya jauh lebih besar dari nilai maksimum data, untuk lebih jelas dapat dilihat

pada gambar 4.10 berikut:

Gambar 4.10 Perbandingan tail dari KDE dan Log-Normal untuk data 3 tahun (a),

5 tahun (b), dan 10 tahun (c)


Standar Deviasi

3,521,863.00 5 14,715.35 3,520,330.50 6 2,217.44 3,634,601.30 5 14,731.33 3,632,659.70 6 3,483.08

KDE

Log-Normal


Standar Deviasi

3,094,578.40 5 13,752.27 3,091,952.80 6 3,152.31 3,174,356.50 5 15,369.37 3,178,200.00 6 3,336.79

KDE

Log-Normal


39


4.5 Nilai EC untuk Beberapa Nilai h pada KDE Simulasi ini dilakukan untuk mengetahui seberapa besar pengaruh

pemilihan nilai h terhadap nilai EC yang dihasilkan. Simulasi dilakukan dengan

menggunakan sampel sebanyak 105. Hasil dari simulasi dapat dilihat pada tabel

4.3 berikut:

Tabel 4.3 Perbandingan nilai EC untuk beberapa nilai h pada KDE untuk data

3 tahun, 5 tahun, dan 10 tahun

Dari tabel 4.3 dapat diambil kesimpulan bahwa nilai h yang berbeda-beda

dengan catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus berpengaruh kecil terhadap

Bandwidth (h) Nilai EC Standar

Deviasi500 9,731,174.67

2000 9,734,267.03 2500 9,730,971.32 3000 9,735,190.15 4000 9,741,654.05 5000 9,747,878.30 6810 9,750,494.27 10000 9,769,592.46

7,905


Deviasi500 3,513,631.70 2000 3,514,677.00 3000 3,521,863.00 4000 3,518,947.10 5000 3,522,754.50 7802 3,536,074.70

10000 3,552,739.60

8,030


Deviasi500 3,086,040.10

1500 3,081,622.20 3000 3,094,578.40 4000 3,096,651.10 5000 3,095,726.80 5606 3,094,041.70 10000 3,120,605.70

6,178


40


perbedaan nilai EC. Hal ini dapat dilihat dari nilai standar deviasi yang kecil dari

nilai EC yang dihasilkan oleh beberapa nilai h. Seperti untuk data 3 tahun

pemilihan nilai h antara 2000 dan 6810 memiliki standar deviasi sebesar 7905,

untuk data 5 tahun pemilihan nilai h antara 2000 dan 7802 memiliki standar

deviasi sebesar 8030, dan untuk data 10 tahun pemilihan nilai h antara 1500 dan

5606 memiliki standar deviasi sebesar 6178.



BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari simulasi yang telah dilakukan dalam penelitian ini diperoleh beberapa

kesimpulan, yaitu:

1. Konvergensi tail menuju p(x) = 0 dari distribusi severitas berpengaruh pada

besar kecilnya nilai EC yang dihasilkan.

2. Perbedaan nilai lebar pita h, yang merupakan parameter dalam KDE, dengan

catatan tidak terlalu berduri atau terlalu mulus memberikan pengaruh yang

kecil terhadap perbedaan nilai EC yang dihasilkan.

3. Nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan KDE lebih kecil 1,6

3,2% dibandingkan nilai EC yang dihasilkan oleh LDA yang menggunakan

model distribusi log-normal.

5.2 Saran Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menggunakan data riil untuk bisa

melihat metode manakah yang lebih baik.



DAFTAR REFERENSI

Basel Committee on Banking Supervision. (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standars: a revised framework. Basel.

Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer: New

York.

Frachot, A. Georges, P. dan Roncalli, T. (2001). Loss Distribution Approach for

Operational Risk. Working Paper, Groupe de Recherche Operationnelle:

France. Diunduh pada: 25 Mei 2013

McNeil, A. J., Frey, R., Embrechts, P. (2005). Quantitative Risk Management. Princeton University Press : United States of America.

Shevchenko, P.V. (2009). Implementing Loss Distribution Approach for

Operational Risk. Applied Stochastic Models in Business and Industry, vol.

26(3), pages 277 307.

