variabel random

Definisi dan Contoh

Var random X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R X : S R

Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kaliS = {SS, SB, BS, BB}

X : VR Banyaknya jawaban benar, maka X = {0,1,2}

BB

SB

BS

SS

0

1

2

RXS

Probabilitas dan Distribusinya P(X=0) =1/4 P(X=1)= 2/4 P(X=2)=1/4

P(X) >= 0 Total Prob = 1 Distribusi Peluang

adalah tabel yang berisi nilai dari variabel random dan peluangnya

1)xX(PXx

i

X 0 1 2 Total

P(X)

1/4

2/4

1/2 1

Karakteristik Dist Rata-rata

(Expektasi) dari X

Variansi (Ukuran Dispersi )

E(X)+SD(X)

E(X)

E(X)-SD(X)

Xx

ii

i

)xX(Px)X(E

22

2

)X(E)X(E

))X(EX(E)X(V

X

Contoh Dari Data Lapangan

Distribusi probabilitas penjualan komputer perbulanX 5 6 7 8 Tota

l

P(X=x) 20/100

30/100

40/100

10/100

1

X.P(X=x) 1 1.8 2.8 0.8 6.4

X2.P(X=x)

5 10.8 19.6 6.4 41.8

9165.0)(;84.04.68.41)(

4.6)()(2

XSXV

xXXPXE

VARIABEL RANDOMX

DISKRIT KONTINU

b

ax

Xx

xXPbXaP

xXP

xXP

)()(.3

1)(.2

0)(.1

dxxfbXaP

dxxf

xf

b

a

Ax

)(.3

1.2

0.1

VARIABEL RANDOM DALAM STATISTIKA

BERNOULLI BINOMIAL MULTINOMIAL GEOMERIK HIPERGEOMETRIK POISSON

DISKRIT

VARIABEL

RANDOM

KONTINU NORMAL UNIFORM KONTINU BETA GAMMA EXPONENTIAL WEIBULL CAUCHY DOUBLE EXPONENTIAL

Distribusi Binomial

Gabungan dari n kejadian bernoulli yang saling independen

Kejadian bernoulli : Suatu kejadian dengan dua hasil yang mungkin : Sukses (S) : peluang p atau Gagal (G) dengan peluang 1-p

Diperhatikan var random X = banyaknya sukses dalam n trial

Var Rand Binomial

Diperhatikan X = banyaknya S dalam n trial ; Harga X yang mungkin : 0,1,2,…,n

Ada x kejadian sukses dengan peluang px dan n-x kejadian sukses gagal dengan peluang (1-p)n-x

n,...,1,0x,qpx

n)xX(P)x(f xnx

Lambang

X~Bin(n;p) n parameter banyaknya percobaan P adalah parameter peluang sukses ~ simbol untuk distribusi

E(X) = np ; rata-rata (mean) nilai X

V(X) = npq ; besarnya variansi

Contoh Dari lima saham yang diperdagangkan

berapakah peluang : Tepat saham A dan B akan naik Lebih dari 3 saham naik

X = jumlah saham naik ; p = 0.5 (fifty-2)X~Bin(5;0.5) ; E(X) = 2.5 P(2 saham naik ) = P(X>=3) = 1-P(X<=2) Memakai tabel binomial kumulatif

32 5.05.02

52f

Contoh : jika diamati 15 orang mahasiswa, berapakah probabilitas mendapat 9 orang dengan nilai A ? Berapakah rata yang mendapat nilai A ?

Dengan menunjukkan bahwa

X = banyaknya yang mendapat nilai A

adalah variabel random binomial dengan n = 15 dan p = 5

1

...

)8X(P9XP

5

4

5

1

!6!9

!15

5

4

5

1

9

15)9X(P)9(f

69

9159

dihitung langsung

menggunakan tabel distribusi binomial

5

1.15

np

Dist Poisson Var X~Pois(µ)

X = jumlah kejadian tertentu dalam satuan unit waktu atau ruang

µ = rata-rata kejadian

E(X) = V(X) = µ

Contoh Banyaknya telepon

dalam periode ttt Banyaknya

pelanggan pada counter

Banayknya kcelakaan

Banyaknya mesin rusak

dll

,...2,1,0x;!x

e);x(f

x

Contoh Rata-rata banyaknya kecelakaan

disuatu persimpangan jalan raya adalah 2 perminggu. Anggap mengikuti poisson Peluang tidak ada kecelakaan selama 1

minggu Peluang paling banyak 3 kecelakaan

dlm 2 minggu

135,0)0X(P !0e2 20

433,0

)3X(P...)0X(P)3X(P

Distribusi Normal Fungsi

Probabilitas

0;,x;e2

1)x(f

);(N~X

2x

2

1

2

2

2

X0,5

Sifat-Sifat Simetris terhadap rata-

rata µ Rata-rata = median =

modus σ sebagai titik belok

kurva 34 % data dalam jarak

1 σ 68 % data dalam jarak

2 σ 97 % data dalam jarak

3 σ

Masalah Menghitung

P(a<X<b) Dengan integral

analitis : terlalu sukar

Dengan metode numerik : tidak praktis : tapi sekarang ada kalkulator

Membuat tabel yang khusus : tabel normal standar

Normal Standart

Transformasi

Diperoleh distribusi normal yang

khusus sehingga tabelnya efisien

1)Z(V;0)Z(E

;e2

1)z(f

XZ

2zz

2

z2

0 zo

zo 0 1 2 … 7 8 9

0,0 0,5000 0,5004 0,5080 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5348 0,5478 0,5675 0,5714 0,5754

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,6064 0,6103 0,6141...

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8980 0,8997 0,9015...

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9972 0,9973 0,9974

Tabel normal standart

0 z Z

Permasalahan Probabilitas di bawah luasan kurva

c dX

f(X)

?P c X d

Contoh Penghitungan

P(Z<1,96)=0,975

P(-1,645<Z<1,96)=P(Z<1,96)-P(Z<-1,645)= 0,975-0,05

0 1,96 Z

0 1,96 Z-1,645

Contoh

Penghitungan P(Z>2,33) = 1-P(Z<2,33) = 1- 0,99

Z02,33

Contoh Nyata Produk resistor berdistribusi N(5;1). Jika

resistor yang terpakai dengan hambatan 4,5 s/d 5,5. Hitunglah produk resistor yang terpakai

4,5 5,5X~N(5;1)5

)5,0Z5,0(P

)(P)5,5X5,4(P 155,5

15X

155,4

Contoh Nyata• Hasil ujian mahasiswa berdistribusi normal

dengan mean = 72 dan variansi = 81 dan diketahui bahwa 5% mendapat nilai A, tentukan nilai terendah mahasiswa yang mendapat nilai A.

X72

5%

805,86a;645,1

95,0)Z(P)aX(P

972a

972a

a = minimal nilai A

Distribusi Exponential P(waktu kedatangan < X ) = 1-e-λX ; X>0

X : Sebarang nilai dari variabel random X Λ : rata-rata jumlah kedatangan perunit

waktu 1/λ : rata-rata waktu antar kedatangan

Contoh : Sopir datang di jembatan tol Nasabah datang pada mesin ATM

Contoh : Kedatangan customer 30 per jam. Berapa peluang waktu kedatangan antar customer lebih dari 5 menit ?

Λ = 30

1 x

f x e

f(X)

X

= 0.5 =

2.0

)5X(P1

)kedatagnantar(P 605

Contoh