rumus matematika sma

LOGARITMA Definisi :

ba log = c b = a c dengan a 0 ; a 1 dan b 1 a dinamakan bilangan pokok dari logaritma. Dalam hal a = e = 2,718..maka = In b be log(In b disebut logaritma natural ; e disebut bilangan Euler) Sifat-sifat logaritma

1. xya log = xa log + ya log ; x 0 ; y 0 2.

yxa log = xa log - ya log ; x 0 ; y 0

3. na xlog = n xa log ; x 0 4. xa log =

ax

p

p

loglog =

ap log1 ; a ; x 0 ; a 0 ; x 1

5. xa log = xn xnn ana loglog

6. ana xlog = x n

7. 1 ; 01 log aa log a Sifat persamaan

Jika , maka x = y yx aa loglog Sifat pertidaksamaan

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Jika , maka xa log ya log1. x y untuk a 1 2. x y untuk 0 a 1

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA Fungsi yang berbentuk y = ; a 0; a 0 dan x 0 disebut fungsi logaritma. xa logUntuk menggambarkan grafik fungsi diatas akan dilihat dalam dua kejadian yaitu bila 0 a 1 dan bila a 1.

EKSPONEN&LUGARITMA

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

y = dengan 0 a 1 xa logBentuk y = mempunyai arti x = a ,dengan menggunakan caraseperti pada fungsi eksponen, maka diperoleh sifat berikut :

xa log y

a. Bila y = 0 , maka x = 1, jadi grafik selalu melalui titik (1, 0) b. Bila y , maka x = 0alim

x

y

ini berarti garis x = 0 sebagai asimtot tegak

c. Bila y -, maka x = yyalim ini berarti makin kebawah grafik makin ke

kanan.

(a)

1

y = xa log

0 a 1

x

y

(b)

1

a 1

x

yy = xa log

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

FUNGSI KUADRAT Grafik parabola

a > 0 buka atas a < 0 buka bawah

Memotong sumbu -x di dua titik D > 0 Menyinggung sumbu -x D = 0 Tidak Memotong sumbu x D < 0

ax2 + bx + c definit positif maka 1. seluruh gambar diatas sumbu x 2. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x

Syarat yang harus dipenuhi a > 0 dan D < 0

ax2 + bx + c definit negatif 1. seluruh gambar di bawah sumbu x 2. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi a < 0 dan D < 0 Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak.

(xp,yp) titik puncak xp = a2b , yp = a4D g Garis g : sumbu simetri

g x = a2

b y = a x2 + bx + c

a > 0 D > 0

x

a > 0 D = 0

x

a > 0 D < 0

x

a < 0D > 0

x

a < 0 D = 0

x

a < 0 D < 0

x

Untuk a < 0, Nilai y akan maksimum pada titik puncak, notasi ymaks.

ymaks = a4D

)a4D,a2

b(

a < 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Untuk a > 0, Nilai y akan minimum pada titik puncak, notasi ymin.

a > 0

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai 1. f(x) = a ( x x1 ) (x x2 )

dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x xp)2 + yp

dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola HUBUNGAN PARABOLA DENGAN GARIS Hubungan parabola g : y = ax2 + bx + c dan garis f: y = mx + n dapat dirumuskan Sebagai berikut 1. Subtitusi kedua persamaan ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b m)x + c n = 0

2. Tuliskan D = (b m)2 4 a (c n ) [D diskriminan ax2 + (b m) x + c n = 0, dengan kata lain diskriminan hasil subtitusi g dan f]

3. Dari Ds bisa diambil kesimpulan sbb D > 0 g dan f berpotongan di dua titik berbeda D = 0 g dan f bersinggungan) D < 0 g dan f tidak berpotongan.

ymin = a4D

)a4D,a2

b(

PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c a bilangan real dan a 0 Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah

x1,2 = aDb

2

x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 4ac D disebut diskriminan SIFAT OPERASI AKAR

Sifat jumlah abxx 21

Sifat kali acxx 21.