Walpole, R.E. (1972). Introduction to Statistics. The Macmillan Company :

United States of America

Zambom, A. Z. dan Dias, R. (2012). A review of Kernel Density Estimation with Applications to Econometrics. arXiv:1212.2812v1 [stat.ME]. diunduh pada:

26 Oktober 2013.



LAMPIRAN


44


Lampiran 1. Algoritma Program Program Distribusi Frekuensi

Program Distribusi Severitas


45


Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan KDE


46


Program Monte Carlo pada metode LDA yang menggunakan Log-Normal


47


Lampiran 2. Data Penelitian A. Data 3 Tahun

40300.62 56812.29 72398.88 25525.84 44609.56 21804.22 26732.05 38502.46 17529.75 68633.6238727.38 49227.23 29774.31 19490.39 37121.80 33599.01 27844.65 30250.48 48582.47 53420.8153765.29 43860.94 28971.04 43355.53 65350.37 43586.17 27791.22 45510.56 48101.62 14022.8438045.06 98473.56 47597.66 43574.12 35921.30 27052.69 46682.68 22147.88 58704.4824539.99 29064.70 39312.79 38971.85 36258.00 29380.63 13148.12 39835.93 25584.1725507.37 23758.76 48923.74 61480.68 51874.30 31589.27 35180.27 24818.06 31214.4236071.84 35420.12 40557.92 20181.31 45728.38 29619.94 69805.32 96735.82 25294.8194234.57 16859.71 25683.13 39508.91 36669.30 34478.04 47403.11 32851.87 74691.4837974.50 43341.08 31776.48 39759.66 36649.60 41158.50 36553.79 38008.54 41965.9837445.79 34754.31 39309.25 21301.35 22452.36 46586.45 28146.64 52249.26 64108.2049573.86 41500.74 30130.86 45398.11 22789.33 31269.36 26627.92 22499.31 63702.3945908.76 25318.09 35194.31 13357.94 34888.41 33356.43 34232.16 46361.15 21234.4723976.42 28677.36 27386.13 41301.40 32702.65 46284.23 40155.70 57898.15 41949.4076543.65 40899.08 52179.77 41837.41 71670.00 80150.84 38200.60 63031.37 43616.8137296.72 25216.34 42668.00 35297.43 19196.53 37369.89 14931.65 53475.69 56045.1230299.76 94544.75 100662.37 28328.40 12443.45 43728.37 40038.18 36998.71 13727.0833438.58 89148.99 30909.57 29983.53 24911.18 48406.15 17743.19 37940.82 15383.4942076.37 107098.20 45847.39 48618.17 27987.50 31735.19 43872.14 67200.81 16437.7824735.90 29197.53 19992.32 19666.45 40831.86 35130.85 48335.27 34662.57 26986.1035467.67 85471.74 23769.27 44253.94 32262.57 12576.15 53993.11 32357.25 18318.93

TOTAL 7290004.74

TAHUN 1

14918.23 54439.42 50621.54 42874.08 30011.22 27018.42 72900.82 89711.3323603.45 26294.97 61554.92 24794.91 32561.31 73541.17 96046.43 87557.3024289.59 44387.28 85762.29 61616.41 47718.98 47889.61 74746.16 35450.8164134.62 27540.55 71676.49 13870.70 66235.63 34017.79 27049.77 21354.5270098.57 71395.13 29033.66 44928.23 71125.72 15912.41 15034.61 15539.4846579.95 31482.12 22654.78 51501.97 44896.30 57536.50 15825.55 31091.4952082.91 64807.86 34300.66 52812.86 24341.17 74425.29 13167.93 72236.3960488.91 43106.53 15747.02 79162.79 43021.12 23087.20 34543.99 19448.5843343.73 12191.75 27527.09 25935.89 94440.38 13645.06 77273.80 56539.0829717.26 39352.82 33219.28 30157.07 19035.39 24537.40 64582.7866641.16 23544.22 15506.15 11943.42 56649.55 15628.00 78489.8740011.84 45025.35 60854.44 48876.07 49994.66 22989.72 55762.5028782.36 37073.57 51190.91 52707.30 56538.96 61195.21 69043.9623041.51 16388.14 63235.69 46045.05 46005.04 72222.52 33813.5837559.22 57086.88 21060.43 32201.22 25062.11 22737.89 77281.4910626.43 64515.97 48891.15 20128.25 43095.11 39429.91 84918.2025929.89 22656.47 71690.46 53830.05 70312.47 93409.97 11925.8858480.04 70305.47 27276.39 40869.05 12290.61 36115.69 91891.7632324.42 22118.77 49390.21 10347.02 33658.44 75057.69 26606.7411294.87 43366.92 53666.58 47499.58 47077.26 56990.35 46059.39

