unit2 konsep dasar aljabar
Post on 11-Feb-2015
104 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 1
KONSEP DASAR ALJABAR
Clara Ika Sari Pendahuluan
ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta
mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media yang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web yang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan yang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali materi pada subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta bantuan kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang baik soal yang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.
Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.
P
Unit 2
Unit 2 2 - 2
Subunit 1
Persamaan
ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep
matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar.
Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : x, y, a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau disingkat menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat komutatif, yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, yaitu 2 × a = a × 2 = 2a. Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini menyatakan banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali 2 × a = 2a disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga. Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah 4.
S
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 3
Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y. Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih maka untuk menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.
Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel yang berbeda. Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya.
Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh :
a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t
Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh :
a. u × v = v × u = uv b. a × (b × c) = (a × b) × c c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu
Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan
berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di atas. 1. Jika diberikan 622 −++ abxyyx maka tentukanlah
a. koefisien dari yx 2 dan xy
b. konstanta yang ada pada 622 −++ abxyyx c. suku aljabar yang ke 3
2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah.
Unit 2 2 - 4
a. 3 × p b. y × 10 c. m × 6 d. n × 1 e. 2a × 3b f. 8ab + 6ba g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl
Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas. 1. a. Koefisien dari yx 2 adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2.
a. Konstanta yang ada pada 622 −++ abxyyx adalah 6.
c. Suku aljabar yang ke 3 dari 622 −++ abxyyx adalah ab.
2. a. 3 × p = 3p b. y × 10 = 10y c. m × 6 = 6m d. n × 1 = 1n = n
Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu sendiri.
e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b) = (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif = 6ab
f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif = (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif = 14ab
h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl = (7 + 8) gh + (12 – 4)gl = 15gh + 8gl
Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2
Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel x menyatakan
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 5
bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x + 10 = 15 menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 = 15 disebut persamaan .
Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”.
Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 5 disebut penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut.
Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan yang berbentuk 0=+ bax dengan Rba ∈, di mana R adalah himpunan bilangan real dan
0≠a . Contoh :
a. x + 5 = 9 b. 2x + 7 = 11
c. 73=
x
d. 7x – 4 = 4x + 17 e. 2(4x +1) = 18
Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini.
Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini.
Unit 2 2 - 6
Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas persamaan 2 × 5 = 10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai kebenarannya. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.
1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol.
Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan ekuivalen dan keduanya mempunyai penyelesaian yang sama. Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada contoh yang telah diberikan di atas. a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut. x + 5 – 5 = 9 – 5 Kedua ruas dikurangi dengan 5 x = 4
Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4. b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11.
2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7 2x = 4 2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2 (2 : 2)x = 2
x = 2 Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2.
Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan penyelesaian persamaan linear berikut ini.
a. Penyelesaian persamaan linear 73=
x adalah sebagai berikut.
3x × 3 = 7 × 3 Kedua ruas dikalikan 3
x = 21
Jadi penyelesaian persamaan linear 73=
x adalah x = 21.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 7
b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 = 4x + 17 adalah sebagai berikut.
7x – 4 = 4x + 17 7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4 7x = 4x + 21
7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x (7 – 4 )x = 21 3x = 21 3x : 3 = 21 : 3 Kedua ruas dibagi dengan 3 (3 : 3)x = 7 x = 7
c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1) = 18 adalah sebagai berikut.
2(4x + 1) = 18 8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif
8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2 8x = 16 8x : 8 = 16 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8)x = 2 x = 2
Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menyelesaikan
persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 02 =++ cbxax dengan Rcba ∈,, di mana R adalah himpunan bilangan real dan 0≠a .
