terapan turunan
Post on 23-Jan-2018
1.376 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TERAPAN TURUNAN
Departemen Matematika FMIPA-IPB
Bogor, 2011
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 1 / 57
Topik Bahasan
1
2
3
4
5
6
Nilai Maksimum dan Minimum
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Turunan dan Bentuk Grafik
Asimtot
Sketsa Kurva
Masalah Pengoptimuman
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 2 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Beberapa Terapan Turunan
Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi
Formasi, lokasi, dan warna pelangi
Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik
Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 3 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Ekstrim Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 4 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai Maksimum dan Minimum
Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak)
Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal Df .
f memiliki maksimum mutlak (global) di c ∈ Df jika
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ Df
f (c) disebut nilai maksimum f pada Df .
f memiliki minimum mutlak di c ∈ Df jika
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ Df
f (c) disebut nilai minimum f pada Df .
Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 5 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 6 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Mutlak)
1 f (x) = |x | memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena f (0) = 0 ≤ f (x) , x ∈ Df .
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 ≥ f (x) , x ∈ Df . Nilai minimum mutlaknya adalah −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 7 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Syarat Cukup Nilai Ekstrim
Teorema (Nilai Ekstrim)
Jika f kontinu pada selang tutup [a, b] , maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] .
Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak.
Jika f tak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 8 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 9 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Maksimum, Minimum Lokal
Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)
Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c ∈ Df jika
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c
Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c ∈ Df jika
f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c
Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .
∴ Dengan definisi tsb. ekstrim lokal tidak terjadi pada titik ujung selang. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 10 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Ilustrasi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 11 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh (Ekstrim Lokal)
1 f (x) = |x | memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada selang buka I yang memuat 0, f (0) ≤ f (x) , x ∈ I .
2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena pada selang buka I yang memuat 2nπ, f (2nπ) ≥ f (x) , x ∈ I . Nilai minimum lokalnya adalah cos((2n + 1) π) = −1.
3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 12 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Bilangan Kritis
Definisi (Bilangan Kritis)
Titik-dalam c ∈ Df yang bersifat f ' (c) = 0 ataukah f ' (c) tidak ada disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .
Catatan: titik-dalam (interior point) c ada di dalam selang buka I ⊆ Df .
Klasifikasi bilangan/titik kritis
1 titik stasioner c
f ' (c) = 0: garis singgung datar
2 titik singular c
f ' (c) tidak ada: grafik runcing, tak kontinu, garis singgung tegak
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 13 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut
1 f (x) = √ x (1 − x) . SOLUSI
2 f (x) =
⎧ ⎪⎨ ⎪⎩
x2 , −1 ≤ x < 0
x2 − 2x , 0 ≤ x ≤ 2 . SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 14 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Bilangan Kritis)
Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 1 (jawab: � bil. kritis)
2 g (x) = |2x − 5| (x = 5/2) 3 h (x) = x1/3 − x−2/3 (x = −2) 4 f (x) = 3
√ x2 − x (x = 0, 1/2, 1)
5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 15 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Teorema (Teorema Fermat)
Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .
Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f .
Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.
Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal.
Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik stasioner atau titik singular (tidal terjadi pada titik ujung).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 16 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Contoh
1 f (x) = x2 ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ' (x) = 2x ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis.
2 f (x) = |x | ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ' (0) tidak ada ⇒ 0 adalah bilangan kritis.
3 f (x) = x3 ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0) bukanlah ekstrim lokal. D
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 17 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Menentukan Ekstrim Mutlak Metode Selang Tutup
Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:
Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada (a, b) (titik stasioner, titik singular)
Evaluasi f pada setiap bilangan kritis dan titik ujung a dan b. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 18 / 57
Nilai Maksimum dan Minimum
Soal (Ekstrim Mutlak)
Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan.
