teori probabiltas

1

TEORI PROBABILITAS

2

Simbol

P(A)= probabilitas peristiwa A terjadi.

P(A atau B)= Probabilitas terjadinya peristiwa A atau peristiwa B.

3

Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive)

Jika peristiwa A dan B bersifat saling meniadakan maka probabilitas terjadinya peristiwa A atau peristiwa B adalah:

P(A atau B)= P(A) + P(B)Keterangan:P(A atau B)= Probabilitas terjadinya peristiwa A

atau peristiwa BP(A)= Probabilitas peristiwa A P(B)= Probabilitas peristiwa B.

4

Contoh Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive)

Pada tahap akhir penerimaan mahasiswa baru program S3 terdapat 4 calon mahasiswa yaitu Andi, Badu, Citha, dan Doni. Di antara 4 calon tersebut hanya satu calon yang akan diterima.

Probabilitas Andi diterima= P(Andi)= ¼= 0,25

Probablitas Andi atau Citha diterima= P(Andi atau Citha)= ¼ + ¼= 2/4 = 0,50

5

Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive)

Tiga peristiwa:P(A atau B atau C)= P(A) + P(B) + P(C)Keterangan:P(A atau B atau C) = Probabilitas terjadinya

peristiwa A atau peristiwa B atau peristiwa CP(A)= Probabilitas peristiwa A P(B)= Probabilitas peristiwa BP(C)= Probabilitas peristiwa CLihat Contoh sebelumnya:Probabilitas Andi atau Chita atau Doni diterima=

(Andi atau Chita atau Doni)= ¼ + ¼ + ¼ = ¾ = 0,75

6

Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive)

Jika peristiwa A dan B dapat terjadi bersamaan (tidak saling meniadakan), maka probabilitas terjadinya peristiwa A atau peristiwa B adalah probabilitas terjadinya peristiwa A ditambah probabilitas terjadinya peristiwa B dikurangi probabilitas terjadinya peristiwa A dan B secara bersamaan:

P(A atau B)= P(A) + P(B) - P(A dan B)

7

Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive)

P(A atau B)= P(A) + P(B) - P(A dan B)

Keterangan:P(A atau B)= Probabilitas terjadinya peristiwa A

atau peristiwa B akan terjadi pada peristiwa tidak saling meniadakan.

P(A)= Probabilitas terjadinya peristiwa A P(B)= Probabilitas terjadinya peristiwa B.P(A dan B)= Probabilitas peristiwa A dan B akan

terjadi bersamaan pada peristiwa tidak saling meniadakan.

8

Contoh Aturan Penjumlahanuntuk peristiwa tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive)

Berikut ini hasil pengumpulan pendapat karyawan mengenai usulan penyerahan pengelolaan asuransi kesehatan kepada pihak luar:

Jenis kelamin

Setuju (S)

Menolak (M)

Total

Pria (P) 40 30 70

Wanita (W) 60 50 110

Total 100 80 180•Probabilitas karyawan pria atau karyawan yang setuju:

P(P atau S)= P(P) + P(S) – P(P dan S)= 70/180 + 100/180 – 40/180= 130/180•Probabilitas karyawan wanita atau karyawan yang menolak:P(W atau M)= P(W) + P(M) – P(W dan M)= 110/180 + 80/180 - 50/180= 140/180

9

Aturan Penjumlahan:untuk peristiwa tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive)

Tiga peristiwa:P(A atau B atau C)= P(A) + P(B) + P(C)

-P(A dan B) – P(A dan C) – P(B dan C) + P(A dan B dan C).

10

ATURAN PERKALIANuntuk Peristiwa-peristiwa Independen, Dependen, dan Bersyarat

Peristiwa independen P(A dan B) = P(A) × P(B)

Probabilitas bersyarat untuk peristiwa independen

Peristiwa dependen P(A dan B) = P(A) × P(B|A) Atau P(A dan B) = P(B) × P(A|B)

P(A)P(B)

P(B)dan P(A)

P(B)

B)danP(AB)|P(A

11

Peristiwa Independen Dua peristiwa adalah independen jika

terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

Contoh: Sebuah uang logam (salah satu sisi disebut A dan sisi yang lain disebut B), dilempar dua kali secara random. Kejadian sisi A maupun kejadian sisi B pada lemparan pertama tidak akan mempengaruhi hasil lemparan kedua, apakah yang di bagian sisi A atau sisi B.

