solusi persamaan non linear 2
Post on 19-Jan-2016
36 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
1
BAB I MODEL MATEMATIKA
BAB II PENGENALAN KOMPUTER DAN PERANGKAT LUNAK (BAHASA
PEMROGRAMAN)
2.1. Definisi Komputer
Computer berasal dari bahasa latin computare yang mengandung arti menghitung.
Karena luasnya bidang garapan ilmu computer, para pakar dan peneliti sedikit berbeda
dalam mendefinisikan terminology computer.
Menurut Hamacher
Komputer adalah mesin penghitung elektronik yang cepat dan dapat menerima
informasi input digital, kemudian memprosesnya sesuai dengan program yang
tersimpan di memorinya, dan menghasilkan output berupa informasi.
Menurut Blissmer
Computer adalah suatu alat elektronik yang mampu melakukan beberapa tugas
sebagai berikut:
- Menerima input
- Memproses input tadi sesuai dengan programnya
- Menyimpan perintah-perintah dan hasil dari pengolahan
- Menyediakan output dalam bentuk informasi
Menurut Fuori
Computer adalah suatu pemroses data yang dapat melakukan perhitungan besar
secara cepat, termasuk perhitungan aritmatika dan operasi logika, tanpa campur
tangan dari manusia.
Untuk mewujudkan konsepsi computer sebagai pengolah data untuk
menghasilkan suatu informasi, maka diperlukan sistem computer (computer system)
yang elemennya terdiri dari:
- Hardware, perangkat keras: peralatan yang secara fisik terlihat dan bisa dijamah
- Software, perangkat lunak: program yang berisi instruksi/perintah untuk
melakukan pengolahan data
- Brainware: manusia yang mengoperasikan dan mengendalikan sistem computer.
2.2. Penggolongan komputer
Berdasarkan data yang diolah
a. Komputer analog
b. Komputer digital
c. Komputer hybrid
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
2
Berdasarkan penggunaannya
a. Komputer untuk tujuan khusus
b. Komputer untuk tujuan umum
Berdasarkan kapasitas dan ukurannya
a. Komputer mikro
b. Komputer mini
c. Komputer kecil
d. Komputer menengah
e. Komputer besar
f. Komputer super
Berdasarkan generasinya
a. Komputer generasi pertama (1946-1959)
b. Komputer generasi kedua (1959-1964)
c. Komputer generasi ketiga (1964-1970)
d. Komputer generasi keempat (1979-sekarang)
e. Komputer generasi kelima
2.3 Bahasa Pemrograman
Bahasa (languages)
Adalah suatu sistem untuk berkomunikasi. Bahasa tertulis menggunakan simbol
(yaitu huruf) untuk membentuk sebuah kata. Dalam ilmu komputer, bahasa manusia
disebut sebagai bahasa alamiah, dimana komputer tidak bisa memahaminya, sehingga
diperlukan suatu bahasa komputer.
Bahasa Pemrograman
Merupakan sekumpulan instruksi yang merupakan penyelesaian masalah. Program
dimasukkan kedalam komputer, komputer yang mengerjakan instruksi-instruksi di
dalam program tersebut, lalu memberikan hasil atau keluaran yang diinginkan.
Agar program dapat dilaksanakan oleh komputer, program tersebut harus
ditulis dalam suatu bahasa yang dimengerti oleh komputer. Karena komputer adalah
mesin, maka program harus ditulis dalam bahasa yang khusus dibuat untuk
berkomunikasi dengan komputer. Bahasa yang digunakan dalam menulis program
dinamakan bahasa pemograman.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
3
BAB III SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR
Dalam beberapa kasus, akar-akar bisa ditentukan dengan metode langsung. Contoh
yang paling sederhana seperti pada persamaan linear ax + b=0 (dimana a dan b
adalah konstanta dan a0), maka akar tunggal dari persamaan, xo=–b/a. Persamaan
kuadrat ax2+bx+c=0 dalam keadaan tertentu bisa diselesaikan dengan formula
kuadratik:
a
acbbx
2
42
2,1
Rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian secara eksplisit hanya ada
untuk kasus-kasus yang sangat sederhana. Fungsi yang cukup sederhana seperti
f(x) = e-x–x, sudah tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam hal ini satu-satunya
alternatif adalah menggunakan solusi pendekatan (approximate solution).