Contoh : 042 =−x , 092 =− xx , 1072 =+ xx dan lain sebagainya.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinyatakan bahwa jika 0=ab maka 0=a atau 0=b . Kata atau pada ” 0=a atau 0=b ”
Unit 2 2 - 8
berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit 6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.
a. 0324 2 =− xx b. xx 847 2 −=
c. 243
2 2
=x
d. 0652 =++ xx Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 0324 2 =− xx dapat diubah menjadi ( ) 084 =−xx dengan
menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh
04 =x atau 08 =−x Sehingga diperoleh 0=x atau 8=x . Jadi penyelesaian persamaan kuadrat
0324 2 =− xx adalah 0=x atau 8=x
b. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat xx 847 2 −= sebagai berikut. xxxx 8484847 2 +−=+ Kedua ruas ditambah dengan 84x
( ) 0127 =+xx Menggunakan sifat distributif 07 =x atau 012 =+x Menggunakan aturan faktor nol
Jadi penyelesaian persamaan xx 847 2 −= adalah 0=x atau 12−=x . Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan persamaan kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian berikut ini.
a. Penyelesaian persamaan kuadrat 243
2 2
=x adalah sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 9
32 2x
× 3 = 24 × 3 Kedua ruas dikalikan dengan 3
722 2 =x
2
722
2 2
=x Kedua ruas dibagi dengan 2
362 =x 6−=x atau 6=x
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 243
2 2
=x adalah 6−=x atau 6=x .
Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan 362 =x yaitu 6−=x atau 6=x . Jadi ingatlah bahwa persamaan ax =2 akan mempunyai dua nilai x yaitu
ax −= dan ax = . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat 0652 =++ xx ? Untuk
memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar 1 berikut ini.
(a) (b) (c)
Gambar 2.1 Persegi (a) menyatakan banyaknya 2x , persegi panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan 0652 =++ xx dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.
Gambar 2.2
Unit 2 2 - 10
Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada gambar 2.
Gambar 2.3
Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan kuadrat
0652 =++ xx sama dengan persamaan ( )( ) 032 =++ xx . Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh ( ) 02 =+x atau ( ) 03 =+x . Jadi
penyelesaian persamaan kuadrat 0652 =++ xx adalah 2−=x atau 3−=x . Jadi secara umum, jika 1x dan 2x merupakan penyelesaian suatu persamaan kuadrat
maka persamaan kuadrat tersebut adalah 0)( 21212 =+++ xxxxxx . Cara
menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk 02 =++ cbxax tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini.
aacbbx
242 −±−
=
Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx maka a = 2, b = -7 dan c = -6. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 11
7122,0atau 2122,448489,97atau
48489,97
48489,97
49774
484972.2
)6.(2.4)7()7( 2
−==
−=
+=
±=
±=
+±=
−−−±−−=
xx
xx
x
x
x
x
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 0672 2 =−− xx adalah x = 4,2122 atau x = -0,7122.
Unit 2 2 - 12
Rangkuman Tes Formatif 1 Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar. 1. Pengertian koefisien adalah …….
A. suku aljabar yang tidak memuat variabel B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1 C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel
2. Jika diberikan persamaan 083
22 =−+xx maka koefisien dari x adalah .......
Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku aljabar menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat variabel, dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta.
Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 13
A. -8
B. 32
C. 1 D. 8
3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah .......
A. 752 =+
B. 1572
=+x
C. ( ) 615 =−xx
D. 022 2 =−x
4. Penyelesaian persamaan 3215=−
x adalah .......
A. 31
=x
B. 3=x
C. 3
13=x
D. 6=x
5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian 31
−=x adalah.......
A. xx132
=+
B. xx132
=−
C. 3311 =−x
D. 3311 =+x
Unit 2 2 - 14
6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini. 0812 =−x 812 =x
9atau 9 =−= xx Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan .......
A. aturan faktor nol B. akar kuadrat
C. cara memfaktorkan D. rumus
7. Penyelesaian persamaan ( ) 121 =−xx adalah .......
A. 12=x B. 1atau 0 == xx
C. 4atau 3 =−= xx D. 13atau 12 == xx
8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian 2=x adalah .......
