sistem permodelan

1. H I D R O D I N A M I K A

1.1. PERSAMAAN HIDRODINAMIKA SEDERHANA UNTUK KASUS 1 DIMENSI

Persamaan hidrodinamika yang sederhana satu dimensi yang lengkap adalah:

∂u∂ t

+g ∂ζ∂ x

=0…………… .. pers .momentum /gerak

∂η∂ t

+H ∂u∂ x

=0…………………… .. pers . kontuinitas

Kedua persamaan di atas di turunkan terhada t ( U t )

ut+gζ x=0

ζ t+Hux=0

U t ( ∂2u∂ t2 )utt+gζ xt=0

ζ xt+HU xx=0❑→

di kali dengan−1dang

utt+gζ xt=0

ζ xt+HU xx=0

utt+gζ xt+g ζ xt−g H U xx=0

utt+g H U xx=0

utt=g H U xx

utt=C2U xx

INDRA BP, SSi

PERSAMAAN GELOMBANG DALAM ARAH U

Untuk membentuk persamaan gelombang dalam kita diferensiasikan terhadap x

dan terhadap t kemudian di jumlahkan sehingga :

−HU xt−g H ζ xx=0

ζ tt−HU xt=0

ζ tt−g H ζ xx=0

ζ tt=g H ζ xx

Dalam kedua persamaan gelombang adalah C2=gH atau c=√gH

1.2. PENGERJAAN EXPLISIT DARI PERSAMAAN HIDRODINAMIKA SEDERHANA

PERSAMAAN MOMENTUM

U t+g ζ x=0

DISKTITISASI :

U t+g ζ x=0

∂u∂ t

+g ∂ζ∂ x

=0

U jn+1 /2−U j

n−1/2

∆ t+g

U j+1n −ζ j

n

∆ x=0

U jn+1/2−U j

n−1 /2+g ∆ t∆ x

(U j+1n −ζ j

n )=0…………… .. 1

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA DI PENGARUHI OLEH

PERUBAHAN ELEVASI MUK AIR

PERSAMAAN KONTUINITAS

ζ t+HU x=0

DISKRITISASI :

ζ t+HU x=0

∂ζ∂ t

+H∂u∂ x

=0

ζ jn+1−ζ j

n

∆ t+H

U jn+1/2−U j−1

n+1 /2

∆ x=0

ζ jn+1−ζ j

n+H∆t∆ x

(U j

n+12−U j−1

n+12 )=0……………… .. 2

1.3. MODEL HIDRODINAMIKA VARIASI TOPOGRAFI

Dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 serta mngganti parameter kecepatan

dengan transport (volume).

U=u .H

H=D+ζ

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR DI PENGARUHI OLEH

KEDALAMAN TOTAL PERAIRAN DAN PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA

PERSAMAAN MOMENTUM

U t+g ζ x=0

∂u∂ t

+g ∂ζ∂ x

=0

∂u .u∂ t

+gH ∂ζ∂ x

=0

∂U∂t

+gH ∂ζ∂x

=0

DISKRITISASI :

∂U∂t

+gH ∂ζ∂x

=0

U jn+1 /2−U j

n−1/2

∆ t+gH

ζ j+1n −ζ j

n

∆ x=0

U jn+1/2−U j

n−1 /2+gH ∆ t∆ x

(ζ j+1n −ζ j

n )=0

U jn+1/2−U j

n−1 /2+g ∆ t∆ x ( H j

n+H j+1n

2 )(ζ j+1n −ζ j

n )=0

U jn+1/2−U j

n−1 /2+g ∆ t∆ x

(D jn+ζ j

n+D j+1n +ζ j+1

n ) (ζ j+1n −ζ j

n)=0

PERSAMAAN MOMENTUM/GERAK DALAM BENTUK TRANSPORT

H jn H j+1

n

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT (VOLUME) DI PENGARUHI

OLEH KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHANELEVASI MUKA AIR

PERSAMAAN KONTUINITAS

ζ t+HU x=0

∂ζ∂ t

+H∂u∂ x

=0

H∂ζ∂ t

+H ∂uH∂ x

=0

HH

∂ζ∂ t

+ HH

∂U∂ x

=0

∂ζ∂ t

+ ∂U∂x

=0

DISKRITISASI:

∂ζ∂ t

+ ∂U∂x

=0

ζ jn+1−ζ j

n

∆ t+U j

n+1 /2−U j−1n+1 /2

∆x=0

ζ jn+1−ζ j

n+ ∆ t∆x

(U jn+1/2−U j−1

n+1/2 )=0……………… .4

PERSAMAAN KONTUINITAS DALAM BENTUK TRANSPORT

ARTI FISIS ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR HANYA DI PENGARUHI OLEH

PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT VOLUME.

