1

ANALISIS NUMERIK UNTUK GERAK OSILASI BERGANDENG

PADA AIR TRACK DENGAN METODE RUNGE-KUTTA

José Da Costa1,2*

, Made Rai Suci Santi1,2

, Suryasatriya Trihandaru1,2

1Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika

2Program Studi Fisika, Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60, Salatiga 50711, Indonesia

Email: yosephtls@yahoo.com

ABSTRAK

Ilmu Pengetahuan banyak memberikan landasan teori bagi perkembangan suatu teknologi, salah satunya

adalah matematika.Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan dan teknologi, sistem osilasi bergandeng pada

air track, merupakan pengembangan Iptek. Permasalahannya adalahbagaimana memodelkan dan

mensimulasikan sistem osilasi bergandeng duadengan metode numerik. Sistem dua derajat kebebasan

atausistem osilasi bergandeng dua(two degree of freedom systems) adalah suatu partikel yang dapat bergerak

secara bebas secara dua arah dalam suatu ruang tertentu.Dalam penelitian ini, dua massa yang diikatkan pada

tiga (3) buah pegas.Persamaan dari sistem dua derajat kebebasan dapat diselesaikan dengan menggunakan

mekanika Lagrange, dan diselesaikan dengan menggunakan metode runge-kutta orde empat (RK4). Simulasi

numerik dan hasil percobaan ditunjukkan saling berkorelasi dengan baik.

Kata kunci : Osilasi bergandeng, Langragian, Runge-Kutta, dan Matlab/Simulink.

Abstract

Science gives a lot of theoretical review for the progress of technology. One of the progresses is mathematics.

To develop science and the technology, coupled oscillation system on an air track is a developing science and

technology. The problem is how to model and simulate couple oscillation system with numeric method. Two

degree of freedom system or coupled oscillation system is a particle which can move freely into two ways in a

certain space. In this research, two masses are bound to tree springs. The equation of two degree of freedom

system can be solved by Lagrangian mechanics and it is solved by the fourth order Runge-Kutta Method

(RK4). Numeric system and the result of experiment correlate well.

Key words: coupled oscillation, Langrangian, Runge-Kutta, Matlab/Simulink.

1. PENDAHULUAN

Getaran merupakan salah satu bentuk

gerak benda yang cukup banyak dijumpai

dalam kehidupan sehari-hari, misalnya

bagaimana getaran yang terjadi jika sebuah

beban dikaitkan atau digantungkan pada sebuah

pegas. Contoh yang lain adalah bandul jam

yang berayun kekanan dan kekiri, perahu kecil

yang berayun naik turun dan lain-lain.

Berdasarkan contoh tersebut di atas dapat

diketahui bahwa getaran dapat terjadi jika suatu

sistem diganggu dari posisi kesetimbangan

stabilnya. Getaran ini akan terjadi secara terus

menerus dan berulang-ulang selama sistem

mendapatkan gaya. Gerak getaran benda yang

berulang dengan waktu yang tetap biasanya

disebut sebagai gerak periodik[1].

2

Gerak getaran benda yang terjadi secara

terus menerus dan tidak terdapat faktor

hambatan atau redaman biasanya disebut

sebagai gerak harmonik sederhana.

Karakteristik gerak harmonik sederhana adalah

memiliki amplitudo dengan nilai tetap

Amplitudo merupakan simpangan maksimum

dari posisi kesetimbangan [2]

.

Untuk sistem osilasi pada air track

yang selama ini kita pelajari yaitu hanya

melalui teorinya saja serta penyelesaian

persamaannya secara matematika, tetapi kita

tidak mengetahui bagaimana bentuk gelombang

yang dihasilkan dari sistem osilasi bergandeng

tersebut. Oleh karena itu penulis ingin

memanfaatkan simulasi numerik melalui

pemrogaman matlab ini untuk mengamati dan

menganalisis bentuk pola gelombang yang

dihasilkan oleh sistem osilasi bergandeng pada

air track.

1.1 Metode Numerik

Metode numerik disebut juga sebagai

metode alternatif dari metode analitik, yang

merupakan metode penyelesaian persoalan

matematika dengan rumus-rumus aljabar yang

sudah baku atau lazim. Disebut demikian,

karena persoalan matematik sulit diselesaikan

atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara

analitik sehingga dapat dikatakan bahwa

persoalan matematik tersebut tidak mempunyai

solusi analitik. Sehingga sebagai alternatifnya,

persoalan matematik tersebut diselesaikan

dengan metode numerik.

