analisis energi dasar atom helim dan lithium n dimensi mengggunakan metode variasi

8/13/2019 Analisis Energi Dasar Atom Helim dan Lithium N dimensi Mengggunakan Metode Variasi

1/9

1

Tugas Research Based Learning (RBL) Mekanika Kuantum 2012

Analisis Energi Dasar Atom Helium dan Lithium N dimensi

Menggunakan Metode Variasi

Sri Oktamuliani, 20212038

Chairun Nisa 20212003

Dosen: Prof. Dr. Eng. Zaki Suud

Abstrak

Energi dasar atom helium dan lithum dengan berbagai dimensi ruang (N dimensi) diperoleh

dengan menerapkan metode variasi. Perhitungan dilakukan pada kasus screening dan tanpa

screening. pada kedua kasus menunjukkan, besarnya energi dasar menurun dengan

meningkatnya dimensi ruang-N. Pada kasus tanpa screening, kontribusi relatif dari interaksi

elektron-elektron pada tingkat energi dasar dihitung untuk dimensi yang berbeda-beda. Pada

kasus screening, muatan inti efektif dan kontribusi relatif screening untuk energi pada tingkat

dasar dihitung untuk dimensi yang berbeda.

Kata kunci: Helium, Litium, Energi dasar, metode variasi.

Pendahuluan

Metode variasi adalah salah satu metode pendekatan yang biasa digunakan pada

mekanika kuantum. Dibandingkan dengan teori gangguan, metode variasi bisa lebih baik

pada situasi dimana sulit menentukan Hamiltonian tanpa gangguan (gangguan yang kecil tapi

masih bisa dipecahkan). Atom helium dengan 3 pokok permasalahan yang tidak bisa

ditentukan secara langsung, untuk itu prinsip pertama untuk menyelesaikan solusi

analitiknya, kita harus menemukan metode pendekatannya. Dalam kasus ini kita gunakanmetode variasi. Ide dasar menerapkan metode variasi untuk atom helium adalah taksiran

masalah trial fungsi gelombang, dimana terdiri dari beberapa parameter yang dapat

disesuaikan dengan metode variasi sehingga menghasilkan fungsi gelombang dan energi

eksak.

Metode ini telah diterapkan pada atom helium untuk keadaan yang berbeda-beda:

Kosama dan Rychlewski menggunakan korelasi fungsi Gauss pada metode variasi untuk

menentukan energi dasar atom helium, Banerjee dan Flores-Riveros dkk mempelajari

spektrum energi spherical membatasi pada atom helium, Lobanova dkk dan Biaye dkk


2/9

2

menggunakan metode variasi dalam menghitung energi eksitasi helium untuk

menggambarkan pentingnya pengaruh korelasi elektron. Pada makalah ini, kita memperoleh

solusi analitik untuk tingkat energi dasar atom helium dan lithium dalam N-dimensi melalui

metode variasi menggunakan bahasa pemograman Pascal.

Perhitungan dilakukan untuk dua kasus: pertama, kita mengasumsikan muatan inti

yang tidak dilindungi oleh elektron (tanpa screening), dan kasus kedua muatan inti yang

dilindungi oleh elektron (screening).

Metodologi yang digunakan dalam makalah ini untuk memperoleh tingkat energi

dasar pada atom helium dan Litium N-dimensi adalah menjelaskan sistem hidrogen N-

dimensi, menghitung energi dasar atom helium dan litium N-dimensi dengan menerapkan

metode variasi dengan mengasumsikan tidak adanya screening dan pengaruh screening dan

kesimpulan.

HELIUM

Atom helium mempunyai dua elektron dengan koordinat r1 dan r2 dengan satu inti

dengan koordinat R. Inti atom membawa muatanZ = +2e.

Persamaan Schrodinger yaitu:

(,, ) || || || (,, ) , ,

Sistem disederhanakan dengan mengasumsikan pusat massa pada inti sehingga

bernilai tak hingga (R=0) dan mengabaikan struktur halus dan gangguan kecil lainnya

sehingga untuk sistem ini, Hamiltoniannya:

Ho adalah jumlah dari 2 hamiltonian untuk satu elektron atom hidrogen;

Dan Veemenjelaskan interaksi elektron-elektron;

Pada N-dimensi ruang, operator laplace pada koordinat polar RNadalah:

1 1 Dimana

2

adalah operator diferensial parsial dalam unit hyper-sphere RN-1

dan mempunyainilai eigen l(l+N-2). Solusi anguler adalah harmonik hyper-sphere yl

{m} yang tergantung

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


3/9

3

pada (N-1)koordinat anguler dengan 0dan 02. Fungsi eigen Ho dihasilkan dari

fungsi eigen satu elektron persamaan schrodinger untuk koordinat r1dan r2;