Sifat pengurangan aDxx 21

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar

x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2

2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar

(x1 x2)2 = 2aD

(x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1 x2 4. selisih kuadrat akar-akar

x12 x22 = (x1 + x2) (x1 x2)

5. jumlah kebalikan akar-akar

1

1x

+ 2

1x

= 21

21

xxxx

Jenis-jenis akar 1. Dua akar real berlainan D > 0 2. Dua akar kembar D = 0 3. Tidak memiliki akar real D < 0 Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

4. Dua akar real D 0 5. Kedua akarnya real positif, jika

(D 0 ; x1 + x2 > 0 ; x1 x2 > 0) 6. Kedua akarnya real negatif

(D 0 ; x1 + x2 < 0 ; x1 x2 > 0) 7. Kedua akar berbeda tanda, jika

(D > 0 ; x1 x2 < 0) 8. Akar berlawanan tanda

( baca x1 = x2) x1 + x2 = 0 b = 0 9. Akar berkebalikan ( baca x1 =

2

1x

) x1 x2 = 1 c = 1 10. Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan

rasional. Menyusun Persamaan Kuadrat baru : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah x2 (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

PERTIDAKSAMAAN Sifat-sifat - a > b ac > bc untuk c > 0 - a > b ac < bc untuk c < 0 - a > b a + c > b + c untuk c R - ab > 0 maka a/b > 0 - ab < 0 maka a/b < 0 - Jika a > b dan b > c maka a > c - a2 > 0 untuk setiap a R Harga mutlak

- 002

xuntuk

xuntukxx

xx

- ax maka a < x < a - ax maka x < a atau x > a - yx x2 > y2 (x y)(x + y) > 0 - yx x2 < y2 (x y)(x + y) < 0 Irasional - }0 ,)({ aaxf 0)( )( 2 xfaxf - )()( xgxf 0)( 0)( )()( xgxfxgxf - )()( xhxf 0)( 0)( )()( 2 xhxfxhxf

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

TRIGONOMETRI

sinx = MIDE cosx = MI

SA

tanx = SADE

DE

SA

MI

x

sec x = xcos1

csc x = xsin1

cot x = xtan1

KUADRAN

I

semua +

IIsin = +

IItan = +

IIcos = +

Sudut Istimewa

0o 30o 45o 60o 90osin 0 21 221 321 1 cos 1 321 221 21 0 tan 0 331 1 3 -

Identitas 1. sin2 x + cos2 x = 1 2. sin2 x = 1 cos2 x 3. cos2 x = 1 sin2 x 4. tan x =

xcosxsin

5. cot x = sin x

xcos

6. sec x = xcos

1

7. csc x = xsin

1

8. sec2 x = tan2 x + 1 9. csc2 x = cot2 x + 1

Aturan Segitiga 1. Aturan sinus pada segitiga ABC

Cc

Bb

Aa

sinsinsin

2. Aturan cosinus pada segitiga ABC Abccba cos2222 Baccab cos2222 Cabbac cos2222

3. Luas segitiga ABC L = . bc sin A = . ac sin B = . ab sin C L = ))()(( csbsass

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

s = (a + b + c)

Rumus Trigonometri 1. sin ( + ) = sin cos + cos sin 2. sin ( ) = sin cos cos sin 3. cos ( + ) = cos cos sin sin 4. cos ( ) = cos cos + sin sin 5. tan ( + ) =

tan tan 1tan tan

6. tan ( ) =

tan tan 1tan tan

7. sin 2 = 2 sin cos 8. cos 2 = cos2 sin2

cos 2 = 2cos2 1 cos 2 = 1 2sin2

9. tan 2 = 2tan1

2tan

10. sin2 = 2cos2121 11. cos2 = 2cos2121 12. sin 3 = 3sin 4sin3 13. cos 3 = 4cos3 3cos 14. 2sin cos = sin (+) + sin () 15. 2cos sin = sin (+) sin () 16. 2 cos cos = cos (+) + cos () 17. 2sin cos = cos (+) cos () 18. sin + sin = 2 sin 21 (+) cos 21 () 19. sin sin = 2 cos 21 (+) sin 21 () 20. cos + cos = 2cos 21 (+) cos 21 () 21. cos cos = 2 sin 21 (+) sin 21 ()

Bentuk a cos x + b sin x 1. a cos x + b sin x = k cos (x)

k = 22 ba dan tan = ab 2. y = a cos x + b sin x + c

ymax = k + c dan ymin = k + c 3. Agar acos x + bsin x = c bisa diselesaikan maka 222 cba Persamaan trigonometri 1. sin x = sin x = + n. 360o x = 180o + n. 360o 2. cos x = cos x = + n. 360o 3. tan x = tan x = + n.180 o

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya. Pernyataan dibedakan menjadi: 1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan. 2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau

lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika.