Beberapa metode pendekatan (numeric) sebagai solusi adalah sebagai berikut:
1. Metode grafik
2. Metode bagi dua (bisection)
3. Metode interpolasi linier
4. Metode newton raphson
5. Metode Secant
Note: masih banyak lagi metode pendekatan yang lain
2.1. Metode Grafik
Metode grafik adalah metode metode paling sederhana untuk mendapatkan akar
perkiraan dari persamaan f(x)=0, yaitu dengan membuat plot dari fungsi dan
mengamatinya dimana fungsi tersebut memotong sumbu x. Pada titik ini yang
mempresentasikan nilai x yang membuat f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar
persamaan itu.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
4
Contoh 2.1.
Gunakan pendekatan grafik untuk menentukan koefisien tarik (drag coeffisient) c
yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga kecepatannya 40 m/dtk
setelah terjun bebas selama t=10 detik. (g=9,8 m/dtk).
Solusi:
Persamaan kecepatan parasut ketika jatuh adalah:
tm
c
ec
gmtv 1)(
Dengan mesubstitusikan besaran-besaran yang sudah diketahui nilainya, maka
diperoleh:
10.1,681
)1,68).(8,9(40
c
ec
Untuk menentukan nilai c, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi:
401)1,68).(8,9(
)(10.
1,68
c
ec
cf
Sehingga dalam hal ini, f(c)=0 agar c dapat dicari.
Dengan menggunakan Ms. Excel diperoleh grafik sebagai berikut:
Tampak dari grafik di atas, f(c) mendekati nol pada nilai c antara 10 dan 20 yaitu
sekitar 15. Jika disubstitusi c = 15 ke dalam f(c), maka:
40115
)1,68).(8,9()15(
10.1,68
15
ef
-0.42484)15(f (Hasilnya cukup dekat dengan nol)
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
5
Bila nilai c kita substitusi ke dalam persamaan : t
m
c
ec
gmtv 1)( , maka
m/s4039.575161)1,68).(8,9( 10.
1,68
15
ec
v
Kelemahan metode grafik adalah tidak cukup akurat, karena dapat saja tebakan akar
bagi orang yang satu berbeda dengan yang lain.
2.2. Metode bagi dua/interval tengah (bisection)
Jika fungsi f(x) bernilai riil dan kontinu dalam selang [xl,xu] serta f(xl) dan f(xu)
berlawanan tanda, yakni:
f(xl) . f(xu) 0
maka pasti terdapat paling sedikit satu buah akar riil antara xl dan xu.
Langkah-langkah dalam menjalankan metode bagi dua sebagai berikut:
Langkah 1 : Tentukan nilai awal xl yang lebih rendah dan xu yang lebih tinggi,
sehingga fungsi berubah tanda melalui interval. Ini bisa dicek dengan
menghitung f(xl) . f(xu) 0
Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, xr, diperoleh dari:
2
ul
r
xxx
Langkah 3 : Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan interval akar:
(a) Jika f(xl).f(xr) 0, berarti akar pada sub-interval bawah(xl,xr ),
kemudian set xu=xr dan kembali lakukan langkah 2
(b) Jika f(xl).f(xr) 0, berarti akar pada sub-interval atas(xu,xr),
kemudian set xl=xr dan kembali lakukan langkah 2
(c) Jika f(xl).f(xr) = 0, berarti akarnya adalah xr, perhitungan
dihentikan. Lakukan evaluasi berikut
Iterasi dapat dihentikan jika keasalahan relatifnya ( a) sudah lebih kecil dari syarat
yang diberikan, atau:
%100baru
r
lama
r
baru
r
ax
xx
Contoh 2.2
Dengan menggunakan metode bisection (Bagi dua), selesaikan problem pada
contoh 2.1, tentukan akarnya sampai kesalahan pendekatan dibawah 0,5%.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
6
Solusi:
Langkah pertama dalam metode bagi dua adalah memberi dua nilai awal dari nilai yang
tidak diketahui yaitu koefisien drag (c), sehingga f(c) memberikan tanda yang
berbeda dari gambar 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi berubah tanda antara nilai 12 dan
16. Sehingga,
Iterasi I: xu = 16 dan xl = 12
142
1612r
x
f(12)=6.07
f(14)=1,57
sehingga f(12).f(14) 0, maka xl=xr=14 untuk iterasi II
untuk %100baru
r
lama
r
baru
r
ax
xx belum bisa ditentukan, karena nilai xr
lama tidak ada
nilainya.