(, , )

dimana

(,) 1,2,3, , 2fungsiRNnl(r)adalah solusi untuk persamaan radial schrodinger ;

r +++ dimanaL()adalah polinomial lagrange dan

8//sehingga nilai eigen energiHoadalah +

dimana Eoadalah energi dasar 3 dimensi sebuah atom hidrogen yang bernilai

24nilainya sama dengan -13,6 eVdan 4/ , adalah jari-jari Bohr.untuk mengetahui energi dasar Hoatom helium N-dimensi, diajukan Z=2 dan n=1 sehinggadiperoleh

32 1 Metode Variasi tanpa screening

Untuk menentukan kontribusi interaksi elektron (Vee) pada energi dasar, kita

menggunakan prinsip variasi yang diadopsi dari trial fungsi gelombang;

, A exp [2 1 ]dimana A adalah konstanta normalisasi yang bernilai;

1 [ 4 1]

Kontribusi elektron-elektron (vee)untuk energi dasar atom helium adalah;

4 1| | exp4 1

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(13)

(14)


4/9

4

dimana

1| | +

=

adalah sudut antara r1dan r2dan Cl(N-2)/2adalah Polinomial Gegenbauer.

22 2 N = dimana area permukaan N-dimensi unit sphere adalah

2 /2 dan

2 2 3!/ 3!Sehingga

4 NN 22 2

=

exp[ 4 1 ] =

exp + =

dimana

4/ 1dan menggunakan ortonormal harmonik spherical

d dan tabel integral

1+= ! !persamaan kontribusi elektron-elektron(vee)menjadi;

1 2 ! !!= sehingga persamaan energi dasar atom helium N-dimensi tanpa screening adalah;

32 1

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)


5/9

5

Tabel 1. Energi dasar atom Helium N-dimensi

N |/ |3 -108, 80000 34,00000 -74,80000 0,31250

4 -48,35556 10,13333 -30,22222 0,37500

5 -27,20000 11,47500 -15,72500 0,42188

6 -17,40800 7,88900 -9,52000 0,453137 -12,00889 5,71389 -6,37500 0,47266

8 -8, 98163 4,30204 -4,57959 0,48438

9 -6,80000 3,39201 -3,40799 0,49883

Kolom kedua pada tabel pertama adalah energi dasar tanpa Vee, dimana menurun

dengan meningkatnya N-dimensi ruang dikarenakan repulsif ekstra pada potensial efektif

yang timbul pada dimensi yang lebih dari 3. Pada kolom 3 menunjukkan kontribusi elektron-

elektron yang menurun dengan meningkatnya dimensi ruang dikarenakan repulsif ekstra pada

hamiltonian efektif yang mencoba menolak elektron dari inti dan karenanya rata-rata 1/r

berkurang. Kolom keempat merupakan energi dasar total atom helium N-dimensi (E1N).

Kolom terakhir adalah kontribusi relatif dari interaksi elektron-elektron|/ |yang meningkat dengan meningkatnya N-dimensi.Metode variasi dengan screening

Helium memiliki dua elektron. Biasanya elektron yang satunya melindungi inti dan

yang lainnya sebagai muatan inti efektif, Z. Oleh karena itu, kita mengatur Z sebagai

parameter yang berubah pada perhitungan dengan metode variasi untuk menetukan energi

dasar pada dimensi yang berbeda. Hamiltoniannya adalah:

| |perkiraan nilai hamiltoniannya;

2 2 2 dimana energi dasar atom hidrogen N-dimensi adalah 4 1dan

+ sehingga

2

1 2

! !

!=

(25)

(26)

(27)

(27)

(28)


6/9

6

dan

2 8 2 1 2 ! !!=

dengan persamaan untuk muatan inti efektif yang dilindungi oleh elektron yang bergantung

terhadap N-dimensi ruang adalah:

2 1 2 ! !!= Tabel 2. Muatan inti Efektif Z, energi dasar dengan screening (H)

dan deviasinya serta Persentase dari tanpa Screening.N Z | |

100%

3 1,68750 -77,45625 2,65625 3,551444 1,62500 -31,92222 1,78000 5,62500

5 1,57812 -16,93525 1,21025 7,69637

6 1,54688 -10,41356 0,89356 9,38616

7 1,52734 -7,85018 0,67518 10,59100

8 1,51563 -5,10054 0,52895 11,37547

9 1,50065 -3,03899 0,42301 12,41216

Hasil pada Tabel 2 menunjukkan bahwa dengan meningkatnya N-dimensi ruang,

muatan efektif Zmenurun (screening meningkat) dan energi dasar atom helium N-dimensi

dengan screening juga menurun dalam besarnya.

Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukkan perbandingan energi dasar dengan screening lebih

negatif daripada energi dasar E1N, tanpa screening. Selanjutnya diperoleh persentase

perbandingan perubahan antara energi dasar dengan screening dan tanpa screening terhadap

energi dasar tanpa screening meningkat dengan meningkatnya N-dimensi ruang.

LITHIUM

Atom tunggal seperti Li (Z = 3) yang masing-masing elektron pada sistem akan

merasakan medan Coulomb; dari inti , , dan interaksi dari elektron lain, ||. Kita akan menggunakan koordinat bola untuk menggambarkan geometri atom,maka inti merupakan titik asal sedangkan elektron berada pada permukaan bola.

Tingkat energi dasar atom lithium menggunakan variational method kita

mengasumsikan bahwa ada 2 elektron pada kulit pertama, dan elektron ketiga pada kulit

kedua dan perubahan elektron antara kulit pertama dan kulit kedua diabaikan.

(29)

(30)


7/9

7

Persamaaan Schrodinger untuk Atom Lithium

2 2 4 4

Dengan energi

||

Dimana |||| || Trial Fungsi Gelombang

, , Dengan cara yang sama dengan atom helium kita peroleh nilai eigen energi Ho adalah:

+

+

untuk mengetahui energi dasar Ho atom Lithium N-dimensi, diajukan Z = 3 dan n = 1

sehingga diperoleh :

72 1 36 2 Tanpa screening

persamaan energi dasar atom helium N-dimensi tanpa screening adalah;

72 1 36 2

Tabel 3. Energi dasar atom Lithium N-dimensiN |/ |3 -244,80000 34,00000 -210,80000 0,13889

4 -108,80000 18,13333 -90,66667 0,16667

5 -61,20000 11,47500 -49,72500 0,18750

6 -39,16800 7,88800 -31,28000 0,20139

7 -27,20000 5,71389 -21,48611 0,21007

8 -19,98367 4,30204 -15,68163 0,21528

9 -15,30000 3,39201 -11,90799 0,22170

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(36)


8/9

8

Screening

Energi Dasar atom Lithium dengan Screening

2

12 2 1 2

1

2 1! 2 3!

2 1 !

=

muatan inti efektif yang dilindungi oleh elektron:

3 12 1 2 12 1! 2 3!2 1 !=

Tabel 4. Muatan inti Efektif Z, energi dasar dengan screening (H)

dan deviasinya serta Persentase dari tanpa Screening.N Z | |

100%

3 2,68750 -196,45625 14,34375 6,804444 2,62500 -83,30000 7,36667 8,12500

5 2,57813 -45,19775 4,52725 9,10457

6 2,54688 -28,22956 3,05044 9,75204

7 2,52734 -19,30434 2,18177 10,15432

8 2,51563 -14,05156 1,63007 10,39477

9 2,50117 -10,63499 1,27300 10,69031

Tabel 5.Energi dasar Lihtium N=3 berbagai perbandingan

Eo (eV) tanpa

screening

Eo (eV) screening Eo experimen (eV) Eo (eV) Saleh_Jahromi (screening)

-210,800 -196,45625 -204 -197

Kesimpulan

Metode variasi telah digunakan untuk menentukan energi dasar atom helium dan

Lithium N-dimensi ruang. Pada kasus pertama tanpa screening, kontribusi elektron-elektron

(Vee) terhadap energi dasar menunjukkan tergantung terhadap N-dimensi. Kemudian energi

dasar atom helium berkurang (nilainya) dengan meningkatnya N-dimensi. Dan kontribusi

relatif Veeterhadap energi dasarE1Nmeningkat dengan meningkatnya N-dimensi.Pada kasus kedua, muatan inti efektif yang dilindungi oleh elektron mempengaruhi

energi dasar yang dihitung untuk N-dimensi yang berbeda. Hasil menunjukkan bahwa dengan

meningkatnya N-dimensi, muatan inti efektif menurun dengan kata lain screening meningkat.

(37)

(38)


9/9

9

Daftar Pustaka

Al-jaber, Sami M. 2010. Variational Method for ground-state energy of helium atom in N

dimensions.Nouvo Cimento. Vol 125 B, N.9.

Byram, dana. 2012. Lecture: The Variational Method and the Helium Atom.

Griffiths, david J. 1994.Introduction to quantum mechanics.New jersey: Prentice hall.

Pearson, J. 2008. Quantum Mechanics of Atom & Molecules.University of Manchester.

analisis energi dasar atom helim dan lithium n dimensi mengggunakan metode variasi

Documents