12

Peristiwa Independen:untuk probabilitas bersyarat

Probabilitas bersyarat berarti probabilitas terjadinya suatu peristiwa setelah peristiwa lain terjadi lebih dulu.

P(B|A)= Probabilitas peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu.

RumusP(A)

A)danP(BA)|P(B

13

Peristiwa Independen:untuk probabilitas bersyarat

Pada peristiwa independen, probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dulu sama dengan probabilitas terjadinya peristiwa B (karena bersifat independen atau berdiri sendiri).

P(B|A)= P(B)

14

Peristiwa Dependen dan Bersyarat

Dua peristiwa adalah dependen jika terjadinya suatu peristiwa mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

Contoh: Seorang manajer mengatakan bahwa 10% produk dikategorikan rusak dan sisanya layak dijual. Peristiwa rusak pada proses produksi tergantung dari persentase produk baik, dan sebaliknya. Dengan demikian, peristiwa-peristiwa tersebut dinamakan peristiwa dependen (saling bergantung.

15

Ilustrasi 1

Dari 100 perusahaan, 40 di antaranya mengguna-kan personal computer (P) dan 30 di antaranya menggunakan mini computer (M). Dari 70 perusahaan tsb, 20 di antaranya menggunakan personal computer maupun mini computer.

a. Tentukan probabilitas bahwa pengambilan secara random akan terjadi perusahaan yang menggunakan mini computer (M) dengan syarat bahwa perusahaan tsb menggunakan personal computer (P).

b. Tunjukkan peristiwa-peristiwa P dan M independen atau dependen.

16

a. P(perusahaanmenggunakan mini computer dengan syarat bahwa perusahaan tsb menggunakan personal computer):

b. Untuk menentukan P dan M independen atau dependen dapat dijelaskan sbb: P(M) = 0,30 dan P(M|P)= 0,50 Karena P(M) ≠ P(M|P) berarti peristiwa P dan M adalah

dependen.

50,00,40

0,20

P(P)

P)danP(MP)|P(M

17

Ilustrasi 2 Sebuah perusahaan besar memproduksi 2 jenis

barang, M dan O. Probabilitas bahwa produk M akan memberikan keuntungan minimum 10% diperkirakan 0,3. Probabilitas bahwa produk O akan memberikan keuntungan minimum 10% diperkirakan 0,2. Probabilitas bahwa kedua produk M dan O secara bersama akan memberikan keuntungan minimum 10% diperkirakan 0,06.a. Tentukan probabilitas bahwa produk O akan memberikan

keuntungan minimum 10% dengan syarat produk M memberikan keuntungan minimum 10%.

b. Buktikan bahwa pencapaian keuntungan minimum 10% kedua produk tersebut adalah independen.

18

Peristiwa Independen:untuk probabilitas bersyarat

P(produk O akan memberikan keuntungan minimum 10% dengan syarat Produk M memberikan keuntungan minimum 10%)

Karena P(O) = P(O|M) = 0,20 berarti peristiwa pencapaian keuntungan minimum 10% kedua produk tersebut adalah independen

20,00,30

0,06

P(M)

M)danP(OM)|P(O

19

Ilustrasi 3 Sebuah perusahaan melakukan penelitian tentang kedisiplinan

karyawan dalam menepati jam masuk kantor. Hasil penelitian sbb:

Diantara yang tidak terlambat terdapat 60% karyawan bagian produksi (D), dan dari yang terlambat paling lama 5 menit terdapat 9% karyawan bagian yang sama (produksi). Jika dari bagian produksi dipanggil seseorang secara random, berapa probabilitas bahwa ia:a. Tidak telambat?b. Terlambat paling lama 5 menit?c. Terlambat lebih dari 5 menit?

