ANALISA DIMENSI

1. Perbedaan Satuan Fisik dan System Satuan1.3. Satuan Fisik

Satuan fisik ditampilkan untuk suatu benda berupa panjang (m), massa (kg), berat (N), viskositas, temperatur dan lain-lainnya. Satuan fisik dibagi dua group yakni Primary Quantities dan Secondary Quantities. Primary quantities hanya mempunyai dimensi satu berupa panjang saja atau satu macam satuan saja. Secondary quantities mempunyai dimensi lebih dari satu.

1.2. System SatuanAda 2 system satuan yang digunakan yakni physik system (absolut)

dengan satuan M = massa, L = panjang, T = waktu (M L T) dan engineering system dengan satuan F = gaya, L = panjang, T = waktu (F L T ).Pada sistim absolut/ fisik termasuk primary quantities.

Tabel III- 1 Sistim Dimensi

No. QuantityUnit Generally

AdoptedSymbol

DimensionsMLT

systemFLT

systemGeometric

1.2.3.4.

Length Area Volume Slope

m

m2

m3

-

l A V S

L

L2

L3

-

L

L2

L3

-Kinematic

5.6.7.8.9.10.11.12.

TimeVelocity (linear) Velocity (angular) Acceleration (linear) Acceleration (angular) DischargeGravitational accelerationKinematic viscosity

sec m/sec rad/sec m/sec2

rad/sec2

m3/sec m/sec2

m2/sec

TvωfαQgν (nu)

TLT-1

T-1

LT-2

T-2

L3T-1

LT-2

L2T-1

TLT-1

T-1

LT-2

T-2

L3T-1

LT-2

L2T-1

Dynamic13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.

Mass Force WeightMass densitySpecific weight Dynamic viscosity Surface tension Elastic modulus Pressure intensity Shear intensity Work, Energy Impulse, momentum TorquePower

kg N Nslug/cumkg/cumkg sec/m

2

kg/m kg/m2

N/m2

N/m2

kg.m kg.m/sec kg.m kg.m/sec

M F Wρwμ (mu)λEpτW, EI, MTP

M MLT-2

MLT-2

ML-3

ML-2T-2

ML-1T-1

MT-2

ML-1T-2

ML-1T-2

ML-1T-2

ML2T-2

MLT-1

ML2T-2

ML2T-3

FL-1

T2

F FFL-4T2

FL-3

FL-2T

FL-1

FL-2

FL-2

FL-2

FL FT FLFLT-1

2.Persamaan Homogen Dimensi dan Analisa Dimensi

Persamaan dikatakan berdimensi homogen jika dimensi setiap suku dari suatu persamaan adalah identik/sama. Setiap persamaan secara fisik diawali dari penomena analisa keserupaan, seperti persamaan dari suatu sistim satuan.

3. Metode yang digunakan dalam Analisa Dimensi

Metode Rayleigh

Jika suatu debit mempunyai saling perhubungan satu dengan lainnya dari Q1, Q2, Q3, Q4 dan seterusnya, maka hubungan diekspresikan manjadi Q1 = K.Q2

a Q3b Q4

d

K disebut sebagai parameter tak berdimensi.

Contoh 1Q Melalui sebuah orifice kecil yg kecil tergantung dari diameter d, Head H densitas Ƿ, Viskositas dinamic μ aliran dan gravitasional accelaration g

JawabQ merupakan fungsiQ = f (µ,Ƿ,d,H,g)Diekspresikan dalam persamaan eksponenQ = k (µa,Ƿb,dc,Hd,ge)Subsitusikan dalam dimensiL3/T = M0L0T0 ((M/LT)a (M/L3)b Lc Ld (L/Tc)e)Supaya dimensi Homogen , Maka persamaan eksponen menjadiM = 0 = a + b .........(1)L = 3 = -a-3b+c+d+e .........(2)T = -1 = -a-2c .........(3)

Ada 5 bilangan tak diketahui dalam 3 persamaanDari (1) b = -a (2) e = ½-1/2 a (3) c = 5/2 -3/2 a –dSehingga Persamaan Q Menjadi

Q = k (µa Ƿ-a d(5/2-3/2a-d). Hd g1/2-1/2a)= k ((d5/2 g1/2) µa Ƿ-a d-3/2a g-1/2a. Hd d-d)= k ((µ/Ƿ.d3/2.g1/2)a (H/d)d-1/2 d2 H1/2 g1/2

= k/π/4.21/2 (µ/Ƿd3/2g1/2)a (H/d)d-1/2 x π/4 d2 (2gh)1/2

= a (2gh)1/2 f (µ/Ƿd3/2g1/2)a, (H/d)d-1/2 )

