teori kekonvergenan monoton pada integral lebesgue
Post on 15-Feb-2016
45 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TEOREMA KEKONVERGENAN MONOTON
PADA INTEGRAL LEBESGUE
Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah
Teori Ukuran
Disusun oleh:
Dewanti Kumala Sari
3125120199
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2015
1
DAFTAR ISI
Daftar Isi ……………..………………………..……………..……………… 1
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang………………………..……………………………. 2
1.2 Pembatasan Masalah………………………..……………………….. 2
1.3 Rumusan Masalah………………………..…………………………. 3
1.4 Tujuan Penulisan………………………..………………………….. 3
1.5 Manfaat Penulisan ………………………..……………………….. 3
1.6 Sistematika Penulisan ……………………….……………………. 3
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue ………………………. 4
2.1.1 Teorema Kekonvergenan Terbatas ………………………….. 4
2.1.2 Teorema Kekonvergenan Seragam ………………………. …. 4
2.1.3 Teorema Kekonvergenan Vitali ………………………..…….. 4
2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue …………………….. 4
2.2.1 Pembuktian Teorema ……………………………………......... 4
2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue
pada Teorema Lain ………………………..…………………… 7
2.2.3 Lemma Fatou ………………………..………………………….. 8
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan ………………………..………………………..…………… 10
3.2 Saran ………………………..………………………..…………………… 10
DAFTAR PUSTAKA ………………………..………………………….......... 11
2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori integral tidak pernah lepas kaitannya dengan kehidupan.
Berbagai permasalahan yang tidak bisa diselesaikan secara langsung,
biasanya diterjemahkan ke dalam bentuk model matematika. Salah satu
metode yang digunakan untuk menyusun dan sekaligus menyelesaikan
model matematika tersebut adalah teori integral. Teori integral yang
biasa dikenal adalah integral Riemann, yang kemudian diperluas
menjadi integral Lebesgue. Sebagai pengembangan dari intergral
Riemann, integral Lebesgue masih tetap memiliki kekurangan.
Kekurangan dari integral Lebesgue adalah banyaknya syarat untuk
mempelajarinya. Sampai pada akhirnya ditemukan teori integral baru,
yang merupakan perluasan dari integral Lebesgue, yakni integral
Denjoy Khusus dan integral Perron. Namun penggunaan definisi
kedua integral tersebut masih dirasakan sulit. Definisi integral yang
baru kemudian disusun oleh Henstock dan Kurzweil dengan cara
konstruktif, sama dengan tipe definisi integral Riemann yang lebih
sederhana dan pembuktian-pembuktian teori integralnya pun menjadi
lebih mudah. Banyak hal yang bisa dipelajari dalam teori integral,
salah satu di antaranya mengenai kekonvergenan barisan fungsi-
fungsi terintegral. Permasalahannya adalah tidak semua barisan
fungsi yang terintegral dan konvergen ke suatu fungsi, fungsi
limitnya terintegral, atau jika terintegral, nilai integralnya belum
tentu sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Pada makalah
ini akan dibahas mengenai salah satu teorema kekonvergenan yang ada
pada integral Lebesgue yaitu teorema kekonvergen monoton.
1.2 Pembatasan Masalah
Dari latar belakang permasalahan tersebut maka dalam makalah ini
akan difokuskan pada bagaimana pengertian teorema kekonvergenan
monoton pada integral Lebesgue.
3
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah
dipaparkan sebelumnya, maka rumusan masalah pada makalah ini
adalah
1. Apa saja teorema kekonvergenan yang terdapat di dalam integral
Lebesgue?
2. Bagaimana pengertian teorema kekonvergenan monoton pada
integral Lebesgue?
3. Bagaimana aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada teorema
lain?
1.4 Tujuan Penulisan
Berdasarkan permasalahan yang telah diuraikan sebelumnya, maka
tujuan pokok dari penulisan makalah ini adalah
1. Mengetahui teorema-teorema kekonvergenan yang terdapat di
dalam integral Lebesgue.
2. Mengetahui pengertian teorema kekonvergenan monoton pada
integral Lebesgue.
3. Mengetahui aplikasi teorema kekonvergenan monoton pada
teorema lain.
1.5 Manfaat Penulisan
Makalah ini diharapkan dapat menambah wawasan bagi penulis dan
pembaca mengenai teorema kekonvergenana pada integral Lebesgue
terutama teorema kekonvergenan monoton Lebesgue.
4
1.6 Sistematika Penulisan
Di dalam penyusunan tugas akhir ini secara keseluruhan terdiri
dari pendahuluan, pembahasan, dan kesimpulan. Pada pendahuluan,
dikemukakan tentang latar belakang masalah, pembatasan masalah,
rumusan masalah, tujuan dan manfaat tugas penulisan makalah. Pada
pembahasan akan dibahas mengenai teorema kekonvergenan monoton
pada integral Lebesgue Pada kesimpulan, memuat kesimpulan dari
seluruh isi makalah. Terakhir, terdapat daftar pustaka pada bagian akhir
makalah.