1.4. HIDRODINAMIKA DENGAN MEMPERHATIKAN GESEKAN DASAR DAN STRESS

ANGIN

PERSAMAAN MOMENTUM

U t+g ζ x=( τ s−τb )

H

DISKRITISASI

U t+g ζ x=( τ s−τb )

H

Dimana :τ s=¿stress angin¿

τ b=¿ ρLCD w∨w∨¿¿

ρLCD=λ=koefisien gesekan angin

¿3,2 .10−6 yangmerupakanbilangan yang tak berdimensi

w=kecepataanangin

τ b=¿gesekandasar ¿

ADA DUA BENTUK GESEKAN DASAR YANG DI GUNAKAN :

1. Bentuk Linear :τ b=α u

2. Bentuk Kuadratif : τ b=r u|u|

r=koefisien gesekan dasar=3.10−3

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN FLUIDA DI PENGARUHI OLEH GESEKAN

DASAR PERAIRAN DAN STRESS ANGIN YANG BERUBAH SESUAI DENGAN KEDALAMAN

PERAIRAN.

Untuk pendiskritisasian suku gesekan dasar kita tinjau persamaan gerak yang di

sederhanakan yaitu :

U t+τ b

H=0

U t+r u|u|H

=0

1. Cara pertama ( waktu lama )

u|u|=un|un|

subtitusikan ke persamaan gerak di atas :

U t+r u j

n|u jn|

H=0

U jn+1−U j

n

∆ t+r U j

n−¿U jn∨ ¿

H=0¿

U jn+1−U j

n+r ∆ t U jn−¿U j

n∨ ¿H

=0¿

U jn+1=U j

n−r ∆ tU jn−¿U j

n∨ ¿H

¿

U jn+1=U j

n ¿

Subtitusikan Persamaan 5 Ke Persamaan Momentum

U t+g ζ x=τ sH

−τbH

U jn+1−U j

n

∆ t+g

ζ jn+1/2−ζ j−1

n+1 /2

∆ x=λw∨w∨ ¿

H−r U j

n−¿U jn∨ ¿

H¿¿

U jn+1−U j

n+g ∆t∆ x

(ζ jn+1 /2−ζ j−1

n+1/2)=Δt λ w∨w∨ ¿H

−r Δt U jn−¿U j

n∨ ¿H

¿¿

U jn+1=U j

n−r ΔtU jn−¿U j

n∨ ¿H

+Δt λ w∨w∨ ¿H

−g∆ t∆ x

(ζ jn+1/2−ζ j−1

n+1 /2 )¿¿

U jn+1=U j

n ¿

2. Cara Ke Dua ( waktu yang baru )

u|u|=U jn+1¿U j

n∨¿

Subtitusikan ke Persamaan Gerak :

U t+r U j

n+1|u jn|

H=0

U jn+1−U j

n

Δt+r U j

n+1|u jn|

H=0

U jn+1−U j

n+r ΔtU j

n+1|u jn|

H=0

U jn+1+

r Δt U jn+1|u j

n|H

¿U jn

U jn+1¿

U jn+1=

U jn

¿¿

Subtitusikan Persamaan 7 Ke Persamaan Momentum:

U t+g ζ x=τ sH

−τbH

U t+τ b

H=

τ s

H−gζ x

U jn+1−U j

n

∆ t+r U j

n+1|u jn|

H= λw∨w∨ ¿

H−g

(ζ j+1n+1 /2−ζ j

n+1/2 )Δx

¿

U jn+1−U j

n+r ΔtU j

n+1|u jn|

H=λ Δt w∨w∨ ¿

H−g

∆ t∆ x

(ζ j+1n+1 /2−ζ j

n+1/2) ¿

U jn+1=U j

n ¿

U jn+1=

U jn+

Δt λ w|w|H

−g∆ t∆ x

(ζ j+1

n+12−ζ j

n+12 )

¿¿

1.5. HIDRODINAMIKA VARIASI TOPOGRAFI→

GESEKAN DASAR DAN STRESS

ANGIN.