2. Pernyataan Berkuantor

2.1 Pernyataan Berkuantor Universal (umum) Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata semua atau setiap. Notasi: dibaca semua/setiap. pContoh: 1) Semua siswa ingin lulus ujian 2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2

2.2 Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus)

Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada atau beberapa.

Notasi: dibaca ada /beberapa p. p Contoh:

(1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru (2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir

3. Pernyataan Majemuk

3.1 Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah p dan q yang dibaca p dan q Tabel kebenaran Konjungsi:

p q p q B B S S

B S B S

B S S S

Daritabeldapatdisimpulkanbahwapqbernilaibenarapabilapbenar,qbenar.Selaindariitupqbernilaisalah.

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

3.2 i dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah p q

Disjungsi Disjungs yang dibaca p atau q.

abel Kebenaran Disjungsi:

T

p q p qB B S S S S

B S B

B B B

3.3

q yang dibaca:

2) q hanya jika p 4) q syarat perlu bagi p

Tabel Kebenaran Implikasi:

Implikasi (Pernyataan Bersyarat) Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah p 1) jika p maka q 3) p syarat cukup bagi q

p q p q B B S S S B

B S B

B S B

3.4 v an tunggal p dan q adalah p q yang dibaca:

3) q syarat cukup dan perlu dibagi p

Ekivalensi (Biimplikasi) Eki alensi dari dua pernyata1) p jika dan hanya jika q 2) p syarat cukup dan perlu dibagi q

)()( pqqpqp

Tabel Kebenaran Ekivalensi:

p q p q B B S S S B

B S B

B S S

4. Negasi

4.1 nyataan p ditulis ~p dan dibaca:

ialnya

benar.Selaindariitupqbernilaisalah.

eadaan,kecualiapabilapbenardanqsalah.

tunggalnyasamaselaindariitusalah.

Negasi dari Pernyataan Tunggal Negasi dari per

Daritabeldapatdisimpulkanbahwa:pqbernilabenarapabilasalahsatupernyataantungg

Daritabeldapatdisimpulkanbahwa:pqbernilaibenaruntuksemuak

Daritabeldapatdisimpulkanbahwa:pqbernilaibenarapabilanilaikebenaranpernyataan

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

1) Tidak p 2) Bukan p 3) Tidak benar p

Tabel kebenaran:

p ~p B S B

S

4.2 n B

h y ~p : ada x tidak y ~p : semua x tidak y

Contoh

1)

2) anjil

3) negatif

4) 7 ~p : semua x berlaku x 7

4.3 Negasi dari Pernyataan Majemuk

4.3.1 N si

~(p q) ~p ~q

4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi ~(p q) ~p ~q

4.3.3 Negasi dai Implikasi

~(p q) p ~q

4.3.4 N (q p)]

p ~q q ~p . Variasi Pernyataan Bersyarat

tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu

n kontraposisi.

Negasi dari Pernyataa erkuantor p : semua x adala p : ada x adalah y

: p : Semua siswa hadir di kelas ini ~p : Ada siswa tidak hadir di kelas ini p : Semua bilangan prima adalah ganjil ~p : Ada bilangan prima yang tidak gp : Ada bilangan prima yang negatif ~p : Semua bilangan prima tidakp : Ada harga x sehingga x a2 3. untuk a1 < a2

Limit fungsi trigonometri Untuk x 0 Nilai dari sinx x tan x x cos x 1

21 x2 sec x 1 +

21 x2

tan x sin x 21 x3

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

TURUNAN

Definisi : Turunan pertama dari fungsi y = f (x) didefinisikan sebagai berikut :

f (x) = y = p

)x(f)px(flimdxdy

0p

RUMUS-RUMUS TURUNAN 1. Jika y = c ( konstanta ) , maka y = 0 2. Jika y = x n , maka y = n.x n-1 3. Jika y = sin x , maka y = cos x 4. Jika y = cos x , maka y = sin x 5. Jika y = tan x , maka y = sec2x 6. Jika y = cot x maka y = csc2 x 7. Jika y = sec x maka y = secx tan x 8. Jika y = cscx maka y = csc x.cot x 9. Jika y = ln x , maka y =

x1

10. Jika y = ex , maka y = ex SIFAT-SIFAT TURUNAN 1. Jika y = u v , maka y = u v 2. Jika y = u . v , maka y = u.v + u.v 3. Jika y =

vu , maka y =

2v

'v.uv'.u

4. Jika y = u n , maka y = n. u n-1 . u 5. Jika y = f ( u ) , maka y = f ( u ) . u 6. Jika y = f ( t ) dan t = g (x) , maka

dxdt

.dtdy

dxdy

PENGGUNAAN TURUNAN 1. f (x ) = 0 didapat titik kritis 2. f (x) > 0 f (x) naik 3. f (x) < 0 f (x) turun 4. f (x) = 0 dan f (x) < 0 didapat titik ekstrim maksimum 5. f (x) = 0 dan f (x) > 0 didapat titik ekstrim minimum

