transformasi angkatan
Post on 29-Nov-2015
162 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TRANSFORMASI ANGKATAN
Tranformasi angkatan merupakan cara bagaimana membentuk angkatan menjadi
“lebih baik” dalam arti memenuhi anggapan yang diguanakan dalam satatistik inferensi
atau statistik konfirmasi yaitu suatu angkatan berdistribusi normal. Angkatan yang
memiliki puncak tunggal dan tidak simetris dibuat menjadi simetris sehingga dapat
mendekati distribusi normal yang lebih baik daripada data asli.
1. MENGHITUNG LOGARITMA, AKAR PANGKAT DUA DAN KEBALIKAN
SUATU BILANGAN
Tabel Tukey merupakan Tabel yang digunakan untuk mempermudah menghitung
logaritma, akar pangkat dua dan kebalikan negatif suatu bilangan.
1.1 Logaritma
Cara menggunakan Tabel :
i. Suatu bilangan yang akan dicari logaritmanya dilihat dalam Tabel 4.1B
(Kartiko, 1986 : 4.3), sehingga diperoleh nilai b
ii. Desimal dari bilangan tersebut dihilangkan kemudian bilangan yang telah tidak
ada desimalnya tersebu dilihat dalam Tabel 4.1A (Kartiko, 1986 : 4.2),
sehingga diperoleh nilai a. Logaritma bilangan tersebut adalah a + b.
catatan : untuk angka pada perbatasan dapat diambil nilai a yang genap.
contoh :
a. nilai log 137,2
bilangan ini terletak antara 100 an 1000, maka b = 2
lihat bilangan 1372 pada Tabel 1. a, bilangan ini terletak antara 1365 dan 1396,
maka a=0,14.
Jadi log 137,2 = 2 + 0,14 = 2,14
b. nilai log 0,03694
bilangan ini terletak antara 0,01 an 0,1, maka b = -2
1
lihat bilangan 3694 pada Tabel 1. a, bilangan ini terletak antara 3673 dan 3758,
maka a=0,57.
Jadi log 0,03694 = -2 + 0,57 = -1,43
1.2 Akar pangkat dua
Cara menggunakan Tabel :
i. suatu bilangan yang akan dicari akar pankat dua dilihat dalam Tabel 4.2B
(Kartiko, 1986 : 4.4), sehingga diperoleh nilai b
ii. bilangan tersebut dibagi menjadi beberapa periode masing-masing terdiri dari
dua angka. Pembagian dimulia dari tanda desimal, ke depan dan ke belakang.
Bilangan yang telah dibagi menjadi beberapa periode dilihat dalam Tabel
4.2A (Kartiko, 1986 : 4.4), sehingga diperoleh nilai a. Akar pangkat dua
bilangan tersebut adalah nilai a dengan disesuaikan dengan b.
contoh :
a. √1242
1242 terletak antara 100 dan 1000 didapat b = ab
1242 ditulis 12 42 terletak antara 11 90 dan 12 60 dari Tabel 2. a diperoleh a
= 35
Jadi √1242 = 35
b. √0,00654
0,00654 terletak antara 0.0001 dan 0,01 didapat b= 0,0x
0,00654 ditulis 00 65 4 yang sama dengan 65 4 terletak antara 62 41 dan 65
61 dari Tabel 2. a diperoleh a=80
Jadi √0,00654 = 0,080
c. √12,72
12,72 terletak antara 1 dan 100 didapat b = a
12,72 ditulis 12 72 terletak antara 12 60 dan 13 35 dari Tabel 2. a diperoleh a
= 36
Jadi √1242 = 3,6
2
1.3 Kebalikan negatif (−1000/ x)
Cara menggunakan Tabel :
Disini tidak dihitung 1/bilangan tetapi -1000/bilangan
i. bilangan dilihat dalam Tabel 4.3B (Kartiko, 1986 : 4.6), sehingga diperoleh
nilai b
ii. bilangan tersebut bila terdapat desimalnya maka desimalnya dihilangkan.