Persamaan Momentum

U t+g ζ x=τ s−τb

Dimana :

τ s=¿ ρLCD w∨w∨¿¿

τ s=¿ λw∨w∨¿¿

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN TRANSPORT (VOLUME) DI

PENGARUHI OLEH KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR

SERTA DI PENGARUHI OLEH GESEKAN DASAR DAN STRESS ANGIN.

τ b=ru|u|H

τ b=ruH|uH|

H

τ b=rU|U|H 2

Cara pertama

U t+g H ζ x=τ s−τb

U t+τb=τ s – g H ζ x

U jn+1−U j

n−1/2

∆t+r U j

n−1/2|U jn−1/2|

(H jn )2

=λw|w|−gH jn (ζ j+1

n −ζ jn)

Δx

U jn+1−U j

n−1 /2+r Δt U jn−1∨U j

n−1 /2∨ ¿(H j

n )2=λ Δt w|w|−g

ΔtΔx

Hj

n

(ζ j+1n −ζ j

n )¿

U jn+1−U j

n−1 /2 ¿

U jn+1=U j

n−1 /2 ¿

U jn+1=U j

n−12 ¿

Cara Kedua

U t+g H ζ x=τ s−τb

U t+τb=τ s – g H ζ x

U jn+1 /2−U j

n−1/2

∆ t+r U j

n+1 /2|U jn−1 /2|

(H jn )2

=λ w|w|−g H jn (ζ j+1

n −ζ jn )

Δx

U jn+1/2−U j

n−1 /2+r Δt U jn+1/2∨U j

n−1/2∨ ¿(H j

n )2=λ w|w|−g H j

n ΔtΔx

(ζ j+1n −ζ j

n )¿

U jn+1/2+r ΔtU j

n+1 /2∨U jn−1/2∨ ¿

(H jn )2

=U jn−1 /2+λw|w|−g H j

n ΔtΔx

(ζ j+1n −ζ j

n)¿

U jn+1/2¿

U jn+1/2=

U jn−1/2+ λw|w|−g

ΔtΔx

H jn(H j+1

n −H jn−D j+1

n +D jn)

¿¿

Dimana : H jn=

H jn+H j+1

n

2

1.6. HIDRODINAMIKA DENGAN MEMPERHATIKAN DEBIT

Persamaan yang digunakan adalah persamaan dalam bentuk transport :

Persamaan Momentum

U t+(U UH )

x

+r U∨U∨ ¿H 2

+g H ξx= λw∨w∨¿¿

Persamaan di atas di transformasikan dalam bentuk PERSAMAAN DEBIT, maka :

Q = kecepatan . penampang

Q = U . A

Q = U . H . B, B : lebar kanal

Q = U . B

U = Q / B………………….11

Subtitusikan harga U ke dalam persamaan momentum :

U t+(U UH )

x

+r U∨U∨ ¿H 2

+g H ξx= λw∨w∨¿¿

1BQt−

2QBH

ξ t+r

(BH )2+Q|Q|+gH ξ x=λw∨w∨¿

Perubahan (turunan) dalam ruang dari lebar kanal di abaikan terhadap variasi ruang

dari Q dan .

τ b τ s

1BQt−

2QBH

ξ t+r∨¿

(BH )2+Q|Q|+g H ξx=λ w∨w∨¿¿

Qt−2QBH

ξ t+r

(BH )2+Q|Q|+gBH ξx=B λw∨w∨¿

Q jn+1−Q j

n

∆ t+2Q j

n

H jn ( ξ j+1

n+1−ξ j+1n −ξ j

n+1+ξ jn

2∆ t )+ r

B jn (H j

n )2Q j

n+1|Q jn|+gB j

nH jn( ξ j+1

n+1−ξ j+1n

Δx )=B jn Δt λw∨w∨¿

Q jn+1−Q j

n−Q j

n

H jn (ξ j+1

n+1−ξ j+1n −ξ j

n+1+ξ jn )+ rΔt

B jn (H j

n )2Q j

n+1|Q jn|+gB j

nH jn ΔtΔx

(ξ¿¿ j+1n+1−ξ j+1n )=B j

n Δt λw∨w ¿

|………..12

PERSAMAAN KONTUINITAS

ξ t+U x=0

Subtitusikan persamaan 11 ke dalam persamaan kontuinitas :

ξ t+1BQ x=0

DISKRITISASI :