A. ( ) 44 −=+xx
B. ( ) 44 −=−xx C.
2111
=+x
D. 2111
=−x
9. Penyelesaian persamaan kuadrat 0321
21 2 =−+ xx adalah .......
A. 1−=x atau 6=x B. 6atau 1 −== xx
C. 3atau 2 =−= xx D. 3atau 2 −== xx
10. Penyelesaian persamaan kuadrat 0242 =+− xx adalah .......
A. 1−=x B. 2atau 2 =−= xx
C. 0=x atau 4=x
D. 22 +=x atau 22 −=x
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 15
Subunit 2
Pertidaksamaan
ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan linear
dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menyatakan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan.
Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤” atau ”<”. Kita akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu.
Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya sama dengan 1. Contoh : 53 >+x , 1162 ≤−x , dan lain sebagainya. Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.
Gambar 2.4
Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh
Gambar 2.5 Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikurangi dengan 2 maka diperoleh 10 – 2 = 8
M
Unit 2 2 - 16
dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama. Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan diperoleh
Gambar 2.6
Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka diperoleh 10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama.
Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh 10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari ”<” menjadi ”>” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif yang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini.
Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan
a. 73 >+x b. 68 ≤+x
c. 23≤
x
d. )2(32)4(23 −+>−− xx Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 17
a. Penyelesaian pertidaksamaan linear 73 >+x 3733 −>−+x Kedua ruas dikurangi dengan 3 4>x
Jadi penyelesaian pertidaksamaan 73 >+x adalah semua bilangan yang kurang dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan { }4; >xx . Akan lebih jelas jika penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.
Gambar 2.7
Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 73 >+x adalah semua bilangan yang lebih dari 4 tetapi tidak sama dengan 4 ( )4≠x .
b. Penyelesaian pertidaksamaan linear 68 ≤+x . 8688 −≤−+x Kedua ruas dikurangi dengan 8
2−≤x Jadi penyelesaian pertidaksamaan 68 ≤+x adalah { }2; −≤xx . Jika penyelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh
Gambar 2.8
Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
68 ≤+x adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan -2 itu sendiri.
c. Penyelesaian pertidaksamaan linear 23≤
x .
3x × 3 ≤ 2 × 3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3)
6≤x
Unit 2 2 - 18
Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 23≤
x adalah { }6; ≤xx . Jika
penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.9
d. Penyelesaian pertidaksamaan linear )2(32)4(23 −+>−− xx . 632823 −+>+− xx (Menggunakan sifat distributif)
43211 −>− xx 114321111 −−>−− xx (Kedua ruas dikurangi dengan 11) 1532 −>− xx 153332 −−>−− xxxx (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)
155 −>− x
5
155
5−−
<−− x (Kedua ruas dibagi dengan -5)
3<x Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear )2(32)4(23 −+>−− xx adalah
{ }3; <xx . Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Contoh : 0562 >++ xx
Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh
( )( ) 051 >++ xx Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 051 =++ xx . Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( ) 01 =+x
atau ( ) 05 =+x sehingga 1−=x atau 5−=x . Jadi kita mempunyai 3 daerah pada garis bilangan yang dibatasi oleh nilai 1−=x dan 5−=x seperti gambar berikut ini.
Gambar 2.10
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 19
Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan 0562 >++ xx dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak pada
masing-masing daerah ke pertidaksamaan 0562 >++ xx .
Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh ( ) 55)6(66 2 =+−+− maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan 0562 >++ xx akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutnya untuk bilangan -2 diperoleh 35)2(6)2( 2 −=+−+− maka semua bilangan yang terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan 0562 >++ xx akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 0562 >++ xx adalah semua bilangan yang terletak pada daerah yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian pertidaksamaan
0562 >++ xx adalah himpunan { }1atau 5 ; −>−< xxx . Penyelesaian tersebut dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.
Gambar 2.11
Unit 2 2 - 20
Latihan Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahnya. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini yang dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.