Iterasi II: xu=16 dan xl = 14
152
1416r
x
f(14)=1,57
f(15)=-0,42
f(14).f(15) 0,maka xu=xr=15 untuk iterasi III
%100baru
r
lama
r
baru
r
ax
xx
%100.15
1415a
=6,67%
Iterasi III: xu=15 dan xl = 14
2
1415r
x 14,5
f(14)=-0,42
f(14,5)=-0,55
f(15).f(16) 0,maka xl=xr=14,5 untuk iterasi IV
%100baru
r
lama
r
baru
r
ax
xx
%100.5,14
155,14a =3,45%
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
7
Iterasi IV: xu=15 dan xl = 14,5
2
5,1415r
x 14,75
f(14,75)=0,06
f(15)=-0,42
f(14,75).f(15) 0,maka xu=xr=14,75 untuk iterasi V
%100baru
r
lama
r
baru
r
ax
xx
%100.75,14
1575,14a
=1,69%
Dan seterusnya.
Hasil hitungan ditabelkan pada table di bawah ini
iterasi xl xu xr f(xl) f(xr) f(xl)f(xr) r (%)
1 12 16 14 6.07 1.56870 9.517198 -
2 14 16 15 1.57 -0.42484 -0.66645 6.67
3 14 15 14.5 1.57 0.55232 0.866422 3.45
4 14.5 15 14.75 0.55 0.05895 0.032561 1.69
5 14.75 15 14.875 0.06 -0.18413 -0.01085 0.84
6 14.75 14.875 14.8125 0.06 -0.06288 -0.00371 0.42
7 14.75 14.8125 14.78125 0.06 -0.00204 -0.00012 0.21
2.3. Interpolasi Linier/false position/regulasi falsi.
Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data
dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan interpolasi linier yang dapat dijelaskan
dengan Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Interpolasi Polinomial
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
8
Gambar 2.2. Interpolasi Linier
Diketahui nilai suatu fungsi di titik x0 dan x1, yaitu f (x0) dan f (x1). Dengan metode
interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x). Indeks 1 pada f1(x)
menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dengan interpolasi polinomial order satu.
Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam Gambar 6.3, terdapat
hubungan berikut:
AD
DE
AB
BC
01
01
0
01 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
)xx(xx
)x(f)x(f)x(f)x(f
0
01
01
01 2.1
Persamaan (2.1) adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi
polinomial order satu. Suku [f (x1) f (x0)] / (x1 x0) adalah kemiringan garis yang
menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan
pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik.
Contoh 2.3
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 =
1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk
membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak
dari ln 2 = 0,69314718).
Solusi:
Dengan menggunakan persamaan (2.1), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada x
= 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
9
)()()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
xfxfxfxf
ln(2) = 0 + 16
07917595,1(2 1) = 0,3583519.
Besar kesalahan adalah:
Et = 69314718,0
35835190,069314718,0 100 % = 48,3 %.
Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:
)()()(
)()( 0
01
0101 xx
xx
xfxfxfxf
f1(2) = 0 + 14
03862944,1(2 1) = 0,46209813.
Besar kesalahan adalah:
Et = 69314718,0
0,4620981369314718,0 100 % = 33,3 %.
Dari contoh nampak bahwa dengan menggunakan interval yang lebih kecil didapat hasil
yang lebih baik (kesalahan lebih kecil). Gambar 2.3, menunjukkan prosedur hitungan
dalam contoh secara grafis.