Keterangan Jumlah karyawan

Tidak terlambat (A)Terlambat paling lama 5 menit (B)Terlambat lebih dari 5 menit (C)

70% atau Prob. 0,720% atau Prob. 0,210% atau Prob. 0,1

20

Diantara yang tidak terlambat (A) terdapat 60% karyawan bagian produksi (D)

P(D|A) = 0,60 Dari yang terlambat paling lama 5 menit (B) terdapat

9% karyawan bagian produksi (D) P(D|B) = 0,09

Dari yang terlambat lebih dari 5 menit (C) terdapat 50% karyawan bagian produksi (D)

P(D|C) = 0,50 Dengan demikian dapat diperoleh nilai P(D)

P(D) = P(A dan D) + P(B dan D) + P(C dan D)= P(D|A)×P(A) + P(D|B)×P(B)+ P(D|C)×P(C)= 0,60×0,70 + 0,09×0,20+ 0,50×0,10 =

0,488

21

Jadi, jika dari bagian produksi dipanggil secara random, probabilitas:

a. Tidak terlambat

861,00,488

0,42

0,488

0,7 x 0,60

P(D)

P(A) x A)|P(D

P(D)

D)danP(AD)|P(A

22

b. Terlambat paling lama 5 menit

c. Terlambat lebih dari 5 menit

037,00,488

0,018

0,488

0,2 x 0,09

P(D)

P(B) x B)|P(D

P(D)

D)danP(BD)|P(B

102,00,488

0,05

0,488

0,1 x 0,50

P(D)

P(C) x C)|P(D

P(D)

D)danP(CD)|P(C

23

Ilustrasi 4 Rumah Sakit Kasih Sayang yang telah bertahun-tahun

praktik menyimpulkan bahwa 10% dari seluruh pasien yang datang menderita penyakit demam berdarah, 20% menderita penyakit hepatitis, dan yang lain sebenarnya dalam keadaan sehat. Diantara yang menderita penyakit demam berdarah, 90% menyatakan sakit perut, dan yang menderita hepatitis menyampaikan keluhan yang sama (sakit perut) sebesar 50%. Sedangkan yang sehat menyampaikan keluhan sakit perut sebesar 5%. Apabila ada seorang pasien datang dan ia mengeluh sakit perut, berapa probabilitas pasien tersebut: Menderita penyakit demam berdarah? Menderita penyakit hepatitis? Sebenarnya sehat?

24

P(demam berdarah) = P(D) = 0,10 P(hepatitis) = P(H) = 0,20 P(sehat) = 0,70

Diantara yang menderita penyakit demam berdarah (D), 90% menyatakan sakit perut (P). Jadi, P(P|D) = 0,90

Diantara yang menderita penyakit hepatitis (H), 50% menyatakan sakit perut (P). Jadi, P(P|H) = 0,50

Diantara yang sehat (S), 5% menyatakan sakit perut (P). Jadi, P(P|S) = 0,05

P(sakit perut) = P(P)= P(P|D)×P(D) + P(P|H)×P(H) + P(P|

S)×P(S)= 0,90×0,10 + 0,50×0,20 +

0,05×0,70= 0,225

25

a. Jika ada seorang pasien datang dan ia mengeluh sakit perut, probabilitas pasien tersebut menderita penyakit demam berdarah:

b. Jika ada seorang pasien datang dan ia mengeluh sakit perut, probabilitas pasien tersebut menderita penyakit hepatitis:

0,400,2250,09

0,2250,10 x 0,90

P(P)P(D) x D)|P(P

P(P)P)danP(D

P)|P(D

0,440,2250,10

0,2250,20 x 0,50

P(P)P(H) x H)|P(P

P(P)P)danP(H

P)|P(H

26

c. Jika ada seorang pasien datang dan ia mengeluh sakit perut, probabilitas pasien tersebut menderita penyakit hepatitis:

0,160,2250,035

0,2250,70 x 0,05

P(P)P(S) x S)|P(P

P(P)P)danP(S

P)|P(S

27

Ilustrasi 5 Perhatikan dengan cermat 2 pernyataan berikut ini dan hitung

probabilitas masing-masing dengan melihat tabel. Seorang karyawan yang memiliki hasil kerja tinggi akibat dari hasil

tes yang bagus. Seorang karyawan yang memiliki hasil tes bagus dengan syarat

dari karyawan yang miliki hasil kerja tinggi.