1. 82 2 >x 2. 0322 2 ≤+− x 3. 0542 >+−− xx 4. 0962 ≥++ xx
Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.
1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan 2 sehingga diperoleh 42 >x . Kemudian kita anggap pertidaksamaan tersebut adalah persamaan 42 >x sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh 2−=x dan 2=x . Selanjutnya kita uji bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 82 2 >x dengan memasukkan bilangan 3−=x , 0=x , dan 3=x ke pertidaksamaan
82 2 >x sebagai berikut.
8188)3(2
822
2
>>−
>x
Pernyataan benar 80
8)0(282
2
2
>>
>x
Pernyataan salah 818
8)3(282
2
2
>>
>x
Pernyataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi pertidaksamaan
82 2 >x adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2. Dengan kata lain himpunan penyelesaian pertidaksamaan 82 2 >x adalah { }2atau 2 ; >−< xxx dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 21
Gambar 2.12 Anda perhatikan lingkaran pada nilai 2−=x dan 2=x berlubang. Hal ini menyatakan bahwa nilai 2−=x dan 2=x tidak memenuhi pertidaksamaan
82 2 >x . 2. Kedua ruas pertidaksamaan 0322 2 ≤+− x dikurangi dengan bilangan 32
sehingga diperoleh 322 2 −≤− x . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan -2. Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh 162 >x . Selanjutnya pertidaksamaan 162 >x dianggap persamaan 162 =x sehingga diperoleh nilai 4−=x dan 4=x . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai
5−=x , 0=x , dan 5=x sebagai berikut.
018032)5(2
03222
2
≤−≤+−−
≤+− x
Pernyataan benar 032
032)0(20322
2
2
≤≤+−
≤+− x
Pernyataan salah 018
032)5(20322
2
2
≤−≤+−
≤+− x
Pernyataan benar Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan 0322 2 ≤+− x adalah { }4atau 4 ; ≥−≤ xxx dan jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.13
3. Pertidaksamaan 0542 >+−− xx dianggap menjadi persamaan 0542 =+−− xx sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh
( )( )
5atau 15atau 1
05atau 01051
0542
−==−=−=−
=+=+−=++−=+−−
xxxx
xxxxxx
Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai 6−=x , 0=x , dan 2=x ke dalam pertidaksamaan 0542 >+−− xx sebagai berikut.
( ) ( )
07052436
05646
0542
2
>−>++−
>+−−−−
>+−− xx
( ) ( )05
05040
0542
2
>>+−−
>+−− xx
( ) ( )
070584
05242054
2
2
>−>+−−
>+−−
>+−− xx
Unit 2 2 - 22
Pernyataan salah Pernyataan benar Pernyataan salah Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan
0542 >+−− xx adalah { }15 ; <<− xx dan jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.
Gambar 2.14
4. Pertidaksamaan 0962 ≥++ xx dianggap sebagai persamaan 0962 =++ xx sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh
( )( )
3 03 033096 2
−==+=++=++
xx
xxxx
Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai 0=x pada pertidaksamaan 0962 ≥++ xx sebagai berikut.
( )
benarPernyataan09 09060096
2
2
≥≥++
≥++ xx
Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan 0962 ≥++ xx adalah { }3 ; −≥xx atau penyelesaian pertidaksamaan
0962 ≥++ xx dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.
Gambar 2.15
Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa yang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 23
Rangkuman
Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”<”, ”>”, ”≤”, atau ”≥”. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda yang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ”<” berubah menjadi ”>”, tanda ”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada variabelnya. Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya untuk menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan.
Tes Formatif 2 Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Pertidaksamaan linear adalah .......
A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada
variabelnya D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada
variabelnya
Unit 2 2 - 24
2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah ....... A.
xx 52
32>
−
B.