5
BAB II
PEMBAHASAN
2. 1 Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue
Teorema 2.1.1. (Teorema Kekonvergenan Terbatas)
Diketahui 𝑓𝑛 barisan fungsi terukur pada himpunan terukur E
dengan 𝜆(𝐸) < ∞ dan ada bilangan 𝑀 > 0 sehingga |𝑓𝑛(𝑥)| ≤ 𝑀 , untuk
setiap n dan hampir untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐸 . Jika barisan fungsi 𝑓𝑛 konvergen
ke fungsi 𝑓 hampir dimana-mana pada E, maka (𝐿) ∫ 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝐸𝑋
Teorema 2.1.2. (Teorema Kekonvergenan Seragam)
Diketahui fungsi 𝑓𝑛 , 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , 𝑛 ∈ 𝑁 dengan 𝑓𝑛 terintegral
Lebesgue pada [a,b] untuk setiap n. Jika barisan fungsi 𝑓𝑛 konvergen
seragam ke 𝑓 hampir dimana-mana pada [a,b] maka 𝑓 terintegral
Lebesgue pada [𝑎, 𝑏]dan (𝐿) ∫ 𝑓 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Teorema 2.1.3. (Teorema Kekonvergenan Vitali)
Diketahui fungsi 𝑓𝑛 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 . Untuk setiap n, 𝑓𝑛
terintegral Lebesgue pada [𝑎, 𝑏], dengan 𝐹𝑛(𝑥) = (𝐿) ∫ 𝑓𝑛𝑏
𝑎. Jika 𝑓𝑛kontinu
mutlak seragam pada [𝑎, 𝑏]dan 𝑓𝑛 konvergen ke fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka
𝑓 terintegralkan Lebesgue pada [𝑎, 𝑏], dan ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝐿) ∫ 𝑓𝑛 = (𝐿) ∫ 𝑓𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
2.2 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue
2.2.1 Pembuktian Teorema
Misalkan (𝑓𝑛) adalah sebuah barisan dari fungsi- fungsi terukur –𝜇 pada
𝑋. Jika :
(a) 0 ≤ 𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥) ≤ ⋯ ≤ ∞ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋
(b) lim𝑛→∞
(𝑓𝑛 (𝑥)) = 𝑓(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋
Maka 𝑓 terukur dan,
6
lim (𝑛→∞
∫ 𝑓𝑛 𝑑𝜇𝑋
) = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑓𝑛) 𝑑𝜇𝑋
Bukti :
Misalkan (𝑓𝑛) adalah sebuah barisan fungsi terukur – 𝜇 yang
bernilai non negatif pada 𝑋, monoton naik dan konvergen titik demi titik
ke fungsi 𝑓 pada 𝑋. Keterukuran dari fungsi f dijamin oleh Teorema 3.2.10.
Untuk selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
) = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑓𝑛) 𝑑𝜇𝑋
Karena 𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑛+1 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , maka berdasarkan Teorema 4.3.2
diperoleh ∫ 𝑓𝑛 + ∫ 𝑓𝑛+1 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁. Selanjutnya,karena barisan (𝒇𝒏)
monoton naik dan konvergen titik demi titik ke fungsi 𝑓 maka 𝑓𝑛 ≤ 𝑓
untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , berdasarkan Teorema 4.3.2 maka ∫ 𝑓𝑛 ≤ ∫ 𝑓 untuk
setiap 𝑛 ∈ 𝑁. Perhatikan bahwa barisan (∫ 𝑓𝑛) monoton naik dan terbatas
oleh ∫ 𝑓, oleh karena itu akan terdapat 𝐿 ∈ [0, ∞) sedemikian sehingga
lim𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
) = 𝐿
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝐿 = ∫ ( lim𝑛→∞
𝑓𝑛)𝑑𝜇 = ∫ 𝑓𝑑𝜇𝑋𝑋
yaitu
dengan menunjukkan bahwa kedua ketidaksamaan berikut berlaku :
(i) 𝐿 ≤ ∫ 𝑓𝑛𝑋 dan
(ii) 𝐿 ≥ ∫ 𝑓𝑛𝑋
Karena 𝐿 = sup{𝑓𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁} dan ∫ 𝑓𝑛 ≤ ∫ 𝑓 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 akibatnya
diperoleh,
𝐿 ≤ ∫ 𝑓𝑋
𝑑𝜇
Maka pertidaksamaan (i) terbukti.