Hasil TesHasil Kerja

JumlahTinggi (H)

Sedang (A)

Rendah (L)

Bagus (Q)Sedang (F)

15040

9030

6030

300100

Jumlah 190 120 90 400

28

P(seorang karyawan yang memiliki hasil kerja tinggi akibat dari hasil tes yang bagus)

P(seorang karyawan yang memiliki hasil tes bagus dengan syarat dari karyawan yang miliki hasil kerja tinggi)

P(H|Q) ≠ P(Q|H)

0,50300150

H)|P(Q

0,789190150

Q)|P(H

29

Ilustrasi 6 Perhatikan tabel hasil pengisian SPT berikut ini. Dengan

informasi tersebut hitunglah probabilitas-probabilitas berikut ini.

a. P(A atau S) d. P(F|M) g. P(A atau D atau F)

b. P(D dan S) e. P(A atau M) h. P(B|F)C. P(F dan A) f. P(B|A)

KelompokIndustri

Pengisian SPTJumlahBenar (B) Salah (S) Meragukan

(M)

Kecil (A)Sedang (D)Besar (F)

304030

203050

102010

609090

Jumlah 100 100 40 240

30

0,58324020

240100

24060

S) danP(A - P(S) P(A)S) atauP(A a.

0,12524060

S) dan P(D b.

0 A)dan P(F c.

0,25040/24010/240

P(M)M) dan P(F

M)|P(F d.

0,37524010

24040

24060

M) danP(A - P(M) P(A)M) atauP(A e.

31

0,50060/24030/240

P(A) A)dan P(B

A)|P(B f.

1,00024090

24090

24060

P(F) P(D) P(A)F) atau D atauP(A g.

0,33390/24030/240

P(F)F) dan P(B

F)|P(B h.

32

Peristiwa Independen:untuk probabilitas gabungan (Joint Probability)

Probabilitas gabungan peristiwa A dan B (yang bersifat independen) adalah probabilitas peristiwa A dan B terjadi bersamaan sama dengan probabilitas terjadinya peristiwa A dikalikan dengan probabilitas terjadinya peristiwa B.

P(A dan B)= P(A)×P(B)

33

Peristiwa Independen:untuk probabilitas gabungan (Joint Probability)

P(A dan B)= P(A)×P(B)Keterangan:P(A dan B)=Probabilitas terjadinya peristiwa A

dan peristiwa B secara bersamaan

P(A)= Probabilitas terjadinya peristiwa A P(B)= Probabilitas terjadinya peristiwa B

P(A dan B dan C)= P(A)×P(B)×P(C)

34

Ilustrasi 1: Peristiwa Independen-Probabilitas Gabungan (Joint Probability)

Pada percobaan pelemparan uang logam sebanyak 2 kali, probabilitas sisi yang muncul semuanya adalah gambar kepala (Head= H) adalah:P (H1 dan H2) = P(H1)×P(H2)

= 0,5×0,5= 0,25 Pada percobaan pelemparan uang logam

sebanyak 3 kali, probabilitas sisi yang muncul semuanya adalah gambar ekor (Tail= T) adalah:P(T1 dan T2 dan T3) = P(T1)×P(T2)×P(T3)

= 0,5×0,5×0,5= 0,125

35

Peristiwa Dependen: Probabilitas Gabungan (Joint Probability)

Probabilitas gabungan peristiwa A dan B (yang bersifat dependen) adalah probabilitas peristiwa B setelah peristiwa A terjadi lebih dulu (probabilitas bersyarat) dikalikan probabilitas terjadinya peristiwa A.