052≤
−x
x
C. ( ) 1326 <−xx
D.
xxx 3
23≥
−−
3. Jika pertidaksamaan linear 521 >− x dikalikan dengan bilangan -3 maka
diperoleh pertidaksamaan ....... A. 1536 −>−− x B. 1536 −<−− x
C. 1536 −>−x D. 1536 −<−x
4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan 567≤
−x
x
adalah ....... A. { }3 ; ≥xx
B. { }3 ; ≤xx C.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤
7110 ; xx
D. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≥
711atau 0 ; xxx
5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan oleh
garis bilangan berikut adalah .......
A. 1648 +<− xx B. 1648 +>− xx C. 1648 +≥− xx D. 1648 +≤− xx
6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 132
17−<
+ xx ditunjukkan oleh
........
A.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 25
B.
C.
D.
7. Penyelesaian pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah .......
A. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<−
312 ; xx
B. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >−<
31atau 2 ; xxx
C. { }21 ; <<− xx
D. { }2atau 1 ; >−< xxx
8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang
ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah .......
A. ( )( ) 265 ≥−− xx B. ( )( ) 265 <−− xx
C. ( )( ) 274 ≤−− xx D. ( )( ) 274 <−− xx
9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan 494102 −>− xxx adalah .......
A.
B.
C.
D. 10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0262 ≤−+ xx adalah .......
A. { }113113- ; +−≤≤− xx C. { }113atau 113 ; +−≥−−≤ xxx
C. { }223223 ; +≤≤− xx D. { }223atau 223 ; +≥−≤ xxx
Unit 2 2 - 26
Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 2, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 27
Subunit 3
Sistem Persamaan Linear
alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang paling sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah.
Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp. 12.500,-. Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut.
Tabel 2.1 Banyak buku Banyak pensil Harga
Ari 10 5 Rp. 12.500,- Dita 5 2 Rp. 6.000,-
Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut.
6000 25 12500510
=+=+
yxyx
Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitannya, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah yaitu
⎩⎨⎧
=+=+
6000 25 12500510
yxyx
D
Unit 2 2 - 28
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.
⎩⎨⎧
=+=+
222
111
cybxacybxa
dengan 212121 dan ,,,,, ccbbaa merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal
ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan
⎩⎨⎧
=+=+
6000 25 12500510
yxyx
Misalkan nilai px = dan qy = yang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( )qp, , pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan linear
⎩⎨⎧
=+=+
6000 25 12500510
yxyx
adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan penyelesaian dengan cara memasukkan nilai 1000=x dan 500=y ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut.
⎩⎨⎧
=+=+=+=+
benar 6000 10005000)500(2)1000(5 benar 12500250010000)500(5)1000(10
Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan yang benar, maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi menyelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu:
1. ada tidaknya penyelesaian 2. metode penyelesaian 3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut.
Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 29
1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya.
2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.
Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya. Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai y atau sebaliknya.
2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu ke persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y.
Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi.
⎩⎨⎧
−=−−=+
128
yxyx
Penyelesaian : Kita pilih persamaan 8−=+ yx , kemudian kita nyatakan x sebagai y sehingga diperoleh yx −−= 8 . Persamaan yx −−= 8 kita masukkan ke dalam persamaan
12 −=− yx sehingga diperoleh
5 153
1613 12161)8(212
−==−
+−=−−=−−−−=−−−−=−
yyyyyyyyx
Dari sini diperoleh
3 58
)5(8 8
−=+−=−−−=
−−= yx
Unit 2 2 - 30
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
−=−−=+
128
yxyx
adalah (-3,-5).
Latihan 1 Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi.
a.
⎩⎨⎧
=+=−
92 432
yxyx
b.
⎩⎨⎧
=−=−
73 732
yxyx
Pedoman Jawaban Latihan 1 a. Dari persamaan 92 =+ yx , variabel x dinyatakan dalam y sehingga diperoleh
yx 29 −= . Persamaan yx 29 −= disubstitusikan ke dalam persamaan 432 =− yx sehingga diperoleh
2 147
1847 43418 43)29(2432
=−=−−=−
=−−=−−=−
yyyyyyyyx
Selanjutnya nilai 2=y disubstitusikan ke persamaan yx 29 −= sehingga diperoleh
5 49
)2(29 29
=−=−=−= yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=−
92 432
yxyx
adalah )2,5( .