Bilangan tanpa desimal itu dilihat dalam Tabel 4.3A (Kartiko, 1986 : 4.7),
sehingga diperoleh nilai a. Kebalikan negatif -1000/bilangan tersebut adalah
nilai a dengan disesuaikan dengan b.
Contoh :
a.−1000124,2
Tabel 3.b terlihat bahwa 124,2 terletak antara 100 dan 1000, sehingga
diperoleh b=a. Tabel 3. a menunjukan 1242 terletak antara 1235 dan 1266,
sehingga a = -80
Jadi −1000124,2
adalah -8,0
b.−10000,04739
Tabel 3.b terlihat bahwa 0,04739 terletak antara 0,01 dan 0,1, sehingga
diperoleh b=abcde. Tabel 3. a menunjukan 4739 terletak antara 4672 dan
4762, sehingga a = -212
Jadi −1000124,2
adalah -21200,0
3
2. TRANSFORMASI LOGARITMA
Transformasi logaritma suatu angkatan didapat dengan mengambil atau
menghitung logaritma setiap observasi dalam angkatan.
Tabel 1. Penduduk 1850-1961
Penduduk Kanada Penduduk AS
Tahun
Jumlah
(jutaan)
Pertumbuhan
Tahun
Jumlah
(jutaan)
Pertumbuhan
1851 2,44 1850 23,21861 3,23 0,79 1860 31,4 8,21871 3,69 0,46 1870 39,8 8,41881 4,32 0,63 1880 50,2 10,41891 4,83 0,51 1890 62,9 12,71901 5,37 0,54 1900 76,0 13,11911 7,21 1,84 1910 92,0 161921 8,79 1,58 1920 105,7 13,71931 10,38 1,59 1930 122,8 17,11941 11,51 1,13 1940 131,7 8,91951 14,01 2,50 1950 150,7 191961 18,24 4,23 1960 178,5 27,8
Tabel 1 menunjukan jumlah penduduk Amerika Serikat (AS) dan Kanada pada 12
sensus yang berturutan. Kolom pertumbuhan yang berisi perbedaan antara setiap sensus
dengan sensus sebelumnya, terlihat besar pertumbuhan penduduk. Tampak bahwa
besarnya pertumbuhan penduduk pada tahun terakhir lebih besar daripada tahun
sebelumnya. Juga terlihat bahwa penduduk AS mempunyai pusat dan sebaran yang jauh
lebih besar.
Diagram kotak dan titik pada Gambar 1 tampak bahwa median lebih dekat dengan
kuartil bawah atau nilai tinggi lebih menyebar daripada nilai rendah. Keadaan angkatan
yang seperti ini disebut “menjurai ke atas”. Sebaliknya bila median dekat dengan kuartil
atas atau nilai rendah lebih menyebar dibandingkan dengan nilai tinggi, maka angkatan
seperti ini disebut “menjurai ke bawah”. Diagram kotak dan titik menunjukan bahwa
4
pusat dan sebaran berubah pada arah sama ( pusat lebih besar mempunyai sebaran yang
lebih besar), merupakan sifat angkatan yang sering dijumpai.
Gambar 1. Diagram Kotak dan Titik Jumlah Penduduk Kanada dan AS
Tabel 2. Nisbah Menurut Tahun Sensus Berurutan Untuk Kanada dan AS
Kanada AS1861/1851 1,32 1860/1850 1,351871/1861 1,14 1870/1860 1,271881/1871 1,17 1880/1870 1,261891/1881 1,12 1890/1880 1,251901/1891 1,11 1900/1890 1,211911/1901 1,34 1910/1900 1,211921/1911 1,22 1920/1910 1,151931/1921 1,18 1930/1920 1,161941/1931 1,11 1940/1930 1,071951/1941 1,22 1950/1940 1,141961/1951 1,30 1960/1950 1,18
Tabel 2 berisi nisbah (hasil bagi) jumlah penduduk pada suatu sensus dengan
sensus sebelumnya. Nisbah ini menunjukkan semacam laju pertumbuhan. Dari tahun ke
tahun kedua negara mempunyai besar nisbah yang hampir sama. Hal ini menunjukkan
bahwa pertumbuhan penduduk di kedua negara tetap.
