ANALISIS FAKTOR

(FACTOR ANALYSIS)

PENDAHULUAN

Analisis faktor: mengkaji hubungan internal darigugus variabel

Data: peubah-peubah yang dianalisis berkorelasitinggi didalam grupnya sendiri dan berkorelasi

rendah dengan yang berbeda grup

Tujuan: untuk mempelajari beberapa sifat yangmendasar namun tidak dapat terobservasi

kuantitasnya

Tokoh: Charles Spearman yang mengemukakandalil bahwa korelasi internal dapat diwakilidengan menggunakan sebuah peubah ataufaktor yang dinamakan dengan faktor g.Selanjutnya faktor ini dikenal sebagai faktor

’kepintaran umum’ (general intelegence)

FORMULASI MODEL

FAKTOR

Misal vektor acak X dengan p komponen memiliki

rataan µ dan matriks peragam (covariance) Σ.

Pada umumnya model analisis faktor adalah:

X1 - µ1 = l11F1 + l12F2 + … +l1mFm + ε1

X2 - µ2 = l21F1 + l22F2 + … +l2mFm + ε2

:

:

:

Xp - µp = lp1F1 + lp2F2 + … +lpmFm + εp

FORMULASI MODEL

FAKTOR(lanjutan)

Dalam bentuk matriks:

(X - µ) = L F + ε(px1) (pxm) (mx1) (px1)

Keterangan:

µ = vektor rataan

L = matriks konstanta yang tidak diketahui

nilainya (loading factor)

F = vektor acak

ε = vektor unsur galat (faktor khusus)

FORMULASI MODEL

FAKTOR(lanjutan)

Dengan asumsi:

E(F) = 0, E(ε) = 0

Cov(F) = E(FF’) = I

Cov(ε) = E(ε ε’) = ψ = diag(ψ1,

ψ2,…, ψp)

F dan ε saling bebas

Cov(ε,F) = E(ε,F) = 0

FORMULASI MODEL

FAKTOR(lanjutan)

Struktur peragam dari model faktor

orthogonal:

Cov(X) = LL’ + ψ

atau

var(Xi) = l2i + … + l2im + ψi

cov(Xi,Xk) = li1 lk1 + … + lim lkm

Cov(X,F) = L

atau

cov(Xi,Fj) = lij

FORMULASI MODEL

FAKTOR(lanjutan)

Pembuktian struktur peragam:

.1Cov(X-µ) = cov(L F+ε)

= cov(L F)+cov(ε)+2cov(L F+ε)

= L cov(F) L’+ ψ +2L cov(L F+ε)

= L L’+ ψ

.2Cov(X,F) = cov(L F+ε ; F)

= cov(L F ; F)+cov(ε ; F)

= L cov(F)

= L (korelasi antara X dengan faktor)

FORMULASI MODEL

FAKTOR(lanjutan)

Komunalitas ke-i merupakan bagian

dari ragam peubah ke-i yang dapat

dijelaskan oleh m faktor umum.

hi2 = li1

2 + li22 + … + lim

2

dan

σii = hi2 + ψi ; I = 1,2, …,p

PERMASALAHAN

Ada tiga hal penting yang menjadi pokok

permasalahan dalam analisis faktor,

yaitu:

Mengidentifikasi struktur

Menduga parameter (loading faktor dan

ragam sistematik

Interpretasi faktor

PENDUGAAN PARAMETER

Metode

Metode non-iteratif Metode iteratif

Metode kemungkinan maksimum Metode kuadrat terkecil tak terboboti Metode komponen utama iteratif Harris Metode analisis faktor alpha

Metode komponen utama Metode faktor utama Analisis Citra Analisis faktor kanonik non-iteratif

KONSEP PENDUGAAN

Metode Komponen UtamaMisalkan R adalah matriks korelasi contoh

berukuran pxp, karena matriks R simetrik dandefinit positif maka bisa dituliskan sebagai

berikut:

