semester 3 analisis vektor - · pdf filegradien dari medan vektor, integral garis dan integral...

SEMESTER 3

ANALISIS VEKTORPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

Sks : 2 sks

Dosen : Sri Rejeki

Nomor Telepon: 085725313171

E mail : sri.rejeki@ums.ac.id

Website : http//www.srirejeki171.wordpress.com

MANFAAT MATAKULIAH

Setelah mempelajari matakuliah ini, mahasiswa diharapkan

dapat menerapkan konsep vektor dan kalkulus fungsi vektor

dalam memecahkan masalah terkait dalam kehidupan sehari-

hari.

DESKRIPSI MATAKULIAH

Matakuliah ini berbobot 2 sks yang diberikan pada Semester III,

Materi pokok matakuliah ini meliputi : konsep vektor dan skalar,

operasi dasar vektor, hukum-hukum dalam aljabar vektor, fungsi

vektor, limit fungsi vektor turunan dalam vektor, medan vektor dan

gradien dari medan vektor, integral garis dan integral kurva,

integral permukaan, Teorema divergensi Gauss, Teorema Green,

menentukan luas daerah tertentu, Teorema Stokes, aplikasi

teorema Stokes, dan koordinat kurvilinear.

1. Memiliki motivasi dan gambaran yang jelas mengenai

materi analisis vektor

2. Mnerapkan konsep skalar dan vektor

3. Menerapkan turunan fungsi vektor dalam pemecahan

masalah

4. Menentukan medan vektor dan gradien

5. Menggunakan integral garis

6. Menerapkan integral permukaan

7. Menerapkan Teorema Divergensi Gauss

8. Menerapkan Teorema Stokes

9. Mengenali koordinat kurvilinear

CAPAIAN PEMBELAJARAN

SUMBER BELAJAR

Janich, K. 2000. Vektor Analysis. Springer: New York.

James, S. 2012. Multivariable Calculus 7th Edition.

Sukirman. 2007. Analisis Vektor. Universitas Terbuka:

Jakarta.

Spiegel, M. R. 1991. Analisis Vektor. Seri Buku

Schaum. Erlangga: Jakarta.

5 P + 30 T + 30 UTS + 35 UASNilai Akhir =

100

PENILAIAN

Nilai :

skor >= 77 A

70 =< skor < 77 AB

63 =< skor < 70 B

56 =< skor < 63 BC

50 =< skor < 56 C

35 =< skor < 50 D

skor < 35 E

MINGGU KEGIATAN

PEMBELAJARAN

MATERI KULIAH

DAN BENTUK KEGIATAN

1

2

3

4

5

6

7

Kuliah awal

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kontrak perkuliahan

Konsep vektor dan skalar

Hasil kalI titik dan Hasil kali silang

Persamaan Garis dan Persamaan

bidang

Silinder dan Permukaan-permukaan

kuadrik

Fungsi vektor dan kurva ruang

Panjang busur dan kelengkungan

Turunan dan integral fungsi vektor

UTS

RENCANA PEMBELAJARAN

8

9

10

11

12

13

14

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Kuliah dan diskusi

Medan vektor dan gradien

Integral garis atau Integral kurva

Integral permukaan

Teorema Green

Curl dan divergensi

Teorema StokesKoordinat kurvilinear.

UAS

MINGGU KEGIATAN

PEMBELAJARAN

MATERI KULIAH

DAN BENTUK KEGIATAN

RENCANA PEMBELAJARAN

1. Kegiatan pemebelajaran dimulai pada jam yang telah disepakati, toleransi

keterlambatan tidak terbatas.

2. Selama proses pembelajaran berlangsung HP dimatikan/disilent.

3. Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal dan dilakukan sebelum

pembelajaran dimulai. Bagi yang mengumpulkan tugas pada hari terakhir

pengumpulan tugas, nilai maksimal C.

4. Aturan jumlah minimal presensi dalam perkuliahan tetap diberlakukan

(75%), termasuk aturan cara berpakaian atau bersepatu.

5. Bagi mahasiswa yang terbukti melakukan kecurangan pada saat UTS atau

UAS, pekerjaan UTS atau UAS tersebut tidak akan dikoreksi dan otomatis

akan mendapatkan nilai 0.

KONTRAK PERKULIAHAN

BAB 1 VEKTOR DAN SKALAR

Definisi

Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah.

Contoh: perpindahan, kecepatan, dan percepatan

Skalar adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar tetapi tanpa arah.

Contoh: massa, panjang, waktu, suhu

Aljabar Vektor merupakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan,

dan perkalian dalam aljabar dari vektor-vektor.

Notasi :

Vektor bidang : a = a1, a2

Vektor ruang : a = a1, a2, a3

Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a.

O x

Representasi dari vektor a = a1, a2 adalah ruas garis lurus

dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2). Representasi

khusus dari a adalah ruas garis lurus dari titik asal ke titik

P(a1, a2). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2).

AB

OP

P(a1, a2)

B(x+a1, y+ a2)

A(x, y)

yContoh

Carilah vektor yang dinyatakan oleh

ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0)

dan titik akhir B(-3, 1, 1).

Panjang vektor a = a1, a2 adalah

Panjang vektor a = a1, a2, a3

2 2

1 2a a a

2 2 2

1 2 3a a a a

Penjumlahan Vektor

Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b

didefinisikan oleh

1 1 2 2,a b a b a +b

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara

serupa. O x

a

y

a + b b

Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh

1 2,c ca caa

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa.

Contoh

Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b,

dan .

Jawab:

2 5a + b

Sifat-Sifat Vektor

Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l

adalah skalar, maka

1. a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb

2. a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la

3. a + 0 = a 7. (kl)a = k(la)

4. a + (-a) = 0 8. 1a = a

Vektor Basis baku

i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0 k= 0, 0, 1

xy

z

i

jk

Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan

a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3

= a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1

a = a1i + a2 j + a3 k

Contoh

Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j,

dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j

dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a

adalah

1 au = a =

a a

Contoh

Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k.

LATIHAN

1. Nyatakan manakah yang merupakan vektor dan merupakan skalar: berat, kalor

jenis, kerapatan, volum, kecepatan, kalori, momentum, energi, jarak, harga tiket

bioskop, arus sungai, jalur penerbangan dai Solo ke Medan, populasi dunia.

2. Sebuah mobil bergerak ke arah utara seauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur

laut. Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan

resultannya secara grafis dan secara analitis.

3. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif.

4. Diketahui a = 3, -2, 1, b = 2, -4, -3, c = -1, 2, 2 carilah besarnya a, a+b+c,

dan 2a-3b-5c.

5. Diketahui a = 2, -1, 1, b = 1, 3, -2, c = -2, 1, -3, dan d = 3, 2, 5 carilah

skalar-skalar k, l, m sehingga d=ka+lb+mc