Gambar 2.3. Interpolasi linier mencari ln 2
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
10
Berdasarkan gambar 2.3. di bawah ini
Gambar 2.4. Metode interpolasi linier
ur
u
lr
l
xx
)f(x
xx
)f(x
)x).(xf(x)x).(xf(xuruurl
Bila suku-sukunya dikumpulkan kembali, maka diperoleh:
)f(x)f(x
).f(xx).f(xxx
ul
ullu
r
Atau dapat dibentuk menjadi:
)f(x)f(x
)x).(xf(xxx
ul
ulu
ur 2.2
Persamaan 2.2. merupakan rumus bagi metode interpolasi linier. Langkah berikutnya
sama dengan metode interval tengah/bagi dua. Kelemahan metode interval tengah
adalah pembagian selang mulai dari xl hingga xu yang selalu sama., nilai fungsi f(xl) dan
f(xu) tidak diperhitungkan.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
11
Contoh 2.4
Gunakan metode interpolasi linier untuk menentukan nilai koefisien gesekan udara
pada kasus penerjun payung
Solusi:
iterasi xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) f(xl).f(xr) r (%)
1 12 16 14.911 6.07 -2.26876 -0.25428 -1.54269 -
2 12 14.911 14.794 6.07 -0.25369 -0.02719 -0.16499 0.79
3 12 14.794 14.782 6.07 -0.02688 -0.00287 -0.0174 0.08
4 12 14.782 14.780 6.07 -0.00350 -0.00037 -0.00226 0.01
5 12 14.78 14.780 6.07 0.00040 0.00004 0.000257 0.00
Nampak hasil iterasi dengan menggunakan metode interpolasi linier lebih cepat
konvergen dibandingkan dengan metode interval tengah.
2.4. Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan
f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f’. Secara geometri metode
ini menggunakan garis singgung sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Gagasan
dasarnya adalah grafik f dihampiri dengan garis-garis singgung yang sesuai. Dengan
menggunakan suatu nilai xi sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi
akar -akar dari f(x) terlebih dahulu, kemudian ditentukan x i+1 sebagai titik potong
antara sumbu x dan garis singgung pada kurva f di titik (xi ,f(xi). Prosedur yang sama
diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya.
Gambar 2.5. Pelukisan Grafik Metode Newton Raphson
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
12
Dari gambar 2.4, turunan pertama terhadap x adalah ekivalen dengan kemiringan:
1ii
i'
xx
0)f(x(x)f
Jika persamaan di atas disusun kembali, maka diperoleh:
)(xf
)f(xx
i
'
i
1i ix (persamaan inilah yang disebut dengan rumus Newton-Raphson)
Secara singkat, langkah-langkah dalam menggunakan metode Newton-Raphson sebagai
berikut:
1. Carilah f’(x) dan f’’(x) dari f(x)
2. Langkah 2, tentukan titk x0 dan Uji sesuai : Apakah memenuhi syarat
persamaan? Jika tidak, cari nilai xo baru.
1)(x).f(xf'
)('').f(x
0
'
0
00xf
3. Lakukan iterasi dengan persamaan: )(xf
)f(xx
i
'
i
1i ix
Contoh 2.6
Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x,
menggunakan sebuah tebakan awal x0 = 0.
Solusi:
Langkah 1:
Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x dapat dievaluasikan sebagai:
f(x) = e-x-x, f(x=0)=1
f’(x) = -e-x-1, f’(x = 0)=-2
f’’(x) = e-x, f’’(x=0)=1
langkah2:
1)(x).f(xf'
)('').f(x
0
'
0
00xf
12-2.-
1.1
14
1
memenuhi syarat persamaan, sehingga akar-akarnya dapat dicari dengan metode
Newton-Raphson.
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
13
Langkah 3:
)(xf
)f(xx
i
'
i
1i ix
iterasi xi xi+1 f(xi) f'(xi) f(xk+1) er (%)
1 0 0.50000000000 1.000000000000 -2.0000000000000 0.10653065971263 -
2 0.50000 0.56631100320 0.106530659713 -1.6065306597126 0.00130450980602 100.00
3 0.56631 0.56714316473 0.001306082434 -1.5676160824338 0.00000019695447 11.71
4 0.56714 0.56714329041 0.000005156547 -1.5671451565467 0.00000000000307 0.15
5 0.567143 0.56714329041 0.000000000000 -1.5671432904097 0.00000000000000 0.00
Dengan cara yang sama, pada kasus terjun payung dapat diselesaikan dengan metode
Newton-Raphson.