R = ΓΛ Γ’

dengan:

Λ= diag(λ1,λ2,…λp) dan λ1>λ2>…>λp>0 adalahakar ciri dari matriks R, serta Γ Γ’= Γ’ Γ =Ip

Γ= matriks orthogonal pxp yang kolom-kolomnyaadalah vektor ciri matriks R yaitu,T1,T2,…,Tp yang berpadanan dengan vektor

ciri λ1,λ2,…,λp

Metode Komponen Utama (lanjutan)

Misalkan k adalah banyaknya komponen

utama yang dipilih, maka matriks L^

didefinisikan sebagai berikut:(pxp)

L^ = |√λ1Γ1|√λ2Γ2|…|√λkΓk|

R didekati dengan L^ L^ ‘=Σki=1λiΓiΓi’

dimana Γi adalah kolom ke-i pada matriks

Γ

Metode Komponen Utama (lanjutan)

Matriks diagonal ragam

khusus ψ diduga

dengan ψ^, yaitu

matriks diagonal yang

unsurnya diambil dari

R= L^ L^ ‘

2

2

2

2

1

100

010

0...01

ˆ

ph

h

h

.

.

.

Metode Komponen Utama (lanjutan)

Ukuran kebaikan suai dari model faktoradalah sebagai berikut:

RMS_overall = √(1/p(1-p))Σip

=1Σjp

=1resij2

Semakin kecil nilai RMS_overallmengindikasikan kebaikan suai yangtinggi. Model terbaik berdasarkan kriteriaini adalah jika diperoleh RMS-overall <0.05 dengan banyaknya faktor bersama

yang paling sedikit.

ILUSTRASI

Data harga saham terdiri dari

n=100 harga mingguan dengan p=5

saham. Dengan menggunakan metode

AKU didapatkan dua komponen

utama. Secara spesifik penduga

loading faktor adalah koefisien

komponen utama (vektor ciri dari R)

dibandingkan dengan akar kuadrat

dari akar ciri yang bersesuaian.

Tabel pendugaan loading faktor,komunalitas

dan total proporsi keragaman yang dijelaskan

dari setiap faktor untuk m=1 dan m=2

Variabel

Solusi satu

faktor

Solusi dua faktor

.1Allied

Chemical

.2DuPont

.3Union

Carbide

.4Exxon

.5Texaco

0.783

0.773

0.794

0.713

0.712

0.39

0.40

0.37

0.49

0.49

0.783

0.773

0.794

0.713

0.712

-0.217

-0.458

-0.234

0.472

0.524

0.34

0.19

0.31

0.27

0.22

Total proporsi

kumulatif

keragaman

yang dapat

dijelaskan

0.571 0.571 0.733

1F2~

1~ii h

1F 2F 2~1~

ii h

Proporsi untuk total keragaman dengan menggunakan solusi dua faktor lebih besar daripada hanya menggunakan satu faktor.

Faktor pertama merepresentasikan kondisi ekonomi secara umum dan dapat disebut faktor pasar. Faktor kedua merupakan kontras antra saham perusahaan kimia dengan saham perusahaan minyak (pada faktor perusahaan kimia memiliki loading negatif yang relatif besar dan perusahaan minyak memiliki loading positif yang relatif besar). Dengan demikian faktor kedua dapat disebut faktor industri karena sebagai pembeda harga saham di industri yang berbeda.

Komunalitas

Dengan m=2,

Matriks residual untuk solusi 2 faktor

adalah

66.0)217.0()783.0(~~~ 222

12

2

11

2 ih

0232.0017.0012.0017.0

232.00019.0055.0069.0

017.0019.00122.0164.0

012.0055.0122.00127.0

017.0069.0164.0127.00

~'~~

LLR

Metode Kemungkinanan Maksimum

Metode kemungkinan maksimum (MKM)mengasumsikan bahwa matriks ragam-peragam atau

matriks korelasi semua peubah bersifat non-singular.