P(B dan A)= P(B|A) x P(A)

36

Peristiwa Dependen: Probabilitas Gabungan (Joint Probability)

P(B dan A)= P(B|A) x P(A)

Keterangan:P(B|A)= Probabilitas terjadinya peristiwa peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi lebih duluP(B dan A)= Probabilitas terjadinya peristiwa B dan A terjadi bersamaan. P(A)= Probabilitas terjadinya peristiwa A

37

Ilustrasi 2: Peristiwa Dependen-Probabilitas Gabungan (Joint Probability)

Di antara 100 unit bahan yang diterima dari pemasok terdapat 10 unit yang rusak. Jika diambil 2 unit secara random dari 100 unit bahan yang diterima, probabilitas terambil keduanya rusak dihitung sebagai berikut (pengambilan tanpa pengembalian).

Jika peristiwa A adalah pengambilan pertama merupakan bahan yang rusak dan peristiwa B adalah pengambilan kedua merupakan bahan rusak.

P(A)= 10/100P(B|A)= 9/99Probabilitas terambil keduanya rusak adalah:P(B dan A)= P(B|A) x P(A)P(B dan A)= 9/99 x10/100= 0,00909

38

Tabel Probabilitas Gabungan

Tabel probabilitas gabungan disusun dalam bentuk kontingensi berdasarkan pada frekwensi observasi.

Tabel kontingensi adalah tabel yang memuat semua kemungkinan kejadian suatu variabel, yang ditunjukkan dengan kolom dan baris.

Hasil TesHasil Kerja

Jumlah

Tinggi (H)

Sedang (A)

Rendah (L)

Bagus (Q)Sedang (F)

15040

9030

6030

300100

Jumlah 190 120 90 400

39

Ilustrasi 3 Tentukan probabilitas seorang karyawan memiliki hasil tes

sedang (F) atau hasil kerja rendah (L)

Kejadian seorang karyawan memiliki hasil tes sedang dan kejadian memiliki hasil kerja rendah dapat terjadi bersama-sama, nilai probabilitas seorang karyawan memiliki hasil tes sedang (F) atau hasil kerja rendah (L):

P(F atau L) = P(F) + P(L) – P(F dan L)= 0,250 + 0,225 – 0,075 = 0,400

Hasil TesHasil Kerja

Jumlah

Tinggi (H)

Sedang (A)

Rendah (L)

Bagus (Q)Sedang (F)

0,3750,100

0,2250,075

0,1500,075

0,7500,250

Jumlah 0,475 0,300 0,225 0,1000

40

Tentukan probabilias seorang karyawan memiliki hasil tes sedang (F) dengan syarat memiliki hasil kerja tinggi (H)

0,2110,4750,100

P(H)H) dan P(F

H)|P(F

41

Ilustrasi 4 Perhatikan tabel berikut ini. Dengan informasi tersebut, a.

susunlah tabel prob. gab. dan hitunglah probabilitas-probabilitas berikut ini. b. P(I) d. P(I dan A) f. P(I atau II) h. P(III|A) c. P(B) e. P(II atau B) g. P(A|I)

KategoriIndustri

Perolehan laba

Jumlah

Di atasRata (A)

Di atasRata (B)

IIIIIIIV

20102025

40101015

60203040

Jumlah 75 75 150

42

b. P(I) = 0,40 f. P(I atau II) = P(I) dan P(II) = 0,53c. P(B) = 0,50 g. P(A|I) =0,133/0,40 = 0,33d. P(I dan A) = 0,13 h. P(III|A) = 0,133/0,500 = 0,27e. P(II atau B) = P(II) + P(B) – P(II dan B) = 0,57

KategoriIndustri

Perolehan labaJumlahDi atas Rata

(A)Di atas Rata

(B)

IIIIIIIV

0,1330,0670,1330,167

0,2670,0670,0670,100

0,400,130,200,27

Jumlah 0,500 0,500 1,00

43

Ilustrasi 5 Perhatikan tabel berikut ini dan jawablah beberapa

permintaan berikut.

a. susunlah tabel kontingensi b. P(A dan W) = 0,04 c. P(A dan B dan C) = 0 d. P(B|P) = 0,20/0,46 = 0,43

Jenis Kelamin

LulusanJumlahSarjana

(A)Magister

(B)Doktor

(C)

Pria (P)Wanita (W)

64

2030

2020

2654

Jumlah 10 50 40 100