Untuk membuktikan pertidaksamaan (ii) misalkan 𝑠 adalah sebarang
fungsi sederhana sedemikian sehingga 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑓 dan misalkan 𝑐 adalah
sebarang konstanta dengan 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 dan definisikan
7
𝐸𝑛 = {𝑥: 0 ≤ 𝑐𝑠(𝑥) ≤ 𝑓𝑛(𝑥)} dimana 𝑛 = 1,2,3, …
Karena 𝑓𝑛 terukur –𝜇 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 akibatnya himpunan 𝐸𝑛 terukur
untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 dan karena (𝑓𝑛) monoton naik maka diperoleh 𝐸1 ⊆
𝐸2 ⊆ 𝐸3 ⊆ ⋯ .
Lebih jauh, akan ditunjukkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Untuk itu karena 𝐸1 ⊆
𝑋 untuk setiap, maka diperoleh ⋃ 𝐸𝑛 ⊆ 𝑋∞𝑛=1 . Selanjutnya, akan
ditunjukkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 , jika 𝑓(𝑥) = 0
maka 𝑓𝑛(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁
dan 𝑠(𝑥) = 0 dengan demikian 𝑥 ∈ 𝐸𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 . Selanjutnya jika
𝑓(𝑥) > 0 , maka 𝑓(𝑥) > 𝑠(𝑥) > 𝑐𝑠(𝑥) dan akibatnya 𝑓𝑛(𝑥) > 𝑐𝑠(𝑥) untuk
setiap 𝑛 ∈ 𝑁 yang cukup besar. Hal ini jugamenunjukkan bahwa 𝑥 ∈ 𝐸𝑛
untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑁 dan akibatnya diperoleh 𝑋 ⊆ ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 . Berdasarkan hal
tersebut, dapat disimpulkan bahwa 𝑋 = ⋃ 𝐸𝑛∞𝑛=1 .
Kemudian perhatikan bahwa,
∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
≥ ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝐸𝑛
≥ ∫ 𝑐𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛
Untuk 𝑛 = 1,2,3, … Dengan demikian diperoleh
lim𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
) ≥ lim𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝐸𝑛
) ≥ lim𝑛→∞
(𝑐 ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛
)
atau dengan kata lain,
𝐿 ≥ 𝑐 ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝐸𝑛
Karena pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap 𝑐 ∈ (0,1) maka diperoleh
𝐿 ≥ ∫ 𝑠 𝑑𝜇𝑋
Untuk setiap fungsi sederhana terukur 𝑠 dengan 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑓 sehingga
dengan mengambil supremum atas seluruh s diperoleh
𝐿 ≥ ∫ 𝑓 𝑑𝜇𝑋
Dengan demikian pertidaksamaan (i) dan (ii) berlaku sehingga dapat
disimpulkan bahwa,
8
lim𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
) = 𝐿 = ∫ ( lim𝑛→∞
𝑓𝑛)𝑑𝜇𝑋
2.2.2 Aplikasi Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue pada
Teorema Lain
Perhatikan bahwa kondisi barisan fungsi terukur non negatif (𝑓𝑛)
yang harus monoton naik seperti yang disebutkan pada teorema 4.3.4
tidak dapat dihilangkan.
Hal ini seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 1
Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁,misalkan 𝑓𝑛: [1, ∞) → [0, ∞] didefinisikan oleh
1 , jika [ , 1)
( , 1) 0 , jika [ , 1). ( ) ( ) x n n
n n n x n nf x X x
Dapat dilihat bahwa 𝑓𝑛 bernilai non negatif untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 , tetapi
barisan fungsi (𝑓𝑛) tidak monoton naik. Barisan fungsi (𝑓𝑛) konvergen ke
fungsi 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [1, ∞). Akan tetapi,
∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇[1,∞)
= ∫ 𝑋[𝑛,𝑛+1) = 𝜇([1,∞)
[𝑛, 𝑛 + 1) ∩ [1, ∞)) = 1.
Sehingga
lim𝑛→∞
(∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇[1,∞)
) = 1 ≠ 0 = ∫ ( 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑓𝑛)𝑑𝜇[1,∞)
Teorema konvergen monoton Lebesgue juga dapat diaplikasikan untuk
Teorema 4.3.2 seperti yang ditunjukan pada contoh berikut.