5
Keuntungan menggunakan nisbah :
Mudah, sering digunakan dan jelas menggunakan ide laju pertumbuhan penduduk.
Kerugian menggunakan nisbah :
Menghitung nisbah tanpa bantuan kalkulator akan membuang waktu. Dari nisbah
tidak dapat diperoleh bilangan semula.
Untuk itu dicari transformasi yang tidak mengesampingkan keuntungan nisbah,
sekaligus menghilangkan kerugianya. Transformasi tersebut adalah transformasi
logaritma. Dihitung logaritma dari semua observasi dalam angkatan. Logaritma mudah
dihitung kembali besarnya observasi asli dengan antilogaritma. Hasil transformasi
disajikan dalam Tabel 3
Tabel 3 Logaritma Besar Penduduk
TahunPenduduk Kanada
TahunPenduduk AS
Jumlah Pertumbuhan Jumlah Pertumbuhan1851 6,39 1850 7,371861 6,51 0,12 1860 7,50 0,131871 6,57 0,06 1870 7,60 0,101881 6,64 0,07 1880 7,70 0,101891 6,68 0,04 1890 7,80 0,101901 6,73 0,05 1900 7,88 0,081911 6,86 0,13 1910 7,96 0,081921 6,94 0,08 1920 8,02 0,061931 7,02 0,08 1930 8,09 0,071941 7,06 0,04 1940 8,12 0,031951 7,15 0,09 1950 8,18 0,061961 7,26 0,11 1960 8,25 0,07
Pada kolom pertumbuhan dapat dilihat selisih logaritma suatu sensus dengan
sebelumnya (logaritma disingkat dengan log). Mengingat sifat logaritma tampak bahwa
selisih tersebut merupakan logaritma nisbah karena logab=log a−logb. Jadi Logaritma
masih mempunyai sifat laju pertumbuhan seperti yang ditunjukan oleh nisbah. Untuk
6
Kanada tampak bahwa perumbuhan merata dari tahun ke tahun. Untuk AS,
pertumbuhan tahun-tahun terakhir lebih kecil dari tahun-tahun permulaan.
Tabel 4 Diagram Batang dan Daun Logaritma Besar Penduduk
Log Penduduk Kanada7,2 67,1 5
7 266,9 46,8 66,7 36,6 486,5 176,46,3 9
Batang : satuan dan persepuluhan
Daun : Perseratuasan
Log penduduk AS8,2 58,1 288,0 297,9 67,8 087,7 07,6 07,5 07,47,3 7
Batang : satuan dan persepuluhan
Daun : Perseratuasan
Gambar 2. Diagram Kotak dan Titik Log Penduduk AS dan Kanada
Apabila logaritma menangkap ide laju pertumbuhan yang tetap, angkatan
seharusnya tidak menjurai ke atas setelah transformasi logaritma. Hal ini akan anda lihat
dari Gambar 2 yang menyajikan diagram kotak dan titik angkatan baru. Dari Tabel 6
7
tampak bahwa kedua negara juraian ke atas telah hilang. Untuk Kanada kedua ekstrim
dan kuartil berimbang diseitar median sedang untuk AS angkatan agak menjurai ke
bawah. Tetapi secara keseluruhan harga yang lebih tinggi dan lebih rendah daripada
median tampak menyebar merata.