TOTAL 6565344.63

TAHUN 2


48


B. Data 5 Tahun

92398.71 27331.39 95320.90 78723.02 70180.82 29641.24 63193.16 51226.28 74293.8944683.91 73980.98 29991.43 63770.30 64220.62 22497.38 84307.89 67348.61 80739.3876566.34 28153.53 49808.83 85704.75 53988.48 47719.19 17667.11 11801.25 43609.7663014.00 59022.00 17112.63 70128.54 34744.45 21738.15 58702.64 26293.1040857.10 81326.84 60830.72 93102.09 75553.27 51906.03 96335.12 81646.9157227.90 76284.44 49407.16 87267.71 19512.40 39250.76 50402.76 22260.8176577.02 20068.76 71100.19 44562.06 11403.55 43890.91 33680.03 45733.9467769.66 90824.58 91093.70 20271.12 51641.09 22142.71 82527.81 90521.0098920.52 54098.06 51461.03 56934.50 34342.88 32958.25 27714.95 52721.7890395.53 39131.89 58340.34 55551.84 26471.90 85301.03 57139.55 37747.7490052.19 40931.87 17623.48 79872.97 94107.13 27458.54 74035.92 37568.5827524.75 86793.70 70136.25 73945.45 79477.51 52631.32 100691.77 60998.6642660.31 45833.86 57088.77 41039.93 21318.62 65895.93 65311.24 77720.0325044.42 38238.58 43829.71 71854.66 73870.00 35836.14 46452.80 60444.3227717.19 20409.09 66127.79 46833.64 58585.11 92040.50 89471.19 94945.3498002.18 33503.33 90522.39 46193.93 71347.73 72402.90 58841.73 58613.6735920.56 66906.72 90877.24 22522.28 59569.90 63983.46 32510.20 76618.0347869.52 25715.81 59194.31 16675.97 74728.68 24713.51 56119.36 30057.9118952.75 19715.56 16857.44 46605.93 23756.85 67626.64 59354.00 52191.4432034.76 38298.96 82699.87 96478.00 47718.93 60084.47 30329.90 45261.16

TOTAL 8959633.84

TAHUN 3

16990 44563 19714 14045 29728 1922041606 22052 43216 37157 13975 1388329493 31359 34294 12047 33321 1570315553 30867 42129 30686 13218 1266314796 32011 38480 12972 42518 1117538280 17253 34200 44223 4474328636 42160 31297 40587 3208549424 34100 46828 39522 3086114058 49182 28039 28817 1921638522 46949 18207 29478 16734

TOTAL 1612835

TAHUN 1

46319 18076 14991 47099 21398 14650 2207439810 40192 39266 44040 10401 38410 1630439070 16366 10586 16878 18162 27871 4633712434 32435 41130 43467 30836 26589 2031149059 19470 38692 10620 47335 25036 1052622659 41806 42466 20773 16617 2187842380 42572 41483 45392 12477 2481512663 48206 45171 48813 14057 2763610864 25167 37238 11942 40423 1048134484 14643 18419 46809 10877 27598

TOTAL 1857049

TAHUN 2


49


C. Data 10 Tahun

15667 66055 18236 18757 13568 22016 2245912986 68450 32762 16422 68733 43579 1080115796 50688 54876 71847 34481 58058 7164636480 24235 41080 12934 24590 71005 1330949146 12928 74732 10173 21182 11323 2074162872 18394 34702 58913 67641 38128 3348946228 28218 49440 18548 38610 26201 4954725532 12590 55021 63258 28659 64895 6838513483 38464 32326 41342 36895 44170 1735017442 15638 22943 10751 50365 54822 54294

TOTAL 2551297

TAHUN 3

55596 58520 31488 76447 1157132597 90118 40927 43127 5642970388 30659 95090 95176 2068119870 10233 81409 47702 9282636383 26785 76332 68747 1962547701 91544 58802 76992 1368413423 91785 91462 94911 5504654300 38367 22745 11205 5166425709 63159 32445 91423 9411195379 77866 27892 39229 82306

TOTAL 2731876

TAHUN 4

54758 19916 32381 14654 74466 7023967190 95982 33618 13149 36827 9227591575 37021 73443 42893 90712 8829116884 67026 17737 79239 48104 4503162125 63907 33709 12392 20717 5222275578 98488 25982 13644 37766 3139984431 53024 34722 60194 92669 1648428473 10720 11409 86575 50412 3429239369 20347 90671 19188 29197 4327554966 56898 34046 68248 37821 71783