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 31
b. Dari persamaan 73 =− yx , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh 73 −= xy .
Persamaan 73 −= xy disubstitusikan ke persamaan 732 =− yx sehingga diperoleh
2 147
2177 72192 7)73(32732
=−=−−=−
=+−=−−=−
xxx
xxxx
yx
Selanjutnya nilai 2=x disubstitusikan ke persamaan 73 −= xy diperoleh
1 76
7)2(3 73
−=−=
−=−= xy
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−=−
73 732
yxyx
adalah )1,2( − .
Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear
dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini.
1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y. 2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel x.
Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi.
⎩⎨⎧
−=−−=+
128
yxyx
Penyelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
Unit 2 2 - 32
+
−=−=−=−−=+
3 93 128
xxyxyx
Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan cara sebagai berikut.
12 8
−=−−=+
yxyx
12
××
Sehingga diperoleh
−
−=−=−=−−=+
5 153 12 1622
yyyxyx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5). Latihan 2 Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan yang ada. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. a.
⎩⎨⎧
=+=+
634232
yxyx
b.
⎩⎨⎧
=−−=−+
062 0542
yxyx
c.
⎩⎨⎧
−=−=+
1143654
yxyx
Pedoman Jawaban Latihan 2
a. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=+
634232
yxyx
adalah sebagai berikut.
−
===+=+
2 42 232634
xxyxyx
232634
=+=+
yxyx
21
××
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 33
−
−=
=−=+=+
32
23 464634
y
yyxyx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=+
634232
yxyx
adalah ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
32,2 .
b. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−−=−+
062 0542
yxyx
adalah sebagai berikut.
0620542
=−−=−+
yxyx
21
××
+
−=−=
−==−−=−+
414
417
174 012420542
x
xyx
yx
0620542
=−−=−+
yxyx
21
××
−
−=
−==+
=−−=−+
87
78 078
012420542
y
yy
yxyx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−−=−+
062 0542
yxyx
adalah ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
87,
414 .
c. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
−=−=+
1143654
yxyx
adalah sebagai berikut.
1143654−=−
=+yxyx
54
××
+
−=−=
−=−=+
1 3131
552015242016
xx
yxyx
1143654−=−
=+yxyx
43
××
−
==
−=−=+
2 6231
441612181512
yy
yxyx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
−=−=+
1143654
yxyx
adalah ( )2,1− .
Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua metode penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
Unit 2 2 - 34
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
−=+−=−
43223
yxyx
.
Penyelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu:
+
=−=−
−=+−=−
2 2
43223
xx
yxyx
Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh:
0 03
223 23223
==−
−=−=−=−
yyyyyx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
−=+−=−
43223
yxyx
adalah ( )0,2 .
Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud.
Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=+
62 542
yxyx
.
Penyelesaian :
62 542
=+=+
yxyx
21
××
−
==+=+
1201242542
yxyx
Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak ada nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear
⎩⎨⎧
=+=+
62 542
yxyx
tidak mempunyai penyelesaian.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 35
Rangkuman
Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang mempunyai hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.
⎩⎨⎧
=+=+
222
111
cybxacybxa
dengan 212121 dan ,,,,, ccbbaa merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya penyelesaian sistem persamaan.
1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya.
2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol. 3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.
Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.
Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut.
Unit 2 2 - 36
Tes Formatif 3
Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban yang Anda anggap benar.
1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−=+
229463
yxyx
dengan
menggunakan metode substitusi.
2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
229
462
yx
yx dengan
menggunakan metode eliminasi.
3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−−=−78,05,1
26,05,0yxyx
dengan
menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus.