Tabel 5. Diagram Titik Pertumbuhan Log Penduduk
Kanada ASX 0,13 XX 0,12X 0,11
0,10 XXXX 0,09
XX 0,08 XXX 0,07 XXX 0,06 XXX 0,05
XX 0,040,03 X
Md= 0,08 Md=0,08
Gambar 2 dan Tabel 5 menunjukan diagram pertumbuhan log penduduk. Tampak
bahwa untuk kedua negara mediannya sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua negara
mempunyai laju pertumbuhan penduduk yang sama. Bila laju pertumbuhan tetap,
setelah pertumbuhan pusat (median) dikeluarkan pertumbuhan log penduduk
mempunyai sisa nol. Dari Tabel 6 tampak bahwa sisa tidak seluruhnya nol. Ada kalanya
penduduk bertambah lebih dari 0.09 (memberikan sisa positif) atau kurang dari 0,08
(memberikan sisa negatif). Dengan mendapatkan sisa, selain anda dapat melihat pola
pertumbuhan log pendududk yang hampir konstan perincian yang kurang jelas dapat
dilihat.
Perincian ini antara lain dapat dilihat dari data asli tetapi amat sukar. Penggunaan
utama transformasi adalah untuk membuat angkatan berbentuk standar, yaitu bentuk
yang simetri. Mengapa simetri? Simetri merupakan bentuk yang netral suatu angkatan
8
biasanya menjurai ke atas atau ke bawah. Bila angkatan simetri tidak dibutuhkan lagi
penjelasan ini.
Tabel 6. Log Pertumbuhan Penduduk Taraf (0,08) Dikeluarkan
Penduduk Kanada Penduduk AS
TahunPertumbuhan Tahun
Pertumbuhan
1861 0,04 1860 0,051871 -0,02 1870 0,021881 -0,01 1880 0,021891 -0,04 1890 0,021901 -0,03 1900 0,001911 0,05 1910 0,001921 0,00 1920 -0,021931 0,00 1930 -0,011941 -0,04 1940 -0,051951 0,01 1950 -0,021961 0,03 1960 -0,01
Md=0,08 Md=0,08
Hal ini ada hubungannya dengan statistika inferensi (konfirmasi) yang sering
membutuhkan pengandaian bahwa angkatan berdistribusi normal. Suatu angkatan yang
simetris dan berpuncak tunggal mungkin tidak begitu normal, tetapi biasa cukup
mendekati normal (terutama bila jumlah observasi angkatan besar), sehingga teknik
konfirmasi yang mengganggap berbentuk normal dapat digunakan dengan aman.
9
3. MEMILIH TRANSFORMASI YANG UNGGUL
Memilih transformasi yang unggul merupakan cara yang digunakan untuk
menemukan transformasi yang sesuai bagi suatu angkatan agar bentuknya mendekati
simetri. Berikut ini merupakan data pembangunan perumahan swasta bukan petani di
negara Amerika Serikat pada tahun 1966-1968.
Tabel 7. Pembangunan Perumahan Swasta Bukan Petani, AS, 1966-1968
Bulan 1966Januari 78500Februari 74800Maret 115900April 138600Mei 126700Juni 118200Juli 97600Agustus 99600September 86900Oktober 74400November 71400Desember 58900Seluruh Tahun 1141500
Tabel 8. Diagram Batang dan Daun Pembangunan Perumahan
196613 912 711 6810 09 88 77 954165 9
Batang : puluhan Juta
Daun : dibulatkan ke ribuan terdekat
10
Gambar 3 Diagram Kotak dan Titik Pembangunan Tahun 1966
Tampak bahwa angkatan sedikit mengurai ke atas. Transformasi yang cocok
untuk angkatan yang menjurai ke atas adalah akar pangkat dua, logaritma dan kebalikan
negatif (tanda negatif untuk menjamin supaya urutan angkatan tetap).