TOTAL 2960554

TAHUN 5

20773 12914 29920 29130 3410613517 19455 53521 46952 2021728584 21155 32385 34111 5977657189 30235 34701 21003 2171339207 55441 31836 27276 5367958094 21344 54027 23149 3218120037 46189 34738 40907 2260318013 59468 44284 55045 1547626659 27890 51506 21886 5636123279 53657 26832 37368 40139

TOTAL 1739928

TAHUN 1


50


49206 35690 18081 50347 52613 2984659111 35497 10228 41176 34082 1550926499 28555 37578 41464 12479 5793658538 52927 46535 15330 14887 4640917192 37430 32379 22392 40709 3268955402 32819 36746 40822 35101 3446344980 48054 26268 15211 30370 2982018156 20952 53952 15291 25117 2349035940 42632 11287 20938 31518 4324016644 19308 38596 59717 17926 44551

TOTAL 2022625

TAHUN 2

18029 43340 43303 39560 5912057575 31442 58274 44882 5629714515 19164 55882 53362 2281836128 48875 16251 56396 2059739721 38325 41293 35740 3698249485 13884 48137 24807 2660438725 35990 52751 39906 4573329686 32218 44408 54875 4466456652 40258 29906 52423 3574813486 36301 28515 25276 12663

TOTAL 1900972

TAHUN 3

30891 50836 24555 35383 38021 23074 2516427062 11975 48232 46632 51366 38393 2956737725 51259 47856 10577 11797 15625 2539916606 32547 16692 41710 20672 26184 5063258472 30754 27855 40489 30715 40694 4652734665 49353 16615 18215 55702 1081645208 20082 23333 22397 32062 4237020075 18425 44064 12882 46736 1842921747 47653 44519 28083 38534 2924444428 52435 37329 14871 12854 39773

TOTAL 2104837

TAHUN 4

24687 33001 16466 51736 2359111507 53573 33223 40491 2703455764 47490 12320 28806 3584040929 52092 29436 53364 3212942242 39394 22525 54372 3026451687 20108 32586 4008312422 32386 40586 5661224694 18516 10266 5748415297 30293 57190 2137452772 38204 51986 30834

TOTAL 1587656

TAHUN 5


51


32391 39031 47294 14003 15807 5289145903 46730 30990 20724 46962 5098345668 10355 46286 43811 57993 4966746486 56332 17288 19192 27631 3932234489 26363 44185 49321 27323 2903536147 41967 30712 31071 4170639498 28818 40587 14682 4732716823 14386 32298 57483 4152515311 42364 27562 15266 1930723745 59190 37180 51609 59462

TOTAL 1980482

TAHUN 6

33943 43344 24368 18602 1329449764 21049 11807 10217 1811615393 13037 52995 57662 1109545839 44449 63143 18081 5953151484 46748 20147 56881 1366545796 44367 10877 17700 2239647173 11603 70514 44535 4242514262 51033 23931 26987 9343738367 15887 63880 94496 3280855311 51525 19392 36694 31718

TOTAL 1821768

TAHUN 7

71730 49195 49549 73306 60177 4197740824 76735 13297 77933 30704 4000869596 12442 16632 65500 15791 2974223562 28116 67923 73864 13184 2684934101 16720 49188 75324 26201 2355526522 26940 82364 70647 39060 3089717267 45326 11961 63696 49053 4999410571 25350 17173 64880 14031 4142513722 13611 21177 75877 10116 1573946750 12696 30354 70341 63613 15514

TOTAL 2370392

TAHUN 8

15232 68260 20251 17468 5736426241 67540 41806 38999 6604685372 61910 14873 42845 3929919661 74569 58421 33380 6850116136 71976 38006 29834 2607932204 64105 82526 19980 2617120061 68828 73648 42524 2566034841 72399 39774 23421 3777919949 64582 44672 42766 10589074304 69156 37077 13476 21782

TOTAL 2257644

TAHUN 9


52


20685 68511 58549 13628 66923 7295174401 59356 23307 16415 67453 5859017451 63595 14347 20284 74411 7148725392 59419 11514 73745 75096 6672662318 66277 17911 17319 67983 7415272914 69011 28453 23456 6418072676 71296 18601 22317 7527464082 65645 29815 13208 7507970282 71165 18607 14183 6469172417 71364 31736 13567 62668

TOTAL 2736883

TAHUN 10


53


Lampiran 3. Hasil Simulasi Konvergensi Nilai EC

1. Data 3 tahun nilai EC dengan KDE dan lognormal secara berurutan


54




55




analisis penggunaan kernel density estimation pada metode...

Documents