4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=+
532
923
yx
yx
5. Jika diketahui sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=+
1443752
yxyx
, maka tentukan nilai
yx 74 + . Umpan Balik Dan Tindak Lanjut
Setelah mengerjakan tes formatif 3, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 37
Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif 1
1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menyatakan banyaknya variabel.
2. B. 3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat sama
dengan 1.
4. B. Kedua ruas persamaan 3215=−
x dikalikan dengan x sehingga diperoleh
3 515
2315 3215
==
+==−
xx
xxxx
5. A. 6. B. 7. C. Persamaan ( ) 121 =−xx ekuivalen dengan persamaan 0122 =−− xx
sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh
( )( )
4atau 304atau 03
043
=−==−=+
=−+
xxxx
xx
8. B. Jika 2=x dimasukkan ke persamaan ( ) 44 −=−xx akan diperoleh pernyataan yang benar.
9. D. Persamaan 0321
21 2 =−+ xx ekuivalen dengan persamaan
062 =−+ xx sehingga dengan memfaktorkan diperoleh
( )( )
2atau 302atau 03
023
=−==−=+
=−+
xxxx
xx
10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 0242 =+− xx digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh 1=a , 4−=b , dan
2=c sehingga diperoleh
Unit 2 2 - 38
22
8212
28164
22.1.4)4()4(
24
2
2
±=
±=
−±=
−−±−−=
−±−=
aacbbx
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah 22 +=x atau
22 −=x .
Kunci Tes Formatif 2 11. C.
12. A. Pertidaksamaan xx 52
32>
− mempunyai variabel dengan pangkat
tertinggi sama dengan 1. 13. D.
14. B. Kedua ruas pertidaksamaan 567≤
−x
x dikalikan dengan x sehingga
diperoleh
3 62 657567
≤≤≤−≤−
xxxx
xx
15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan yang terdapat pada pilihan.
24 ? 18 16)10(4 ? 810
164 ? 8
−−+−−−
+− xx
Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan adalah “>” atau “≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “≥ ”. Jadi pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah 1648 +≥− xx .
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 39
16. B. Kedua ruas pertidaksamaan 132
17−<
+ xx dikalikan dengan bilangan 2
diperoleh
31267
2617
−<−−<−
−<+
xxx
xx
17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah:
( )( ) 02130253
2532
2
>+−>−+
>+
xxxxxx
Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh
( )( )
231
21302013
0213
−==
−===+=−
=+−
xataux
xatauxxataux
xx
Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan
penyelesaian dari pertidaksamaan 253 2 >+ xx sebagai berikut. Ambil nilai 3−=x , 0=x dan 1=x . Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh
21221527
2)3(5)3(3253
2
2
>>−
>−+−
>+ xx
Pernyataan benar
2020.50.3
2532
2
>>+
>+ xx
Pernyataan salah
28253
21.51.3253
2
2
>>+
>+
>+ xx
Pernyataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian
pertidaksamaan 253 2 >+ xx adalah himpunan
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >−<
31atau 2 ; xxx .
18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut.
A. B.
Unit 2 2 - 40
( )( )
2302)6)(5(
2)60)(50(265
≥≥−−
≥−−≥−− xx
Pernyataan benar
( )( )
2302)6)(5(
2)60)(50(265
<<−−
<−−<−− xx
Pernyataan salah Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang ditunjukkan oleh garis bilangan.
19. D. Pertidaksamaan 494102 −>− xxx ekuivalen dengan 049142 >+− xx .
Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh 049142 =+− xx . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( )( )
707
077
==−
=−−
xx
xx
Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil 0=x sehingga
490494102
−>−>− xxx
Pernyataan benar
Diambil 8=x sehingga 494102 −>− xxx
49)8(4)8(10)8( 2 −>− 49328064 −>−
1716 −>− Pernyataan benar
Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan 494102 −>− xxx adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan.
