ukuran variasi atau dispersi

Ukuran Variasi atau Dispersi

Zulya Erda, M.Si

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Dispersi = Variasi data = Keragaman data

DefinisiDispersi adalah data yang

menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusatnya data atau ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Ukuran penyebaran data digunakan untuk melengkapi deskripsi dari sifat-sifat sekelompok data, terutama dalam membandingkan sifat-sifat yang dimiliki oleh masing-masing data terhadap kelompoknya atau sifat-sifat kelompok data dengan kelompok data lainnya.

ContohTiga kelompok data terdiri dari:a. 50, 50, 50, 50, 50 (homogen)

rata-rata hitung = 50

b. 50, 40, 30, 60, 70 (heterogen) rata-rata hitung = 50

c. 100, 40, 80, 20, 10 (heterogen)rata-rata hitung = 50

Kelompok c lebih heterogen dibandingkan b

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

50 x1 x2 x3 x4 x5

100

0

(a) Homogen

100100

0 0

50 50

x1

x2

x3

x4

x5

x1

x3

x2

x4

x5

(b) Relatif Homogen (c) Heterogen

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Dispersi

Mutlak

Range Kuartil Deviasi standart

Deviasi rata-rata

Relatif

Koefisien variasi

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Jenis Ukuran Dispersi

1. Dispersi MutlakDispersi mutlak digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data

2. Dispersi RelatifDispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya.

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Mean dan median hanya menggambarkan pusat data dari sekelompok data, tetapi tidak menggambarkan penyebaran nilai pada data tersebut.

Dua kelompok data dengan mean yang sama, belum tentu memiliki penyebaran data yang sama.

Ukuran dispersi yang kecil menunjukkan nilai data saling berdekatan (perbedaan kecil), sedangkan ukuran dispersi yang besar menunjukkan nilai data saling menyebar (perbedaan nilai masing-masing data besar).

Ukuran dispersi digunakan untuk melengkapi perhitungan nilai pusat data.

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

Alasan mempelajari dispersi

DefinisiJangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu kelompok/ susunan data.

LambangJangkauan dapat ditulis “ r/R “

Nama LainNilai Jarak, dapat ditulis “ NJ ”

Range = jangkauan

Jurusan KeperawatanPoltekkes Kemenkes Tanjungpinang

SifatJangkauan merupakan ukuran keragaman yang paling sederhana.

Jangkauan sangat peka terhadap data dengan nilai terbesar dan nilai terkecil.

Semakin kecil nilai r/R maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r/R, maka kualitasnya semakin tidak baik.

Rumus – Data tunggal

ContohDiketahui data 20, 30, 50, 70, 100.Tentukan nilai jangkauan data.r = X5 – X1r = 100 – 20 r = 80

r = Xn – X1r = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

r = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertamar = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama

Rumus – Data kelompok

• ContohData berat badan 100 mahasiswa suatu perguruan tinggi. Tentukan nilai jarak dari data tersebut.Berat badan Banyaknya Mahasiswa (Kg) (f)

60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 72 – 74 8

JawabanCara INilai tengah kelas pertama = (60 + 62) : 2Nilai tengah kelas pertama = 61

Nilai tengah kelas terakhir = (72 + 74) : 2 Nilai tengah kelas terakhir = 73

r = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertamar = 73 – 61 r = 12

JawabanCara IIBatas bawah kelas pertama = 60

Batas atas kelas terakhir = 72

r = Batas bawah kelas terakhir – Batas bawah kelas pertamar = 72-60r = 12

DefinisiSimpangan rata-rata adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dengan banyaknya data.

LambangSimpangan rata-rata dapat ditulis “ SR “

Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata)

Rumus – Data tunggal

SR = simpangan rata-ratan = banyaknya data pengamatan = rata-rataMed = medianXi = frekuensi data ke-i

n

XXSR

i

n

MedXSR i

X

• ContohDiketahui data 30, 40, 50, 60, 70.Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan median.

• Jawaban

50

505

7060504030

Med

X

• Simpangan rata-rata

125

605

50705060505050405030

SR

SR

SR

n

XXSR

i

• Simpangan Median

125

605

50705060505050405030

SR

SR

SR

n

MedXSR i

Rumus – Data kelompok

SR = simpangan rata-rataf = banyaknya frekuensi data = rata-rataXi = frekuensi data ke-i

f

XXfSR

i

X

• ContohInterval Kelas Nilai

tengahf

9 – 2122 – 3435 – 4748 – 6061 – 7374 – 8687 – 99

15284154678093

3448

12236

50,9237,9224,9211,921,08

14,0827,08

152,76151,6899,6895,3612,96

323,84162,48

Σ = 60 Σ = 998,76

XX i XXf i

• = (3.15)+(4.28)+(4.21)+…xi 60 = 65,92

646,1660

76,998

SR

SR

f

XXfSR

i

X

DefinisiSimpangan baku adalah akar kuadrat positif dari varians.