Perbedaan utama antara metode numerik

dengan metode analitik terletak pada dua hal,

yaitu:

(a) Solusi dengan metode numerik selalu

berbentuk angka, sedangkan dengan

metode analitik biasanya menghasilkan

solusi dalam bentuk fungsi matematik

yang selanjutnya fungsi matematik tersebut

dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai

dalam bentuk angka.

(b) Dengan metode numerik hanya diperoleh

solusi yang menghampiri atau mendekati

solusi sejati sehingga solusi numerik

dinamakan juga solusi hampiran

(approximation) atau solusi pendekatan.

Akan tetapi, solusi hampiran tersebut dapat

dibuat seteliti yang diinginkan. Solusi

hampiran tentu tidak tepat sama dengan

solusi sejati, sehingga ada selisih antara

keduanya, dan selisih tersebut dinamakan

sebagai galat (error). Sedangkan dengan

solusi analitik sudah pasti dihasilkan solusi

sejati yang sesuai dengan kenyataannya

(Munir, 2006:5).

1.2 Gerak Getaran Pegas

Getaran dapat didefinisikan sebagai

gerak bolak balik suatu benda yang terjadi

secara periodik atau berkala yaitu gerak benda

tersebut berulang pada selang waktu yang tetap [3]

. Gerak benda yang terjadi secara periodik

biasanya disebut sebagai gerak harmonik[4]

.

Salah satu contoh gerak harmonik yang sering

dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah

gerak getaran pada pegas. Gerak getaran pada

pegas akan terjadi jika terdapat gaya yang

bekerja pada pegas tersebut, yaitu gaya luar

(Dafik, 1999).

Untuk mengilustrasikan pentingnya

konsep yang berhubungan dengan fenomena

osilasi, perhatikan sebuah obyek pada Gambar

1 dibawah ini di tunjukkan bahwa ada dua buah

massa m1 dan m2 yang dihubungkan dengan tiga

buah pegas yaitu k1, k2, dan k3 yang bergerak

secara bebas pada sumbu horizontal, di mana

X1 dan X2 akan digerakan oleh massa m1 dan m2

secara berturut-turut [5]

.

Gambar1.Sistem pegas dengan 2 derajat

kebebasan[6]

.

Perhatikan sistem dua derajat

kebebasan, ditunjukan oleh model pada Gambar

1 di atas, dan diagram free-bodynya yang

ditunjukan oleh model pada Gambar 2 dan 3 di

bawah. Pada diagram free-body, x2 diasumsikan

lebih besar dari x1 sehingga pegas k2 mengalami

tarikan, seperti pada gambar 3, dan gaya

tariknya sebesar ( ). Dengan

perkataan lain, jika x1 diberi nilai lebih besar

3

dari x2, pegas k2 akan mengalami gaya tekanan,

dengan gaya tekan pegas ditulis sebagai

( ) seperti pada gambar 2.

Obyek bergerak meluncur tanpa

gesekan pada bidang datar seperti pada gambar

1. Pegas mempunyai panjang alami ketika pada

keadaan itu pegas tidak memberikan gaya pada

kedua massa, dan posisi kedua massa pada titik

ini disebut posisi setimbang. Jika salah satu

massa dipindahkan kekanan ataupun kekiri

yang berarti merentangkan pegas, jika massa

tersebut di lepaskan maka pegas akan

memberikan gaya pada kedua massa untuk

berosilasi dan lama kelamaan kedua massa itu

akan kembali pada posisi setimbangnya. Gaya

ini disebut gaya pemulih[7]

.

Untuk mendeskripsikan gerak osilator

dari kedua massa dalam sistem ini digunakan

metoda Lagrangian yang merupakan selisih dari

energi kinetik dan energi potensialnya[8]

.

Energi kinetik T sistem adalah

(1)

Energi potensial V [9]

adalah

( )

(2)

1.3 Lagrange

Persamaan Lagrange adalah sebagai

selisih antara energi kinetik (T) dan energi

potensial (V), persamaan Lagrange merupakan

persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari

koordinat umum, kecepatan umum, dan

waktu[10]

. Dengan persamaannya adalah sebagai

berikut :

(3)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat

persamaan Lagrange yaitu:

(

) (

( )

) (4)

Untuk persamaan Lagrange ini, masih

diturungkan terhadap x1 dan x2 yaitu sebagai

berikut:

Persamaan Lagrangian jika diturungkan

terhadap x1, maka:

( )

⏟

( )

⏟

(5)

Persamaan Lagrangian jika diturungkan

terhadap x2, maka:

( )

⏟

⏟

( )

( ) (6)

1.4 Euler-Lagrange

Persamaan Euler-Lagrange untuk

sistem osilasi di turunkan terhada pmassa m1

dan massa m2[11]

yaitu sebagai berikut:

Gambar2. Diagram kebebasan untuk m1.