401)1,68).(8,9(
)(10.
1,68
c
ec
cf
TUGAS.
1. Carilah akar positif dari x2–0,9x–1,52 pada interval menggunakan metode Bisection
dengan toleransi 0,001
2. Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar dari
f(x)= 0,9x2+1,7x+2,5 dengan xo=5
3. Gunakan pendekatan Newton Raphson untuk menentukan koefisien tarik (drag
coeffisient) c yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga
kecepatannya 40 m/dtk setelah terjun bebas selama t=10 detik. (g=9,8 m/dtk).
4. F(x) = x3+x2-3x-3, dengan mengambil toleransi r 0,01 %, tentukan akar dari fungsi
tersebut dengan metode:
a. Metode grafik
b. Metode Bisection
c. Metode Interpolasi linier
d. Metode Newton Raphson
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
14
2.5. Metode Secant
Masalah potensial dalam implementasi metode Newton Raphson adalah evaluasi pada
turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan
turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi,
1
1' )()()(
ii
ii
xx
xfxfxf (forward)
ii
ii
xx
xfxfxf
1
1' )()()( (backward)
Jika persamaan forward kita masukkan ke dalam persamaan Newton Raphson, maka
diperoleh:
)()(
))((
21
21
1
ii
iii
iixfxf
xxxfxx
Gambar 2. 5 Skema metode Secant
Secara geometri, dalam metode Newton Raphson xi+1 merupakan perpotongan sumbu x
dengan garis singgung di xi , sedangkan dalam metode Secant x i+1 adalah
perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan
xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi–1 dan xi , tetapi tanpa
perhitungan turunan.
Contoh 2.7
Perkirakan akar dari f(x)=e-x-x menggunakan metode secant dengan taksiran awal x-1 =
0 dan x0 = 1,0.
Solusi:
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
15
Iterasi 1
Dengan menggunakan persamaan
)()(
))((
21
21
1
ii
iii
iixfxf
xxxfxx
x-1 = 0 maka f(x-1) = 1
x0 = 1 maka f(x0) = -0,63212
x1 = 61270,0)63212,0(1
)10(63212,01
r = 8 %
Iterasi 2
x0 = 1 maka f(x0) = -0,63212
x1 = 1 maka f(x1) = 0,612270
x2 = 56384,0)07081,0(63212,0
)61270,01(07081,0612270,0
r = 0,58 %
Iterasi 3:
x1 = 1 maka f(x1) = 0,612270
x2 = 1 maka f(x2) = 0,56384
x3 = 56717,0)00518,0(07081,0
)56384,062170,0(00518,056384,0
r = 0,0048 %
Contoh 2.8
Dengan menggunakan Metode Secant, tentukan akar dari fungsi f(x) = cosx−0,5.
Terkaan awal adalah x = 0 dan x = /2.
Solusi:
Iterasi 1
xo=0, x1 = /2 = 1,5708
f(xo) = cosxo – 0,5 = 0,5
f(x1) = cosx1 – 0,5 = -0,5
)1()()1(
112 xf
xofxf
xoxxx = 0,7854
Iterasi 2
x1=0, x2 = 0,7854
f(x1) = cosx1 – 0,5 = -0,5
f(x2) = cosx2 – 0,5 = 0,2071
Fisika Komputasi Dasar UM Mataram 2011 (Islahudin, S.Pd., M.PFis)
16
)2()1()2(
1223 xf
xfxf
xxxx = 1,0154
Iterasi 3
X2=0,7854, x3 = 1,0154
f(x2) = cosx2 – 0,5 = 0.2071
f(x3) = cosx3 – 0,5 = 0.0272
)3()2()3(
2334 xf
xfxf
xxxx = 1.0503
Iterasi 4
X3=1,0154, x4 = 1.0503
f(x2) = cosx2 – 0,5 = −0.0273
f(x3) = cosx3 – 0,5 = −0.0027
)3()2()3(
2335 xf
xfxf
xxxx = 1.0472
top related