Simpangan baku diukur pada satuan data yang sama, sehingga mudah untuk diperbandingkan.

Simpangan baku paling banyak digunakan karena mempunyai sifat-sifat matematis yang sangat penting dan berguna untuk pembahasan teori dan analisis.

Standart Deviasi

LambangSimpangan baku dapat ditulis “ S “

Nama LainStandar Deviasi, dapat ditulis “ SD “

Kelompok data yang heterogen mempunyai simpangan baku yang besar.

Simpangan baku populasi (σ) sering dipakai.

Rumus (sampel)-data tunggal

S = simpangan baku sampelXi= data ke-i = rata-rata sampeln = banyaknya sampel

1

1

1

1

2

11

2

1

2

12

1

2

nn

XXn

S

n

X

Xn

S

n

XXS

n

ii

n

ii

n

i

n

ii

i

n

ii

X

Rumus (populasi)-data tunggal

σ = simpangan bakupopulasi

Xi = data ke-iμ = rata-rata populasiN = banyaknya populasi

n

i

N

ii

i

N

ii

N

X

XN

N

X

1

2

12

1

2

1

• ContohDiketahui data upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam ribuan rupiah). Hitunglah simpangan baku dari data tersebut.

Xi Xi Xi2

X1 30 900X2 40 1600X3 50 2500X4 60 3600X5 70 49005 250 13500

Jawaban

Jadi simpangan baku dari data tersebut adalah 14,14 (Rp14.140,00)

14,14

5

25013500

5

1

1

2

1

2

12

n

i

N

ii

i N

X

XN

Deviasi Standart– Data Berkelompok

Rumus simpangan baku populasi (umum)

σ = simpangan baku populasiMi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …, kμ = rata-rata populasiN = banyaknya populasi

29

N

Mfk

iii

1

2

• Rumus populasi (kelas interval sama)

σ = simpangan baku populasifi = frekuensi kelas ke-i

di = simpangan dari kelas ke-i terhadap titik asal asumsi

N = banyaknya populasic = besarnya kelas interval

30

2

11

2

N

df

N

dfc

k

iii

k

iii

Rumus populasi (kelas interval tidak sama)

σ= simpangan baku populasifi = frekuensi kelas ke-iMi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …, kN = banyaknya populasi

31

k

i

k

iii

ii N

Mf

MfN 1

2

121

Rumus sampel (kelas yang sama)

S = simpangan baku sampelfi = frekuensi kelas ke-idi = simpangan dari kelas ke-i terhadap titik asal asumsin = banyaknya sampelc = besarnya kelas interval

32

2

11

2

11

n

df

n

dfcS

k

iii

k

iii

Rumus sampel (kelas tidak sama)

S = simpangan baku sampelfi = frekuensi kelas ke-iMi = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2, …, kn = banyaknya sampel

33

k

i

k

iii

ii n

Mf

Mfn

S1

2

12

11

1

• ContohData nilai ujian statistik dasar dari 50 mahasiswa STMIK MDP, disusun dalam tabel berikut ini. Tentukan simpangan baku dari data di samping.

37

Kelas X (Nilai Tengah) f

30 - 39 34,5 4 40 - 49 44,5 6 50 - 59 54,5 8 60 - 69 64,5 12 70 - 79 74,5 9 80 - 89 84,5 7 90 - 100 94,5 4

• Jawaban M M2 f fM fM2

34,5 1.190,25 4 138,0 4.761,00 44,5 1.980,25 6 267,0 11.881,50 54,5 2.970,25 8 436,0 23.762,00 64,5 4.160,25 12 774,0 49.923,00 74,5 5.550,25 9 670,5 49.952,25 84,5 7.140,25 7 591,5 49.981,75 95 9.025,00 4 380,0 36.100,00

Jumlah f1 = 50 f1Mi = 3.257 f1Mi2 =

226.361,50

85,16

50

325750,361.226

50

11 2

1

2

12

k

i

k

iii

ii N

Mf

MfN

• LatihanModal dari 40 perusahaan (dalam jutaan rupiah) adalah sebagai berikut:

138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128

Tentukan simpangan baku dari data diatas.

39