(

)

4

(

) (

) (7)

(

) (

) (

)

( ) (8)

Persamaan untuk m2 adalah

Gambar3. Diagram kebebasan untuk m2.

(

)

(

) (

) (9)

(

) (

)

( )

( ) (10)

1.5 Persamaan Diferensial dengan Orde

dua

Persaaan diferensial dengan orde dua

dapat diubah menjadi sistem persamaan

diferensial orde satu dan dapat diselesaikan

dengan beberapa metode penyelesaian secara

numerik seperti metode Runge-Kutta order

empat (RK4). Pada Persamaan (7) dan (9)

masih berupa persamaan diferensial biasa orde

2, sedangkan metoda numerik yang dipakai

(yaitu Runge Kutta) memerlukan persamaan

diferensial orde 1, maka untuk mendapatkan

sistem persamaan diferensial orde pertama

didefenisikan sebegai berikut:

(11)

(12)

(13)

(14)

Dalam persamaan (11), (12), (13) dan

(14) digunakan sistem persamaan diferensial

biasa dan diringkas dengan menggunakan

notasi vektor sebagai berikut :

[ ] (15)

Sehingga diperoleh persamaan :

( ) (16)

[ ] (17)

Skema numerik untuk menyelesaikan

persamaan (16) dengan menggunakan metode

Runge Kutta orde4, diperoleh dari persamaan

(15).

1.6 Metode Runge Kutta Orde 4

Metode runge Kutta Orde 4 merupakan

metode yang sangat handal untuk

menyelesaikan persamaan diferensial (Koonin

1990). Metode runge kutta orde 4 adalah suatu

metode yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial secara numerik atau

pendekatan sehingga mendapatkan

penyelesaian yang lebih signifikan atau handal

dari pada penyelesaian secara eksat atau

analitik[12]

.

Dengan menggunakan metode Runge

Kutta orde 4 maka persamaannya yaitu sebagai

berikut[13]

.

( )

(

( )

)

(

( )

)

(

( ) )

( ) ( ) ( )

(18)

Dengan h adalah interval waktu.

5

Dalam persamaan gerak (17) terdapat

parameter-parameter yang dicari, yaitu keadaan

awal x1(0), v1(0), x2(0), v2(0), k1, k2, k3, m1, m2,

A1(0), A2(0). Dimana, A1(0) dan A2(0)

digunakan untuk menggeser semua gelombang

berada dalam satu garis koordinat X (sumbu

waktu). Parameter-parameter ini dapat dicari

dengan optimasi Nelder-Mead[14]

.

Nelder-Mead adalah metode simplex

untuk menemukan fungsi minimum dari fungsi

ralat yang didefinisikan sebagai:

√∑ ( )

(19)

Dengan:

E adalah Nelder-Mead

xti adalah teori percocokan data (numerik).

xdi adalah data percobaan yang diambil.

N adalah banyaknya data percobaan.

2. BAHAN DAN METODE

Dalam penelitian ini, bahan yang

digunakan adalah seperti pada susunan gambar

dibawah ini:

Gambar4. Susunan perancangan alat

Dengan menghidupkan tabung udara,

udara mengalir ke rel udara kemudian memberi

sedikit gaya pada salah massa dari kedua massa

tersebut, dengan cara menarik massa ke kiri

atau pun ke kanan dan kemudian dilepaskan.

Tujuan memberikan gaya kepada kedua massa

agar kedua massa berosilasi dengan maksimal.

Kemudian merekam kedua massa yang saling

berosilasi pada air track dengan menggunakan

Camera Digital. Waktu yang dibutuhkan dalam

rekaman hanya 9-10 detik saja.Setelah selesai

merekam makahasil rekaman atau video

tersebut di importke dalam Macromedia Flash

MX 2004, seperti pada diagram di bawah ini :

Diagram 1. Prosedurimport video to

Macromedia flash MX 2004.