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

INTEGRAL

Jika f(x) adalah fungsi yang differensiabel maka dx)x('f adalah c)x(f

A. Rumus Dasar 1. c1nx1n 1dxnx dengan 1n 2. cxlndx1xdxx1 3. cxcosxdxsin 4. cxsinxdxcos 5. cxtanxdx2sec 6. cxcotxdx2csc 7. cxsecxdxtan.xsec 8. cxcscxdxcot.xcsc B. Integral tentu

Jika maka c)x(gdx)x(f )a(g)b(g)x(gdx)x(f

b

a

b

a

C. Sifat-sifat integral 1. dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f 2. dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f 3. dx)x(fkdx)x(kf 4. dx)x(fdx)x(f

a

b

b

a

5. dx)x(fdx)x(fdx)x(fc

a

c

b

b

a

6. 0dx)x(fa

a

x = a x = b

y = f(x)

y = g(x)

L = ba

dx)x(g)x(f

D. Menghitung luas daerah

a b

y = f(x)

x

L= dx)x(fb

a

a b

y = f(x)

x

L= dx)x(fb

a

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

E. Volume Benda Putar

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

a b x

y = f(x)

v = b

a

2dxy a

b

y

x = f(y)

v = b

a

2dyx

F Integral Parsial duvuvdvu

PROGRAM LINEAR Programing : Alokasi sumber-sumber yang terbatas untuk memenuhi tujuan tertentu. Linier Programing : Programing yang menyangkut masalah-masalah dimana hubungan

antara variable-variabelnya semua linier.

Beberapa pengertian matematik yang akan dijumpai pada masalah program linier antara lain : 1. Konstrain, yaitu syarat-syarat kondisi yang berhubungan dengan sumbernya. 2. Fungsi Tujuan atau Fungsi Obyektif atau Fungsi Sasaran, yaitu suatu fungsi yang

berbentuk Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 +.+ C n x n dimana xi 0 untuk setiap i = 1, 2, 3 ..n. C 1 , C 2 , C 3 ,. C n biasanya disebut koefisien biaya.

3. Jawab Feasible, yaitu jawab yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan. 4. Jawab Infeasible, yaitu jawab yang tidak memenuhi syarat-syarat yang diberikan. Tujuan dari program linier adalah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi obyektif yang berbentuk linier dengan syarat-syarat linier. Pada umumnya model matematik dari bentuk program linier dalam dimensi dua (pada bidang) adalah :

Memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan Z = C 1 x 1 + C x 2 dengan syarat : 2

K 1 a 1 x 1 + a x d 1 2 2 K 2 b 1 x 1 + b x 2 d 2 2 x 1 0 dan x 2 0 Titik Ekstrim Titik ekstrim adalah suatu titik yang terletak pada daerah jawab sedemikian rupa sehingga fungsi obyektif akan mencapai harga ekstrim di titik tersebut. Contoh :

1. Maksimalkan fungsi tujuan yang berbentuk Z = 5x1 + 3x 2 dengan syarat :

K 1 3x + 5x 15 1 2 K 2 5x 1 + 2x 2 10 x 1 0 dan x 0 2

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Jawab : Kita tentukan dulu daerah jawabannya (daerah feasible) pada bidang XOY (bidang yang di bangun oleh x1 dan x2), maka daerah jawab adalah OABC dan garis putus-putus adalah garis fungsi tujuan. Terlihat garis-garis yang dibangun oleh fungsi tujuan dan mempunyai kedudukan yang paling tinggi

adalah garis yang melalui titik B (1920

,1945

). Ini

berarti bahwa Z = 5x + 3x mencapai harga

maksimal di titik B. Akibatnya didapat 1 2 0

3

5

x1

x 2

A

C

2 5

5x1 + 2x2 = 10 K2

3x1 + 5x2 = 15 K1 B

37,121945

.3 1920

.5Zmaks

2. Maksimalkan fungsi tujuan Z = 2,5 x + y dengan syarat :

K 1 3x + 5y 15 K 5x + 2y 10 2 x 0 dan y 0

0

3

5

x1

x 2

A

C

2 5

5x1 + 2x2 = 10 K2

3x1 + 5x2 = 15 K1 B

Jawab : Ternyata fungsi tujuan z = 2,5 x + y berimpit dengan garis 5x + 2y = 10, akibatnya