ξ t+1BQ x=0

ξ jn+1−ξ j

n

∆ t+ 1BQ j

n+ 1−Q j−1n+1

∆ x=0

ξ jn+1−ξ j

n+ Δt

B jn Δx

(Q jn+1−Q j−1

n+1 )=0………………13

SYARAT STABILITAS

ARTI FISISNYA ADALAH PERUBAHAN KECEPATAN DI PENGARUHI OLEH PERUBAHAN

DEBIT, GESEKAN DASAR, STRESS ANGIN, KEDALAMAN PERAIRAN DAN PERUBAHAN

ELEVASI MUKA AIR

ARTI FISINYA ADALAH PERUBAHAN ELEVASI MUKA AIR DI PENGARUHI

OLEH PERUBAHAN DEBIT AIR DAN LEBAR KANAL

A. U jn+1−U j

n−1 /2+g ΔtΔx

(ζ j+1n −ζ j

n )

B. ζ jn+1−ζ j

n+H nj ΔtΔx

U jn+1/2−U j−1

n+1/2=0

Persamaan 13 dapat di tulis dengan n = n-1, maka :

ζ jn=ζ j

n−1−H jn ΔtΔx

(U jn−1 /2−U j

n−1/2 )

Dalam rumus : u=uei kx dan ζ=ζ 0 ei kx

Sehingga dapat di tulis :

ζ jn=ζ j

n−1−H jn ΔtΔx

U jn−1/2 (e i k Δx /2−eik Δx /2 )

Dimana :

sink Δx2

= e i k Δx /2−e ik Δx /2

2 i

Maka :

ζ jn=ζ j

n−1−H jn ΔtΔx

U jn−1/22 isin

k Δ x2

( ζ jn

U jn−1/2)=(−2 i H j

n ΔtΔ xsin

k Δ x2

1

1 0)(U jn−1 /2

ζ jn−1 )

Dengan cara yang sama persamaan A dapat di tulis:

(U jn+1 /2

ζ jn )=(−2i g Δt

Δ xsin

k Δ x2

1

1 0)( ζ jn−1

U jn−1/2)

Persamaan A dan B di gabungkan maka :

(U jn+1 /2

ζ jn )=(−2i g Δt

Δxsin

k Δx2

1

1 0)(−2 i H jn ΔtΔxsin

k Δx2

1

1 0)(U jn−1/2

ζ jn−1 )

Sehingga matriks Amplikasi A adalah :

A=(−4H jn g

Δt2

Δx 2sin2

k Δ x2

+1 −2 i ΔtΔ xsin

k Δ x2

−2 i H jn ΔtΔ xsin

k Δ x2

1 )(U jn−1 /2

ζ jn−1 )

Det |A – λ I|=0

Dengan menuliskan β=2 ΔtΔx

√g H sin k Δx2

; maka :

Det |A – λ I|=0

b . c−a .d=0

(−2 i g ΔtΔxsin

k Δx2 )(−2 i H j

n ΔtΔxsin

k Δx2 )−(−4H j

n gΔt2

Δx2sin2

k Δx2

+1)=0

(1− λ ) (1−λ−β2 )+β2=0

λ2−λ (2−β2 )+β2=0………………… .14

Nilai eigen : λ1,2=2−β2

2±√(2−β2 )2−4……………………… .15

PENINJAUAN BEBERAPA KASUS DARI HARGA √ (2−β2 )2−4

1. Akar Imajiner

λ λ=( ℜ+ℑ ) (ℜ−ℑ )

¿ ℜ2−I m2

λ=komplek konjugasi

λ λ=14

(2−β2 )2−(2−β2 )2+4 ¿=1

√ λ λ=|λ|=1

2. Akar Sama Dengan Nol

(2−β2 )2−4=0(2−β2 ) (2−β2 )−4=04−2 β2−2 β2+β4−4=0

β4−4 β2=0β=0β2=4β=±2

β=2 ΔtΔ x √g H j

nsink Δ x2

βmax=4=4 Δt2

Δ x2g H j

n

Δt= Δ x

√ gH jn…………… ..16

3. Akar Real

(2−β2 )2−4≥0β2≥4

DAPAT DI SIMPULKAN BAHWA KRITERIA STABILITAS PERSAMAAN MODEL HIDRODINAMIKA 1D SEDRRHANA ADALAH :

Δt ≤Δ x

√g H jn………………… ..17