1 f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3] (jawab: f (1) = −1 min, f (3) = 19 maks)
2 f (x) = x
x + 1, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks)
3 f (x) =
⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−1 − 2x ; −2 ≤ x < −1
x2 ; −1 ≤ x ≤ 1
x ; 1 < x ≤ 3
(f (−2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min)
4 f (x) = sin x + cos x , [0, π/3]f f (0) = 1 min, f (π/4) =
√ 2 maks
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 19 / 57
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Teorema (Teorema Nilai Rata-rata)
Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada selang tutup [a, b] , ii) terturunkan pada selang buka (a, b) , maka ada sedikitnya satu bilangan c ∈ (a, b) sehingga
f ' (c) = f (b) − f (a)
b − a (1)
Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 20 / 57 (Departemen Matematika FMIPA-IPB)
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Contoh (TNR)
Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x − 1 pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 21 / 57
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Soal (Teorema Nilai Rata-rata 1)
1 Diberikan f (x) = x1/3 . Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada selang [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang
dimaksud pada (1). f jawab: c =
√ 3 9
2 Diketahui fungsi f dengan f (x) = |x |. Periksa apakah fungsi f
memenuhi hipotesis TNR pada selang i) [0, 4], ii) [−1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 22 / 57
Teorema Nilai Rata-rata (TNR)
Soal (Teorema Nilai Rata-rata 2)
1 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.
2 Jika f (0) = 5 dan f ' (x) ≥ 3 untuk x ∈ [0, 2] , seberapa kecilkah nilai f (2) yang mungkin? (jawab: 11)
3 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx + r , p = 0, maka ada bilangan c ∈ [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari selang [a, b].
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 23 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Turunan I dan Fungsi Naik/Turun
Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
Jika f ' (x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut.
Jika f ' (x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 24 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)
1 Tentukan selang-selang di mana f naik/turun bagi fungsi: i) f (x) = 2x3 + x ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3 (x − 4)
2 Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun. (Catatan: f naik pada selang I berarti x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2 ), f turun pada I berarti x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 ) , x1, x2 ∈ I ).
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 25 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)
Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada setiap titik pada selang yang memuat c, kecuali mungkin di c . Bergerak melewati c dari kiri ke kanan:
1 Jika f ' berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.
2 Jika f ' berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
3 Jika f ' tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 26 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 27 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Contoh
Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f (x) = x1/3 (x − 4) . HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 28 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)
Andaikan fungsi f '' kontinu pada selang buka yang memuat c .
1 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.
2 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.
3 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 29 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 30 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Kecekungan Fungsi
Definisi (Kecekungan)
Fungsi f dikatakan
cekung ke atas pada selang I jika grafik f terletak di atas garis singgung pada selang I ,
cekung ke bawah pada selang I jika grafik f terletak di bawah garis singgung pada selang I .
Cara lain melihat kecekungan:
cekung ke atas pada selang buka I jika f ' naik pada I, cekung ke bawah pada selang buka I jika f ' turun pada I.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 31 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 32 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Uji Turunan II Bagi Kecekungan
Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)
Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada selang buka I .
Jika f '' (x) > 0 ∀x ∈ I , maka f ' naik pada I dan f cekung ke atas pada I ,
Jika f '' (x) < 0 ∀x ∈ I , maka f ' turun pada I dan f cekung ke bawah pada I .
Definisi (Titik Belok)
Titik P (c , f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c , dan f mengalami perubahan kecekungan di P.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 33 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Teorema (Titik Belok)
Jika titik (c , f (c)) merupakan titik belok, maka
f '' (c) = 0 ataukah f '' (c) tidak ada
Menentukan Titik Belok Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),
hitung f '' (x) ,
cari bilangan c sehingga f '' (c) = 0 atau f '' (c) tidak ada,
selidiki perubahan tanda f '' (x) di c . Titik (c , f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f '' (x) di c .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 34 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Contoh
Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 − 4x3 + 10. Tentukan: i) selang fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f .
HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 35 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Soal
Jika ada, tentukan: i) selang fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,
1 f (x) = (x − 1)3
2 f (x) = x1/3 + 1
3 f (x) = x/ (1 + x)2
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 36 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 37 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Soal
Berdasarkan grafik f ' berikut, tentukanlah
1 selang f naik/turun dan ekstrim lokal,
2 selang f cekung ke atas/bawah dan titik belok.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 38 / 57
Turunan dan Bentuk Grafik
Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok
Untuk fungsi f dengan y = f (x) :
Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) →ordinat y Bilangan kritis f : x = b → absis x Titik belok f : (c , f (c)) → koordinat (x, y)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 39 / 57
Asimtot
Jenis Asimtot
1
2
3
Asimtot tegak
Asimtot datar
Asimtot miring
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 40 / 57
Asimtot
Definisi (Asimtot Tegak)
Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika
lim x →a±
f (x) = ±∞ (2)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 41 / 57
Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 42 / 57
Asimtot
Definisi (Asimtot Datar)
Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika
lim x →±∞
f (x) = L (3)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB)
Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 43 / 57
Asimtot
Definisi (Asimtot Miring)
Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika
lim x →±∞
[f (x) − (mx + b)] = 0 (4)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB)
Asimtot
Teorema Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka
lim x →±∞
1 xr = 0 (5)
asalkan xr terdefinisi.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 44 / 57
Asimtot
Penentuan Asimtot Fungsi Rasional
Diberikan fungsi rasional
r (x) = p1 (x) p2 (x)
= cn xn + cn−1xn−1 + · · · + c0 km xm + km−1xm−1 + · · · + k0
1 Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) = 0 merupakan asimtot tegak.
2 Kasus n < m ⇒ garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar. 3 Kasus n = m ⇒ garis y = cn /km merupakan asimtot datar. 4 Kasus n = m + 1 ⇒ r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 45 / 57
Asimtot
Soal (Asimtot)
Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = (2x + 3) / (x − 1)
2 f (x) = 2x3 − x
/ x2 − x − 6
3 f (x) =
√ 4x2 − 1/ (x − 2)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 46 / 57
Sketsa Kurva
Sketsa Kurva
Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)
1 Identifikasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi.
2 Identifikasi asimtot fungsi.
3 Tentukan f ' (x) →
Identifikasi bilangan kritis. Identifikasi selang fungsi naik/turun, ekstrim lokal.
4 Tentukan f '' (x) →
Identifikasi selang kecekungan fungsi, titik belok.
5 Gambar sketsa grafik f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 47 / 57
Sketsa Kurva
Contoh
Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f
dengan f (x) = (x + 1)2
1 + x2 .
HINT
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 48 / 57
Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1)
Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut:
1 f (x) = x3 − 3x2 + 5
2 f (x) = x/ x2 − 4
3 f (x) = x3 − 1 x3 + 1
4 xy = x2 + x + 1
5 f (x) = x + 1 √ x2 + 1
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 49 / 57
Sketsa Kurva
Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2)
Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut: i) g kontinu pada R − {0}ii) g '' (x) > 0 untuk x ∈ R − {0}iii) g (−2) = g (2) = 3 iv) lim
x →∞ g (x) = 2, lim
x →−∞ [g (x) − x ] = 0
v) lim x →0+
g (x) = lim x →0−
g (x) = ∞
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 50 / 57
Masalah Pengoptimuman
Masalah Pengoptimuman
Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan.
Langkah-langkah pemecahan masalah:
pahami permasalahan, formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi, tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 51 / 57
Masalah Pengoptimuman
Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak
Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) , dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak. Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman.
Teorema Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisi pada suatu selang.
1 Jika f ' (x) > 0, ∀x < c dan f ' (x) < 0, ∀x > c , maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f .
2 Jika f ' (x) < 0, ∀x < c dan f ' (x) > 0, ∀x > c , maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f .
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 52 / 57
Masalah Pengoptimuman
Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 53 / 57
Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kotak Terbuka)
Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 × 8 cm2.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 54 / 57
Masalah Pengoptimuman
Soal (Disain Kaleng Minuman)
Jawab: h = 2r
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 55 / 57
Masalah Pengoptimuman
Soal (Pembangunan Jalan Tol)
Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).
√ Jawab: 5/ 3 km dari O.
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 56 / 57
Masalah Pengoptimuman
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB)
Versi: 2011 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 57 / 57
top related