Tabel 9. Transformasi Pembangunan Perumahan 1966
BulanPembangunan
Dibulatkan
Akar
Log −1/√ x
Januari 78500 79 2804,8
9 -1,27E-05
Februari 74800 75 2734,8
7 -1,34E-05
Maret 115900 116 3405,0
6 -8,63E-06
April 138600 139 3725,1
4 -7,22E-06Mei 126700 127 356 5,1 -7,89E-06
Juni 118200 118 3445,0
7 -8,46E-06
Juli 97600 98 3124,9
9 -1,02E-05Agustus 99600 100 316 5 -1E-05September 86900 87 295
4,94 -1,15E-05
11
Oktober 74400 74 2734,8
7 -1,34E-05November 71400 71 267
4,85 -1,4E-05
Desember 58900 59 243
4,77 -1,7E-05
12
Tabel 10. Diagram Batang dan Daun
akar dua Log X −1/ x3 70,60 5,1 40 -7 823 40,40,20,10 5,0 760 -8 64
294,82,76,70,64 4,9 940 -9
2 46 4,8 875 -10 20batang : Ratusan 4,7 7 -11 6
batang : satuan dan
Persepuluhan
-12 8-13 26-14 0-15-16 8
batang : Persepuluhan Juta
qA 340 qA 5,07 qA -86Md 320 Md 4,97 Md -109qb 276 qb 4,88 qb -134
Tampak bahwa untuk angkatan ini akar pangkat dua bukan transformasi yang
cukup kuat, karena tampak bahwa angkatan tetap menjurai ke atas. Logaritma tampak
baik karena juraian telah hilang. Sedang kebalikan negatif tampak terlalu kuat karena
menjadi menjurai ke bawah.
Secara umum transformasi mempunyai pengaruh yang berbeda untuk angkatan
yang berbeda. Diatas telah disebut bahwa untuk angkatan yang menjurai ke atas
transformasi yang cocok adalah akar pangkat dua ( 2√ x ), logaritma ( log x ) dan kebalikan
negatif (−1x ). Untuk angkatan yang menjuari ke bawah x2 , x3 , x4, atau pangkat yang
lain merupakan transformasi yang mungkin sesuai.
Transformasi antilogaritma juga dapat mengoreksi juaraian ke bawah, tetapi
apabila bilngan besar maka antilog menjadi sangat besar. Akibatnya transformasi ini
jarang dipakai untuk mengembalikan transformasi log ke angkatan semula. Untuk
angkatan yang menjurai ke bawah pangkat dua atau tiga biasanya sudah memadai.
13
Sebaliknya anda biasakan membuat lebih dari satu transformasi untuk dipilh mana yang
lebih baik. Telah diterangkan bahwa transformasi yang berbeda memberikan pengaruh
yang berbeda. Berturut-turut akan dibicarakan pemilihan transformasi untuk satu
angkatan, kemudian untuk beberapa angkatan yang berkaitan.
Transformasi Untuk Satu Angkatan
Tujuan transformasi jelas yaitu membuat sedekat mungkin dengan bentuk standar
yaitu puncak tunggal, simetris, mengecil dengan mulus di kedua sisinya. Anda harus
ingat bahwa tengah dari data lebih penting dari yang lain.
Jadi kalau ada dua transformasi, pertama-tama diperhatikan bagian tengahnya.
Bila bagian tengah sama-sama simetris, diperhatikan bagian di luar kuartil. Seperti
contoh di muka logaritma dan −1x
sama-sama mempunyai bagian tengah simetris.
Apabila diperhatikan bagian luar, logaritma tampak lebih baik (karena ekstrim atas dan
bawah terletak simetris terhadap median), sehingga logaritma terpilih menjadi
transformasi yang paling cocok. Apabila transformasi yang dipilih tidak cocok maka
cara coba-coba ini akan sangat memakan waktu. Beruntungkah Tukey memberikan
suatu informasi yang merupakan petunjuk pemilihan transformasi yang unggul yang
disebut “Tangga Transformasi”, disajikan dalam Tabel 11.
