analisaanalisaterapan terapan:: … · padapada masing masing-masingmasing iterasiiterasi,, dandan...

Pertemuan ke-3

Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection)

AnalisaAnalisa TerapanTerapan: : MetodeMetode NumerikNumerik

Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection)

27 September 2012

1Dr.Eng. Agus S. Muntohar -

Department of Civil Engineering

MetodeMetode Bisection Bisection –– DasarDasar

Teorema:Teorema: Suatu persamaan f(x)=0, dimana f(x) adalah fungsi kontinyu real, memiliki akar-akar antara xl dan xu bila f(xl) f(xu) < 0.

f(x)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering

2

Gambar 1 Setidaknya satu akar persamaan berada diantara dua titik bilafungsi real, kontinyu, dan berbeda tanda.

xxu

xl


f(x)

GambarGambar 22 JikaJika fungsifungsi f(x) f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda antaraantara duadua titiktitik, , akarakar--akarakarpersamaanpersamaan f(x) = 0 f(x) = 0 masihmasih beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik


3

xxuxl


f(x) f(x)

GambarGambar 3 3 BilaBila fungsifungsi f(x) f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda diantaradiantara duadua titiktitik, , akarakar--akarakar persamaanpersamaan f(x) = 0 f(x) = 0 tidaktidak beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik


4

( )xf ( ) 0=xf

xxuxl x

xuxl


f(x)


5

Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik, lebih dari satu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik

x

xu

xl

AlgoritmaAlgoritma metodemetode BisectionBisection

PersamaanPersamaan NonNon--Linier: Linier: MetodeMetode BisectionBisection

LangkahLangkah 11

f(x)

PilihPilih xxℓℓ

dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ) )

f(f(xxuu) < 0, ) < 0, atauatau f(x) f(x) tandatanda yang yang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ

dandan xxuu..SepertiSeperti padapada GambarGambar 11--1.1.

xℓ

xu x


7

Gambar 1-1

f(x)

LangkahLangkah 22

PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx

ℓℓandand xxuu yaituyaitu

xx

m = xuℓ +

xℓ

xu x

xm


8

xm = uℓ

2

Gambar 5 Perkiraan xm

LangkahLangkah 33

PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut::

a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) < 0, ) < 0, makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ

dandan

xx ; ; dandan xx = x= x ; ; xx = = xx ..xxmm; ; dandan xxℓℓ

= x= xℓℓ

; ; xxuu = = xxmm..

b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) > 0, ) > 0, makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu; ; dandan xx

ℓℓ= = xxmm; ; xxuu = = xxuu..

c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0; ) = 0; makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm. .

HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar..


9

LangkahLangkah 44

xx

m = xuℓ +

2

Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan:


10

100×−

=∈new

m

old

m

new

ax

xxm

nilai perkiraan baru akarnew

mx =

nilai perkiraan akar sebelumnyaold

mx =

Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif

dimana,

LangkahLangkah 55

Yes

Ke Langkah 2 gunakamnilai perkiraan baru

Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|


11

Is ?

Yes

No

nilai perkiraan baruatas dan bawah

“Stop“ algoritma

sa >∈∈

Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan. Bila kondisi ini tercapai, algoritma perlu dihentikan penghitungannya.

Contoh1Contoh1

SuatuSuatu bola bola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 6 6 memilikimemiliki beratberatjenisjenis 0.6 0.6 dandan jarijari--jarijari 5.5 cm. 5.5 cm. TentukanTentukan kedalamankedalaman bola bola yang yang terendamterendam dalamdalam air!air!


12

Gambar 6 Diagram bola terapung

Contoh1 (Cont.)Contoh1 (Cont.)

KedalamanKedalaman bola yang bola yang terendamterendam air air xx dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut

010993.3165.0 423=×+−

−xx

a) a) GunakanGunakan metodemetode bisection bisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yang bola yang terendamterendam air air xx. . LakukanLakukan tigatiga kali kali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan terebutterebut. .

b) b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatifpadapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi, , dandan jumlahjumlah digit digit pentingnyapentingnya. .


13

ContohContoh 1 (Cont.)1 (Cont.)

SecaraSecara fisikfisik, , bagianbagian bola yang bola yang terendamterendam air air memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara xx = 0 = 0 dandan xx = 2= 2RR, ,

dengandengan RR = = jarijari--jarijari bola,bola,

yaituyaituyaituyaitu


14

( )

11.00

055.020

20

≤≤

≤≤

≤≤

x

x

Rx

Gambar 6 Diagram bola terapung

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fun

gsi

f(x

)

Untuk membantupemahaman tentangbagaimana metode ini

Contoh1 (Cont. ) Contoh1 (Cont. ) –– SolusiSolusi

Penyelesaian:

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fun

gsi

f(x

)

x (m)

f(x)

bagaimana metode inidigunakan untuk mencariakar-akar persamaan, ditampilkan grafik fungsif(x), dimana


15

( ) 423 1099331650 -.x.xxf ×+−= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)

Contoh1 (Cont.) Contoh1 (Cont.) –– SolusiSolusi

Asumsikan nilai awal terendah dan teratas

11.0

00.0

=

=

ux

xℓ

Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓ

and xu .


