sandy s. prayogo, st., mt.sandy_sr.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/...1. deretfourier § 1.1....

SANDY S. PRAYOGO, ST., MT.

1. Deret Fourier§ 1.1. Fungsi Periodik§ 1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,

§ 1.3. Deret Trigonometri, § 1.4. Bentuk umum Deret Fourier,

§ 1.5. Kondisi Dirichlet, § 1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.

2. Integral Fourier

3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta § 3.1. Fungsi Gamma § 3.2. Fungsi Beta

§ 3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

4. Transformasi Laplace

§ 4.2. Invers dari transformasi Laplace § 4.3. Teorema Konvolusi

§ 4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas.

UTS

UAS

Merupakan suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistemyang mengandung masukan (input) dan keluaran (output), dengan melakukantransformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang pentingsebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukananalisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilatorharmonik,devais optik dan sistem-sistemmekanik.

Transformasi Laplace

Invers Transformasi Laplace

L f (t){ } = F(s)

L−1 F(s){ } = f (t)

Transformasi Laplace dari fungsi f(t)

Dimana

L f (t){ } = F(s) = f (t).e−st dt0

∞

∫

s ∈ R (R : Himpunan bilangan Real)L : Operator transformasi Laplace

CONTOH:

Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = 1,

F(s) = L 1{ }F(s) = 1.e−st dt

0

∞

∫ = − 1se−st⎡⎣ ⎤⎦0

∞

= − 1se−s.∞ − e−s.0⎡⎣ ⎤⎦0

∞

= − 1s1es.∞

− e0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − 1

s0−1⎡⎣ ⎤⎦ =

1s

SOAL 1.

Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = -2,

JAWAB. F(s) = L −2{ }F(s) = −2.e−st dt

0

∞

∫

= −2 1.e−st dt0

∞

∫ = −2. 1s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −2s

SOAL 2.

Tentukan Transformasi Laplace dari fungsi f(t) = t,

JAWAB. F(s) = L 1{ }F(s) = t.e−st dt

0

∞

∫

= t.− 1s.e−st − 1

s2.e−st⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

∞

= ∞.− 1s.e−s.∞ − 1

s2.e−s.∞⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − 0.− s.e−s.0 − 1

s2.e−s.0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= ∞.− 1s.0− 1

s2.0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − 0− 1

s2.e−s.0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

1s2

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

TABEL TRANSFORMASI LAPLACE

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

1. LINIERITAS

CONTOH. L 2t + 3e2t{ } = L 2t{ }+ L 3e2t{ }= 2L t{ }+ 3L e2t{ }= 2. 1

s2+ 3. 1

s− 2

= 2(s− 2)+ 3s2

s3 − 2s2= 3s

2 + 2s− 4s3 − 2s2

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

2.TRANSLASI

CONTOH

Jika L f (t){ } = F(s),

maka L eat f (t){ } = F(s− a)

Jika L cos2t{ } = ss2 + 4

,

maka L e3t cos2t{ } = (s− 3)(s− 3)2 + 4

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

3.TRANSLASI KOMPOSISI

CONTOH.

Jika L f (t){ } = F(s), dan g(t) = (t − 2)3, t > a0 , t < a⎧⎨⎩⎪

maka L g(t){ } = e−asF(s)

Jika L t3{ } = 6s4 ,

maka transformasi Laplace dari g(t) = (t − 2)3, t > 20 , t < 2

⎧⎨⎩⎪

adalah e−2s 6s4 = 6e−2s

s4

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

4. PERUBAHAN SKALA

CONTOH.

Jika L f (t){ } = F(s),

maka L f (at){ } = 1aF sa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Jika L sin t{ } = 1s2 +1

maka L sin3t{ } = 13

. 1s

3( )2+1

= 3s2 + 9

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE

5.TURUNAN

CONTOH.

Jika L f (t){ } = F(s)

maka L f '(t){ } = s.F(s)− f (0)

Jika f (t) = cos3t, L cos3t{ } = ss2 + 9

maka L f '(t){ } = s. ss2 + 9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− f (0)

= s2

s2 + 9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− cos0

= s2

s2 + 9−1= −9

s2 + 9

SOAL.

TENTUKANTRANSFORMASI LAPLACE DARI FUNGSI BERIKUT!

L 2{ } =L −3t{ } =L e2t{ } =L 2e3t{ } =L 2− 3t{ } =

f (t) = t2 − 4t +1f (t) = e2t cos3t − t