Fungsi kepekatan bagi S adalah:

L(S)=c

dengan c adalah konstanta. Sehingga log-likelihood dariL dan ψ, jika Σ = LL’ + ψ adalah:

Penduga kemungkinan maksimum bagi L dan ψdiperoleh dengan memaksimumkan persamaan diatasdengan kendala k(k-1)/2 persyaratan keunikan

(Johnson&Wichern,1998).

)(2

1

2

1

2

1

2

1 1 Strnpnn

eS

|]})'(|ln})'[({2

1ln 11 SLLSLLtr

nc

Penentuan banyaknya faktor bersama

Uji Nisbah Kemungkinan (likelihood ratio

test)

Hipotesis nol yang diuji pada uji nisbah

kemungkinan ini adalah:

H0: Σ = LL’+ψ, r(L)=k diketahui

Misalkan , dan = + adalah

penduga kemungkinan maksimum bagi

L, ψ dan Σ, jika H0 benar, maka nilai

maksimum untuk log dari fungsi

kemungkinannya adalah:

L

L

^

L

Uji Nisbah Kemungkinan (likelihood ratio test): (lanjutan)

SSSStrn

cLH

11* ln2

1ln

0

pn

c2

1*

L

LH0ln2ln2 Statistik uji nisbah kemungkinan yaitu

Menyebar khi-kuadrat dengan kpkpdb 22

1

Jadi, hipotesis nol ditolak jika kpkpdbH

L

L

20

21;

2ln2

Penentuan banyaknya faktor bersama(lanjutan)

Akaike’s information Criterion(AIC)

Statistik AIC untuk model dengan k

faktor didefinisikan sebagai berikut:

AIC(k)=-2ln L(k)+[2p(k+1)-k(k-1)]

Model berfaktor k dengan k adalah

nilai yang berpadanan dengan AIC (k)

yang paling kecil dianggap sebagai

model terbaik

Data harga saham dianalisa kembali dengan

menggunakan metode maksimum likelihood

dengan tetap memakai dua model faktor

Komunalitas dengan menggunakan metode

maksimum likelihood adalah:

Matriks residualnya adalah:

50.0)189.0()684.0(ˆˆˆ 222

2

2

1

2 iiih

0000.0004.0000.0004,0

000.00031.0004.0024.0

004.0031.00003.0004.0

000.0004.0003.00005.0

004.0024.0004.0005.00

'ˆˆ LLR

Tabel pendugaan faktor loading, komunalitas,

ragam khusus dan total proporsi keragaman

contoh yang dapat dijelaskan

Variabel Maksimum likelihood Komponen utama

Penduga faktor Penduga faktor

.1Allied

Chemical

.2DuPont

.3Union

Karbide

.4Exxon

.5Texaco

0.684

0.694

0.681

0.621

0.792

0.189

0.517

0.248

-0.073

-0.442

0.50

0.25

0.47

0.61

0.18

0.783

0.773

0.794

0.713

0.712

-0.217

-0.458

-0.234

0.412

0.524

0.34

0.19

0.31

0.27

0.22

Total proporsi

kumulatif

keragaman

contaoh yang

dapat dijelaskan

0.485 0.598 0.571 0.733

2~1~

ii h2~

1~ii h

Interpretasi

Elemen matriks residual pada maximum

likelihood lebih kecil dari pada matriks

residual pemfaktoran komponen utama.

Total proporsi kumulatif keragaman pada

faktor komponen utama lebih besar

dibandingkan faktor maximum likelihood.

Maka tidak mengherankan bila kriteria

pemfaktoran komponen utama lebih dipilih.

Loading yang didapatkan dari analisis

faktor komponen utama berhubungan

dengan komponen utama yang

mengoptimumkan keragaman.