16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4423

4423

10662.210993.311.0165.011.011.0

10993.310993.30165.000

−−

−−

×−=×+−==

×=×+−==

fxf

fxf

u

l

Maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010662.210993.311.00 44<×−×==

−−ffxfxf ul

Jadi, terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓ

and xu,

yaitu antara 0 dan 0.11

ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fun

gsi

f(x

)


17

Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fun

gsi

f(x

)

x (m)

f(x) xl xu


055.02

11.00

2=

+=

+= u

m

xxx ℓ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610993.3055.00

10655.610993.3055.0165.0055.0055.0

54

5423

>××==

×=×+−==

−−

−−

ffxfxf

fxf m

Nilai perkiraan akar persamaan

Iterasi 1


18

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610993.3055.00 54>××==

−−ffxfxf ml

Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 dan 0.11. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

Pada titik ini, nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belum

bisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya

11.0 ,055.0 == ul xx


0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fun

gsi

f(x

)


19

Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fun

gsi

f(x

)

x (m)

f(x) xl xu xm,1


0825.02

11.0055.0

2=

+=

+= u

m

xxx ℓ

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )10622.110993.30825.0165.00825.00825.0 4423

×−=×+−==−−fxf m


Iterasi 2


20

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610622.1)0825.0(055.0

10622.110993.30825.0165.00825.00825.0

54<××−==

×−=×+−==

−−ffxfxf

fxf

ml

m

Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 dan 0.0825. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

0825.0 ,055.0 == ul xx


0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fu

ng

si f

(x)


21


-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x) xl xu xm,2


Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2

( ) ( )

( )

2 1

2

100m m

a

m

x x

x

−∈ = ×


22

( )2

0.0825 0.055100

0.0825

33.333%

m

−= ×

=

Jumlah digit penting akar persamaan xm = 0.0825 belum memberikanhasil yang tepat karena nilai |εa| > 5%.


06875.02

0825.0055.0

2=

+=

+= u

m

xxx ℓ

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )10563.510993.306875.0165.006875.006875.0 5423

×−=×+−==−−

fxf m


Iterasi 3


23

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010563.510655.606875.0055.0

10563.510993.306875.0165.006875.006875.0

55<×−×==

−−ffxfxf

fxf

ml

m

Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 and 0.06875. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan

06875.0 ,055.0 == ul xx


0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fu

ng

si f

(x)


24


-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x) xl xu xm,3


Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3

( ) ( )

( )

3 2

3

100m m

a

m

x x

x

−∈ = ×


25

( )3

0.06875 0.0825100

0.06875

20%

m

−= ×

=

Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|

masih > 5%.Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1.

Iteration xℓ xu xm ∈a % f(xm)

1

2

0.00000

0.055

0.11

0.11

0.055

0.0825

----------

33.33

6.655×10−5

−1.622×10−4


Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.055

0.055

0.055

0.06188

0.06188

0.06188

0.06188

0.0623

0.0623

0.11

0.0825

0.06875

0.06875

0.06531

0.06359

0.06273

0.06273

0.06252

0.0825

0.06875

0.06188

0.06531

0.06359

0.06273

0.0623

0.06252

0.06241

33.33

20.00

11.11

5.263

2.702

1.370

0.6897

0.3436

0.1721

−1.622×10−4

−5.563×10−5

4.484×10−6

−2.593×10−5

−1.0804×10−5

−3.176×10−6

6.497×10−7

−1.265×10−6

−3.0768×10−7


26


0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Ak

ar

pe

rsa

ma

an

, X

m

xm

10

100

Ke

sala

ha

n p

erk

ira

an

re

lati

f (%

)

|ea|


27

0

0.01

0.02

0.03

0 2 4 6 8 10

Ak

ar

pe

rsa

ma

an

, X

m

Iterasi ke-n

xm

0.1

1

0 2 4 6 8 10

Ke

sala

ha

n p

erk

ira

an

re

lati

f (%

)

Iterasi ke-n

|ea|


Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu :

105.01721.0

105.0

2

2

×≤

×≤∈

−

−

m

m

a


28

( )

( ) 463.23442.0log2

23442.0log

103442.0

105.01721.0

2

=−≤

−≤

≤

×≤

−

m

m

m

Jadi, m = 2

Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 0.06241 pada iterasi ke-10 adalah 2.

•• SelaluSelalu konvergenkonvergen..

•• AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap

iterasiiterasi..

KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection

iterasiiterasi..


29

KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection

� Mencapai konvergen relatif lama

� Bila nilai perkiraan akar awal terlaludekat dengan nilai akarnya, konverge


30

dekat dengan nilai akarnya, konvergedicapai lebih lama.

•• BilaBila fungsifungsi f(x) f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu x, x, makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi..



31

f(x)

x

( ) 2xxf =


� Fungsi berubah tanda, tetapi tidakmemiliki akar-akar persamaan.


32

f(x)

x

( )x

xf1

=

analisaanalisaterapan terapan:: … · padapada masing masing-masingmasing iterasiiterasi,, dandan...

Documents