Contoh 2
Misalkan diberikan dua buah fungsi 𝑓, 𝑔: 𝑋 → [0, ∞] di mana 𝑓 dan 𝑔
adalah fungsi terukur –𝜇 dan 𝐴 ⊆ 𝑋. Misalkan 𝛼 adalah sebuah konstanta
dengan 𝛼 > 0. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton
akan ditunjukkan bahwa
∫ (𝑓 + 𝑔)𝐴
𝑑𝜇 = ∫ 𝑓𝑑𝜇 +𝐴
∫ 𝑔𝑑𝜇𝐴
dan ∫ 𝛼𝑓𝐴
𝑑𝜇 = 𝛼 ∫ 𝑓𝑑𝜇𝐴
9
Berdasarkan Teorema 3.3.6 terdapat barisan fungsi sederhana (𝑠𝑛) dan
(𝑡𝑛) sedemikian sehingga,
0 ≤ 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑢𝑛 = 𝑓 pada 𝐴
dan
0 ≤ 𝑣1 ≤ 𝑣2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑣𝑛 = 𝑔 pada 𝐴
Berdasarkan hal tersebut diperoleh barisan fungsi sederhana (𝑢𝑛 +
𝑣𝑛) dan (𝛼𝑢𝑛) dimana
0 ≤ 𝑢1 + 𝑣1 ≤ 𝑢2 + 𝑣2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(𝑢𝑛 + 𝑣𝑛) = 𝑓 + 𝑔
dan
0 ≤ 𝛼𝑢1 ≤ 𝛼𝑢2 ≤ ⋯ dengan 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝛼𝑢𝑛 = 𝛼𝑓
Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue diperoleh :
∫ (𝑓 + 𝑔)𝐴
𝑑𝜇 = lim𝑛→∞
(∫ (𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)𝑑𝜇𝐴
) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(∫ 𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴
) +
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(∫ 𝑣𝑛𝑑𝜇𝐴
) = ∫ 𝑓𝑑𝜇 + ∫ 𝑔𝑑𝜇𝐴𝐴
serta
∫ 𝛼𝑓𝐴
𝑑𝜇 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(∫ 𝛼𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴
) = 𝛼 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(∫ 𝑢𝑛𝑑𝜇𝐴
) = 𝛼 ∫ 𝑓𝑑𝜇𝐴
2.2.3 Lemma Fatou
Jika 𝑓𝑛: 𝑋 → [0, ∞] adalah fungsi terukur non negatif untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 ,
maka
∫ ( lim𝑛→∞
inf 𝑓𝑛)𝑑𝜇 ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋𝑋
10
Bukti :
Misalkan diberikan sebarang barisan terukur non negatif (𝑓𝑛) yang
terdefinisi pada X dan definisikan
𝑔𝑛 = inf {𝑓𝑛, 𝑓𝑛+1, 𝑓𝑛+2 , … . } dengan 𝑛 = 1,2,3, …
Dengan demikian diperoleh bahwa 𝑔𝑛 ≥ 0, 𝑔𝑛 ≤ 𝑓𝑛 dan barisan 𝑔𝑛 monoton
naik. Berdasarkan Teorema 3.2.10 𝑔𝑛 terukur –𝜇 untuk 𝑛 = 1,2,3, … dan
lim𝑛→∞
𝑔𝑛 = lim𝑛→∞
inf 𝑓𝑛 . Dengan menggunakan Teoreman Kekonvergenan
Monoton Lebesgue diperoleh
∫ ( lim𝑛→∞
inf 𝑓𝑘) 𝑑𝜇 =𝑋
∫ ( lim𝑛→∞
𝑔𝑛)𝑑𝜇𝑋
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
∫ 𝑔𝑛𝑑𝜇𝑋
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑔𝑛𝑑𝜇𝑋
≤ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑖𝑛𝑓 ∫ 𝑓𝑛𝑑𝜇𝑋
11
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat diketahui dan dibuktikan syarat-
syarat cukup yang menjamin fungsi limit dari barisan fungsi terintegral
secara Lebesgue juga terintegral Lebesgue pada [a,b] dan nilai
integralnya sama dengan nilai limit integral barisan fungsinya. Begitu
pula pada pemaparan pembuktian Teorema Kekonvergenan Monoton,
maka terbukti bahwa integral dari barisan yang konvergen sama dengan
integral dari titik konvergennya asalkan syaratnya terpenuhi.
3.2 Saran
Pembahasan mengenai integral Lebesgue sangatlah luas, selain
teorema kekonvergenana monoton masih ada teorema-teorema lain yang
belum dibahas secara lebih mendalam. Untuk itu sebaiknya dalam
pembahasan yang lebih lengkap tentang teorema-teorema kekonvergenan
dalam integral dibahas pula mengenai hubungan antara teorema-
teorema tersebut serta akibat dari setiap teorema.
12
DAFTAR PUSTAKA
[1] Khotimah, Rita P. dkk, 2011, Teorema- Teorema Kekonvergenan pada
Integral Riemann, Lebesgue, dan Henstock, Universitas Muhammadiyah
Surakarta : Prosiding Seminar nasional Matematika 24 Juli 2011
[2] Royden, H.L. dan Fitzpatrick, P.M, 2010, Real Analysis : Fourth
Edition, China : Pearson Education Asia Limited and China Machine
Press.
top related