Prosedur export video to file, seperti

berikut :

Diagram2.Prosedurexport video to file

Setelah itu muncul Exporting Image

Sequence, ini artinya video akan tersimpang

sebagai *png di data video tersebut dan

disimpang dalam bentuk folder. Program

matlab R2009a, untuk mencari koordinat dari

6

hasil data yang di ekstrak, sesuai dengan

program functioncarikoordinat2.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada penelitian ini akan dipaparkan

penyelesaian secara numerik model getaran

pegas (sistem oasilasi bergandeng dua). Pada

awalnya, model getaran tersebut yang termasuk

persamaan deferensial linear orde dua diubah

menjadi sistem persamaan diferensial linear

orde satu. Kemudian sistem persamaan

diferensial linear orde satu tersebut diselesaikan

dengan menggunakan metode Runge-Kutta

orde empat (RK4). Pada bagian ini diambil

beberapa asumsi untuk sebagai parameter yaitu

k1, k2, dan k3(konstanta pegas), m1 dan m2

(massa beban), maka hasil pendekatan numerik

terhadap sistem osilasi bergandeng secara

lengkapmaka grafik hasil komputasi numerik

adalahHasil dari input (grafik biru), data

kemudian di dekati dengan solusi analitik yang

ditulis dalam bentuk rungge-Kutta (grafik

merah), yang sesuai dengan gambar 5 di bawah

ini:

Hasil grafik dan nilai parameter dari

run program.

Gambar 5.Hasil grafik pada sistem osilasi

bergandeng pada air track

Dari pencocokan grafikpada (gambar 5)

di atas didapat nilai parameter-parameter yang

dicari yaitu dalam tabel 1 di bawah ini:

Parameter-parameter

yang di cari

Nilai-nilai

parameter

( ) 0,0152

( ) 0,3367

( ) -0,0096

( ) 0,4145

3,2796

3,2669

3,4102

0,3631

0,3650

( ) 1,4131

( ) 0,9244

Tabel 1.Nilai parameter-parameter yang di cari.

4. KESIMPULAN

Dari hasil simulasi osilator atau

osilasi bergandeng pada air track, diperoleh

kesimpulan yaitu: Dengan memasukan nilai

berupa konstanta pegas maka bentuk pola

gelombang yang dihasilkan oleh sistem osilasi

bergandeng pada air track adalah saling

berkorelasi yang berupa grafik waktu terhadap

posisi m1 dan posisi m2 seperti pada gambar 5 di

atas.

Untuk mencari parameter-parameter

fisika yang sulit dihitung, bisa digunakan

pendekatan grafik dari perhitungan numerik

dengan menggunakan metode Runge Kutta

orde-4. Dan untuk ketelitian hasil pengukuran

digunakan optimasi Nelder-Mead Simplex

Algorithm. Dengan metode numerik ini maka

sistem osilasi bergandeng pada air track dapat

disimulasikan dengan cepat dan akurat. Dan

dengan metode pemodelan ini, kita dapat

mengetahui bahwa ternyata semua benda yang

berosilasi juga mempunyai bentuk pola

gelombang yang dihasilkan.

7

5. SARAN

1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih

mendalam mengenai penggunaan

metode RK4 untuk menentukan solusi

persamaan pada sistem osilasi

bergandeng dua pada khususnya dan

persamaan diferensial nonlinier pada

umumnya.

2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut

apakah metode RK4 bisa berlaku

untuk semua persamaan diferensial

nonlinier.

3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut

mengenai metode-metode numerik

lain selain metode RK4.

DAFTAR PUSTAKA

1) P. A. Tipler, Fisika untuk Sains dan Teknik

Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1998.

2) D. C. Giancoli, Ilmu-ilmu Murni Cetakan

ke 4, Edisi 1, Penerbit Erlangga, Jakarta,

1997.

3) P. Soedojo, ”Fisika Dasar”, Penerbit

Yogyakarta, Indonesia, 1999.

4) D. Halliday, ”Fisika”, Penerbit Erlangga,

Jakarta, 1985.

5) Jazar, R.N., 2013 “Advanced Vibration A

Modern Approach”, Springer.

6) Pratt. William W. “Introduction to

classical mechanics”.

7) Giancoli. D., 1998, “Fisika” (terjemahan),

Penerbit Erlangga, Jakarta.

8) Gregory, Douglas R. 2006. “Classical

Mechanics”, Cambridge University Press.

9) Webster, Mary, “Essentials of higher

physics”. 1987., London.

10) Y. Yamamoto, Nxtway-gs model-Based

design – control of self-balancing two-

wheeled robot built with Lego mind

storms next University of Rhode Island,

Amerika Serikat, 2009.

11) Fox, Charles (1987), “An introduction to

the calculus of variations”. Courier Dover

Publications

12) Mathews, John H. & Fink, Kurds D. 1999,

“Numerical Methods Using Matlab” Third

Edition.

13) A. Klein and A. Godunov, “Introductory

Computational Physics”.

14) http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/N

elderMeadMod.html