5maksZ 3. Maksimalkan z = 2x + 2y dengan syarat :

2

1

14

y

x

K1 K2

K 1 x y 1 K 2 x 2y 4 x 0 ; y 0 Dari gambar diatas kita dapatkan x ~ dan

y ~. Dalam hal ini jawab tak terbatas. Dengan kata lain fungsi sasaran tidak mempunyai harga maksimal.

4. Tentukan harga maksimal dari fungsi tujuan z = 3x 2y dengan syarat :

K 1 x + y 1

x

y

0 1 2

2

1

K2

K1

K 2 2x + 2y 4 x 0 dan y 0

Jawab : Pada persoalaan ini kita dapatkan bahwa tidak

ada daerah yang memenuhi syarat yang diberikan. Akibatnya tak ada harga x dan y yang memenuhi fungsi tujuan.

5. Seorang penjaja buah-buahan yag menggunakan gerobak, menjual apel dan pisang. Harga

pembelian apel Rp. 1000,00 tiap kg dan pisang Rp. 400,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp. 250.000,00 serta daya tampung gerobak tidak lebih dari 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel dua kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin, pedagang tersebut harus membeli berapa kg apel dan berapa kg pisang.

Jawab : Misalkan bahwa banyaknya apel yang harus dibeli x kg, dan pisang y kg. Maka model matematikanya adalah : Fungsi tujuan : z = p x + p y ; p keuntungan tiap kg apel Dengan syarat : K 1 1000 x + 400 y 250.000 K 2 x + y 400 x 0 ; y 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

A

B

C

400

250 O 400

625 K1

K2

x y z = p (x + y) O 0 0 0 A 250 0 250 p B 150 250 275 p C 0 400 250 p

Terlihat dari tabel diatas bahwa p. Jadi

banyaknya apel yang harus dibeli adalah 150 kg dan pisang 250 kg.

275Zmaks

6. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tak lebih dari 48 orang yang

terbagi dalam kelas utama dan kelas ekonomi. Selain itu mampu membawa bagasi maksimal seberat 1440 kg. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi tak lebih dari 60 kg sedangkan untuk kelas ekonomi maksimal 20 kg. Apabila biaya (harga kasrcis) untuk kelas utama dan kelas ekonomi masing-masing adalah Rp. 100.000,00 dan Rp. 50.000,00 perorang, tentukan banyaknya penumpang tiap-tiap kelas agar hasil penjualan karcis terbesar.

Jawab : Misalkan banyaknya penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang, maka didapat model matematika sebagai berikut :

A

B C

48

240 48

K1K2

72

Fungsi tujuan : z = 100.000 x + 50.000 y

Syarat batas : K 1 x + y 48 K 2 60x + 20y 1440 x 0 ; y 0

x y z O 0 0 0 A 24 0 2.400.000 B 12 36 3.000.000 C 0 48 2.400.000

Agar hasil penjualan karcis mencapai angka terbesar maka jumlah penumpang kelas utama harus 12 orang sedangkan kelas ekonomi 36 orang.

MATRIKS Bentuk umum suatu matriks adalah :

A =

mn2m1m

n22221

n11211

a::::aa::::::::::

a::::aaa::::aa

Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n. Transpos suatu matriks Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya Kesamaan dua matriks A = B 1. Ordo A = Ordo B 2. elemen-elemen yang seletak nilainya Operasi Jumlah C = A + B 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B 2. ci,j = ai,j + bi,j; i baris dan j kolom Sifat operasi penjumlahan 1. Komutatif : A + B = B + A 2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks A sehingga A + (A) = 0 5. (A+ B)t = At + Bt

Definisi A B = A + (B) Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0. Matriks A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan 1.