Lanjutan …

Pada solusi maximum likelihood semua

variabel pada faktor pertama memiliki loading

yang positif dan relatif besar. Faktor tersebut

disebut faktor pasar. Faktor loading yang

kedua memiliki tanda yang konsisten dengan

kontras atau faktor industri, tapi magnitudo-

nya relatif kecil dibeberapa kasus. Mungkin

dapat diidentifikasikan bahwa faktor ini adalah

pembandingan antara DuPont dan Texaco

ROTASI FAKTOR

Dipergunakan untuk memudahkan interpretasi

Merupakan transformasi ortogonal dari loading factors

L*= LT

dimana TT’=T’T=I

Beberapa jenis transformasi yaitu, varimax, oblique, quartimax, dan

lain-lain

ROTASI FAKTOR(lanjutan)

Rotasi Varimax

Merupakan rotasi yang paling sering

dipergunakan pada aplikasi. Merupakan

transformasi ortogonal yang diperoleh

dengan cara memaksimumkan:

k

j

p

i

p

i i

ij

i

ij

h

l

ph

l

p1 1

2

1

222* 11

ROTASI FAKTOR(lanjutan)

Rotasi Oblique

Digunakan apabila transformasi

ortogonal terhadap matriks loading

faktor menghasilkan faktor yang

masih sulit diinterpretasikan.

ROTASI FAKTOR(lanjutan)

Rotasi quartimax

Transformasi ortogonal dengan tujuan

memperoleh

yang memaksimumkan j

ij

i

l4*

L Adalah matriks loading faktor yang ingin ditransformasi menggunakan matriks

ortogonal

menjadi LL*

sehingga

j j i

ijij

ij

ij

i

ij

i

lPk

lPk

lPk

lPk

2*4*2*4* 1111

Mencapai maximum.

Data harga saham dianalisa kembali dengan

menggunakan metode maksimum likelihood

dengan tetap memakai dua model faktor

Komunalitas dengan menggunakan metode

maksimum likelihood adalah:

Matriks residualnya adalah:

50.0)189.0()684.0(ˆˆˆ 222

2

2

1

2 iiih

0000.0004.0000.0004,0

000.00031.0004.0024.0

004.0031.00003.0004.0

000.0004.0003.00005.0

004.0024.0004.0005.00

'ˆˆ LLR

Tabel pendugaan faktor loading, komunalitas,

ragam khusus dan total proporsi keragaman

contoh yang dapat dijelaskan

Variabel Maksimum likelihood Komponen utama

Penduga

faktor

Penduga faktor

.1Allied

Chemical

.2DuPont

.3Union

Karbide

.4Exxon

.5Texaco

0.684

0.694

0.681

0.621

0.792

0.189

0.517

0.248

-0.073

-0.442

0.50

0.25

0.47

0.61

0.18

0.783

0.773

0.794

0.713

0.712

-0.217

-0.458

-0.234

0.412

0.524

0.34

0.19

0.31

0.27

0.22

Total proporsi

kumulatif

keragaman

contaoh yang

dapat dijelaskan

0.485 0.598 0.571 0.733

2~1~

ii h2~1~

ii h

1F 2F 1F 2F

Interpretasi

Elemen matriks residual pada maximum

likelihood lebih kecil dari pada matriks

residual pemfaktoran komponen utama.

Total proporsi kumulatif keragaman pada

faktor komponen utama lebih besar

dibandingkan faktor maximum likelihood.

Maka tidak mengherankan bila kriteria

pemfaktoran komponen utama lebih dipilih.

Loading yang didapatkan dari analisis

faktor komponen utama berhubungan

dengan komponen utama yang

mengoptimumkan keragaman.

Lanjutan …

Pada solusi maximum likelihood semua

variabel pada faktor pertama memiliki loading

yang positif dan relatif besar. Faktor tersebut

disebut faktor pasar. Faktor loading yang

kedua memiliki tanda yang konsisten dengan

kontras atau faktor industri, tapi magnitudo-

nya relatif kecil dibeberapa kasus. Mungkin

dapat diidentifikasikan bahwa faktor ini adalah

pembandingan antara DuPont dan Texaco