Q = a (2gh)1/2 f (µ/Ƿd3/2g1/2)a, (H/d)d-1/2 )

Ekspressi debit dapat dituliskanQ = Cd. A . (2gh)1/2

Dengan Cd adalah koefisien debit f (µ/Ƿd3/2g1/2)a, (H/d)d-1/2 )

Metode Buckingham (Cara phi teori)

Cara ini dapat digunakan untuk bentuk konstanta variabel tak berdimensi. Jika m buah penomena varibel yang mempengaruhi dapat diekspresikan dalam n suku satuan dasar, kemudian dimasukkan kedalam grup m variabel untuk membuktikan (m – n)konstanta tak berdimensi. Oleh Buchingkam konstanta ini disebut sebagai π1, π2, dan π3

membandingkan jumlah variabel dengan jumlah satuan dasar dan mendapatkan konstanta tidak

berdimensi, phi teori adalah (jumlah konstanta tak berdimensi)= (jumlah variabel) – (jumlah satuan dasar).

Tabel III- 2 Contoh Jumlah konstanta tak berdimensi

Contoh variabel Jumlah variable Jumlah satuan dasarJumlah konstanta

tak berdimensi

L, g, tL, v, g

P, D, ρ, Q F, D, v, ρ, μ Q,

H, g, νD, N, μ, p, R

l, v, R, μ, g, RΔp, D, l, ρ, μ, v, t

l, v, ρ, μ, E, R

334545676

2 (L,T)2 (L, T)

3 (L, T, M)3 (L, T, M)

2 (L, T)3 (L, T, M)3 (L, T, M)3 (L, T, M)3 (L, T, M)

3 = 2 = 13 – 2 = 14 – 3 = 15 – 3 = 24 – 2 = 24 – 3 = 16 – 3 = 37 – 3 = 46 – 3 = 3

ii. Menyeleksi variabel pengulangan. Jumlah variabel pengulangan akan seimbang dengan jumlah satuan dasar variabel pengulangan dengan satu atau lebih satuan dasar dan tak harus dikurangi dengan parameter tak berdimensi.

iii.Variabel pengulangan selanjutnya diseleksi. Pilihan yang benar akan mendapatkan bentuk geometrik seperti L dan d dalam fluida (ρ, μ) untuk aliran adalah v, sehingga pilihan ini akan baik bila diambil sebagai l,d,v, ρaliran fluida.

iv.Variabel pengulangan setiap harga index dalam group dengan bentuk variabel pengulangan konstanta tak berdimensi.

contoh2 :

Asumsikan bahwa gaya viskositas dari sebuah benda bulat yang masuk kedalam fluida berdiameter D, bergantung pada viskositas(μ), kerapatan massa fluida(ρ), dan kecepatan jatuh bola (v), buktikanlah. F tergantung pada D,v, ρ, μ

penyelesaian :F = φ (D,v, ρ, μ) ; Variabelnya ada (F, D,v, ρ, μ) = 5 buahSatuan dasarnya L M T = 3 buah

Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 5 - 3 = 2

Pilihan variabel berulang adalah D, v, dan ρ π1

= Da1 vb1 ρc1. Fπ2 = Da2 vb2 ρc2 μ

F = φ (D, v, ρ, μ)

analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [L.T-1]b1 [M.L-3]c1 [M.L.T-2]

untuk satuan L --Æ 0 = a1 + b1 - 3c1 + 1 untuk satuan M --Æ 0 = c1 + 1 jadi c1 = -1untuk satuan T --Æ 0 = - b1 – 2 jadi b1 = -2 dan harga a1 = -2

π 1 = F (.D-2 v-2 ρ-1) atau π1 = F/(D2 v2 ρ)

analisa π 2

LO MO TO = [L]a2 [L.T-1]b2 [M.L-3]c2 [M.L-1.T-1]

untuk satuan L --Æ 0 = a2 + b2 - 3c2 - 1untuk satuan M --Æ 0 = c2 + 1 jadi c2 = -1untuk satuan T --Æ 0 = - b2 - 1 jadi b2 = - 1 dan harga a2 = - 1

π 2 = μ (.D-1 v-1 ρ-1) atau π2 = μ /(D v ρ)

π1 = f (π 2)F/(D2 v-2 ρ) = f. (μ /(D v ρ))F = (D2 v-2 ρ) f (μ /(D v ρ))

F = (D2

v-2 ρ) φ ( (D v ρ)/ μ ) jika dibalik fungsi f, maka didapat persamaaan

F = (D2 v-2 ρ) φ (Re) tanda φ adalah transformasi