20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan 0262 ≤−+ xx sebagai persamaan 0262 =−+ xx diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan
menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh 1=a , 6=b , dan 2−=c sehingga
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 41
113
44213
28366
2)2.(1.466
24
2
2
±−=
±−=
+±−=
−−±−=
−±−=
aacbbx
Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan
113+− dan 113−− , misalnya 2=x yang disubstitusikan ke pertidaksamaan 0262 ≤−+ xx diperoleh 014 ≤ yang merupakan pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut
adalah { }113 113 ; +−≤≤−− xx .
Kunci Tes Formatif 3 21. Dari persamaan 463 =+ yx , variabel x dinyatakan dalam y sehingga
diperoleh yx 643 −= . Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan 229 =− yx sehingga diperoleh
21
2010
102012220
22181222)64(3
22)3(3229
=−−
=
−=−−=−
=−−=−−
=−=−
y
yy
yyyy
yxyx
Selanjutnya 21
=y disubstitusikan ke persamaan yx 643 −= sehingga
diperoleh
Unit 2 2 - 42
31
34321643
643
=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
x
x
x
yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−=+
229463
yxyx
adalah ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21,
31 .
22. Penyelesaian sistem persamaan linear
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
229
462
yx
yx dengan menggunakan
metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut.
229
462
=−
=+
yx
yx
3 x
1 x
Diperoleh
+
==
=
=
=−
=+
9,210291029
1029
6627
462
x
xx
yx
yx
229
462
=−
=+
yx
yx
2 x
9 x
Diperoleh
−
=
=
=
=−
=+
3258
5832
3258
4418
365418
y
yy
yx
yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=+
229
462
yx
yx adalah ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
3258,
1029 .
23. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−−=−78,05,1
26,05,0yxyx
dengan
menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut.
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 43
Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh
⎩⎨⎧
=−−=−708152065
yxyx
Dengan metode eliminasi diperoleh
−
==
==−−=−
5311
25290
290252102445
802420
x
xyxyx
Selanjutnya nilai 5311=x disubstitusikan ke salah satu persamaan,
misalkan kita substitusikan ke persamaan 2065 −=− yx sehingga diperoleh
13678
78658206
20658
2065585
2065
=−−
=
−=−−−=−
−=−
−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−
y
yy
y
y
yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=−−=−78,05,1
26,05,0yxyx
adalah
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 13,
5311 .
24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut.
532
923
=+
=+
yx
yx
2131
×
×
Diperoleh
Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas persamaan kedua, yaitu:
Unit 2 2 - 44
−
==
−=
−=−
=+
=+
326
256
6
253
62
63
25
62
363
y
y
yy
yx
yx
9615
156
53
)3(2
532
=−==+
=+
=+
xxx
x
yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah ( )3,9 .
25. Penyelesaian sistem persamaan linear ⎩⎨⎧
=+=+
1443752
yxyx
adalah sebagai
berikut.
1443752
=+=+
yxyx
54
××
Sehingga diperoleh
−
=−=−=+=+
6427
70201528208
xx
yxyx
155
12757512
75)6(2752
−=−=−==+=+
=+
yyy
yy
yx
Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah ( )1,6 − , maka
17 724
)1(7)6(474
=−=
−+=+ yx
Pemecahan Masalah Matematika 2 - 45
Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. Tersedia di: http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006] ________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia di: http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007] ________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret 2007] ________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]
Unit 2 2 - 46
Glosarium Eliminasi : salah satu metode penyelesaian sistem persamaan
dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan
Kesamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan
Konstanta : suku aljabar yang tidak memuat variabel Koefisien : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel Persamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan
hubungan sama dengan Penyelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan variabel
dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan yang benar
Persamaan linear : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1
Persamaan kuadrat : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2
Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan tidak sama dengan
Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 1
Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya adalah 2
Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear yang terkait satu sama lain
Substitusi : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan dalam variabel lain ke persamaan yang lain
Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel
Variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang bilangan real
top related