transformasi laplace -...

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012 BDA, RYN

Transformasi Laplace

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Referensi

• Desjardins S J, Vaillancourt R, 2011, Ordinary Differential

Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for

Engineers, University of Ottawa, Canada.

• Poularikas A D, Seely S, 2000 , Laplace Transform, CRC

Press LLC

• Kreysziq, 2006, Advanced Engineering Mathematics 9th ed.

John Wiley & Sons, Inc.

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Silabus

• Transformasi Laplace ( 1)

• Transformasi Turunan dan Integral (2)

• Transformasi Persamaan differensial berbatas (1)

• Teori pergeseran (2)

• Aplikasi (1)

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

I. TRANSFORMASI LAPLACE

Review Differensial

Review Integral

Transformasi Laplace

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

REVIEW DIFFERENSIAL

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Differential Rule

1. dk

2. d(ku)

3. d (u + v)

4. d (uv )

5. d (u/v)

6. d (un)

= 0

= k du

= du + dv

= u dv + v du

= (v du – u dv)/v2

= nun-1 du

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Tentukan dy/dx untuk fungsi di bawah ini.

2 siny x x

sin xy

x

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

2

2sin

sin

dy dv duu v

dx dx dx

d xd xx x

dx dx

2 siny x x

2

2

cos sin 2

cos 2 sin

dyx x x x

dx

x x x x

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

sin xy

x

2 2

2

sinsin

cos sin

d x d xdu dvv u x x

dy dx dx dx dx

dx v x

x x x

x

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Review Integral

Cxxdx

Cxxdxx

Cxxdxx

Cxxdx

Ca

axaxdx

Ca

axaxdx

n

xdxx

Cxdx

nn

cotcsc

csccotcsc

sectansec

tansec

sincos

cossin

1

2

2

1

Cxxx

dx

Cxx

dx

Cxx

dx

Cxx

dx

Ck

edxe

kxkx

arcsec1

arctan1

arcsin1

ln

2

2

2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

21 2 x x dx

Salah satu petunjuk yg kita cari adalah jika

kita dapat menemukan fungsi dan

turunannya dalam integran

Turunan dari adalah 21 x 2 x dx

1

2 u du3

22

3u C

3

2 22

13

x C

2Let 1u x

2 du x dx

Contoh

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh

4 1 x dxLet 4 1u x

4 du dx

1

4du dx

Penyelesaian untuk dx

1

21

4

u du3

22 1

3 4u C

3

21

6u C

3

21

4 16

x C

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Fungsi Hiperbola

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Definisi

• Transformasi: Konversi matematika dari satu cara berpikir

ke cara berpikir yang lain yang membuat penyelesaian

permasalahan lebih mudah

Transform

Solution in transform

way of thinking

Invers Transform

Problem in original way of thinking

Solution in original way of thinking

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Laplace Transform

Solution in s domain

Inverse Laplace Transform

Problem in time domain

Solution in time domain

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Laplace transformation

linear

differential

equation

time

domain

solution

Laplace

transformed

equation

Laplace

solution

time domain

Laplace domain or

complex frequency domain

algebra

Laplace transform

inverse Laplace

transform

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

• Dikembangkan oleh seorang Matematikawan Prancis,

Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827) yang

memiliki kontribusi penting pada ilmu mekanika astronomis,

astronomi umum, teori fungsi dan teori probabilitas.

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Jika 𝑓(𝑡) sebuah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0

maka Transformasi Laplace (L )-nya merupakan fungsi

integral dari 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 dengan t = 0 hingga t = ∞.

Ini merupakan fungsi dari 𝑠, atau 𝐹(𝑠), atau dinotasikan dengan L [𝑓(t)]

L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

• Dengan demikian, 𝑓(𝑡) merupakan transformasi balik (invers) dari 𝐹(𝑠) atau dinotasikan dengan L -1[F(s)]

𝑓(𝑡) = L -1[F(s)]

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Review

• Anda punya suatu fungsi yang tergantung pada waktu yaitu

f(t)

• Maka bentuk transformasi laplace adalah:

L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Catatan

• Penulisan notasi 𝑡 pada fungsi awal akan berubah menjadi

𝑠 setelah Transformasi Laplace

• Fungsi awal selalu menggunakan notasi dgn huruf kecil

(misal: 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)), akan berubah menggunakan notasi dgn

huruf kapital (misal: 𝐹(𝑠), 𝐺(𝑠)) setelah Transformasi

Laplace

L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

L [g(t)] = G(𝑠) = 𝑔 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 1. Transformasi Laplace sederhana

Jika 𝑓(𝑡) = 1 dengan t ≥ 0, Carilah Transformasi Laplacenya

L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

L [1] = 1 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

= −1

𝑠𝑒−𝑠𝑡

0

∞

= −1

𝑠𝑒−𝑠∞ − −

1

𝑠𝑒−0

= 0 +1

𝑠=

1

𝑠

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 2. Fungsi Eksponensial

• Jika𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡dengan t ≥ 0 dan 𝑎 adalah sebuah konstanta, Carilah Transformasi Laplacenya

L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

L [𝑒𝑎𝑡] = 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0= 𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡𝑑𝑡

∞

0

= - 1

𝑠−𝑎𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡

0

∞

= - 1

𝑠−𝑎𝑒−(𝑠−𝑎)∞ − −

1

𝑠−𝑎𝑒 𝑎−𝑠 0

= 1

𝑠−𝑎

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 3. Fungsi Hiperbola

Carilah transformasi Laplace dari cosh at dan sinh at.

Jawab:

Diketahui

cosh at = 1

2𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡

sinh at = 1

2𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

cosh at = 1

2𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡

L cosh at) = 1

2 𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

= 1

2 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡

∞

0

= 1

2

1

𝑠−𝑎+

1

𝑠+𝑎

= 1

2

𝑠+𝑎

(𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)+

𝑠−𝑎

(𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)

= 1

2

2𝑠

𝑠2−𝑎2 =𝑠

𝑠2−𝑎2

sinh at = 1

2𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡

L (sinh at) = 1

2 𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

= 1

2 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡

∞

0

= 1

2

1

𝑠−𝑎−

1

𝑠+𝑎

= 1

2

𝑠+𝑎

(𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)−

𝑠−𝑎

(𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)

= 1

2

2𝑎

𝑠2−𝑎2 =𝑎

𝑠2−𝑎2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Contoh 4. Fungsi Sinus

Buktikan bahwa:

L (sin at ) = 𝑎

𝑠2+𝑎2

L (sin at ) = 𝑒−𝑠𝑡sin at 𝑑𝑡∞

0 = y

𝑑

𝑑𝑡𝑢𝑣 = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑢𝑣 = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

𝑢′𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡

𝑢 = −1

𝑠𝑒−𝑠𝑡

𝑣 = sin 𝑎𝑡 𝑣′ = 𝑎 cos 𝑎𝑡

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

𝑦 = −1

𝑠𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 − −

1

𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑎 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡

∞

0

𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡

𝑠sin 𝑎𝑡 +

𝑎

𝑠 𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡

∞

0

𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡

𝑢 = −1

𝑠𝑒−𝑠𝑡

𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑣′ = − 𝑎 sin 𝑎𝑡

𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡

𝑠sin 𝑎𝑡 +

𝑎

𝑠−

𝑒−𝑠𝑡

𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 − −

1

𝑠𝑒−𝑠𝑡(−𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡) 𝑑𝑡

∞

0

𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡

𝑠sin 𝑎𝑡 −

𝑎

𝑠2𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 −

𝑎2

𝑠2 𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡

∞

0

𝑦

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

𝑦 +𝑎2

𝑠2𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡

1

𝑠sin 𝑎𝑡 +

𝑎

𝑠2cos 𝑎𝑡

𝑠2 + 𝑎2

𝑠2𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡

1

𝑠sin 𝑎𝑡 +

𝑎

𝑠2cos 𝑎𝑡

0

∞

= 0 + 1 0 +𝑎

𝑠2 =𝑎

𝑠2

𝑠2 + 𝑎2

𝑠2𝑦 =

𝑎

𝑠2

𝑦 =𝑎

𝑠2

𝑠2

𝑠2 + 𝑎2=

𝑎

𝑠2 + 𝑎2

MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012

Tabel Transformasi Laplace