Tabel 11.Tangga Transformasi
−1
x2
lebihkuat
−1x
log x
sedang
xbentuk tetap
x2 x3
sedangantilog xlebihkuat
mengoreksi juaraian ke atas mengoreksi juaraian ke bawah
Berdasarkan tangga transformasi tampak bahwa x3 lebih kuat daripada x2.
Semakin tinggi pangkat dari bilangan x yang lebih besar semakin disebarkan, sehingga
jelas transformasi ini cocok untuk mengoreksi juraian ke bawah. Cobalah anda
perhatikan transformasi yang terletak disebelah kiri x pada tangga transformasi.
14
Cocokan dengan suatu contoh, apakah betul transformasi tersebut dapat mengoreksi
juarian ke atas.
Bila nasib anda mujur transformasi yang cocok dapat ditentukan dengan cepat.
Bila nasib anda kurang mujur, maka anda harus melakukan transformasi berkali-kali
untuk mendapatkan yang cocok. Mungkin meskipun sudah ada pertolongan tangga
transformasi anda masih merasa keberatan, karena harus menghitung transformasi setiap
observasi dalam angkatan berkali-kali.
Hal ini dapat diatasi, bila anda mengingat kembali diagram kotak dan titik yang
hanya membutuhkan ringkasan lima angka untuk mengkonstruksinya. Dari diagram
kotak dan titik, anda dapat melihat apakah simetri atau tidak. Jadi yang akan anda
kerjakan adalah transformasi untuk ringkasan lima angka, kemudian mengamati
diagram kotak dan titiknya. Bila transformasi belum sesuai dicoba transformasi yang
lain untuk ringkasan lima angka, demikian seterusnya sampai didapat transformasi yang
unggul. Dengan demikian pekerjaan jauh lebih sedikit terutama untuk angkatan yang
besar.
Tabel 12. Transformasi Penduduk Kanada
Kanada
Akar
Log −1/√ x
2,44 1,560,3
9 -0,6
3,23 1,80,5
1 -0,6
3,69 1,920,5
7 -0,5
4,32 2,080,6
4 -0,5
4,83 2,20,6
8 -0,5
5,37 2,320,7
3 -0,4
7,21 2,690,8
6 -0,4
8,79 2,960,9
4 -0,3
15
10,38 3,221,0
2 -0,3
11,51 3,391,0
6 -0,3
14,01 3,741,1
5 -0,3
18,24 4,271,2
6 -0,2
Gambar 4 memperlihatkan diagram kotak dan titik untuk beberapa transformasi
dari angkatan dalam Tabel 12. Terlihat bahwa angkatan asli menjurai ke atas. Akar
pangkat duanya (√ x ) lebih simetris daripada angkatan semula tapi masih menjurai ke
atas. Kebalikan negarif akar pangkat duanya (−1
√x ) sedikit menjuarai ke bawah.
Logaritma membuat angkatan menjadi simetris (lebih simetris dibandingakan √ x dan
−1
√x ). Jadi transformasi √ x mengoreksi sedang, −1
√x mengoreksi berlebihan, sedang
logaritma tepat mengoreksi juraian ke atas.
Gambar 4. Diagram Kotak dan Titik Transformasi Perumahan
16
Jadi menggunakan ringkasan lima angka lewat diagram kotak dan titik
memberikan hasil yang sama. Dengan diagram kotak dan titik beserta tangga
transformasi, transformasi mudah dilakukan. Baru setelah tranformasi yang unggul
diperoleh, semua observasi dihitung tranformasinya. Kadang-kadang ditemui kasus-
kasus antara. Misalnya x2 kurang mengoreksi, sedang x3 mengoreksi berlebihan. Anda
bisa saja menggunakan x2,32 tetapi hal ini tidak begitu diperlukan, karena terlalu banyak
pekerjaan. Anda cukup memilih yang sederhana atau masuk akal asal angkatan tidak
terlalu jauh dari simetri.
17
top related