Perkalian dengan konstanta

C = k A 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i baris dan j kolom

Sifat perkalian dengan konstanta p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka

(p + q) A = p A + q A p ( A + B) = p A + p B p (q A ) = ( p q) A

Operasi Kali C = A B 1. Cm x n = B mxpA pxn Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

2. = + + + ijc 1ia j1b 2ia j2b ipa pjb

Sifat-sifat operasi kali 1. Tidak komutatif: A B B A 2. Asosiatif: (A B) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC 4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C 7. (A . B)t = Bt At Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = = ann = 1 dan elemen lainnya nol Determinan Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau A. 1. A = A=a11 a22 a12 a21

22a21a12a11a

2. A =

33a32a31a23a22a21a13a12a11a

A=a1133a32a23a22a a12

33a31a23a21a +a13

32a31a22a21a

Cara lain adalah dengan metode Sorrus

A = 323122211211

333231232221131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat det (A B) = det(A) det (B) det (A + B) det(A) + det(B) A ordo nxn det(k A) = kn det(A) det (At) = det(A) det ( A1 ) = Adet

1 Invers Matriks Invers dari matriks A ditulis A1 dan didefinisikan sebagai berikut A1 invers A 1. A matriks ordo n x n

2. A A1 = A1 A = I

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

A = A1 =

dcba

A1

acbd

Sifat Invers matriks 1. A = B1 B = A1 2. (A1)1 = A 3. (A B )1 = B1 A1 A B = C A = C B1 A B = C B = A1 C Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular 2. A tidak punya invers 3. det A = 0

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah.

Vektor dengan titik pangkal A(ax,ay, az) dan titik ujung B(bx, by, bz) dinotasikan dengan

. AB = AB

a j k

zz

yy

xx

ababab

cara menuliskan vektor, yaitu

= = (a1, a2, a3) = a1 i + a2 + a3

3

2

1

aaa

Misalkan = (a1, a2, a3) a

Notasi : (baca panjang vektor ) |a | a

Definisi : = | |a

23

22

21 aaa

Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya

= a b

bdanaarah

ba

Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar

a = adalah vektor posisi titik A OAb = adalah vektor posisi titik B OB

Maka = AB b a

operasi pada vektor Secara analitik (aljabar)

A ( a x , a y , a z )

B (ax, ay, az)

x

z A

ByO

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Misalkan a = (a , a2, a3), b = (b1, b2, b3) a , k

1 bilangan real

Ma 2 + b2, a3 + b3)

s s

0 s hingga + = + =

ka a +

b = (a1 + b1, a

k a = (k a1, k a2, k a3)

Berikut ini adalah ifat- ifat penjumlahan vektor

1. Komutatif : + = + a a

b

b

2. Assosiatif : (a +

b ) +

C = a + (

b +

C )

3. Ada unsur identitas yaitu = (0, , 0) e0 a

0

0

a

a

4. Ada vektor a sehingga a +( a ) = 0

perasi pada vektor Secara geometriO

p a. Lukiskan jajaran genjang. ktor diagonal.

e i g l + = + =

Vektor

k mempunyai arah.

ebih jauh vekto

= = (a1, a2, a3)

Aturan Jajaran Genjang

Titik angkal a dan b harus sama + b adalah ve Aturan segitig

a

U

jung a m njad pan ka b a

b

PQ

QR

PR

dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. 0Vektor 0 tida

gambaran l r a adalah Misalkan

a = = (a1, a2, a3) PQMaka

aQP

a

b

a + b

a +b

a P Q

R b

a a

P

Q Q

P

konstanta,)(

suatukakbaengansegarissejajarb

akb d

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

a sejajar dengan = k b a b a searah dengan = k , k > 0 b a ba berlawanan arah dengan = k , k < 0 b a b a = , = , = TP b TQ C TR

PQ : QR = m : n

Maka b = nmn a + nmm C Perkalian titik a . = cos b |a | |b| Misalkan = (a1, a2, a3 ), = (b1 , b2, b3) a

b

Maka berlaku a = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 b

= ( , ) cos = a b|b ||a|

ba

=

|b ||a|

b a ba ba

3 32211

Sifat-sifat 1. = a b b a2. ( + ) = + a b C a b a C3. = 2 a a a4. tegak lurus = 0 a b a b Proyeksi suatu vektor pada vektor yang lain Vektor adalah proyeksi vektor pada vektor . Rumusan dan sebagai berikut C a b C |c|

bbac .

bbbac

2

.

k a , k > 0a

k , k < 0a

m nP

T

RQ

a

b C

a

b

a

C

b

TRANSFORMASI

Jika titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M sehingga memiliki bayangan (x, y) maka berlaku

''yx

yx

M

MATRIKS TRANSFORMASI

Matriks pencerminan

terhadap sumbu x

1001

terhadap sumbu y

1001

terhadap garis y = x

0110

terhadap garis y = - x

0110

Matriks Rotasi

0110

90oR

1001

180oR

01

10270o

R

cossin

sincosR

Dilatasi faktor skala k

kk0

0

Rotasi terhadap titik (a, b)

byax

byax

R''

R = matriks rotasi Dilatasi terhadap titik (a, b) dengan faktor skala k

byax

byax

kk

''

00

Pencerminan terhadap garis nmxy yang melalui (a, b)

byax

byax

mm

mm

mm

mm

''

11

12

12

11

2

2

2

22

2

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

BARISAN DAN DERET

Un = Sn Sn1 Un = Suku ke n Sn = Jumlah n suku pertama

berlaku untuk setiap deret

Deret aritmatika u2 u1 = u3 u2 = un un 1 Un = a + (n1) b Sn = )U(a

2n

n = 1)b(n2a2n

Suku tengah Ut = 2

UU n1 a = suku awal b = beda = un un 1 ut = suku tengah

Sisipan b = 1k

b

b' = beda baru k = banyak sisipan Deret Geometri

12

3

1

2

n

n

uu

uu

uu

Un = arn1

Sn = r1

)ra(11r1)a(r nn

Suku tengah Ut = n1UU a = suku awal

r = rasio = 1n

n

uu

Sisipan 1' k rr r' = rasio baru k = banyak sisipan Deret Geometri tak hingga

raS 1 syarat 11 r

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

EKSPONEN PANGKAT TAK SEBENARNYA Definisi Sifat-sifat Sifat Persamaan Sifat Pertidaksamaan

1. a,.a, a...a = a n

2. a 0 = 1 untuk setiap a 0 3. a n = n untuk setiap a 0 2

1

4. a n1

= n a untuk setiap a 0 dan n genap positif 5. a n

1= n a untuk setiap a bila n ganjil positif

n buah

a. a n . a m = a mn

b. m

na = mna dengan a 0 a

c. (a n ) m = a mn

d. a n/m = n ma

e. (a.b) n = a n .b n

f. nb

aba ; b 0 nn

1. Jika a x = a y dengan a 0 dan a 1, maka : x = y 2. Jika a x = b x dengan a = b atau x = 0 untuk setiap a ; b 0

Jika a a dengan a 0, maka x y1. x y untuk a 1 2. x y untuk 0 a 1

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN Fungsi f (x) = a atau y = a dengan a 0 disebut fungsi eksponen x x a dinamakan bilangan pokok, sedangkan variabel x dinamakan eksponen 1. Grafik y = a x dengan 0 a 1

a. Bila x = 0 maka y = a 0 = 1, jadi grafik selalu melalui titik (0, 1) b. Bila x , maka xlim a

x = 0 garis y = 0 disebut asimtot datar

c. Bila x -, maka xlim ax = , bnerarti grafik makin ke kiri makin ke atas.

y = a x dengan 0 a 1

x

y

1

0

2. Grafik y = a x dengan a 1

Dengan cara yang sama seperti diatas, didapat grafik sebagai berikut :

Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

y = a x dengan a 1

x

y

1

0

LOGARITMA.pdf (p.1-2)FUNGSIKUADRAT.pdf (p.3-4)PERSAMAANKUADRAT.pdf (p.5-6)PERTIDAKSAMAAN.pdf (p.7)TRIGONOMETRI.pdf (p.8-9)LOGIKAMATEMATIKA.pdf (p.10-14)DIMENSITIGA.pdf (p.15-16)STATISTIKA.pdf (p.17)LINGKARAN.pdf (p.18)SUKUBANYAK.pdf (p.19)PELUANG.pdf (p.20)FUNGSIKOMPOSISIDANFUNGSIINVERS.pdf (p.21-23)LIMITFUNGSI.pdf (p.24-25)TURUNAN.pdf (p.26)INTEGRAL.pdf (p.27-28)PROGLIN.pdf (p.29-31)MATRIKS.pdf (p.32-34)VEKTOR.pdf (p.35-37)TRANSFORMASI.pdf (p.38)BARISANDANDERET.pdf (p.39)EKSPONEN.pdf (p.40-41)